2025-2026学年高一数学上册第一次阶段性检测卷

湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段

性检测数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},8={1,2,4},则电/04=（）

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4；D.{1,2,4,5）

2.命题的否定是（）

A.3XGRrr-|x|<0B.VxeRrr-|x|>0

C.GRrv-|x|>0D.Vx€R^-I^l<0

3.命题“Vxw[l,2],/一。（。”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a<4B.a>4C.a<5D.a>5

4.已知〃=Jc+3+Jc+4,b=Jc+2+Jc+5，则（）

A.a>b>\B.b>a>\C.a>\>bD.h>\>a

5.购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买

这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.

假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为第二天物品的价格为且

则以下选项正确的为（）

A.第一种方式购买物品的单价为口"-

P1+P2

B.第二种方式购买物品的单价为”上

C.第一种方式购买物品所用单价更低

D.第二种方式购买物品所用单价更低

6.下列函数中最小值为4的是（）

c八riX24-2x+5

A.y=4x+-B.当x>0时，y=---------

x+\

C.当工<|■时，y=2x-\+J_D.1=4+5+『=-

2x-3&+5

试卷第1页，共4页

7.已知不等式依2一及_1〉0的解集是则不等式/一队-4<0的解笑是

（）

A.{x\2<x<3}B.{x|xv2或x>3}

111111

C.D.或

J2J〔J2J

8.在数学上称函数^=卜]为高斯函数，其中卜]表示不大于x的最大整数，如

[1.5卜1,-2.3卜-3,[3]=3.那么使不等式4[幻2_]23+5«0成立的充分不必要条件是〔）

B.XG{x\\<X<2}

C.xe{xll<x<3}D.xe{x|l<x<3}

二、多选题

9.下列命题中，是真命题的是（）

B."x>!”是/<2”的充分不必要条件

A.且6>1是次?>1的充分条件

2x

C.命题““<1,一〈I，，的否定是“IN1x2>1nD.a+匕=0的充要条件是f=一1

10.下列命题叙述正确的是（）

a+ma

A.1^~且。>6时，当〃?>0时，>—

b+mb

b+mb

B.W/,6wR•且a>6时，当〃?<0时，<—

a+ma

b+mb

C.Ca,6wR♦且a>b时,当〃?>0时，>—

a+m

b—mb

D.曰〃,〃oR+且。〉人时.当〃7>0时，<—

a-in

11.已知集合满足：

@AuB=Q,AnB=0；

②肉“，若々eQ且》2<$，则SC，；

③见若且出>必，则月£尻

则下列结论正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.若集合力中有最大数，则集合8中没有最小数

B.若集合力中没有最大数，则集合8中可能没有最小数

C.3%|cA,X2eB,使得$＞x2

D.Vx,GA,X2GB,存在无理数x,使得

三、填空题

12,不等式生［的解集为.

13.命题“*wR,。/+以+140”为假命题，则实数。的取值范围是.

14.已知。＜6,且关于x的一元二次不等式”2+属+°20的解集为R,则7=竽上的最

小值为.

四、解答题

15.已知集合4=卜|J-ox+a」-19=0},8={x|x2-5x+6=0|,C=lx|x2-2x-3=0|.

(1)若4=8,求实数。的值：

(2)若力nB±0且/cC=0,求实数。的值.

16.已知命题+成立；命题夕：方程》2+办+2=0有两个不相等的

负根.

(1)若命题P为真命题，求实数。的取值范围；

(2)若命题〃和命题9有且只有一个是真命题，求实数。的取值范围.

17.(I)若不等式。/+(1-。)》+。-22-2对于一切实数.丫恒成立，求实数。的取值范围：

(2)解关于x的不等式,其中awR.

18.某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为240m2,体育馆高5m,如果甲工

程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150

元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米25()元，设体育馆前墙长为x米.

(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？

(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为

12000+500(”詈+。)元(。＞0),若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，

试卷第3页，共4页

试求〃的取值范围.

19.已知有限集x,y,定义两个集合的差集为x-y={dxwx月》史n，对称差为

%Ay=(%-y)u(r-%).

⑴若¥={1,2,3,4},丫={3,4,5},求集合松孔

⑵已知集合S={1,2,…,2025}.对任意非空有限实数集48,设。=加+乂〃”力£耳，记因

表示集合X中的元素个数.

(i)证明：|力一S|+|8—S|+|S—C|21；

(ii)求|/1AS|+忸AS|+|CA5|的最小值.

试卷第4页，共4页

《湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段性检测数学试卷》参考答

案

题号12345678910

答案AADADBABABCD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】对集合3求补集，应用集合的并运算求结果;

【详解】由吊3={3,5},而力={1,3},

所以电8LU={1,3,5}.

故选：A

2.A

【分析】直接根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.

【详解】命题“VxeRj-国20”的否定是“*eR,v-|x|<0

故选：A

3.D

【分析】先求出命题“立41,2].小一〃40，,为直命题的充要条件,进一步即可判断.

【详解】若心4,2],4-心0,即心。2一，所以当且仅当。之4,

所以对比选项可知，命题"Vxw[L2],Y-q£0”为真命题的一个充分不必要条件可以是

a>5.

故选：D.

4.A

【分析】先得到。>0力>0，c>-2,平方后作差，比较出

【详解】显然。>。力>0,

c+3>0

c+4>0

由题意得：解得：C>-2,

c+2>0

c+5>0

答案第1页，共10页

a2=c+3+c+4+2J(c+3)k+4)=2C4-7+2>Z2+7C+12>1,

故。>1,

I?=c+2+c+5+2：(c+2j(c+5)=2+7+2Vc2+7c+10>1,

故力>1

又/=2Vc2+7c+12-2Vc2+7c+10>0，

故">/>>I.

故选：A

5.D

【分析】根据题意可得第一种策略平均价格为旦詈•，第二种策略平均价格为乌旦，利

2Pi+Pi

用作差法比较大小即可求解.

【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为加，

则平均价格为*呐=3乎，故A不正确；

2m2

第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为〃，

nn

第一次能购得该物品的数量为一，第二次能购得该物品的数量为一，

P\Pi

2〃二2二2plp2

则平均价格为〃+〃-1+1一巧+0，B错误；

Pl〃2PlPl

因为Pi+五2PM2=(四+22『一4生22=(p「pj>Q,

2P1+P22(P1+〃2)2(n+〃2)

所以"必，C错误，D正确.

2P,+P2

故选：D.

6.B

【分析】对于A,如果x<0时，y<0,故A不符合题意；

对于B,利用基本不等式得到函数的最小值为4,故BE确：

对于C,利用基本不等式得到最小值为0,故C错误；

对于D,利用基本不等式得最小值4取不到，故D错误.

【详解】对于A,歹=4.丫+!，如果x<0时，)，<0,故A不符合题意；

x

答案第2页，共10页

对于B,因为卜=储+2》+5=（工+1）.+4=/_^24+］卜―4，

"x+\x+1t7x+1Vrx+\

4

当且仅当（尤+1）=-即x=l时取等号，故B正确；

X+1

对于C,因为歹=2%一1+；^^=（2x-3）+1+2<-2+2=0,

2x-3|_-（2x-3）

当且仅当一（2x-3）=_（53）'即1=1时取等号，所以其最小值为0,故C错误；

对于D,=7777+-？=^>2MJTTx-=^==4,当且仅当4^=7^即此时

yJxl+5VA+5VX-4-5

无解，这表明最小值4取不到，故D错误.

故选：B.

7.A

【分析】由已知不等式的解集，求出。力，再得出新不等式，求解即可.

【详解】依题意，：是方程以_1=（）的两个实根，且。<0,

于是"m=解得--6力=5.

a213/a2\3J

不等式/一队一口<0化为d-5,v+6<0，解得2Vx<3,

故解集为｛也一<3｝.

故选：A

8.B

【分析】解二次不等式求出卜］的范围，再由高斯函数得到x的取值范围，转化为求其非空

真子集即可得解.

【详解】因为4四2一［2卜］+540,则（2卜］一1）（2卜］一5）工0,则白卜了：，

又国表示不大于x的最大整数，因此不等式的解集为｛A|1<x<3）.

依题意可知，只需求出不等式4［X］2_12［X］+5K0解集的一个非空真子集即可，

选项中只有｛疝4442｝$｛疝〈3｝.

故选：B

9.AB

【分析】根据不等式性质可依次判断选项AB中的允分性和必要性是否成立，知AB正误；

答案第3页，共10页

根据全称命题的否定知C错误；通过反例可知充分性不成立，知D错误.

【详解】对于A,当力>1时，ab>\,充分性成立，A正确；

对于B,当时，0<1<2,充分性成立；当,<2时，或工<0,必要性不成立，

2xx2

则是/<2”的充分不必要条件，B正确；

2x

对于C,由全称命题的否定知原命题的否定为：3x<l,C错误；

对于D,当。=0,〃=0时，。+〃=0,此时:无意义，充分性不成立，D错误.

b

故选：AB.

10.CD

【分析】利用特值法及作差法进行判断.

【详解】对于A,因为V。力€R+且。>方时，当机>0时，取。=2,〃==1,

3a_a+nta

所以7—=-,-=2,则nil:—<-,故A错误；

b+ni2bb+mb

对于B,因为R+且a>力时，当〃?<0时，取。=2力==-3,

b+mJI„,b+mb,,,

所以----=2,-=-,则——>-,故B错误n；

a+nia2a+ma

对于C,因为Va力wR'且。>力时，当〃?>0时，则。一力>(),a+〃?>(),

nb+川b(a-b)mh+mb..__

所以--------=—------,则----->—,故C正确；

a+niaa(q+m)a+ma

对于D,存在。=31=1,2=1,^-=0,-=^-,满足上*<2,故D正确.

a-ma3a-ma

故选：CD.

11.ABD

【分析】根据新定义，结合选项，逐项分析即可求解.

【详解】由所给条件，可知集合力中的元素都小于集合B中的元素，

对于A,若集合力中的元素有最大数，则必然存在一个芍理数xw月，使得V玉再Kx,

Vy,G>x,因此8中没有最小数，故A正确：

对于B,若集合力中的元素没有最大数，则必然存在一个数工，使得<x,且巾2Vx

且占eQ，有七€/,

如果x是有理数，则xe",且四G'yqx,则8有最小数为“；

答案第4页，共10页

如果X是无理数，则XW&且早乂£民必,X,则8没有最小数，故B正确：

对于C,假设存在％£8且%>xz,由孙若8wQ且为>必，贝

取乂=工2£用为=玉>/，则X1€8,但内£力，与力。8=0矛盾.

故对任意耳W442W8,都有内<》2，故C错误；

对于D,由C选项可知，F%wA,x?wB,可得玉</，而两个不等的有理数之间必存在无

理数，

所以存在无理数x,使得用<工<与，故D正确.

故选：ABD

12.(-2,3]

【分析】根据分式不等式的解法计算直接得由结果.

【详解】由不等式上2一v-141，可?v得-1=r--3W0，

x+2x+2x+2

即1-3)(x+2)W0且X+2H0,解得-2<XW3,

即不等式一的解集为(-2闾.

x+2

故答案为：(-2,3]

13.[0,4)

【分析】依题意可得“VxeR,〃/+妙+1>0”是真命题，分。=0、。工0两种情况讨论，

分别计算可•得.

【详解】命题“玉wR,a/+ax+l<0”是假命题，

则它的否定命题“Vx€R,ax2+av+1>0''是真命题，

当。=()时，不等式为1〉0,显然成立；

a>0

当时，应满足<A.八，解得0<。<4,

A=a-2-4/<0

所以实数。的取值范围是伙4).

故答案为：64).

14.3

答案第5页，共10页

a>0k2

【分析】由不等式恒成立可得出A,八，化简后得出利用不等式的传递性及基本不

△KO4a

等式求最值即可得解.

【详解】由题意得，一元二次不等式“F+bx+cZO对一切实数x都成立，

,<7>0,[«>0,

则需满足A即N；i,

[A<0,[b--4</c<0,

*/b>a>0,b-a>0,b2<4ac,：.c>,

A/

贝ijT_a+」+c>a+_⑵+6广_[3a+(6_q)『-4(b-a)x3a^_,

b-ab-a4a(b-a)4/^-a)4/^-a)

当且仅当3a=Z)-a,c=£,即c=b=4〃时取等号.

4。

故答案为：3

15.(1)。=5

⑵-3.

【分析】(1)解方程可得4,进而得力,据此由根与系数的关系求出。；

(2)求出民C,利用集合交集运算结果确定《中元素，代入得解.

【详解】(1)由题可得8={引/—5x+6=0}={2,3},

由于/=〃，从而2,3是方程一"।〃219=0的两根，

2+3=67,

即172I。解得。=5.

2x3=a-19,

(2)因为4={2,3},C={x|X2-2X-3=0}={-1,3}.

因为力n^H。且力cC=0,所以2e/l且3《力，

即4-2°+/_]9=0,化简得/一24-15=0，解得。=5或。=-3.

当。=5时，月={2,3},则4cCw0,不符合题意；

当〃=-3时，[={-5,2},则[D8={2}且4cC=0,

故。=-3符合题意，

综上，实数。的值为-3.

16.(l)-l<a<l

答案第6页，共10页

(2)｛司-1<。<1或a>2&.

【分析】(1)由命题为真，可知不等式的解集非空，利用判别式得解；

(2)分别求出命题为真时。的取值范围，再由一真一假列出不等式求解.

【详解】(1)若命题P为真命题，根据二次函数的性质可得，A=4-4/>0,

解得-1<a<\,

故实数。的取值范围为-1<a<\.

(2)若命题夕为真，即一元二次方程/+公+2=0有两个不相等的负根，设为王,七,

△=。2―8〉0

贝I卜玉+々=一。<。，解得a>2\/2.

x｝x2=2>0,

若命题〃和命题g有且只有一个是真命题，则为夕真q假或夕假g真，

[-1<«<1,

当〃真夕假时，有一解得

储工2,2,

a4-1或i?21,

当P假9真时，有=解得〃>2立.

a>2<2,

综.上，实数。的取值范围为｛。1-1或。>2板｝.

17.(1)-(2)答案见解析

【分析】(1)分。=0,。*0讨论，4W0时根据判别式建立不等关系求解；

(2)分。=0,。<0,4>0讨论，结合一次不等式、二次不等式求解即可.

【详解】(1)依题意，不等式小+。对于一切实数4恒成立,

当4=0时，不等式可化为X20,不满足题意；

k>0,1

当"0时，有即外、2，解得心不

(△K0,-44a~<0n,3

综上，实数。的取值范围为卜。之"；

(2)不等式0?+(1-。)x+4-2〈4-1等价于0?+。一0.一1<0.

当。=0时，不等式可化为x-l<0,所以不等式的解集为"I1<1｝；

答案第7页，共10页

当4>0时，不等式可化为（"+D（x-l）<。，此时-）<1,

所以不等式的解集为［x1］；

a

当4<0时，不等式可化为（依+l）（x-l）<0,

①当4=-1时，-：=1,不等式的解集为卜lx"｝；

②当时，一,>1,不等式的解集为（1|»-！或X<1｝；

ata

③当a<-1时，不等式的解集为［x|x>l或

a［a）

综上可知，当。=0时，解集为当。〉0时，解集为,

fi

当-1<4<0时，解集为<x\x）——或X<1｝,当"-1时，解集为｛Hx工1｝,

I。

当4<-1时，解集为、x|x>l或X<---

a

18.（1）当前墙的长度为20米时,甲工程队报价最低为84000元

（2）当0<。<36时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功

【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；

（2）根据题意可知500f—+3x\24000>12000+5001a+ii52+a］对任意的x>0恒成立,

kA-；IXJ

分离参数可得a<如+4/对任意的A->0恒成立，分类常数结合基本不等式求出色士殳的

1+X1+X

最小值，即可得解.

【详解】（1）因为体育馆前堵长为X米，地面面积为240m2,

所以体育馆的左右两侧墙的长度均为24丝0米（X>（））,

x

设甲工程队报价为y元，

所以y=型x5x25（）x2+150x5xx2+24000=5（）0+3x］+24000,

因为y21500x2^—x+24000=84000,

当且仅当%=x,即x=20时等号成立，

X

所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；

（2）根据题意可知5001曰+3x）+24000,12000+500］对任意的.丫>0恒成立,

答案第8页，共10页

即3f+24x+48>〃(l+x)对任意的x>0恒成立，

所以“<3(工+4)“对任意的x>o恒成立,

1+x

因为。>0,

(X+4)2(X+1)2+6(