湖南省永州市双牌县二中2026届高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析

湖南省永州市双牌县二中2026届高一下数学期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．方程的解集是（）A． B．C． D．2．已知向量，，，则（）A． B． C． D．3．已知等差数列{an}的前n项和为，满足S5=S9，且a1＞0，则Sn中最大的是（）A． B． C． D．4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．13+5 B．11+5 C．5．下列函数中，既是偶函数，又在上递增的函数的个数是（）.①；②；③；④向右平移后得到的函数.A． B． C． D．6．中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座，每位同学只能选择一门课程，则甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是（）A． B． C． D．7．为了了解某次数学竞赛中1000名学生的成绩,从中抽取一个容量为100的样本,则每名学生成绩入样的机会是()A． B． C． D．8．从3位男运动员和4位女运动员中选派3人参加记者招待会，至少有1位男运动员和1位女运动员的选法有（）种A． B． C． D．9．下列说法中正确的是(

)A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等10．已知，则的值为A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．两圆交于点和，两圆的圆心都在直线上，则____________；12．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是_________．13．已知三点、、共线，则a=_______.14．已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.15．已知是第二象限角，且，且______.16．在数列中，，，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、．（Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标；（Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段长度的最小值．18．已知数列满足：，，.（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）记（），用数学归纳法证明：，19．已知角终边上有一点，求下列各式的值．（1）；（2）20．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）设，若恒成立，求的取值范围.21．求过点且与圆相切的直线方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

把方程化为，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.【详解】由题意，方程，可化为，解得，即方程的解集为.故答案为：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟记正切函数的性质，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、D【解析】

利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数的值.【详解】，，，，解得，故选D.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属于基础题.3、B【解析】

由S5=S9可得a7+a8=0，再结合首项即可判断Sn最大值【详解】依题意，由S5=S9，a1＞0，所以数列{an}为递减数列，且S9-S5=a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）=0，即a7+a8=0，所以a7＞0，a8＜0，所以则Sn中最大的是S7，故选：B．【点睛】本题考查等差数列Sn最值的判断，属于基础题4、B【解析】

三视图可看成由一个长1宽2高1的长方体和以2和1为直角边的三角形为底面高为1的三棱柱组合而成．【详解】几何体可看成由一个长1宽2高1的长方体和以2和1为直角边的三角形为底面高为1的三棱柱组合而成S=【点睛】已知三视图，求原几何体的表面积或体积是高考必考内容，主要考查空间想象能力，需要熟练掌握常见的几何体的三视图，会识别出简单的组合体．5、B【解析】

将①②③④中的函数解析式化简，分析各函数的奇偶性及其在区间上的单调性，可得出结论.【详解】对于①中的函数，该函数为偶函数，当时，，该函数在区间上不单调；对于②中的函数，该函数为偶函数，且在区间上单调递减；对于③中的函数，该函数为偶函数，且在区间上单调递增；对于④，将函数向右平移后得到的函数为，该函数为奇函数，且当时，，则函数在区间上不单调.故选：B.【点睛】本题考查三角函数单调性与奇偶性的判断，同时也考查了三角函数的相位变换，熟悉正弦、余弦和正切函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于中等题.6、D【解析】

甲乙两人至少有人选择“礼”的对立事件是甲乙两人都不选择“礼”，求出后者的概率即可【详解】由题意，甲和乙不选择“礼”的概率是，且相互独立所以甲乙两人都不选择“礼”的概率是所以甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是故选：D【点睛】当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单，即先求出此事件的对立事件的概率，然后即可得出原事件的概率.7、A【解析】

因为随机抽样是等可能抽样，每名学生成绩被抽到的机会相等,都是.故选A.8、C【解析】

利用分类原理，选出的3人中，有1男2女，有2男1女，两种情况相加得到选法总数.【详解】（1）3人中有1男2女，即；（2）3人中有2男1女，即；所以选法总数为，故选C.【点睛】分类加法原理和分步乘法原理进行计算时，要注意分类的标准，不出现重复或遗漏情况，本题若是按先选1个男的，再选1个女的，最后从剩下的5人中选1人，则会出现重复现象.9、B【解析】试题分析：棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；球的表面就不能展成平面图形，所以C不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确.考点：本小题主要考查空间几何体的性质.点评：解决此类问题的主要依据是空间几何体的性质，需要学生有较强的空间想象能力.10、B【解析】

利用诱导公式求得tanα，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【详解】∵已知tanα，∴tanα，则，故选B．【点睛】本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由圆的性质可知，直线与直线垂直，，直线的斜率，，解得.故填：3.【点睛】本题考查了相交圆的几何性质，和直线垂直的关系，考查数形结合的思想与计算能力，属于基础题.12、相交【解析】

根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆截直线所得线段的长度是，即，，则圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，，，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键．13、【解析】

由三点、、共线，则有，再利用向量共线的坐标运算即可得解.【详解】解：由、、，则,,又三点、、共线，则，则，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题.14、【解析】

由题意得出且与不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围.【详解】由于与的夹角为钝角，则且与不共线，，，，解得且，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量与的夹角为，为锐角，为钝角.15、【解析】

利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式可求出的值.【详解】是第二象限角，则，由诱导公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.16、【解析】

由递推公式可以求出，可以归纳出数列的周期，从而可得到答案.【详解】由，，.,可推测数列是以3为周期的周期数列.所以。故答案为：【点睛】本题考查数量的递推公式同时考查数列的周期性，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值【解析】

试题分析：（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点是直线：上的一动点，得，由切线PA的长度为得，解得（Ⅱ）设P（2b,b），先确定圆的方程：因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为：，再按b整理：由解得或，所以圆过定点（Ⅲ）先确定直线方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆方程为及圆：，相减消去x,y平方项得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：，相交弦长即：，当时，AB有最小值试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,所以MP＝，解得所以4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为：即由，7分解得或，所以圆过定点9分（Ⅲ）因为圆方程为即①圆：，即②②－①得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：11分点M到直线AB的距离13分相交弦长即：当时，AB有最小值16分考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程18、（1）证明见解析，；（2）见解析【解析】

（1）定义法证明：；（2）采用数学归纳法直接证明（注意步骤）.【详解】由可知：，则有，即，所以为等差数列，且首相为，公差，所以，故；（2），当时，成立；假设当时，不等式成立则：；当时，，因为，所以，则，故时不等式成立，综上可知：.【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3）证明命题成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.19、（1）；（2）【解析】

（1）根据三角函数的定义，可知；（2）原式上下同时除以，变为表示的式子，即可求得结果.【详解】（1）（2），原式上下同时除以.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于基础题型.20、（1）；（2）.【解析】

（1）由，转化为，利用弦化切的思想得出的值，从而求出的值；（2）由，转化为，然后利用平面向量数量积的坐标运算律和辅助角公式与函数的解析式进行化简，并求出在区间的最大值，即可得出实数的取值范围．【详解】（1）∵，且，，，∴，即，又∵，∴；（2）易知，，∵，∴，，当时，，取得最大值：，又恒成立，即，故．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的最值，在求解含参函数的不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，转化为函数的