初中数学八年级下册期末复习全能知识清单（华东师大版）

初中数学八年级下册期末复习全能知识清单（华东师大版）

一、分式

（一）分式的概念与基本性质

1、分式的定义：【基础】【必考点】形如A/B（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。其中A叫分子，B叫分母。判断一个代数式是否为分式，关键在于看分母中是否含有字母。π是常数，不是字母，因此像这样的式子不是分式。【易错点】分母不为零是分式有意义的先决条件。

2、分式有意义/无意义/值为零的条件：【高频考点】（1）分式有意义的条件：分母B≠0。（2）分式无意义的条件：分母B=0。（3）分式值为零的条件：分子A=0且分母B≠0。解题时，求出使分子为零的字母取值后，【★必须】代入分母检验，确保分母不为零，否则该值舍去。

3、分式的基本性质：【核心原理】分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为：(M为不等于0的整式)。这一性质是分式恒等变形、约分、通分的理论依据。

4、约分与最简分式：【基础】（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的步骤：先找出分子与分母的公因式（最大公因式），再将其约去。（2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。分式运算的结果必须化为最简分式或整式。

5、通分与最简公分母：【难点】（1）通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。（2）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这个公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

（二）分式的运算

1、分式的乘除法则：【基础】（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即。（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即。【注意】运算结果要化为最简分式或整式。

2、分式的乘方法则：【基础】分式的乘方是把分子、分母分别乘方。即(n为正整数)。

3、分式的加减法则：【核心运算】（1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减。即。（2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减。即。【解题步骤】异分母分式加减运算的一般步骤：①将各分式的分子、分母因式分解；②确定最简公分母并通分；③利用同分母分式加减法则进行计算；④合并分子中的同类项；⑤约分，将结果化为最简分式或整式。

4、分式的混合运算：【难点】【高频考点】运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。运算律（如乘法分配律）在分式运算中同样适用。【易错点】在去括号时，要注意符号的变化；结果必须是最简分式或整式。

（三）分式方程

1、分式方程的定义：【基础】分母中含有未知数的方程叫做分式方程。区分分式方程与整式方程的关键在于分母中是否含有未知数。

2、解分式方程的基本思路：【核心思想】通过去分母将分式方程转化为整式方程求解。

3、解分式方程的步骤：【必考】【解题步骤】（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化为整式方程。（2）解整式方程：求出整式方程的解。（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根，必须舍去。【★重要】验根是解分式方程必不可少的一步。

4、增根问题：【难点】【高频考点】增根产生的原因：在去分母的过程中，方程两边同乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围。增根的两个特征：（1）是由分式方程化成的整式方程的根；（2）使最简公分母为0。常见的考向有：已知方程有增根求参数的值，或已知方程无解求参数的值（需考虑整式方程无解和有增根两种情况）。

（四）分式方程的应用

1、解题步骤：【建模思想】与列整式方程解应用题的步骤基本相同，但需特别注意验根的两步检验：（1）检验所得解是否为原分式方程的根；（2）检验该根是否符合实际问题的意义（如人数为正整数、时间、路程为正数等）。

2、常见题型：【热点】（1）行程问题：涉及轮船航行（水流速度）、工程问题（工作效率）等。（2）工程问题：通常把工作总量看作单位“1”，工作效率=1/工作时间。（3）销售问题：涉及单价、数量、总价，常与打折、提价相结合。（4）方案选择问题：通过计算不同方案的成本或时间进行比较。

（五）零指数幂与负整数指数幂、科学记数法

1、零指数幂：【基础】任何不等于零的数的零次幂都等于1。即(a≠0)。【易错点】底数不能为零。

2、负整数指数幂：【基础】任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。即(a≠0，n为正整数)。特别地，(a≠0)。

3、科学记数法：【基础】利用10的正整数指数幂表示绝对值较大的数（，n为正整数，1≤|a|<10）；利用10的负整数指数幂表示绝对值较小的数（，n为正整数，1≤|a|<10）。【考向】常结合纳米、微米等科技前沿单位或PM2.5等环保数据考查。

二、函数及其图象

（一）变量与函数

1、变量与常量的概念：【基础】在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；取值始终保持不变的量，叫做常量。

2、函数的定义：【核心概念】一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。【★重要】理解函数概念的关键是把握“唯一确定”的对应关系。

3、函数的表示方法：【基础】解析法（用等式表示函数关系）、列表法（用表格列出自变量与函数的对应值）、图象法（用图象表示函数关系）。三种方法可以互相转化。

4、函数自变量的取值范围：【高频考点】确定自变量的取值范围，需使函数解析式有意义，同时符合实际问题的意义。

（1）解析式为整式型：自变量取全体实数。

（2）解析式为分式型：自变量取使分母不为零的实数。

（3）解析式为二次根式型：自变量取使被开方数为非负数的实数。

（4）解析式为综合型：分别列出不等式（组），求公共解集。

（5）实际问题：还需保证实际问题有意义，如边长、时间非负等。

（二）平面直角坐标系与函数的图象

1、平面直角坐标系：【基础】在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O称为原点。坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。

2、点的坐标特征：【重要】【高频考点】

（1）各象限内点的坐标符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）。

（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0（y=0）；y轴上的点横坐标为0（x=0）；原点坐标为（0，0）。

（3）象限角平分线上的点：第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等（x=y）；第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数（x=-y）。

（4）平行于坐标轴的直线上的点：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同。

（5）点到坐标轴的距离：点P（a，b）到x轴的距离是|b|；到y轴的距离是|a|。

3、对称点的坐标特征：【必考点】关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数（x同y反）；关于y轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数（y同x反）；关于原点对称的点：横坐标、纵坐标均互为相反数（x反y反）。

4、描点法画函数图象的步骤：【基础】列表、描点、连线。连线时要用平滑的曲线按照自变量由小到大的顺序连接。

（三）一次函数

1、一次函数与正比例函数的定义：【基础】形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫做正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。【易错点】k≠0这一条件不可忽略。

2、一次函数的图象与性质：【核心】【高频考点】一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，通常称它为直线y=kx+b。

（1）k的作用：k决定直线的增减性和倾斜程度。k>0时，y随x的增大而增大（直线左低右高）；k<0时，y随x的增大而减小（直线左高右低）。|k|越大，直线越陡。

（2）b的作用：b决定直线与y轴交点的位置。b>0时，直线与y轴交于正半轴；b<0时，直线与y轴交于负半轴；b=0时，直线经过原点。

（3）图象经过的象限：由k、b的符号共同决定。例如k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限等。

3、一次函数图象的平移：【规律】直线y=kx+b可由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移。简记为“上加下减”。

4、待定系数法求一次函数解析式：【必考】【解题步骤】（1）设：设出一次函数解析式的一般形式y=kx+b（k≠0）；（2）代：将已知两点的坐标（或x、y的两对对应值）代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组；（3）解：解方程组，求出k、b的值；（4）写：将求得的k、b的值代回所设解析式，写出函数表达式。

5、一次函数与方程（组）、不等式的关系：【难点】【思想方法】（1）一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标是方程kx+b=0的解。（2）两个一次函数图象的交点坐标就是这两个一次函数解析式组成的方程组的解。（3）不等式kx+b>0（或<0）的解集，就是一次函数y=kx+b的图象在x轴上方（或下方）部分所对应的x的取值范围。

（四）反比例函数

1、反比例函数的定义：【基础】形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。其中x是自变量，y是x的函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数也可变形为xy=k（k≠0）或y=kx⁻¹（k≠0）的形式。【易错点】k≠0，且x≠0。

2、反比例函数的图象与性质：【核心】【高频考点】反比例函数（k≠0）的图象是由两个分支组成的双曲线。

（1）k的符号决定图象的位置和增减性：当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

（2）图象特征：双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与坐标轴相交（因为x≠0，y≠0）。双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x和y=-x）。

（3）k的几何意义：【非常重要】【难点】在反比例函数的图象上任取一点P（x，y），过这一点分别作x轴、y轴的垂线PM、PN，与坐标轴围成的矩形PMON的面积S矩形=|x|·|y|=|xy|=|k|。过双曲线上任意一点作任一坐标轴的垂线，并连接这一点与原点，所围成的三角形面积为|k|/2。

3、反比例函数解析式的确定：【基础】通常利用待定系数法，设，代入双曲线上的一个非零点坐标，即可求出k的值。有时也利用k的几何意义，通过面积关系求出|k|，再结合图象位置确定k的符号。

（五）实践与探索（函数综合应用）

1、一次函数与反比例函数的综合：【热点】常以解答题形式出现，考查：（1）求两个函数的解析式；（2）求两个函数图象的交点坐标；（3）根据图象比较两个函数值的大小，确定自变量的取值范围；（4）求相关三角形的面积（常需结合k的几何意义或利用坐标表示线段长）。

2、函数的实际应用：【建模能力】运用一次函数、反比例函数解决实际问题，如行程问题、工程问题、利润问题、面积问题等。解题关键是分析题意，建立适当的函数模型，确定自变量的取值范围，并利用函数的性质解决最值或范围问题。

三、平行四边形

（一）平行四边形的定义与性质

1、平行四边形的定义：【基础】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。这是判定平行四边形的最基本方法。

2、平行四边形的性质：【核心】【高频考点】

（1）边：平行四边形的对边平行且相等。即AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。

（2）角：平行四边形的对角相等，邻角互补。即∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°等。

（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分。即OA=OC，OB=OD。

（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。【重要】它不是轴对称图形。

3、与平行四边形性质相关的计算：【常见题型】（1）求面积：平行四边形的面积=底×高（注意高一定是底边上的高）。同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等。（2）求周长。（3）利用对角线互相平分，结合勾股定理或全等三角形求线段长度。

（二）平行四边形的判定

1、平行四边形的判定方法：【核心】【高频考点】共有五种常用判定方法（按条件类型归纳）：

（1）从边看（三种）：

[1]两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）。

[2]两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

[3]一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。【★常用】

（2）从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（3）从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形。【★常用】

2、判定方法的选择策略：【解题思路】需根据已知条件灵活选用判定方法。若已知一组对边平行，可考虑证这组对边相等或另一组对边平行；若已知对角线条件，优先考虑对角线互相平分；若已知角的条件，考虑对角相等。

（三）三角形的中位线

1、三角形中位线的定义：【基础】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形有三条中位线。

2、三角形中位线定理：【核心定理】【重要】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。即DE∥BC，且DE=BC/2。

3、应用：【拓展】中位线定理提供了证明线段平行和线段倍分关系的重要依据。在几何图形中，遇到中点，常构造中位线解决问题。

四、矩形、菱形与正方形

（一）矩形

1、矩形的定义：【基础】有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形是特殊的平行四边形。

2、矩形的性质：【核心】【高频考点】矩形具有平行四边形的一切性质，此外还具有以下特殊性质：

（1）角：矩形的四个角都是直角。

（2）对角线：矩形的对角线相等。【重要定理】

（3）对称性：矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有两条对称轴，即过对边中点的直线）。

3、矩形的判定：【高频考点】常用的判定方法有：

（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）角法：有三个角是直角的四边形是矩形。【易错点】用此方法判定时，前提是四边形，再证三个角为直角，则第四个角必为直角，无需先证平行四边形。

4、直角三角形斜边上的中线：【重要推论】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个定理常与矩形对角线的性质结合考查，是连接矩形与直角三角形的重要桥梁。

（二）菱形

1、菱形的定义：【基础】有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形是特殊的平行四边形。

2、菱形的性质：【核心】【高频考点】菱形具有平行四边形的一切性质，此外还具有以下特殊性质：

（1）边：菱形的四条边都相等。

（2）对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。【重要定理】

（3）对称性：菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有两条对称轴，即对角线所在的直线）。

3、菱形的判定：【高频考点】常用的判定方法有：

（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）边法：四条边都相等的四边形是菱形。

4、菱形的面积计算：【重要】菱形的面积有两种常用求法：

（1）底×高（当作平行四边形计算）。

（2）对角线乘积的一半：(l₁、l₂为两条对角线的长)。【特别常用】

（三）正方形

1、正方形的定义：【基础】有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

2、正方形的性质：【核心】【高频考点】

（1）边：四条边都相等，对边平行。

（2）角：四个角都是直角。

（3）对角线：对角线相等、互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角（对角线与边的夹角为45°）。

（4）对称性：正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。

3、正方形的判定：【难点】判定正方形的一般思路：先判定四边形是矩形（或菱形），再判定它又是菱形（或矩形）。常见方法：

（1）从平行四边形出发：一组邻边相等的矩形是正方形；一个角是直角的菱形是正方形。

（2）从四边形出发：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形（即同时满足平行四边形、矩形、菱形的所有对角线特征）。

4、特殊平行四边形之间的区别与联系：【核心】平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可用包含关系图表示。解题时要根据已知条件，灵活转化边、角、对角线的性质。

（四）中点四边形

1、中点四边形的定义：【拓展】顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。

2、中点四边形的形状规律：【探究结论】中点四边形的形状只与原四边形的对角线有关，与原四边形的形状无直接关系。

（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形。

（2）若原四边形的对角线相等，则中点四边形是菱形。

（3）若原四边形的对角线垂直，则中点四边形是矩形。

（4）若原四边形的对角线相等且垂直，则中点四边形是正方形。

五、数据的整理与初步处理

（一）平均数

1、算术平均数：【基础】对于n个数x₁，x₂，...，xₙ，它们的算术平均数计算公式为。它反映了一组数据的平均水平。

2、加权平均数：【核心概念】【高频考点】在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。加权平均数的计算公式为，其中f₁，f₂，...，fₙ分别表示数据x₁，x₂，...，xₙ出现的次数（权）。