探究·建构·应用：线段垂直平分线的性质与判定（八年级数学）

探究·建构·应用：线段垂直平分线的性质与判定（八年级数学）一、教学内容分析

线段垂直平分线是初中平面几何中承上启下的核心概念之一。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课内容隶属于“图形与几何”领域，是“图形的性质”主题下的重要组成部分。在知识图谱上，它既是对“轴对称”性质的直接应用与深化，又是后续学习等腰三角形、菱形、乃至坐标法中点公式等内容的逻辑基石，起着串联知识的关键作用。课标要求“探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”，这明确指出了本课的教学路径：应从“探索”（观察、实验、猜想）出发，走向“证明”（逻辑推理），最终实现“理解”与“应用”。这一过程蕴含了“从具体到抽象”、“从合情推理到演绎推理”的学科思想方法，是培养学生几何直观、推理能力和模型观念的绝佳载体。其育人价值在于，通过对“垂直平分线”这一完美对称轴的探究，引导学生感受几何的和谐与严谨之美，在严格的推理论证中锤炼理性精神与科学态度。

八年级学生已初步具备轴对称图形的知识基础与动手操作能力，但将直观感知上升为严格逻辑证明，并灵活运用定理解决复杂问题，仍存在显著认知跨度。常见的学习障碍在于：一是对“点到点距离”与“点到线距离”概念的混淆；二是在证明“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”时，辅助线的添加需要创造性思维，是典型的思维难点；三是应用定理时，容易忽略“垂直”和“平分”两个条件必须同时满足。因此，教学必须搭建从“动手做”到“动脑证”的阶梯，设计层层递进的探究任务。课堂中将通过观察学生的作图操作、倾听小组讨论的观点、分析随堂练习的典型错误，动态评估学情。针对基础薄弱学生，提供“任务清单”与“证明提示卡”作为支架；针对学有余力者，则引导其探究定理在复杂构图或实际问题中的综合应用，实现差异化支持。二、教学目标

知识目标：学生能准确叙述线段垂直平分线的定义、性质定理及其逆定理（判定定理），理解其互逆关系；能运用规范的几何语言进行证明，并初步应用于解决简单的几何证明与作图问题，例如证明线段相等或构造垂直平分线。

能力目标：学生经历“操作观察—提出猜想—逻辑验证—应用拓展”的完整探究过程，发展几何直观与合情推理能力；通过书写证明过程，提升严谨的演绎推理能力和符号表达能力。能够独立完成垂直平分线的尺规作图，并解释作图原理。

情感态度与价值观目标：在小组协作探究中，学生能积极分享观点、倾听他人意见，体验合作的价值；通过定理在生活（如选址问题）和艺术（如对称设计）中的应用，感受数学的实用性与美学价值，增强学习几何的内在动机。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的转化与构造思想。引导学生将“点在线段垂直平分线上”的条件转化为“点到线段两端点距离相等”，并学会通过连接线段、构造全等三角形来搭建证明路径，体会将未知转化为已知的数学思维策略。

评价与元认知目标：引导学生依据“作图准确、说理有据、表达规范”的课堂评价量规，对同伴的证明过程进行互评与优化；在课堂小结时，能自主梳理探究路径，反思“从猜想到定理”过程中最关键的步骤，规划后续类似几何命题的学习方法。三、教学重点与难点

教学重点：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的探索、证明与简单应用。确立此为重点，源于其在课标中的核心地位及在初中几何知识网络中的枢纽作用。该组定理不仅是轴对称性质的直接推论，更是证明线段相等、两线垂直的重要工具，后续大量几何问题（如三角形外心、轨迹问题）的解决都依赖于对此的深刻理解。从中考视角看，该内容是考查学生几何推理能力和转化思想的高频考点。

教学难点：线段垂直平分线判定定理的证明。难点成因在于其证明需要添加辅助线（连接该点与线段两端点），这一构造行为对学生而言具有创造性，超越了直接的模仿。学生思维需完成从“已知垂直平分线证线段相等”（性质）到“已知线段相等证点在垂直平分线上”（判定）的逆向跳跃，且证明过程涉及两次三角形全等的判定，逻辑链较长，容易混淆。突破方向在于，引导学生对比性质定理的证明，逆向思考，并通过可视化工具（几何画板动态演示）启发辅助线的添加思路。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（含几何画板动态演示文件）、课堂学习任务单（分层设计）、实物投影仪。1.2其他资源：绘制清晰的小组讨论板报模板、课堂即时评价印章/贴纸。2.学生准备2.1学具：每人一张长方形纸片、直尺、圆规、铅笔。2.2预习：复习轴对称图形的定义及性质。3.环境布置

教室桌椅按46人合作小组布局，便于讨论与展示。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：“同学们，如果我们想在一条笔直的马路边，为同侧的两个大型居民小区A和B设立一个共用的公交站台P，要求P站到两个小区的距离相等。从数学角度看，站台P应该设在什么位置上呢？”（稍作停顿，让学生思考）“有的同学可能感觉应该在中间，但‘中间’这个描述准确吗？今天，我们就来学习一个能精准解决这类问题的几何工具。”1.1.唤醒旧知，明确路径：“请大家拿出准备好的纸片和笔。回忆一下，什么是轴对称图形？线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴有什么特征？”（学生回答：是，对称轴是它的垂直平分线）。“非常好，‘垂直平分线’这个词我们已经见过。但你真的了解它吗？比如，这条线上所有的点，有什么共同的特权？反过来，具有某种特权的点，是否一定在这条线上？本节课，我们将化身几何侦探，通过折一折、画一画、证一证，揭开线段垂直平分线的全部秘密。”第二、新授环节任务一：动手操作，感知定义与初步性质教师活动：首先，指导学生进行折纸活动：在纸片上画一条线段AB，然后沿某条直线对折，使端点A与端点B完全重合。压平折痕后展开。提问引导：“这条折痕与线段AB有什么关系？”（等待学生说出“垂直”和“平分”）“谁能结合刚才的操作，尝试给出线段垂直平分线的定义？”教师在学生描述的基础上，用精准的数学语言板书定义。接着追问：“折痕上任意一点（比如取点P），因为对折后重合，那么点P到A、B两点的距离PA与PB有什么关系？你是怎么判断的？”引导学生基于“重合意味着距离相等”得出猜想。学生活动：动手折叠线段，观察并描述折痕与线段的位置关系（垂直且平分）。尝试用语言定义“线段的垂直平分线”。在折痕上任取一点，连接PA、PB，通过测量或基于折叠重合的直观，猜想PA=PB，并与同桌交流依据。即时评价标准：1.操作是否规范，能否通过折叠实现精准重合。2.能否用“垂直”和“平分”两个关键词描述位置关系。3.猜想PA=PB时，能否提供“重合”或“测量”的依据，而非凭空猜测。形成知识、思维、方法清单：

★1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。定义包含两个关键条件：“过中点”（平分）和“垂直”，二者缺一不可。理解定义是后续所有推理的起点。“同学们，记住，它是一条‘直线’，而不是线段或射线。”

★2.性质定理的直观猜想：线段垂直平分线上的点（如折痕上的点P）到这条线段两个端点的距离相等（PA=PB）。这是我们通过实验操作得到的合情推理结果，为严格证明提供了猜想目标。“大胆猜想，小心求证，这是科学探索的第一步。”任务二：几何作图，验证猜想教师活动：“折纸给了我们启示，但数学不能只靠‘看起来相等’。我们能否用更一般的方法，找到这条垂直平分线，并验证我们的猜想？”引导学生使用尺规作图法作出线段AB的垂直平分线。教师利用几何画板同步示范规范步骤，并强调原理（圆规作等弧，确定到A、B等距的点）。作出垂线后，在其上任取两点P、P‘，提问：“如何验证（或证明）PA=PB，P’A=P‘B？”启发学生思考证明路径，为下一任务铺垫。学生活动：跟随教师指导，使用直尺和圆规独立完成线段垂直平分线的尺规作图。在所作垂线上任取两到三个点，分别测量它们到A、B的距离，记录数据，验证“距离相等”的猜想是否普遍成立。小组内交流作图心得与测量结果。即时评价标准：1.尺规作图步骤是否清晰、准确（尤其两弧交点连线）。2.测量是否仔细，数据记录是否完整。3.能否从多组数据中归纳出普遍性结论。形成知识、思维、方法清单：

★3.线段垂直平分线的尺规作图方法：这是必须掌握的基本技能。作图原理深刻体现了“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”（我们即将证明的判定定理）。“看，作图过程本身就在应用我们将要学习的知识。”

▲4.从特殊到一般的归纳思想：通过取多个点进行验证，增强了猜想的可靠性，这是归纳推理的初步应用。但测量总有误差，“要让人百分之百信服，我们需要无懈可击的逻辑证明。”任务三：逻辑推理，证明性质定理教师活动：明确任务：将猜想“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”写成“已知、求证”的证明题格式。引导学生分析：已知条件是“点P在AB的垂直平分线CD上”，要证PA=PB。提问：“从已知条件中，我们能直接得到哪些有用信息？”（中点O，垂直∠POA=∠POB=90°）。“要证明两条线段相等，我们学过哪些方法？”（全等三角形对应边相等）。“图形中有现成的全等三角形吗？如果没有，怎么办？”（需要构造，连接PA、PB后，考虑△POA与△POB）。带领学生共同完成证明过程的书写，强调每一步的依据。学生活动：在教师引导下，尝试将文字命题转化为数学符号语言（已知、求证）。思考证明策略，提出通过证明三角形全等来证边相等。在教师的“脚手架”下，口述或书写证明过程，重点关注如何利用“垂直平分”的条件（SAS判定全等）。即时评价标准：1.“已知、求证”的表述是否准确、完整。2.能否主动想到通过构造三角形、利用全等来证明。3.证明过程逻辑是否清晰，关键步骤（如利用SAS）的依据是否标明。形成知识、思维、方法清单：

★5.线段垂直平分线的性质定理（定理1）：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。符号语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB。“这个定理给了我们一个强有力的工具：要证明两条线段相等，多了一个新思路——去证明它们端点连线的中点，是这个点的所在。”

★6.全等三角形法的证明范式：这是几何证明中最核心的方法之一。本证明的关键辅助线是连接点P与线段端点A、B，将距离问题转化为三角形中的边角关系。“连接已知点，构造全等形，是几何证明的常见‘武功招式’。”任务四：逆向思考，探究判定定理教师活动：提出逆向问题：“反过来，如果一个点P到线段AB两个端点的距离相等，即PA=PB，那么点P一定在线段AB的垂直平分线上吗？”鼓励学生先凭直觉判断，再用几何画板动态演示：满足PA=PB的点P的轨迹，形成一条直线，正是AB的垂直平分线。制造认知冲突：“眼见为实，但如何用推理证明‘一定在’呢？”引导学生对比性质定理的证明，思考新证明的难点（没有现成的垂直和平分条件）。启发：“要证明点P在AB的垂直平分线上，需要证明什么？”（需要作辅助线，构造出中点O和垂直关系）。组织小组讨论证明思路。学生活动：观察几何画板演示，直观感受“到两端点距离相等的点”的轨迹，形成“是”的猜想。小组合作，尝试写出“已知：PA=PB；求证：点P在线段AB的垂直平分线上”。讨论证明策略，思考如何“创造”出中点和垂直条件。可能的思路：作AB的中点O，连接PO；或过P作AB的垂线，垂足为O。即时评价标准：1.能否清晰提出逆命题。2.小组讨论是否积极参与，能否提出不同的辅助线添加方案。3.能否理解证明的目标是“证垂直”和“证平分”。形成知识、思维、方法清单：

★7.线段垂直平分线的判定定理（定理2）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。符号语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。“性质和判定是一对‘好朋友’，性质说‘线上的点有特权’，判定说‘有特权的点就在线上’。它们互为逆定理。”

▲8.分类讨论的辅助线思路：证明判定定理时，点P与线段AB的位置关系有两种（P在线段AB上或外）。当P在线段AB上时，PA=PB直接意味着P是中点，再证垂直线段稍作说明；当P在线段AB外时，典型证法是取AB中点O，连接PO，通过证明△POA≌△POB(SSS)得到∠POA=∠POB=90°。“遇到多种情况，要分门别类，各个击破。”任务五：整合应用，理解集合意义教师活动：将两个定理并列呈现，引导学生分析它们的联系与区别（互逆定理）。提出更高层次的理解：“从集合的角度看，线段AB的垂直平分线可以看作是什么？”引导得出：垂直平分线是所有到A、B两点距离相等的点的集合。回到导入的“公交站选址”问题，请学生用刚学的定理重新解释。学生活动：对比两个定理的条件和结论，理解“互逆”关系。在教师引导下，理解“垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合”这一本质属性。运用该知识，清晰地解释公交站台P应设在AB的垂直平分线上。即时评价标准：1.能否准确指出两个定理的条件与结论如何互换。2.能否理解“集合”描述的含义。3.能否用定理精准解决导入情境中的实际问题。形成知识、思维、方法清单：

★9.定理的互逆关系：性质定理与判定定理是互逆命题，且都成立。理解这种关系有助于构建知识网络，并提醒我们在应用时注意区分条件与结论。

★10.垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线，可以看作是“到线段两个端点距离相等的所有点组成的图形”。这揭示了其几何本质，是轨迹思想的初步渗透。“数学概念往往有多种等价的表述，抓住本质，才能以不变应万变。”第三、当堂巩固训练

基础层（全员必做）：

1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上一点。已知PA=5cm，则PB=____cm。理由是什么？“直接应用定理，争取‘秒答’。”

2.已知：如图，AC=BC，AD=BD。求证：直线CD是线段AB的垂直平分线。（考察判定定理的直接应用）

综合层（多数学生挑战）：

3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE是AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E。连接BE，求∠EBC的度数。（综合等腰三角形性质与垂直平分线性质）

挑战层（学有余力选做）：

4.(回归导入)若A、B两小区位于马路L的同侧，现要修一个到两小区距离相等，并且到马路距离最短的供水站Q。请确定点Q的位置，并说明理由。（融合垂直平分线与“垂线段最短”）

反馈机制：基础题通过全班齐答或个别提问快速核对；综合题请学生上台板演，师生共同点评证明过程的完整性、规范性；挑战题投影展示优秀思路，教师点拨关键转化（先找垂直平分线，再作垂线）。第四、课堂小结

结构化总结：“请同学们用2分钟时间，在笔记本上画一个简单的思维导图，梳理本节课的核心：一条定义、两个定理、一种作图、一种思想（互逆）。”邀请学生分享梳理成果。

方法提炼：“回顾一下，我们今天是如何‘诞生’这两个定理的？（操作→猜想→证明→应用）。这是研究几何图形性质的一般路径。”

作业布置与延伸：

1.必做（基础）：教材课后练习中关于定理直接应用的3道题；用尺规作一个已知三角形的三条边的垂直平分线，观察它们是否交于一点。

2.选做（拓展）：撰写一篇数学日记，记录从“公交站问题”到学习定理全过程的心得与疑问。或探究：三角形三边垂直平分线的交点（外心）有什么性质？

“明天我们将带着今天的发现，去探索三角形中这些垂直平分线汇聚成的更多奥秘。”六、作业设计基础性作业：1.完成教材对应小节练习题中，直接应用性质定理和判定定理进行简单计算或证明的题目（约45题）。2.用规范的语言（文字、图形、符号）各举一例，分别说明性质定理和判定定理如何使用。拓展性作业：3.情境应用题：如图，A、B、C三个村庄计划合建一座文化中心P，要求P到三个村庄的距离都相等。请利用今天所学知识，在图上尝试找出点P可能的位置，并说明你的方法依据。（提示：考虑两两村庄组合的垂直平分线）4.小论文/思维导图：以“线段垂直平分线的‘前世今生’”为题，梳理从轴对称到定义，再到性质与判定的完整知识链条，并尝试说明其在建筑设计或地理测绘中的一个应用实例。探究性/创造性作业：5.（选做）已知线段AB和长度为L的绳子。你能只用这根绳子（可视为软尺，无刻度）找出线段AB的垂直平分线吗？请设计操作方案并解释原理。（联系实际，培养创新思维）七、本节知识清单及拓展

★1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。双重条件缺一不可。它是线段的一条对称轴。

★2.性质定理（“线上点→等距离”）：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。符号语言是核心工具。

★3.判定定理（“等距离→线上点”）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。它是证明点在某直线上的重要依据。

★4.定理的互逆性：上述两个定理互为逆定理。条件和结论互换。这体现了数学逻辑的对称美。

★5.尺规作图方法：分别以线段的两个端点为圆心，大于一半长度为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点的直线即为所求。作图原理基于判定定理。

▲6.集合观点：线段AB的垂直平分线，是所有满足PA=PB的点P的集合。这是对垂直平分线本质的深刻描述。

★7.核心辅助线记忆：涉及垂直平分线的问题中，常作的辅助线是“连接该点与线段的两个端点”，从而构造出可利用的三角形。

▲8.分类讨论意识：在证明判定定理时，需考虑点在线段上或线段外两种情况，证明方法略有不同，但核心都是构造全等。

▲9.与轴对称的联系：垂直平分线是成轴对称的两个对称点（如A和B）的对称轴。性质定理实质是“对称点的连线段被对称轴垂直平分”的一部分。

▲10.易错提醒：应用定理时，必须确保条件完全满足。例如，不能由PA=PB直接得出某直线是垂直平分线，还必须证明该直线经过AB的中点或垂直于AB（除非该直线已知过其中一点）。

▲11.生活应用实例：寻找到两个固定点距离相等的位置，如车站、仓库选址；确定线段的中点（利用垂直平分线作图）；艺术中的对称设计等。

▲12.为后续铺垫：三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等。这是下节课的重要内容，本节课的作图作业已埋下伏笔。八、教学反思

（一）目标达成度分析：本节课预设的“探索证明应用”路径基本得以实现。从课堂反馈和巩固练习完成情况看，绝大多数学生能准确叙述两个定理，并能应用于基础题型。学生用尺规作垂直平分线的操作规范度较高，说明动手环节有效。然而，在判定定理的证明书写上，部分学生仍显生疏，尤其在辅助线的叙述和双三角形全等的逻辑链组织上存在困难，这反映出演绎推理能力的培养需要持续训练和更细致的步骤分解。

（二）环节有效性评估：导入环节的“选址问题”成功激发了兴趣，并在课堂末尾得到闭环解决，增强了学习成就感。任务一至任务五的梯度设计总体合理，但从“猜想”到“证明”的跨越（任务三）依然是课堂节奏的“陡坡”。尽管搭建了“回忆全等法”的脚手架，但部分学生仍处于被动跟随状态。下次可考虑在猜想后，增加一个“你能想到几种证明方法？”的小组头脑风暴环节，给予更充分的思维发散时间。任务四的逆向探究中，几何画板的动态演示起到了关