2024苏科版八年级数学上册第五章《一次函数》每节课教学设计汇编（含12个教学设计）

5.1.1函数的概念教学设计

^^教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本节为新教材苏科版八年级上册第五章一次函数第5.1节“变量与函数”第1课时，核心内容包括常

量与变星的基本概念、函数的定义及函数值的含义等.教材通过列车行驶、篱笆围园、购买橘子等情境,

引导学生从H常生活实例中感悟量的变化与对应关系，初步建立函数概念.

2.内容解析

本节围绕”一个量随另一个量的变化而变化”的中心思想展开，通过列举多种真实情境，让学生识

别哪些量是常量、哪些量是变量，并观察当某一量数值确定后，另一个量也随之确定的规律，逐渐抽

象出函数的概念.重点在于帮助学生明了“对应”与“唯一性”的本质，难点在于理解函数的自变量、函数

值及其相互关系.通过本节教学，可引导学生体会从常量数学转向变量数学所带来的思维变化.夯实后

续学习一次困数与更多函数类型的基础.

教学目标与解析

1.教学目标

•探索简单实际情境中的数量关系与变化规律，识别问题中的常量、变量及其意义，形成函数概念.

•能在简单实际情境中，理解函数值的意义，并会求函数值.

•初步感受从常量数学到变量数学的转变，发展抽象能力.

2.目标解析

•通过列车速度与距离、篱笆围园等实例，引导学生直观区分变量与常量，逐步归纳出函数的实质含义,

深化对“一个量依赖另一个量变化”的理解：

•借助对购买橘子费用等实例的求值分析，让学生体会函数值的唯一对应该如何求，逐步掌握简单函数

表达式的书写与应用：

•借助生活化情境与数学思考的融合，带领学生体会变量思想在解决日常问题中的价值，增强学习数学

的兴趣和抽象概括的能力.

•教学重点：理解函数的对应关系以及如何恰当地识别自变量与函数值.

•教学难点：准确把握“唯一对应”的含义，形成由现实情境到函数概念的抽象思维能力.

学情分析

学生在之前已具备一元一次方程及多项式的基础，对于“天知数”或“变量”已有感性认知，但对“量

随量变”的关系缺乏系统理解.部分学生易将“常量”与“变量”混淆，需要借助丰富实例以强化对应关系；

同时，正确建立函数的“一一对应''概念也是本节关键难点.

教学过程设计

新课存入

创设情境，引入新课

师：同学们，大家想一想，生活中有哪些场景里某些量不改变，而另一些量会随之变化?

教师展示情境1:

某列车在13：25到13：30这人时段从甲地匀速驶往乙地.该时段中涉及哪些量？

列车行驶的速度

列车行驶的时间

列车距离甲地（或乙地）的距离

哪些量不变？哪些量发生变化？这些量之间有怎样的关系？

列车的速度、甲乙两地的距离保持不变；

列车与甲地的距离随时间的变化而变化，当时间确定时，列车与甲地的距离随之确定.

情境2：

用30m长的篱笆靠墙围成一个长方形小兔乐园，在这个过程中有哪些量？

哪些量不变？哪些量发生变化？这些量之间有怎样的关系？

篱笆的长度保持不变，长方形的面积随一边长的变化而变化.当一边长确定时，面枳随之确定.

情境3：

若购买同一品种的橘子，则购买的费用随购买—数量—的变化而变化:

若购买的数量不变，则购买的费用随购买的一单价—的变化而变化:

若购买的费用不变，则购买的—数量—随购买的单价的变化而变化.

师；通过这些场景，你能说说哪些量是固定的，哪些量是变化的？你觉得它们之间陷含着怎样的规律？

【设计意图】通过列车行驶、篱笆围场和购买橘子的真实情境，引发学生回忆生活经验，激发学习兴

趣，为后续“变量与函数”概念的形成做铺垫.

I新知探塞

探究点1:常量与变量

1.问题引入

师：在刚才列车行驶的情境中，列车的速度与甲乙两地距离保持不变，而列车与甲地的距离随时间

改变.请你再举出一些类似的实例，并指出其中哪些量是不变的，哪些量是变化的；哪个量的数值

确定后，另一个量也随之确定.

例如，货车在路上匀速行驶时，行驶的速度不变，行驶的路程S随时间，的变化而变化.

2.新知导出

定义：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作“常量”，数值会发生变化的量叫作“变量二

强调“在某一变化过程中”的限定：同一个量，若所处情境不同，它可能是常量，也可能是变量.

3.师生活动

教师演示：再举“用30m篱笆围长方形”“购买橘子”的情境，让学生判断哪一部分保持不变、哪一部

分在变动.

学生交流：分组讨论每个场景中的常量、变量，并说明判断理由.

教师点拨：在购买橘子的情境中，单价可视为常量，数量和费用是变量：若一笔固定金额的钱款去

买橘子，则该钱款为常量，的价和数量为变量，进一步感受到常量与变量的相对性.

【设计意图】通过典型实例让学生体会常量和变量的相对性，并初步理解常量与变量的划分依据，从

而为函数概念的建立打下基础，培养学生使用数学语言描述现象的能力.

探究点2：函数概念的形成

1.问题引入

师：在列车匀速行驶的情境里，列车与甲地的距离会随着时间的变化而变化.当给定一个确定的时

间时，与甲地的距离就唯一确定.能不能用一个数学概念来表示这种“一一对应”的关系？

2.新知导出

定义：在一个变化过程中有两个变量无和y,如果对于第的每一个确定的值，y都有唯一的值与它

对应，那么称y是x的函数，》是自变量，y的对应值称为函数值.

例1：如果某轮船从甲港以30nmile/h的速度匀速驶向相距500nmiIe的乙港，其与乙港的距离sn

mile是航行时间th的函数吗？用含t的代数式表示5.

解：s是，的函数.轮船与乙港的距离s随航行时间「的变化而变化，当，

取一个确定的值时，$有唯一的值与它对应，，是/的函数，，是自变量.

S与1之间的函数关系可以表示为s=5OO—3Of.

3.师生活动

教师演示并讲解：列举“轮船航行距离随时间变化”的典型例子，与学生一起推导s=500-30£.让

学生体会：当自变量t给定后，s只能有唯一取值.

学生小组讨论:某轮船从甲港匀速驶向相距50（）nmile的乙港，全程用时th是速度vnmile/h的函

数吗？如果要在12.5h内到达，那么速度至少要达到多少？（学生列式并求解，交流结果：

结论：全程用时fh是速度vnmile/h的函数.

当全程500nmile,需要速度u满足t=詈W12.5,得u?40nmile/h.

教师强调：可以反过来讨论'时间t是否是速度u的函数”，加深对函数概念的认识.

【设计意图】通过观察“距离与时间”“速度与时间”的对应关系，引导学生逐步抽象出函数的定义.运用

明确的数学形式表达各种变化关系，使学生更深刻地体会到函数在描述数量关系中的重要性，培养他

们的符号意识与抽象思维能力.

巩固练习

1.你知道为什么冬天电动自行车的电池不耐用吗？因为电动自行车通常使用铅酸电池和锂电池，这两

种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右.随着温度的降低，电池中的化学物质的活性降低，从而

导致电池不耐用.在这个变化过程中，变量是（B）

A.化学物质B.温度C.电池D.电动自行车

2.把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽屉放入人本，

则下列判断错误的是（A）

A.20是变量B.a是变量C.b是变量D.20是常量

3.李师傅到单位附近的加油站加油，加油机上显示单价为7.46元/升，数量为18.00升，金额为

134.28元.在加油时，金额、数量、单价这三个量中，常量是一单价—.

4.已知△48C的底边BC的氏为a,8c边上的高为九，三角形的面积为S,则有关系：S=^ah.

在下面的三种情况中，试说出常量和变量：

(1)面积S一定；

(2)底边长a一定；

(3)高h一定.

解：(1)当面枳S一定时，S=：a九中，:和S是常量，a和h是变量.

(2)当底边长a一定时，S=；ah中，;和a是常量，S和h是变量.

(3)当高八一定时，S=：Q九中，:和h是常量，S和Q是变量.

5.判断下列变量之间的关系是否为函数关系：

(1)在平静的湖面上投入一粒石子，激起的圆形波纹的面积Send和半径/cm；

(2)沿倾角为30°的斜坡登山，爬升的高度〃m和前进的水平距离/m：

(3)长方形的面积)，和长x.

解：(1)(2)是函数关系，(3)不是函数关系.

6.如图是某人在医院体检时心电图的一部分，图上横轴表示时间fs,纵轴表示心脏的心肌在活动中

产生的电压UmV,电压是时间的函数吗？为什么？

解：电压(U)是时间⑺的函数.

U随/的变化而变化，当/取一个确定的值时，U有唯一的值与它对应.

7.某种矿泉水每瓶2元，判断销售额)，元是否是销售数量x瓶的函数，并用含x的代数式表示)，.

解：是.销售额y元随俏售数量x瓶的变化而变化，当x取•个确定的值，)，有唯•的值与它对应;

y=2x.

能力提升

1.下列曲线中表示)，是x的函数的是(C)

2.“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中温差变化较大的现象，这里体现了气

温是时间的函数.

3.给出下列关于变量x,的式子：①3x—2y=5；②y=1x1；③入一)2=io.其中，表示y是x的函

数的为①②..

4.为了解某种车的耗油量，我们对这种车加满油在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下

来，制成如下表格：

汽车行驶时间〃时0123•••

油箱剩余油量。/升100948882•••

(1)上表反映的两个变量中，自变量是_l_,_Q_是_1_的函数；

(2)根据上表可知，该车油箱的容量为_100—升，每小时耗油_6_升；

(3)两个变量之间的关系式为0=100-6/.(用含，的式子表示Q)

课堂小结

」「数值保持不变的量叫作常量

「常量、变量-

L数值发生变化的量叫作变量

函数的概念——

一两个变量X和丁

L函数的概念-

-对于x的每■一个确定的值，

1，都有唯一的值与它对应

板H设计

5.1变量与函数一第1课时函数的概念

・常量与变量

-定义：在某一变化过程中保持不变的量叫常量，随之变化的量叫变量.

•函数的引入

-定义:y随x变化而变化，且x的每个值有唯一y对应，y是x的函数.

•例题分析&巩固练习

作业布置

1.教材对应习题：完成课本相应练习题，侧重辨析常量、变量以及判断y是否是x的函数.

2.探究作业：

（1）设计一个你身边的情境（如水位变化、动能变化等），指出情境中的常量、变量，并判断是

否存在函数关系；

（2）用简短文字说明你是如何判断的.

教学反思

本节课借助丰富的实际情境引入“常量与变量”以及“函数”概念，达成了对函数基本含义的初步理

解目标.通过典型例题，学生在“什么时候是函数'"如何判断函数”方面取得了明显进步.少部分司学在运

用“根据自变量找对应函数值”时仍需更多指导，尤其在较复杂的情境中，对变量和常量区分不够熟练.

后续教学中，应适度增加辨析训练和小组讨论环节，让学生在更多实际问题中体会函数关系，从而更

牢固地掌握函数概念.

5.1.2函数的表示教学设计

教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本节为新教材苏科版八年级上册数学第五章一次函数第5.1节《变量与函数》第2课时“函数的表

示核心知识点包括：函数三种表示方法（表达式、列表、图象）及其优缺点；根据具体情境确定自

变量的取值范围；利用函数图象解读信息并解决实际问题.

2.内容解析

本节围绕“函数的三种表示方法”展开.首先，通过用一根长2m的铁丝围成长方形的示例引出函数

的概念，进而让学生了解可用表达式、表格、图象来描述变量间的对应关系.其中，表达式能直观显示

自变量与函数值之间的代数关系，如y=l-％：表格可罗列部分取值及对应函数值，便于观察局部规

律：图象在平面直角坐标系中清晰呈现数据的变化趋势.

在此基础上，教学重点放在如何确定自变量的取值范围，如步行时间t在0的区间内，

或腰长x在3＜无＜6的取值限制.学生通过典型案例（小明步行、海洋潮汐、高度与温度、声音传播

等）感受函数图象在实际问题分析中的作用：它不仅能使数形结合，更能方便地解释停留、加速、恒

速等变化过程.

最后，教学内容强调“构建模型”的思路：将现实情境转化为合适的函数模型，或通过表达式明确

量与量之间的关系，或通过表格厘清部分数据迹象，或借助函数图象洞察整体趋势与特殊拐点，进而

帮助学生掌握从具体问题过渡到数学表示，再回归实际解读结果的能力.

教学目标与解析

1.教学目标

•在实际情境中，了解函数的三种表示方法，能用适当的表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系.

•能在简单实际情境中，根据实际情况确定自变量的取值范围，并会求函数值.

•在根据函数图象回答实际问题的过程中，发展几何直观、渗透模型思想.

2.目标解析

•通过实际情境（如国长方形、步行路程等）理解表达式、列表、图象三种方式分别适用于不同的分析

与沟通场景，达成“能用适当方式表现函数关系”的目标.

•进一步要求学生能审视情境中自变量的实际含义，如时间不可为负、边长不宜超出周长等，学会综合

现实与数学条件限定取值范围并进行函数值的求解与运算.

•借助图象，学生可更直观地根据拐点、平行线段等找出关键信息，形成数形结合的学习方法，安排探

究、讨论，以培养应用函数概念解决实际问题的综合素养.

3.重点难点

•教学重点：掌握函数的三种表示方法，并能依据实际需要选用合适的表示方式.

•教学难点：在建模过程中正确限定自变量的取值范围，以及通过图象解读关键点的意义.

学情分析

学生己具备一定的代数基础（如一元一次方程与多项式运算），对“自变量、因变量”的概念已有

初步了解，但对函数的形式化表达尚不熟悉.他们对图象理解的几何直观较强，但在将现实情璜抽象成

函数模型并精确限定取值范围时容易出现混淆.因此，需要在具体案例与图象分析中反复强调“数形结

合”和“取值范围”，让学生逐步体会到函数模型与现实综合运用的重要性.

教学过程设计

新课存入

创设情景，引入新课

师：同学们，我们在上一节课中初步认识了“变量与函数”的概念，知道一件事情发生变化时，常常会

有两个量相互影响.那么，在现实生活中，如何用不同的方式来表示它们之间的关系呢？

（教师出示情境：用一根长2rr•的铁丝围成一个长方形，当其中一边为x米时，另一边为y米，怎么表

示y与”之间的函数关系？）

生：（可能回答或猜测）可以列式：y=l-x；也可以把％和y分别列在表格里；还可以把点），y）画

在坐标平面内，用图象表示.

x/m•••0.10.20.3•••

j/m•••0.90.80.7•••

师：大家说得很好！事实上，函数有三种常见的表示方式，接下来让我们一起探究如何利用这三种表

示方法来表现实际问题中的变量关系，并进一步体会自变量取值范围以及如何求函数值.

【设计意图】通过“围铁丝做长方形”的实际情境，引导学生从旧知（变量与函数）过渡到新知（函数

的三种表示），激发探究兴趣，明确接卜来要学习的主要内容和方向.

新知探究

探究点1：函数的三种表示方法

1.问题引入

师：刚才我们提到，把2m铁丝围成长方形，一边是工米时，另一边就是y=l-无.那么，除了表达式,

还可以分别用表格和图象来表示它们之间的对应关系，大家能否列举或总结•下“三种表示''各自的优

缺点？

学生讨论后，教师归纳：

表达式法：如y=l-优点是比较简洁，便于计算；缺点是有些函数无法用简单表达式表示.

列表法：如把工的一些取值和而应的y值分层列出，优点是对应关系一目了然；缺点是只能列有限的点,

不易看出变化趋势或规律.

图象法：如在平面直角坐标系内画出对应点并连线，优点是直观，能看出变化趋势：缺点是有时难以

得到准确数值.

2.新知导出

师：一般地，函数有三种常见的表示方法：

1.用表达式表示.如y=l—x,)，=30/等，像这样用自变量和常量组成的表示函数的表达式叫作函数

表达式.

2.用表格表示.把自变量的取值写在第一行，对应的函数值写在第二行.

3.用图象表示.如图，把自变量的取值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系

中描出对应的点，这些点组成的图形叫作函数的图象.

接下来，让我们通过典型实例来深化认识.

(师生活动：师出示例题，生先尝试作答，师再组织讨论，突出多种表示方式的价值.)

例2小明从甲地步行到乙地，身中的折线表示小明步行的路程skm与所用时间fmin之间的函数关

系.根据图象回答问题：

Oio203040so60707/min

(1)小明全程用了多长时间？

(2)小明出发50min时，步行的路程是多少？

(3)折线中有一条平行于横轴的线段，它的实际意义是什么？

解：⑴小明全程用了70min.

出当/=5()时，$=3,即小明出发50111m时，步行的路程为2km.

(3)当，从20变化到40时，s的值不变,说明小明在途中停留了20min.

教师归纳：

解答图象信息题主要运用数形结合思想，化图象信息为数字信息.主要步骤如下:

(1)了解横、纵轴的意义；

⑵从图象形状上判定函数与自变量的关系；

⑶抓住图象中端点、拐点等特殊点的实际意义.

【设计意图】通过对比讨论与汇总，让学生对函数三种表示方法及其优缺点形成整体认识，并通过实

际情境（铁丝围长方形）再次感受不同表示方法的作用，培养学生初步的模型思想和数形结合意识.

探究点2：自变量的取值范围

1.问题引入

师：同学们，我们先来看一个生活中的潮汐现象（展示潮汐曲线图片）.图中曲线反映了潮位ycm和

时间fh的函数关系.大家观察这条曲线，能说说从图中你能直接得到哪些关于潮汐的信息吗？

（学生思考、讨论后回答，教师引导总结：比如最高潮位496cm、最低潮位59cm,8：00-14：00潮位

随时间下降等）

师：很好，通过这个图象，我门能直观看到潮位的变化趋势.那再回想一下，如果给大家一根2m长的

铁丝，围成一个长方形，设一边长为xm,另一边长就是尸1-xm.除了用产这个表达式，大家觉

得还可以用什么方式来表示x和y的关系呢？

（学生可能回答表格、画图等，教师进一步追问）

师：另外，在实际问题中，自变量的取值不是任意的.比如潮汐问题中，时间〔的范围是0044（一天

的时间）；铁丝围长方形的问题中，边长x得满足0<xvl（边长为正数）.我们把使函数有意义的自变

展取值的全体，叫作自变最的取值范围.L匕如刚才潮汐问题里自变最i的取值范围是0£吐24.

2.新知导出

自变量的取值范围：在实际问题中，自变量的取值通常有一定的范围.使函数有意义的自变量取值的全

体叫作自变量的取值范围.

接下来，我们通过典型例题来深化对这些知识的理解.

例3等腰三角形顶角的度数是1,底角的度数是y,y是x的函数吗？如果是，写出函数表达式及自变

量的取值范围.

解：y是”的函数,尸90°一5（0°<A<I80°）.

变式等腰三角形周长为12,则底边），与腰氏x之间的函数表达式是____V=-2A+I2,其

中自变量x的取值范围是3<x<6.

教师总结：确定函数自变量的取值范围需要注意的问题:

⑴使函数表达式有意义；(2)使实际问题有意义.

例4研究发现，某种蟋峰平均每分钟鸣叫的次数〃次与环境温度/℃有关，它们之间近

似满足关系：，=10+3〃-40).

(I)露营时小明记录了这种蟋蜂平均每分钟鸣叫60次，估计此时的温度(结果精确到1°C).

⑵按此关系，温度大约降为多少时，这种蟋蜂会停止鸣叫？(结果精确到1℃)

解：(1)当〃=60时，1=1()+^<(60-40)=113℃.

答：估计此时的温度是13℃.

(2)当〃=0时，r=10+1x(0-40)=4^4℃.

答：温度大约降为4c时，这种蟋蜂会停止鸣叫.

【设计意图】通过图象获取信息，让学生从真实情境中体会“图象法”的作用，进一步巩固数形结合思

想.将现实问题转化为图象阅读和数值分析，有助广突破“从图上读信息”的理解难点，并为后续深入探

究函数自变量取值范围、函数值计算等内容奠定基础.

巩固练习

1.小明和爸爸出门散步,用20min匀速走了900m后，小明随即按原速度返回.而爸爸遇到一位朋友,

停下与朋友交谈10min后，用15min匀速步行回到家里.在下列四个图象中，哪一个表示小明行走路

程sm与时间/min之间的函数关系？哪一个表示爸爸行走路程sm与时间，min之间的函数关系？

(3)(4)

解：(2)表示小明离家的路程s(m)与时间/(min)之间的函数关系.

(4)表示爸爸离家的路程$(m)与时间/(min)之间的函数关系.

2.某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处.如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出,

下面哪个图象能大致表示水的深度hcm与放水时间/s之间的关系？

h

A

解：(1)能大致表示水的深度h与放水时间，之间的关系.

3.如图①，小亮家、报亭、羽毛球馆在同一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭

看报,最后散步回家.小亮到家的距离y(km)与时间Mmin)之间的关系如图②所示.

小亮从家到羽毛球馆用了报亭到小亮家的距离是_400m；

(2)小亮打羽毛球的时间是_30-min；

(3)小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为_75

小亮家报亭・羽毛球馆

①

②

4.某书店仓库中有1000套辞典，出库x套，剩余y套.y是3的函数吗？如果是，写出)，关于x的函

数表达式及自变量的取值范围.

解：)，是X的函数，y=1(X)O-X(X^I(X)0).

5.已知从山脚起每升高100m,气温就下降0.6C.测得III脚处的气温为14.1℃,用xm表示从山脚起

上升的高度，>℃表示上山过程中的气温，判断)，是否是x的函数，如果是，写出函数表达式.

解：)，是x的函数，y=14.1—X0.6(x>0).

6.声音在空气中的传播速度约340m/s.

(1)判断传播距离dm是否是传播时间is的函数，并用含，的代数式表示d；

(2)如果听到雷声比看到闪电延迟了7s,那么雷电大约发生在高观察者多远的高空？

解：（1）是.传播距离d随传播时间[的变化而变化，当，取一个确定的值时，d有唯一的值与它对应:

d=340t.

(2)c/=340X7=2380(m).

能力提升

1.龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场.如图所示的函数图象表示了龟兔再次赛跑的

过程，其中x（分钟）表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，•力（米），V（米）分别表示兔子与乌

龟所走的路程.下列说法错误的是（C）

A.兔子和乌龟比赛的路程是50（）米

B.中途，兔子比乌龟多休息了35分钟

C.兔子比乌龟多走了50米

D.兔子比乌龟早5分钟到达终点

2.（2023•株洲）某花店每天购进16枝某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行

作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量〃（〃为正整数，单位：枝），统计如卜表：

日需求量〃131415161718

天数112411

（1）该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的有_4_天.

（2）当〃V16时，日利润y（元）关于〃的函数表达式为丁=10〃-80；当〃216时，日利润为80元.

①当〃=]4时，求该花店这天的利润为多少元；

②求该花店这10天中日利润为70元的天数.

解：①当〃=14时，），=10〃-80=10x14-80=60.

当〃=14时，该花店这天的利润为6（）元.

②当16时，令70=10〃-80,解得〃=15.

当〃=15时,时照表格，发现满足题意的天数是2.

【设计意图】“巩固练习”提供:多样化实际案例，如仓库调货、山地气温变化、声学现象等，结合前

面所学，全面熟悉函数图象、表达式及列表法的相互转化与运用；通过''拓展提升''题目，让学生在较

为熟悉的情境（如龟兔赛跑）中体验数形结合思想，提升兴趣和解题思路：

课堂小结

-表达式法

一函数的表示方法--列表法

L图象法——根据函数图象回答实际问题

-使函数表达式有意义

函数的表示一-门变量的取值范惘-

L使实际问题有意义

-函数侑---与自变量X对应的『的值

板书设计

1.课题：5.1变量与函数（第2：果时函数的表示）

2.新知讲解

•函数表示：表达式法、列表法、图象法

•白变量取值范围

•典例：

3小结:

作业布置

1.基础巩固：完成教材相应练习中关于函数三种表示法的选择题或填空题

2.拓展探究：观察生活中两个相关量之间的变化关系（如室温与空调运行时间），尝试用表达式法、

列表法和图象法分别表示，并简述各自优缺点（设计意图：培养学生的应用意识与建模思维）.

教学反思

本节课教学目标总体达成较好：通过“2米铁丝围长方形”一步行时间一路程”等贴近生活的实例，学

生对表达式法、列表法及图象法的区别有明确认识，应用价值逐步凸显.概念理解方面，学生能区分不

同表示方法的适用场景，并在列简单函数表达式时掌握了基本技巧.若要更深入地让学生建立建模意识,

需要加强对“如何选择合适的表示方法”的讨论，引导学生比较三种方法的优劣•列方程建模部分略显仓

促，部分学生还需在获取信息、翻译成代数式方面接受更多小组讨论与实践后续可增加情境式练习与

合作探究，鼓励学生在具体问题中观察与体验函数的多重表示方式，从而加深对数形结合与模型思想

的运用.

5.2.1一次函数的概念教学设计

教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本节为新教材苏科版八年级数学上册第5章第2节”一次函数的概念”，围绕一次函数及正比例函

数的定义和特征展开，让学生在真实情境中初步体会一次函数的应用价值，掌握一次函数y=kx+b

（kH0）及其特殊形式y=kx的概念与结构.结合典型实际问题，如加油计价、行驶路程与油量关系、

出租车费用等，让学生深刻理解“自变量一次"“H0”*任意"三要素・.

2.内容解析

通过加油情境，引导学生辨别常量与变量，进而建立函数关系式：比较y=7.49%与Q=40t+6

等表达式，把握一次函数需满足“自变量呈一次形式、k工0”的要点；再从典例及巩固题中辨析哪些函

数是一次函数，哪些是正比例函数，引出“正比例函数是一次函数的特例”；最后结合生活实例强化对

入b的几何和实际意义的理解，巩固从实际问题到函数模型的转化思路.

教学目标与解析

1.教学目标

（1）能根据简单实际问题中的已知条件确定函数的表达式，并对函数表达式进行分类，归纳一类函数

表达式的共性特征，形成一次函数概念，体会一次函数的意义.

（2）认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对

应规律，认识到正比例函数是特殊的一次函数.

（3）能举出一次函数（包括正比例函数）的实例，初步体会其中上、h的实际意义.

2.目标解析

（1）通过设置实际场景，引导学生由现象到表达式，再到一般规律，帮助学生形成一次函数概念，发

展抽象能力.

（2）借助正比例函数的直观实例，让学生清楚其变量变化呈线性对应，进一步类比、拓展到一般一次

函数，加深对特例与一般的认知.

（3）结合生活常用的定价模式、交通费用等实例，突出k表示单位变化率、b代表起始值或初始费用,

让学生更好地联结数学与日常.

重点：一次函数概念的形成及正比例函数与一次函数的关系.

难点：灵活运用一次函数模型解决实际问题，对k、b的现实意义作出恰当解释.

学情分析

学生已具备一元一次方程、多项式及函数基础，对“变星随自变量变化而变化”的概念已熟悉，能

理解自变量与函数值的对应关系.但由于抽象思维尚在发展，对y=+b与非一次函数的区分可能模

糊，特别是如何有效地从实际问题中提炼“”与田”更具挑战，需要通过丰富实例和有针对性的引导来

突破.

教学过程设计

新深导入

创设情景，引入新课

师：同学们，请看下面情景：某人给汽车加油时，加油枪的流量是每分钟40升，加油前油箱中已有6

升汽油.加油时的花费金额与加油量之间有什么关系？加油时间与油箱中的油量又有什么关系？

学生观察、讨论：

•常量：汽油单价、加油枪流量、加油前油箱中的油量、油箱总容量.

•变量：加油时间h加油油量3、油箱中油量Q、花费金额y.

•关系：

o花费金额y与加油量工满足函数关系y=7.49x；

o油箱中油量Q与加油时间t满足函数关系Q=40t+6.

师：这是一个现实中的函数问题.仔细观察，这些函数表达式结构相似、有系数也有常数项，让我们一

起走进“次函数的概念''新课的学习.

【设计意图】通过典型生活情境（加油计价），让学生感受函数在生活中的应用，激发学习兴趣，并

自然引出一次函数和正比例函数的探究方向.

新知探究

探究点1感知一次函数与正比例函数的概念

•问题引入

师：在上面情境中，我们得到了两个函数表达式：

y=7.49%和Q=40t+6.

它们有什么相同点？有什么不同点？能将它们进行分类吗？观察各自的自变量、次数、常数项等特征.

•学生活动

1.小组讨论：y=7.49%只有一个常数系数7.49,Q=40C+6多了一个“+6”的常数项.

2.归纳：二者均可用Zx+b”形式表示，但y=7.49x的常数项b=0,是正比例函数；Q=40t+

6则是一次函数但不是正比例函数.

•教师总结

一般地，形如)，=Ax+仅匕)为常数，原0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，)，是x的函数.

特别地，当力=0时，y=h仅为常数，AR0)叫作x的正比例函数.

注意：

(1)一次函数有三个特征：①际0；②自变量x的次数是1；③常数》可以是任意实数

(2)正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.

•典例讲解

例1下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？

(l)y=—8x；(2)y=g；(3)y=5K+6；(4)y=1—x；

(5)y=-：；(6)y=2+2(x-l)；(J)y=ax+h\(8)y=—.

解：(1)(4)(5)(6)(8)是一次函数,(1)(5)(6)是正比例函数.

【设计意图】通过现实生活中的具体函数表达式，让学生初步区分”正比例函数”和“一次函数'之间的

关系，并建立“kr+6”的结构表征，为抽象概念铺垫.

探究点2正比例函数与一次函数表达式的书写以及变量间的规律

•问题引入

师：根据刚才的讲解，我们一起来做一下这道试题.(教师给出例题)

例2写出下列各个变化过程中两个变量之间的函数表达式，并指出其中的一次函数、正比例函数.

(1)正方形花圃的周长Cm随边长xm的变化而变化.

解：(l)C=4x,C是X的正比例函数.

(2)正方形花圃的面积Sm2随边长xm的变化而变化.

解：（2）S=.d,S不是工的一次函数.

（3）如图，A,B两站相距200km.若火车从8站出发以320km/h的速度匀速驶向C站，火车与A站

的距离ykm随行驶时间th的变化而变化.

解：（3）），=200+320/,y是f的一次函数.

（4）如图，搭1条“小鱼”需要8根火柴棒，每多搭1条“小电'就要增加6根火柴棒.所需火柴棒的根数

S随着所搭“小鱼”条数n的变化而变化.

解：（4）S=8+6（〃-l）,即S=6〃+2,S是〃的一次函数.

•讨论交流

1.在章头活动中，量筒水面的高度（h）是量筒中玻璃球总体积（V）的一次函数吗？

仁1°+专

量筒水面的高度S）是量筒中玻璃球总体积（W的一次函数.

2.请举出一些生活中正比例函数、一次函数的实际例子.尝试说明其中“广》”的实际意义.

正比例函数关系：苹果的单价为5元/kg,总价），（元）和重量Mkg）的关系为y=5x.

的实际意义是每斤苹果的价格,即苹果的单价.

一次函数关系：出租车起步价是10元，之后每千米收费2元，总费用义元）和行驶距离x（km）之间的关

系为y=2x+10.的实际意义是每千米增加的费用，*”的实际意义是当行驶路程为。时（刚上车）的

费用，即需要支付的初始的费用.

巩固练4

1.卜.列说法正确的是(C)

A.y=2r是正比例函数，但不是一次函数

B.不是一次函数

C.是一次函数

D.y=10(x+3)是正比例函数

2.已知函数)，=伏+1求+攵-1,当左羊一1时,它是关于x的一次函数：当仁1时,它是关于

x的正比例函数.

3.当〃?=_2_时，函数)，=(〃?+2)为力-3-］是关于x的一次函数.

4.若y=(nr—1)JT+(1—ni)x是y关于x的正比例函数，则m的值为-1.

5.水池中有水465m3,每小时排水15m③，排水/h时，水池中亦有水冲？.写出)，关于/的函数表达

式.

解：y=465—15九

6.长方形草坪的长为15m,宽为10m.将草坪的长减少xm,宽保持不变.

(1)写出长方形草坪的面积.Vo?关于xm的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

⑵y是x的一次函数吗？如果是，写出比力的值.

解:(1)y=10(15—x),即y=-10x+150(0VxV15).

(2)y是x的一次函数,k=-l0,6=150.

思维提升

例3(2023•山西)一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm,每挂重

1kg的物体，弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)

之间的函数表达式为y=0.5x+12.

1.下列各组变量的关系中，成正比例关系的是(C)

A.圆的面积S随半径，•的变化而变化

B.用10m长的绳子围成一个长方形，其中一边长y(m)随它邻边*m)的变化而变化

C.铁的密度为7.8g/cuJ,铁块的质量，〃(g)随它的体积的变化而变化

D.汽车油箱中有汽油50L,行驶过程中油箱中的油量Q(L)随行驶路程s(km)的变化而变化

2.某学校要建一块长方形菜地供学生劳动实践，菜地的一边靠墙(墙足够长)，另外三边用木栏围成，

木栏总长40m.如图，设长方形一边的长为xm,与之相邻的另一边的长为)，m,当x在一定范围内变

化时，1y随x的变化而变化，则v与x之间满足一次函数关系（填“正比例函数关系''或"一次函数

关系“）.

xm

3.已知〃是，的一次函数，小明发现下表中有一个〃的值是错误的:

t•••1235•••

h•••2.42.83.44•••

请排除后利用正确的数据确定当"=8时，f=15.

4.（2023•上海）某加油站推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油

卡加油.油价降低OR元/升.假设这张加油卡的面值能镭一次性全部用完.

⑴他实际花/_900—元购买这张加油卡；

⑵优惠后的油价为），元/升，原价为x元/升，求y关于1的函数表达式；

（3）若原价为7.3元/升，则优惠后的油价比原价便宜多少？

解：（2）根据题意，得y=0.9（x-0.3）=0.9x-0.27,

所以y关于x的函数表达式为y=0.9.r—0.27.

（3）当x=7.3时,y=0.9x7.3-0.27=6.3,

所以优惠后的油价比原价便宜7.3—6.3=1（元/升）.

课堂小结

一一次函数的概念

一次函数的概念——正比例函数中两个变量之间的对应规律

一次函数中的实际意义

板H设计

1.一次函数的概念

1形式：y=kx+b,k、b为常数，k工0

2特征：①k彳0：②x的次数为1；③b可任意

2.特殊情况：正比例函数

1形式：y=kx,b=0

2特征：仍满足一次函数，b=0

3.典型示例

4."k”与“b”的意义：

作业布置

1.完成教材配套练习：本节课相关的同步练习题

2.拓展探究：根据实际生活场景自编一道包括“起步费”和”单位成本"的应用问题，并写出一次

函数表达式；

"教学反思

本节课围绕“从实际情境中抽象出一次函数概念''这一目标展开，学生对一次函数丫=1«+|5的形式

及特征有了整体的掌握，概念理解目标基本达成.通过正比例函数与一次函数的对比辨析，学生也认识

到特殊形式与一般形式之间的内在联系.部分学生在列方程建模过程中，易忽视常数b的具体含义，需

要教师进一步引导其关注"初始值''或"起步量''的现实意义.今后教学中，可适当增加小组讨论与情景任

务，让学生在合作探究与应用中强化对函数表达式的理解与运用，从而提高抽象思维与建模能力.

522求一次函数表达式教学设计

^^教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本节为新教材苏科版八年级卜.册第五章一次函数，第2课时“求一次函数表达式”.主要聚焦利用待

定系数法，结合实例（如蚊香燃烧长度、弹簧伸长、油耗等情境），探究一次函数表达式的确定方法,

深化对•次函数“匀速变化”特征的认识.

2.内容解析

本节在已有的一次函数概念基础上，通过典型实例引入“待定系数法”的思想：先假设一次函数表

达式y=kx+h,再根据已知条件（若有两个未知量则需两组（x,y）值）列方程组并求解.通过反复

练习和探究，学生能初步掌握建立一次函数模型的基本步骤，为后续学习函数应用打下坚实基础.

教学目标,J解析

1.教学目标

•会根据实际情境中的数量关系确定一次函数表达式，会用待定系数法确定一次函数的表达式.

•在确定一次函数表达式的过程中体会一次函数是刻画“匀速变化”的有效模型.

2.目标解析

・对一次函数的形式与“待定系数法”理解到位，能恰当选用方程组方法.

・能运用一次函数模型询单解释生活现象，引发对数学建模意义的初步感知.

3.重点难点

・重点：利用待定系数法确定一次函数表达式.

•难点：依据具体情境准确建立方程（或方程组），并理解一次函数在刻画匀速变化中的价值.

学情分析

学生已掌握一元一次方程及多项式基本运算，对函数概念有初步认识.求一次函数表达式时，能较

快列出方程，但对提取情境信息并转化为数学模型尚有困难：需通过典型实例和循序渐进的操练，帮

助学生提升在真实情境中运用待定系数法的能力.

教学过程设计

新深注入

创设情景，引入新课

教师活动：

1.创设生活情境：引入“蚊香燃宪”问题.

向学生展示一盘长105,cm的蚊香，点燃后，它每小时缩短10,cm.

。问题一：蚊香点燃后的长度y（单位：cm）与燃烧时间t（单位：h）之间存在哪种函数关系？

。问题二：蚊香可燃烧多长时间？

学生活动：

•学生讨论：由“蚊香每小时缩短10,cm”联想到“长度随时间匀速减少”的概念，猜测此现象可

用一次函数来描述.

•学生回答：根据“原长度105,cm,每小时缩短10,cm”，可写出：y=105-10t

•再由y=0可求该蚊香燃尽时需10.5小时.

【设计意图】通过“蚊香燃烧”这一生活化场景，引导学生体会一次函数在描述“匀速变化”过程中的实

用性，激发兴趣并明确本节课研究的方向.

新知探窕

探究点：用待定系数法求一次函数表达式

1.典例引入

教师出示例题，共同解答：

例1、是k的一次函数，当x=-2时，，y=-1；当x=-3时，y=3.求y关于x的函数表达式.

解：设函数表达式为），=船+力伏W0）.

当x=-2时，y=—1,得一1=-2&+〃.

当人=一3时，y=3,得3=—3火+江

-2k+b=T,

解方程组

—3k+b—3，

所求函数表达式为y=-4入一9.

例2在弹性限度内，弹簧长度.ycm是所挂物体质量4g的•次函数.己知•根弹簧挂10g物为时的长

度为11cm,挂30g物体时的长度为15cm,求y关于x的函数表达式.

解：设函数表达式为），=履+》（女WO）.

当x=10时，y=\\,得ll=10k+4

当x=3O时，>'=15,得15=30k+>

102力=11,k=0.2,

解方程组得

30k+b=15,b=9.

所求函数表达式为y=O.2x+9.

2.新知归纳

教师活动：根据上述例题提出核心问题：一次函数的表达式y=k%+b中有两个待定常数〃和b,如

何利用“两个对应关系”来求解？

师生共同总结：

先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫

作待定系数法.

强调待定系数法的一般步骤：

①设：设一次函数的表达式为丁=履+从正比例函数设为y=Ax)；

②列：根据变量的两组对应值(正比例函数只需一组)列方程组(或方程)；

③解：解方程(组)得到々、b；

④代：将Kb代入函数表达式.

【设计意图】通过教师引导与学生讨论，使学生初步掌握待定系数法的思路和算法过程，突破“如何确

定匕b”的难点，培养分析问题与抽象建模的能力.

巩固练习

1.已知)，与x+2成正比例，且当x=-l时，y=~\.求：

(1)y与x之间的函数表达式；

(2)当x=3时的函数值.

解：(1)设厂A(x+2)(M0).

把x=一【，y=-1代入，得-1=&•(-1+2),解得出=-1.

.**y=-x-2.

(2)当x=3时，)，=-3—2=-5.

2.已知y是x的一次函数，当.1=1时，＞=1；当x=3时、y=-3.

(1)求这个一次函数的表达式.

(2)当x=5时，求y的值.

(3)当)，=0时.，求x的值.

解：(1)设函数表达式为)，=米+人(kW0).

当x=l时，y=1,得&+力=1.

当x=3时，)，=-3,得稣+。=-3.

解方程叱二23,解得｛:=-2,

)=3.

所以这个一次函数的表达式为¥=-2A+3.

(2)把x=5代入y=-2x+3,得丁=-10+3=—7,

・•・当x=5时，丁的值是一7.

⑶把y=0代入y=-2x+3,得

，当y=0时，x的值是

3.某拖拉机的油箱加满油开始工作后，油箱中的剩余油量QL与工作时间，h之间

为一次函数关系.已知工作2h,6h时，油箱剩余油量分别为30L,10L.

(1)求。关于，的函数表达式；

(2)求该拖拉机的油箱容量；

(3)一箱油可供该拖拉机.1：作多长时间？

解：设函数表达式为。伏W0).

当1=2时，Q=30,得30=22+〃.

当f=6时，Q=10,得10=6%+〃.

2k-Fb=30,k=-5,

解方程组得

6k+b=10,,b=40.

所求函数表达式为。=-5/+40.

(2)当f=0时，Q=-5X0+40=40.

答：该拖拉机的油箱容量为40L.

(3)当Q=0时，-51+40=0,解得，=8.

答：一箱油可供该拖拉机工作8h.

中考链接

(2024•山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分

数据如下表：

尾长工/cm6810

体Kiy/cni45.560.575.5

⑴尾长每增加1cm,则体长增加—7.5厘米；

(2)y与x之间的函数表达式为y=75v+0.5.

2.(2024•陕西)实验表明，在某地，温度在15°。至25c的范围内，一种蟋蟀Imin的平均鸣叫次数

y可近似看成该地当时温度工CC)的一次函数.已知这种蟋蟀在温度为16℃时，Imin平均鸣"192次;

在温度为23℃时，Imin平均鸣叫155次.

(1)求)，与x之间的函数表达式；

(2)当这种蟋蟀Imin平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？

解：(1)设y与x之间的函数表之式为y=kx+b{k^).

将x=16,y=92和