2023-2024学年江苏省常州市天宁区某中学九年级（上）期中数学试卷

2023・2024学年江苏省常州市天宁区正衡中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.（2分）tan60°的值是（）

1V3厂

A.-B.—C.ID.V3

22

2.（2分）“海上生明月，天涯共此时“，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线,

它们的位置关系是（）

相交C.相离D.平行

3.（2分）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZA=28°,以点C为圆心，8C为半径的圆分别交A3、

AC于点。、点E,则弧BD的度数为（）

D.124°

4.（2分）如图，△ABC与△ABC位似，位似中心是点0,若04：041=1：2,则△ABC与△AIBICI的

A.1：2B,1：3C.1：4D.1：9

5.（2分）下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是（）

A.A?+X=0B.x=1C.『+x+l=0D.『-21+1=0

6.（2分）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30c〃?、宽为20c〃,

的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm,

根据题意可列方程（）

A.(30+x)(20+x)=600

B.(3。+2])(20+2%)=600

C.(30-2x)(20-Zr)=1200

D.(30+2x)(20+2.V)=1200

7.（2分）如图，△A8C中，N人=60°,8C=2c〃?，能够将△人8C完全覆盖的最小圆形纸片的半径为（）

A.6cmB.---cmC.2cmD.2y/3cm

3

8.（2分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:

①将半径为「的。。六等分，依次得到A,B,C,D,E,尸六个分点；

②分别以点4,。为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；

③连接OG.

问：OG的长是多少？

大臣给出的正确答案应是（）

C.(1+空)rD.V2r

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

9.（2分）已知线段〃、力满足2a=3b,则工=_____________________.

b

10.（2分）分解因式：/-9=.

11.（2分）如图，扇形048的圆心角是90°,半径OA为I,则弧48的长是.（结

12.（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一圆弧，则圆心的

坐标是__________.

13.（2分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作（九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，

以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为00的直径，弦

AR.8于E,CE=I寸，42=10寸，求直径CD的长（1尺=10寸）问CQ=寸.

14.（2分）关于x的方程?+4x+/n=0的两实数根都是负数，请写出一个满足要求的实数m

15.（2分）根据物理学规律，如果把一物体从地面以9.8〃心的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的

高度（单位：〃?）约为98.4.97.根据上述规律，物体经过秒落回到地面.

16.（2分）如图，某班学生兴趣小组结合课堂所学的数学知识，利川木棒估测旗杆的高度.当学生甲的

眼睛在点4处看学生乙所举的木棒。E时，发现旗杆BC恰好被木棒完全挡住.若DE〃BC,DE长为

1.2〃?，测得此时点A到木棒和旗杆的距离分别为2〃?和20〃?，则旗杆6C的高度是.

17.（2分）如图，一次函数,，=履+%（々>0）的图象与x轴交于点AQ,0）,那么关于x的不等式x（丘+〃）

>0的解集是.

18.（2分）一副三角板如图所示放置，△ABC中NAC3=90°,N8AC=60°,等腰RtZ\8C。中N8QC

=90°,连接40,则lan/AOC的值为

三、解答题（本大题共10小题，共84分）

19.（8分）（1）计算：|-2|+（V5+1）0-cos60°；

（2）化简：（。+2）2+（a+1）（.a-1）.

20.（8分）⑴解不等式组：产-8>5%+1；

（ll-2x<21-4x

（2）解一元二次方程：AT-X-6=0.

21.（6分）先化简，再求值：（与一击）+工，其中x=0.

22.（8分）如图，已知AI3//CD,E、产是4c上两点，且4尸=。£

（1）求证：△ABEgACOE

（2）若NBCE=30°,/CBE=70°,求NCTO的度数.

23.（9分）已知直线A8经过圆。上的点C,且04=08,CA=CB.

（1）求证：直线是圆。的切线；

（2）己知圆。的半径是1,ZAOB=\2（）°.

①求边A8的长；

②求图中阴影部分的面积.（结果保留n）

24.（8分）如图，AB.C。为两个建筑物，建筑物人8的高度为15机，从建筑物人8的顶部八点测得建筑

物C。的顶部。点的俯角/E4C为30°,测得建筑物C。的底部。点的俯角/E4Q为45°.

（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BQ的长度；

（2）求建筑物C。的高度（结果保留根号）.

25.（10分）如图，在平面直角坐标系xQv中，直线48：），=x+〃?与反比例函数y=5的图象交于A、B两

点，与x轴相交于点C，已知点A,8的坐标分别为（3,1）和（・1,〃）.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式：

（2）请直接写出不等式％-2>§的解集；

（3）点、P为反比例函数>•=?国象上的任意一点，若S^POC=3S”oc,求点P的坐标.

人

y

26.（8分）如图①，在锐角△A4C中，BC>AB>AC,。和E分别是8c和48上的动点，连接AO,DE.

（I）当。、E运动时，在图②中画出仅有一组三角形相似的图形；在图③中画出仅有两组三角形相似

的图形；在图④中画出仅有三组三角形相似的图形；（要求在图中标出相等的角，并写出相似的三角形）

（2）设8c=9,AB=8,AC=6,就图③求出QE的长.（直接应用相似结论）

27.（8分）如图1,在RtZ\4BC中，NACB=90°,AC=6,BC=8,点。在边/W上运动，DE平分/

CDB交边BC于点E.过点E作EM上BD,垂足为M,作EN上CD,垂足为

（1）当AO=C。时，求证：DE//ACx

（2）当△BME与石相似时，求AO的长；

（3）当以CO为直径的圆恰好过点E时，设圆/与直角边C4的另一个交点是F,求证：EF//AB；

（4）当四边形MEND与△BZ）E的面积相等时，求AD的长.

28.（7分）平面直角坐标系xQv中，对于点M和图形。若图Q上存在一点N（点M,N可以重合），使

得M与点N关于一条经过原点的直线/对称，则称点M与图形是“中心轴对称”的.

对于图形Q和图形Q,若图形。和图形Q上分别存在点M和点N（点M,N可以重合），使M与点

N关于一条经过原点的直线/对称，则称图形Q和图形Q2是“中心轴对称”的.

特别地，对于点M和点M若存在一条经过原点的直线/,使得点M与点N关于直线/对称，则M和

点N是“中心轴对称”的.

yv

5.5

4.4

3.3

22

P-.

巾8|~~iC1

—।—।—।—।—----1—।—।_►

-5-4-3-2-10123451-5-4-3-2-1012345%

-1--1-

-2_-2-

-3~-3"

-4~-4~

一5一一5一

图1备用图

(1)如图1,在正方形ABC。中，点A(I,0),点。(2,1),

①下列四个点P\(0,1),Pi(2,2),P3(一表0),P4(-1,一苧)中，与点A是“中心轴对称”

的是.

②点七在射线。8上，若点E与正方形A4O)是“中心轴对称”的，直接写出点石的横坐标.3的取值

范围.

(2)四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(-2,2),H(2,2),J(2,・2),K(-2,-2),

一次函数)=V3x+匕的图象与x轴交于点与y轴交于点M若线段MN与四边形GHJK是“中心

轴对称”的,直接写出b的取值范围.

2023・2024学年江苏省常州市天宁区正衡中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.（2分）tan60°的值是（）

A.-B.—C.1D.V3

22

【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答.

【解答】解：tan60°的值是6,

故选：

2.（2分）“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线,

它们的位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.平行

【分析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论.

【解答】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交，

故选：B.

3.（2分）如图，在中，ZC=90°,乙4=28。，以点。为圆心，8C为半径的圆分别交A3、

AC于点。、点E,则弧BD的度数为（）

【分析】先利用互余计算出NB=62°,再利用半径相等和等腰三角形的性质得到NCO3=/B=62°,

则根据三角形内角和定理可计算出N/3CO,然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解.

【解答】解：・・・NC=90°,N4=28°,

，N8=62°,

•：CB=CD,

:・/CDB=/B=62",

AZ/?CD=180°-62°-62°=56°,

••・加的度数为56°.

故选：C.

4.（2分）如图，△A4C与AA8c位似，位似中心是点O,若04：04=1：2,则△48C与的

A.I：2B.I：3C.I：4D.1：9

【分析】根据位似图形的概念得到AB//A\B\,得到根据相似三角形的性质求出

AB1

—-=再根据相似三角形的面枳比等于相似比的平方计算即可.

公名2

【解答】解：••'△ABC与△A8C位似，

•••△ABCs/XABC,AB//A\B\,

*ABOA1

i4[B10412

・・.2g=（32=1,

S"]8[C]24

故选：C.

5.（2分）下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是（）

A.，+x=0B.A=1C.f+x+l=OD.x2-Zv+l=O

【分析】由根的判别式为△=庐-4讹，挨个计算四个选项中的△值，由此即可得出结论.

【解答】解：4、VA=Z?2-4</C=12-4X1X0=1>0,

・•・该方程有两个不相等的实数根；

R•；x=l是一元一次方程，

・•・该方程没有两个实数根；

c、VA=/?2-4ac=l2-4XlXl=-3<0,

，该方程没有实数根；

。、••,△=庐-4"=(-2)2-4XlXl=0,

••・该方程有两个相等的实数根.

故选：D.

6.(2分)如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为305"宽为

的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为

根据题意可列方程()

A.(30+x)(20+x)=600

B.(30+2t)(20+2%)=600

C.(30-2A)(20-2X)=1200

D.(30+2x)(20+2v)=1200

【分析】根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为(30+2x)a〃，宽为(20+2x)

再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此

题得解.

【解答】解：:原画面是长为30(77/,宽为20cm的矩形，且彩纸的宽度为xcm,

・•・原画四周镶上彩纸后的长为(30+20cm,宽为(20+23cm.

根据题意得：(30+2A)(20+20=2X30X20,

即(30+2x)(20+2r)=1200.

故选；D.

7.(2分)如图，△A8c中，NA=60°,BC=2c〃?，能够将△回€•完全覆盖的最小圆形纸片的半径为()

2V3

A.>/3cmB.cmC.2cinD.2\/3cm

3

【分析】作△ABC的外接圆OO,作直径80,连接8,如图，根据圆周角定理得到N8CD=90。，Z

。=60°,则利用含3（）角的直角三角形三边的关系计算出BD=华S?，从而得到OO的半径为第cm,

于是得到能够将AABC完全覆盖的最小圆形纸片的半径.

【解答】解：作△4BC的外接圆作直径8。，连接CQ,如图，

•••3。为直径，

・•・N8CO=90°，

VZD=ZA=60°，

：.CD=与BC=婴cm,

:・BD=2CD=竽皿，

2>/3

工。。的半径为7-cm,

・••能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的半径为手CM.

故选：B.

8.（2分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:

①将半径为「的OO六等分，依次得到A,B,C,D,E,F六个分点;

②分别以点A，D为圆心，4C长为半径画弧，G是两弧的一个交点；

③连接0G.

问：0G的长是多少？

大臣给出的正确答案应是（）

A.V3rB.（1+孝）rC.（1+苧）rD.V2r

【分析】如图连接CD,AC,DG,AG.在直角三角形即可解决问题；

【解答】解：如图连接CO,AC,DG,AG.

〈A。是OO直径，

AZACD=90°,

在Rt^ACO中，AD=2r,ZDAC=30°,

・"C=V3r,

'：DG=AG=CA,OD=OA,

J.OGLAD,

AZGOA=90°,

故选：D.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

9.（2分）已知线段〃、力满足24=34则三=-.

b~2-

【分析】根据比例的性质进行答题.

【解答】解：•・•线段。、方满足2〃=3方，则f=：

b2

3

故答案为：--

10.（2分）分解因式：f-9=（x+3）（x・3）.

【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式.

【解答】解：/-9=（x+3）（x-3）.

故答案为：（1+3）（x-3）.

1

11.（2分）如图，扇形OAB的圆心角是90°,半径04为1,则弧A8的长是_a4_.（结果保留TT）

【分析】由弧长公式即可计算.

907rxi1

【解答】解：弧AB的长为一^=：;上

1B02

故答案为：

2

12.（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过4,B,C三点作一圆弧，则圆心的

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦4B和BC的垂直平分线，交点即

为圆心.

【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦A3和8c的垂直平分线，交点即为圆心.

如图所示，则圆心是（2,1）.

13.（2分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作（九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，

以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为。。的直径，弦

AB.CO于E,CE=I寸，人8=10寸，求直径C。的长（1尺=1（）寸）问CD=26寸.

A

-----

【分析】连接OA,由垂径定理得到4/=聂8=5（寸），设圆的半径是小由勾股定理得到2=5?+C

-1）2,求出「=13,即可得到。。=2"=26（寸）.

【解答】解：连接04,

•・•直径CO_LA8,

：.AE=^AB=^x\0=5（寸），

设圆的半径是，，则0E=（r-I）寸，

*：OA2=AE1+OE2,

\r=52+(r-1)

・.C£>=2r=26(寸).

故答案为：26.

14.（2分）关于x的方程；+4X+M=0的两实数根都是负数，请写出一个满足要求的实数〃?=2（答案不

唯一）.

【分析】根据两根之积解决问题.

【解答】解：•・•关于x的方程/+4]+加=（）的两实数根都是负数，

・・・m>0且16-4〃?20,

・・・0V〃?W4,

，可以取m=2（答案不唯一）.

故答案为：2（答案不唯一）.

15.（2分）根据物理学规律，如果把一物体从地面以9.8〃心的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的

高度（单位：〃?）约为9.8x-4.9.2根据上述规律，物体经过2秒落回到地面.

【分析】根据“物体落回到地面”可得9.8戈-4.9』=0,解此方程即可.

【解答】解：由题意可得：9.8A-4.9X2=0,

解得：xi=0（舍去），X2=2,

・••物体经过2秒落回到地面.

故答案为：2.

16.（2分）如图，某班学生兴趣小组结合课堂所学的数学知识，利用木棒估测旗杆的高度.当学生甲的

眼睛在点4处看学生乙所举的木棒。E时，发现旗杆8c恰好被木棒完全挡住.若DE〃BC,DE长为

1.2〃?，测得此时点4到木棒和旗杆的距离分别为2〃?和20〃?，则旗杆8C的高度是⑵〃.

C

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】解：・・・D£〃8C,

:AADESAABC,

DEAD

•••_，

BCAB

VDE=\.2m,AD=2m,AB=20nh

•1_.22

•■=9

BC20

・・.3C=12,

答：旗杆BC的高度是12〃?，

故答案为：12〃?.

17.（2分）如图，一次函数〉=心仪?（&>0）的图象与x轴交于点A（1,0）,那么关于x的不等式x（丘+/?）

>0的解集是41或XV。.

X>0或,根据函数的图象与x轴的交点为（1，

【分析】由题意不等式x（去+力>0,则

.kx+b>0{kx+b<0

0)进行解答即可.

【解答】解：•・•不等式X出+b)>0,

Af>0或，

(kx+h>0Ikx+b<0

•••一次函数y=H+力的图象与x轴交于点A(1,0),

由图象可知，当公>1时，.y>0；当xVl时，y<0,

工关于x的不等式x(kx+b)>0的解集是4>1或xVO.

故答案为：x>l或xVO.

18.(2分)一副三角板如图所示放置，ZXA8c中NAC8=90°,ZBAC=60°,等腰RCBCQ中N8QC

/211

=90°,连接40,则lanNADC的值为-——.

【分析】设AC=x，根据直角三角形的性质求出CD=等,过点。作于尸，过点人

作AE1CD于点E,则BF=CF=彖,根据三角形面积公式求出AE=多,根据勾股定理求出CE=冬，

根据线段的和差求出/*=与必，根据锐角三角函数求解即可.

【解答】解：设AC=x,

VZACB=90°,ZBAC=60°,

:・BC=痘AC=V3x,

等腰RtZ\8CD中，NBDC=90°,

CD=净BC=苧x.

过点。作。以L8C于F,过点A作A£_LCO于点E,

•一△8C。是等腰直角三角形,

:.BF=CF=等,

VAF1CD,

，S/6c■/)=|AC-CF=^CD*AE,

：,AC*CF=CD^AE,

：,AE=冬,

CE=>JAC2—AE2-苧戈,

・•・DE=CD-CE=叱卮x,

tanZADC=器=,

故答案为：咛工.

三、解答题（本大题共10小题，共84分）

19.(8分)(1)计算：|-2|+(x/5+1)0-cos60°；

（2）化简：（a+2）2+

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答;

（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答.

【解答】解：(1)1-21+(V5+1)0-cos60°

1

2I-

+1-2

1

3-

;2

5

2-

(2)(〃+2)2+(a+1)(t/-1)

=热4〃+4+。2-1

=2a2+4a+3.

20.(8分)(1)解不等式组：产-8>5%+1；

111-2x<21-4x

(2)解一元二次方程：/・x-6=0.

【分析】(1)①求不等式组中每个不等式的解集；②利用规律求公共部分；

(2)利用因式分解法求出x的值.

【解答】解：(1)1〜

111-2%<21-4%②

由①得：x<-3,

由②得：x<5,

则不等式组的解集为xV-3；

(2)x2-x-6=0,

因式分解得：(X・3)(x+2)=0,

所以x-3=0或x+2=0,

解得xi=3,X2=-2.

21.(6分)先化简，再求值：:7，其中x=0.

【分析】先化简为最简分式或整式，再代入求值即可.

【解答】解：(右-杀)+与

x+2x-24

=|-----------------------------------1-：———

(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)x-2

4x-2

=(x+2)(x-2),—

1

=x+2*

当x=0时，原式=/.

22.(8分)如图，已知AB=OC，AB//CD,E、尸是AC上两点，SLAF=CE.

(1)求证：△ABEgZXCDF；

(2)若NBCE=30°,ZCBE=70°,求NCVO的度数.

【分析】(1)由平行线的性质得出NBAE=NR7D,根据SAS可得出△ABEgaCQF；

(2)求出/4£6=/4。七+/6'3七=100",可得出NCFQ=N4£4=1()O°.

【解答】(I)证明：*：AB//CD,

:・/BAE=NFCD,

•；AF=CE,

；・AE=CF,

又・.・A8=C。，

:.丛ABEm4CDF(SAS).

(2)解：VZ^Cfc-300,ZCBE=70°,

，N4E8=NBCE+NC8E=30°+70°=100°,

VAzl/?^ACDF,

，NCFO=NAEB=100°.

23.(9分)已知直线A8经过圆。上的点C,且OA=OB,CA=CB.

(1)求证：直线A8是圆。的切线；

(2)己知圆。的半径是1,ZAOB=\20°.

①求边A8的长：

②求图中阴影部分的面积.(结果保留n)

【分析】(1)连接OC,由。4=。从CA=CB,根据等腰三角形的“三线合一”证明4乩LOC,则直线

人8是。0的切线；

(2)①由0A=08,/AOB=120°,得NA=/B=30°,因为/OCA=90°,所以04=2。。=2,则

AC=>/OA2-0C2=V3,所以A8=2AC=2百；

120X1

②设Q4交OO于点七,OB交CO于点F,则SRI影=S“OB-S^EOF=14x273xl-O^。LU=近-鼻O.

【解答】(1)证明：连接0C,

♦：OA=OB,CA=CB,

OC±AB,

是。。的半径，且A8_LOC,

・•・直线AB是0。的切线.

(2)解：®OA=OB,ZAOB=\20°,

AZA=Zfi=1x(180°-120。)=30°,

•••/OC4=90°,OC=1,

：,OA=2OC=2,

.*.AC=y/OA2—OC2=V22—I2=x^3,

：,AB=2AC=2y/3t

：^AB的长是2遮.

②设OAgO于点E,OB交0。于点F,

VS网影=SaAO8-Sm形EOF，

2

・••S因影=-2遮XI_B一条

・•・阴影部分的面积是g-不

24.（8分）如图，AB.CO为两个建筑物，建筑物A8的高度为15机，从建筑物AB的顶部A点测得建筑

物CO的顶部。点的俯角NE4C为30°,测得建筑物CO的底部。点的俯角NEAO为45".

（1）求两建筑物两底部之间的水平距离的长度；

（2）求建筑物C/）的高度（结果保留根号）.

B

【分析】（1）利用NAD8=NEAD=45°可得到B（=4B=15（米）；

（2）延长。。交AE于点F,易得四边形AB。尸是正方形，则A/=8O==15,在RtZSAFC中，利

用30的正切得到。尸=56，然后计算DF・CF即可.

【解答】解：（1）根据题意得NAD8=NEA/）=45°,

在RtZXAB。中，：.ZBAD=ZADB=45°,

：,BD=AB=\5（米）

答：两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度为15米；

（2）延长。。交AE于点R根据题意可知四边形A3。尸是正方形，

：.AF=BD=DF=\5,

在RtZ\A/C中，VZMC=3G°,

ACF=AFtanZCAF=15tan30i=5收,

VDF=15,

.\CD=I5-5V3,

答：建筑物co的高度为（15-575）米.

25.（10分）如图，在平面直角坐标系xQv中，直线48：y=x+〃?与反比例函数y=［的图象交于4、8两

点，与x轴相交于点C，已知点A,8的坐标分别为（3,1）和（・1,〃）.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）请直接写出不等式％-2>。的解集；

（3）点P为反比例函数>=［到象上的任意一点，若S^POC=3S“oc,求点。的坐标.

BY

【分析】(1)利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式；

(2)求出点8的坐标，根据图象求解即可；

(3)根据图象求出再根据S#OC=31AOC求出&poc,即可求出.

【解答】解：(1)•・•直线48：)，=x+〃?过点4(3,1),8(-1,〃).

1=3+/〃，

，加=-2,

・•・一次函数的解析式为y=.”2,

•・•反比例函数y=。的图象过点A(3,1),

・9=3X1=3,

•♦•反比例函数的解析式为)=小

(2)把8(-1,〃)代入y=x-2,得〃=-1-2=-3,

・••点4的坐标为(-I,-3),

观察图象，不等式％-2>?的解集为-IVxVO或x>3；

(3)把y=O代入)，=工-2得：x=2,

即点C的坐标为：C(2,0),

1

S^AOC=2*2x1=l,

SAPOC=3SAAOC,

11

S^,POC=20C'\yP\=x2•|yP|=3,

，阳=3,

当点。的纵坐标为3时，则3="解得工=1,

当点。的纵坐标为-3时，则-3=*,解得］一-1,

，点。的坐标为（1,3）或（・1,-3）.

26.（8分）如图①，在锐角△ABC中，BC>AB>AC,。和E分别是8C和AB上的动点，连接A。，DE.

（1）当。、石运动时，在图②中画出仅有一组三角形相似的图形；在图③中画出仅有两组三角形相似

的图形；在图④中画出仅有三组三角形相似的图形；（要求在图中标出相等的角，并写出相似的三角形）

（2）设BC=9,48=8,AC=6,就图③求出的长.（直接应用相似结论）

【分析】（1）作三角形相似，保证两角相等即可；

（2）利用相似三角形的性质解答.

【解答】解：（1）图②中仅有△4BCs/\D4c；

图③中仅有AABDSADBE；

图④中仅有△A8£>s△4OEs△DBE；

作图正确且表述也正确各（2分），作图正确，表述有错误扣（1分）.

22

(2)在图③中，由△ABCS^QAC,得8=综=导=4,AO=与其=学

DC7DCJ

：.BD=BC-CD=5.(1分)

由△ABOSAQBE,得DE=吗袈=当.

4115J

27.(8分)如图1,在中，ZACB=9()C,AC=6,8c=8,点D在边A3上运动,。£平分/

CDD交边DC于点E.过点E作EM±BD,垂足为M,作EN工CD,垂足为

M图1图2图3（备用图）

（1）当A£>=CO时，求证：DE//AC-.

（2）当与相似时，求的长；

(3)当以CO为直径的圆恰好过点E时，设圆/与直角边C4的另一个交点是凡求证：EF//AB-,

(4)当四边形MEM)与△BDE的面积相等时，求A。的长.

【分析】(1)由人。=8得出NA=N4CQ,结合N4C6=90°即可得出NQC4=N4,即△4CO是等

腰三角形，由三线合一即可得出OE_LAC,从而得证；

(2)分两种情况：当△BMES/XCNE时和当时，根据相似三角形的性质和勾股定理即

可求出AD；

(3)证明E/是△8CQ的中位线，得出£/〃8D,再根据NACB=90°,得出E/是的直径，得出

EF经过点I,即点E、1、广三点共线,即可得出结论；

(4)由AAS证明△"。后且4。硒，得出SdMDE=S&DEN=切M・ME,证出EM是BD的垂直平分线，

2

得出/石。8=/。8£证明△COES^CB。，得出对应边成比例，。石=会，求出CD=嚼,由三角

BE5

函数得出一=一，求出8、CE,得出5E,由三角函数求出8M,即可得出4Q.

BM4

【解答】(1)证明：・・・AD=CZZ

JNA=NACD,

VZACB=90°,

AZA+ZB=ZACD+ZDCB=90<>,

:・NDCB=/B,

.•.△ACT)是等腰三角形，

,；DE平分NCDB,

/.DEIBC,

/.DE//AC；

(2)解：分两种情况：①当△8MESA,CN£时，如图1,

JZEBM=ZNCE,

••・BD=CD=AD,

〈DE平分NCDB,

/.DE.LBC,BE=EC,BE=^BC,

VZACB=90°,

：.DE//AC,

BEBD,1BD

—=--,即r—=---,

BCAB2AB

:,BD=^AR=^y/AC2+BC2=1\/62+82=5,

・"。=5；

②当△BMEs^ENC时，如图2,

,ZEBM=ACEN,

：.EN//BD,

♦：EN1CD,

：,BDLCD,即CO是△ABC斜边上的高，

：,AB=7AC7BC2=10,

根据等面积得AB-CD=AC^BC,

.「八ACBC6x824

：,AD=>]AC2-CD2=旧-(昔尸=祟

18

综上所述，AO=5或时，△BME与△CWE相似;

(3)证明：如图：

是O/的直径，

:./CED=NCFD=9(1°,

；・NCED=NBED=90°

〈DE平分NCDB,

：・NCDE=/BDE,

•：DE=DE,

:./\CDE@4BDE(ASA),

:・BE=CE,DB=DC.

是BC的中点，

•「。。是O/的直径，

・•・点/是C。的中点，

J.EI//BD,

VZACB=90°,

・•・£”是O/的直径，

・・・£T经过点/,即点E、I、尸三点共线,

J.EF//AB.

(4)解：・・・。七是NCQB的平分线，

・•・/MDE=4NDE,

在△“/)£：和中，

ZMDE=乙NDE

Z-DME=乙DNE=90%

DE=DE

：・4MDEWADEN(/MS),

S^MDE=S^DEN=

,/四边形MENO与△4。七的面积相等，

A2x£DM・ME=%D・ME,

即DM=/。，

・•・£例是4。的垂直平分线，

/.NEDR=/DRE,

'：4EDB=4CDE,

:"DBE=/CDE,

又,：/DCE=/BCD,

△CDEsMBD,

.CDCEDE

•，BC~CD~BD'

即CE=霄，

CDBEBE

BC~BD~28M‘

VBC=8,

4BE

CD=西'

BM_BC_8_4

VcosB=而二而二而二+

BE5

BM-4,

5CD2S225

・・・CD=4X"5,CE=^=F=3,

439

-X389---

510

：,AD=AB-2BM=10・2x布=拳

28.(7分)平面直角坐标系中，对于点M和图形Q,若图。上存在一点N(点M,N可以重合)，使

得M与点N关于一条经过原点的直线/对称，则称点M与图形是“中心轴对称”的.

对于图形Q和图形。2,若图形Q和图形。2上分别存在点M