平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加、减运算的坐标表示-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6．3.2&6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量加、减运算的坐标表示明确目标发展素养1.借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示2.理解向量坐标的概念，会用坐标表示平面向量的加法和减法运算1.通过平面向量正交分解及坐标表示，提升数学抽象、直观想象素养2.在运用坐标表示向量加、减运算的过程中，达成逻辑推理、数学运算素养知识点一

平面向量的正交分解及坐标表示(一)教材梳理填空1．正交分解：把一个向量分解为两个互相

的向量，叫做把向量作正交分解．2．平面向量的坐标表示：(1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向

的两个

向量分别为i，j，取{i，j}作为

．垂直相同单位基底(二)基本知能小试1．判断正误：(1)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量的终点坐标．

(

)(2)点的坐标与向量的坐标相同．

(

)(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．

(

)√×√答案：D3．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.答案：(－4,0)

(0,6)

(－2，－5)知识点二

平面向量加、减运算的坐标表示(一)教材梳理填空设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).答案：B2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则a－b等于

(

)A．(1,5) B．(3,9)C．(3,3) D．(3,5)答案：C题型一平面向量的坐标表示

【学透用活】[方法技巧]求平面向量坐标的方法(1)若i，j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，则当

a＝xi＋yj时，向量a的坐标即为(x，y)．(2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标．解题时，常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．

题型二平面向量的加、减坐标运算

【学透用活】[方法技巧]向量坐标运算的方法(1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据两个向量的和、差运算法则进行计算．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．(3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．

题型三平面向量坐标运算的综合应用

[探究发现](1)若两个向量相等，则它们的坐标有什么关系？提示：若两个向量相等，则它们的坐标相同．(2)利用坐标形式下向量相等的条件，你能解决什么样的问题？提示：由坐标形式下向量相等，可得到向量对应的坐标相等，从而建立方程或方程组，可求出点的坐标或某些参数的值．【学透用活】[典例3]已知平面上三个点的坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，若点D使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点，求点D的坐标．[方法技巧]已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标，主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等．[提醒]

当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论．

【对点练清】2．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6，8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．二、创新性——强调创新意识和创新思维2．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算