2025年静止算法测试题及答案

2025年静止算法测试题及答案一、单项选择题（每题3分，共18分）1.以下关于静止算法时间复杂度的描述中，正确的是（）A.对于递归式T(n)=4T(n/2)+n²，其时间复杂度为O(n²logn)B.冒泡排序在最坏情况下的时间复杂度为O(nlogn)C.快速排序的平均时间复杂度与归并排序相同D.KMP算法的预处理阶段时间复杂度为O(m²)（m为模式串长度）2.若需对一组包含重复元素的整数序列进行排序，且要求排序后相等元素的相对顺序保持不变，则不能选择的排序算法是（）A.归并排序B.基数排序C.堆排序D.插入排序3.贪心算法能够保证全局最优解的关键条件是（）A.问题具有重叠子问题性质B.问题满足贪心选择性质和最优子结构C.问题的状态转移方程可线性表示D.问题的解空间树为满二叉树4.用动态规划解决“最长公共子序列（LCS）”问题时，若序列X长度为m，序列Y长度为n，则状态表的空间复杂度为（）A.O(m+n)B.O(mn)C.O(max(m,n))D.O(min(m,n))5.在无向图中使用Prim算法构造最小提供树时，若图中有n个顶点，则需要选择的边数为（）A.n-1B.nC.2n-1D.n(n-1)/26.对于哈希表的负载因子α（α=元素个数/桶的数量），以下描述错误的是（）A.α越大，哈希冲突概率越高B.α越小，空间利用率越低C.开放寻址法中α通常小于1D.链地址法中α可以大于1二、填空题（每题4分，共20分）1.某分治算法的递归关系式为T(n)=3T(n/2)+n²，根据主定理，其时间复杂度为__________。2.用动态规划解决0-1背包问题时，若物品i的重量为w[i]，价值为v[i]，状态dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包的最大价值，则状态转移方程为__________。3.Dijkstra算法在求解单源最短路径时，若使用优先队列（最小堆）优化，每次从队列中取出的节点是__________。4.KMP算法中，模式串“ABABC”的next数组（从0开始索引）为__________。5.快速排序在最坏情况下的时间复杂度为__________，通过__________（填优化方法）可降低最坏情况发生的概率。三、算法分析题（每题8分，共24分）1.分析以下递归函数的时间复杂度，并给出推导过程：```pythondeffunc(n):ifn<=1:return1returnfunc(n-1)+func(n-1)```2.给定一个无序数组arr，要求设计一个时间复杂度为O(n)的算法，找出其中第k小的元素（k≤n）。请说明算法思路，并指出该算法的最坏时间复杂度。3.比较广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）在图遍历中的优缺点，各列举两个适用场景。四、编程题（每题15分，共30分）1.【物流路径优化问题】某城市物流网络由m个节点（仓库、门店）和n条有向边构成，每条边的权重表示当前拥堵系数（数值越大越拥堵）。为应对突发情况，允许路径中最多调整k次拥堵系数（即选择k条边，将其权重临时减半）。设计一个算法，计算从起点S到终点T的最小可能路径权重和（调整次数不超过k）。要求：用Python编写代码，输入为邻接表形式（节点数m，边列表edges，k值，起点S，终点T）输出最小权重和，若不可达则返回-12.【社交标签相似性问题】用户兴趣标签由字符串数组表示，定义两个标签“相似”为：长度相同且首字母相同（不区分大小写）。给定两个用户的标签数组A和B（长度分别为m和n），求它们的最长相似子序列长度（子序列不要求连续）。例如：A=["Apple","Banana","Cat"],B=["ant","Bear","car"]，则最长相似子序列为["Apple","Cat"]与["ant","car"]，长度为2（"Apple"与"ant"首字母A/a，长度5；"Cat"与"car"首字母C/c，长度3）。要求：用Java编写代码，输入为两个字符串数组A和B输出最长相似子序列的长度五、综合应用题（28分）【电商满减优化问题】某电商大促活动规则为：每满300元减50元（可叠加，即每满300减50，满600减100，以此类推）。现有n个商品，价格分别为p₁,p₂,…,pₙ（均为正整数）。要求选择若干商品（至少选1个），使得实际支付金额（总价-满减金额）最小。设计一个算法解决该问题，要求：（1）说明问题转化思路，给出状态定义和转移方程（2）用C++编写代码实现（输入为价格数组，输出最小支付金额）（3）分析算法的时间复杂度和空间复杂度答案一、单项选择题1.C（快速排序平均O(nlogn)，归并排序O(nlogn)）2.C（堆排序不稳定）3.B（贪心选择性质+最优子结构）4.B（状态表为m×n）5.A（最小提供树边数n-1）6.D（链地址法α可大于1，但通常不超过2）二、填空题1.O(n²)（主定理：a=3,b=2,log_ba≈1.58<2，故T(n)=O(n²)）2.dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])（j≥w[i]时）3.当前距离起点最短的未确定最短路径的节点4.[0,0,1,2,0]（计算过程：next[0]=0；next[1]："A"与前缀无匹配，0；next[2]："AB"与前缀"A"无匹配，0；next[3]："ABA"与前缀"A"匹配，长度1；next[4]："ABAB"与前缀"AB"匹配，长度2；next[5]："ABABC"无匹配，0）5.O(n²)；随机选择枢轴（或三数取中法）三、算法分析题1.时间复杂度为O(2ⁿ)。推导：递归式T(n)=2T(n-1)+O(1)，展开得T(n)=2ⁿT(0)+2ⁿ⁻¹+…+2⁰=O(2ⁿ)。2.算法思路：基于快速排序的划分思想（快速选择算法）。随机选择枢轴，将数组划分为小于、等于、大于枢轴的三部分，根据k与各部分长度的关系递归处理。最坏时间复杂度O(n²)（每次划分极不均衡），平均O(n)。3.BFS优点：找到最短路径（无权图）、适合寻找连通分量；缺点：空间复杂度高（队列存储层级节点）。适用场景：最短路径问题、网页爬虫（按层抓取）。DFS优点：空间复杂度低（栈递归）、适合探索所有路径；缺点：可能陷入无限递归（需记录访问）。适用场景：拓扑排序、连通性检测。四、编程题1.Python代码（Dijkstra变种，状态包含当前节点和已调整次数）：```pythonimportheapqdefmin_congestion_path(m,edges,k,S,T):adj=[[]for_inrange(m)]foru,v,winedges:adj[u].append((v,w))优先队列：(当前总权重,当前节点,已调整次数)heap=[(0,S,0)]记录到达每个节点时各调整次数的最小权重dist=[[float('inf')](k+1)for_inrange(m)]dist[S][0]=0whileheap:current_w,u,used=heapq.heappop(heap)ifu==T:returncurrent_wifcurrent_w>dist[u][used]:continueforv,winadj[u]:不调整当前边ifcurrent_w+w<dist[v][used]:dist[v][used]=current_w+wheapq.heappush(heap,(dist[v][used],v,used))调整当前边（若还有次数）ifused<k:new_w=current_w+w//2ifnew_w<dist[v][used+1]:dist[v][used+1]=new_wheapq.heappush(heap,(new_w,v,used+1))return-1```2.Java代码（动态规划，状态dp[i][j]表示A前i个、B前j个的最长相似子序列长度）：```javapublicclassLongestSimilarSubsequence{publicstaticintlongestSimilar(String[]A,String[]B){intm=A.length,n=B.length;int[][]dp=newint[m+1][n+1];for(inti=1;i<=m;i++){for(intj=1;j<=n;j++){Stringa=A[i-1],b=B[j-1];if(a.length()==b.length()&&Character.toLowerCase(a.charAt(0))==Character.toLowerCase(b.charAt(0))){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;}else{dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}}}returndp[m][n];}}```五、综合应用题（1）问题转化：总支付金额=总价-50×floor(总价/300)，需最小化该值。等价于最大化满减金额，即最大化floor(总价/300)，同时总价尽可能接近300的倍数。状态定义：dp[i][j]表示前i个商品中选若干，总价为j时的最大满减次数（floor(j/300)）。转移方程：对于第i个商品（价格p），有选或不选两种情况：不选：dp[i][j]=dp[i-1][j]选：若j≥p，则dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-p]+(j//300(j-p)//300))（2）C++代码：```cppinclude<vector>include<algorithm>include<climits>intminPayment(std::vector<int>&prices){inttotal=0;for(intp:prices)total+=p;std::vector<int>dp(total+1,-1);dp[0]=0;//总价0时满减次数0（不选任何商品）intminPay=INT_MAX;for(intp:prices){for(intj=total;j>=p;j--){if(dp[jp]!=-1){intnewCount=dp[jp]+(j/300(jp)/300);if(dp[j]<newCount){dp[j]=newCount;intpay=j50newCount;