2025-2026学年高二数学第三次月考模拟卷01（：人教A版选择性必修第一册全部内容）解析版

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考模拟卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选择性必修第一册全部内容。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.直线/过点（1,2）,倾斜角等于60。，则/在轴上的截距是（）

A.2—\/3B.2+>/3C.5/3D.—5/3

【答案】A

【分析】根据点斜式得出直线方程，令x=o可求，在y轴上的截距.

【详解】因为直线/过点（1,2）,倾斜角等于60°

所以直线方程为k2=lan6O0（x-l）,即k2=右（工-1）,

令“0,可得y=2-G，所以/在）'轴上的截距是2-6,

故迄A

2.己知直线/：x+y-2=0与圆C：Y+y2=2,点则下列说法正确的是（）

A.点A在圆C内，直线/与圆C相离B.点A在圆。上，直线/与圆C相切

C.点A在圆。外，直线/与圆C相切D.点A在圆C上，直线/与圆。相交

【答案】B

【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可.

【详解】圆心为c（（）,o）,半径为及,

2

圆心。到直线/的距离为〃==庭,所以直线/与圆C相切,

因为r+12=2,故点A在圆。匕故选：B.

22

3.已知方程上一+上=1(，底2表示焦点在x轴上的椭圆，则加的取值范围为()

4-m2+m

A.(1»4)B.(—24)C.(-2,4)D.(-°o>—2)

【答案】B

【分析】根据焦点在x轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于〃?的不等式，即可求得结果.

【详解】根据题意，方程；+―=1表示焦点在工轴上的椭圆.

4-zz?2+m

4-m>2+m

则必有\八，解可得：.即m的取值范围是(-2,1).

故选:B.

4.已知四面体A8CD中，点瓦厂分别为棱AC3。的中点，则()

—I-1—I

A.EF=-AB+-AC+-AD

222

B.EF=--AB+-AC+-AD

222

C.EF=-AB+-AC--AD

222

D.EF=-AB--AC+-AD

222

【答案】D

【分析】连接"，根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】连接版，则A”=g(/W+A£>),

故选：D

5.己知P为抛物线/=4》上的任意一点，尸为抛物线的焦点，点M(2,3),则|PM|+归日的垠小值为()

A.3B.yf]3C.4D.372

【答案】C

【分析】过点P作抛物线准线1的垂线段，垂足为Q,过点、M住MNAJ,垂足为N,由抛物线定义得到

\PM\+\PF\=\PM\+\P(^>\MN\即可求解.

【详解】由题意知抛物线的焦点为尸(0/)，准线/的方程为y=-L

如图，过点P作抛物线准线1的垂线段，垂足为Q，过点M作“V_L/,垂足为N.

由抛物线的定义得|P尸|=|P。，

所以归闸+|尸目二|尸根+|尸。2的丫|,当M,P,N三点共线时取等号，

故|PM|+|P目的最小值为|MV|=3+1=4.

6.直线x—)，+2=0分另ijqx轴，，，轴交于4.8两点,点。在圆(X-2)2+/-2上，则..人“产面积的最大值

是()

A.2aB.372C.6D.4

【答案】C

【分析】先求得恒却的长，再求得圆心到直线距离4,再求得点p到直线％-y+2=0的距离的范围，故可

得4的面积的取值范围，结合选项可得答案.

【详解】:直线x—y+2=o分别弓k轴，y轴交手A,A两点,

/,/1(-2,0),6(0,2),则1ABi=2&,

.,点P在圆(x-2)2+y2=2上,

圆心为(2,0),则圆心到直线距离4=|2十2|=2夜,

故点/倒直线式一>+2=()的距离d2的范围为［灰，3忘］,

则S.ABP==g2e[2,6].所以面积的最大值是6

故选：C.

22

7.已知双曲线十方=P>0⑦>0)的左、右焦点分别为过匕的直线交双曲线左支于

AB,AG=3£8,且卜片卜,勾，则双曲线的离心率e=()

A.叵D.-C.72D.叵

22、2

【答案】A

【分析】先设,同=3〃?，再结合双曲线定义得出加=。，最后应用勾股定理计算求解.

【详解】设的卜3小，则|丽|=巩,同=2a+3m冏=3m,

由双曲线定义得：|牙卜忸可=3加一加=2%解得〃?二〃,

所以卜,=4冬,可=54归q=3〃，则△A8行为直角三角形，且4=90，

在皿i/+9az=e吗

AB=BC=而,AC=2,M=3,BB\=3BD,G为△A4G的重心，则

点G到平面AC力的距离为()

A.也B.丑r5不D.拽

5544

【答案】A

【分析】先建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离，求出平面AC。的法向量，再根据点到平

面距离公式进行计算.

【详解】直三棱柱ABC-ABG中，AA_L底面ABC；设40,0,0),C(2,0,0),

AC=2,则AC边上的高为=。因此5(1,3,0),

宜三棱柱的高的=3,所以顶点为(0,0,3),即l,3,3)，G(2,0,3)；

由期=3%),期=(0。3),故8。=；8耳=(0,0,1),因此8,3』)，

G是△AUG的重心，重心坐标为三个顶点坐标的平均值，即：G("詈，土孝卜(11,3),

平面48过点40.0.0),0(2.0.0),/)(1.3.1),取向量:AC=(2,0,0)MH=(1,3,1),

n-AC=02x=0

设平面AC£>的法向量为〃=(x,y,z),则：=1

n-AD=0[x+3y+z=0

由2x=0得x=0,代入第二个方程得3y+z=0,取y=l,则z=—3,故法向量〃=9,L-3),

平面4C。过原点，因此平面方程为)「3z=0,

对于平面y—3z=0,点G(1J3)的距离为：

J0xl+lxl-3x34-0|_|l-9|_8_4>/10

府+1+(-3-\/10V105

因此，点G到平面4c。的距离为亚.

5

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知空间向量。=(3,-2,2),〃=(4,3,m)，下列说法正确的是().

A.若2A+方=(10,-1,0),则刑=-4

B.若dJ.b，则〃?=-3

C.若a在〃上的投影向显为，人则，，只有一个实数解

D.若〃与人的夹角为钝角，则〃?>-3

【答案】AB

【分析】利用空间向量的垂直、投影向量以及夹角问题的坐标运算，即可求解.

【详解】对于A,因为勿所以用=-4,A正确.

对于B,因为4/5,所以〃为=(3,—2,2)・(4,3,6)=12—6+2〃7=。，得/〃=-3,B正确.

abhab1

对于C,因为。在人上的投影向量为M'M，所以7『二3'

即篝4化简可得入加+7"

因为△=36-28>0,所以m有两个实数解，C错误.

对于D,因为a与的夹角为钝角，且a与力不共线,

所以a力=（3,—2,2）•（4,3,〃?）=12-6+2m=6+2m<0,解得m<-3,

假设a//b=（3,—2,2）〃（4,3,〃?）og=m=£,此时机无解，

所以a与匕的夹角为钝角，则加<-3,D错误.

故选：AB.

10.已知点A（-1,0）,8（2,0）,动点M满足温=5,记动点M的轨迹为曲线W,其中所有正确结论的序号

是（）

A.曲线W为一个圆；

B.曲线W上存在点。，使得。到点（1,1）的距离为6；

C.直线/:依一），+2k+l=。（k为常数），无论人为何值，直线/与曲线W恒有两个交点；

D.曲线卬上存在点尸，使得尸到点8与点（-2,0）的距离之和为8.

【答案】ACD

【分析】设M（xy），根据M满足篇=：,利用两点间距离公式化简整理，即可判断A是否正确；由A

可知，圆上的点。到（11）的距离的范围为[J而-2,而+2],进而可判断B是否正确；确定直线过的定点,

判断定点与圆的位置，即可判断C是否正确；由椭圆的定义，可知产在椭圆片+t=1上，再联立椭圆

1612

£+21=1与曲线w的方程求交点，即可判断D是否正确.

1612

【详解】对「A：设因为M满足所以于*；：*’2=g，

整理可得：f+y2+4x=o,即(K+2)2+)，2=4,曲线W为一个圆，所以A正确；

对于B：由A可知(1+2)2+/>4,所以点(1』)在圆(x+2)2+V=4的外部，

因为(山)到圆心(-2,0)的距离"==M，半径为2,

所以圆上的点Q到(1,1)的距离的范围为［而-2,布+2］而6任［布-2,屈+2］,所以B不正确；

对于C：直线/：丘一)，+2攵+1=。(k为常数)，贝iJy-l=Nx+2),则直线过定点Q(—2,1),因(一2+2)2+1<4,

所以点。(-2,1)在圆。+2)2+)，2=4内，则无论k为何值，直线/与曲线W恒有两个交点，所以C正确;

对于D：假设存在这样的点尸，使得广到点8与点(-2,0)的距离之和为8,

则广在以点B与点(-2,0)为焦点，长轴长为8的椭圆上，即尸在椭圆工会1

16

x=

联立方程今*1与.解得、)二0,所以椭圆与圆有交点I,。),

故曲线W上存在点尸(-4,0),使得/(-4,0)到点5与点(-2,0)的距离之和为8；所以D正确.

故选：ACD.

11.某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,

称为该椭圆的“蒙口圆''.利用此结论解决下列问题：已知椭圆C：1+E=l("〃>0)的离心率为正，6,K

ah2

为C的左、右焦点且忻用|=2,A为C上一动点,直线/:班+缈-/=0.说法中正确的有()

A.椭圆C的“蒙日圆”的面积为3兀

B.对直线/上任意点P,都有|尸司+伊国>2〃

2，

c.椭圆C的标准方程为c：E+工=1

42

D.椭圆C的“蒙FI圆”的两条弦PM,PN都与椭圆C相切，则./MN面积的最大值为3

【答案】AD

【分析】根据条件，得;1距=拒，。=1，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A,

根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点（及,1）,得出蒙日圆方程的半

径，即可判断出选项A的正误；对于选项B,根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直2=0

与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D,由蒙日圆的定义可知,

MPIPN,则为蒙日圆的直径，设P（。力），|MP|=〃?,|MV|=〃，得到加+/=4（/+从），再利用重要

不等式及面积公式即可得出结果.

【详解】已知椭圆C:=十匚=1（">〃>0）的离心率为6，=正

a~b~a2

K，6为C的左、右焦点且旧周=2,故。=1,

所以a=y/2,b2=a2-c2=\>

故椭圆方程为：—+/=l,故C错误；

2

对于选项A,设蒙日圆的半径为「，所以蒙日圆方程为/+/=/,

如图I,过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点G,

易知点G（五,1）,且点G在蒙FI恻上，

所以>=2+1=3,故蒙日圆的面积为3兀，故A正确;

图1

对于选项B,因为直线/的方程为1+血），-2=0,椭圆方程,+）2=1,

x+\/2y-2=0

由，丁,得4y2_4。+2=0,

—+y-=1

2-

则△=32-4x4x2=0,

所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为2a,故B错误：

对于选项D,由蒙日圆的定义可矢LMPA.PN,则MN为蒙FI圆的直径，如图2,

连接OP,设尸伍⑼，则|OQ|=，可+(=&,

IMN\=2\OP\=2\la2+b2=273,

设|MP|=〃z,|PN|=n,

所以〃P+/4MN/=4(〃+〃)=12,

又nr+>2mn(当且仅当机=〃时取等号)，

所以12之2mn，即inn<6,

所以5人'丽=；""?<^x6=3,故D正确：

故选：AD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.已知力，C；｝是空间的一个基底，向量48=2〃一34，AC=a+b，AD=b+Ac，且4，B，C,。四

点共面，则2=

3

【答案】1/1.5

【分析】由空间向量基本定理即可求解.

【详解】由九仇C。四点共面可知，存在唯一实数对犯〃,使得AD=〃?48+〃AC，

即b+Ac=〃?(23c)+〃(o+Z?)=(2m36c,

1

m=—

2m+〃=02

所以〃=1,解得，n=I

-3m-A

A1=—3

2

故答案为：!3

13.过点P（l,2）的直线/与双曲线C9-丁=1交于人，B两点,若AB=2”，则直线/的方程为.

【答案】x-8y+15=0

【分析】利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程；

【详解】设A（%,y）,3（苍,必）,

则苧—y；=l,£=1，所以解T）-4（寸一£）=0,

即（％+%）（%-1）-4（乂+%）（%-%）=。，

因为AB=2AP，所以P为线段AB的中点，

所以司+%=2,y+%=4,

所以2（%-七）一16（凹一%）二°，

因为P为线段AB的中点，所以直线1不能垂直于x轴，

所以又二&二!，即直线1的斜率为!，

X］）23o

所以直线1的方程为），-2=：（x-l）,即x-8y+15=0.

O

2—4AF2=4A

联立o八可得60y2-2401，+221=0,该方程有两个不等的实数解，

x-8y+15=O

故直线x-8y+15=0与双曲线有两个交点，满足条件，

故答案为：x-8y+15=0.

14.已知耳，乃是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且「£＞川"线段的中垂线经过鸟.

记椭圆的离心率为6,双曲线的离心率为七，则;+%的取值范围是_______.

e\

【答案】（4,也）

【分析】由题意可得|P图=||用=2c,结合椭圆和双曲线的定义得到自，e2的关系式，根据S的取值范围，

结合对勾函数性质即可得到结果.

【详解】设椭圆的长轴长为2%,双曲线的实轴长为2%,它们的公共焦距为2c,

不妨设焦点在工轴上，点尸在第一象限，

由点用在线段PR的垂直平分线上，贝U|尸工|=|£勾=2c.

由椭圆、双曲线的定义得:附|+|尸玛|=24,阀卜伊用=2出,

贝“P周=2q_2c=2^+2c,整理得4一%=2~

则以一生=忙”=生=2,故LL=2,则,='+2,

CCCCe\e2eie2

故L+e?='+6+2,其中6>1：

令f（x）」+x+2（x>l）,

X

由对勾函数性质可知，/（X）在（I,y）上单调递增，

故f（x）>；+l+2=4,

即J+.的取值范围是（4,y）.

故答案为：（4,y）.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知圆C过点A（L3）,5（2,0）,且直线3x+y-1=0平分圆。的周长.

（1）求圆。的方程；

⑵过点。，1）的直线/和圆C交于M，N两点，若|MN|=3及，求直线/的方程.

【答案】⑴/+（）1）2=5

（2）x-y=0或x+y—2=0

【分析】（1）根据圆心在线段48的中垂线上，且在直线版+），-1=0上，可得圆心坐标，进而求圆的半径,

可得圆C的标准方程.

(2)分直线/斜率是否存在讨论，转化为圆心到直线的距离列式求直线，的斜率.

【详解】(1)由(x—l)2+(y—3)2=a-2)2+)，2=x-3)，+3=0,为线段A8的垂直平分线的方程.

x-3y+3=0x=0

),=],即圆心C(o,l).

3x+y-l=0

又"=照=’(1_0)，(3-1)2=6

所以圆C的标准方程为/+()•-1)2=5.

(2)过点(1/)的直线/的斜率不存在时，直线方程为x=l,

此时圆心到直线的距离为"=1,由圆的弦长公式，可得弦长为2庐箫=2g=4，不符合题意；

当直线/的斜率存在时，过点(1/)的直线/的斜率为％,则直线/的方程为=即依-)，-左+1=0,

所以圆心C(0,I)到直线/的距离为d=，

因为直线/和圆C交于M,N两点.

若|必时=3五，由圆的弦长公式，可得“5—(岩工)=3应，

解得女=一1或女=1,

所以直线/的方程为x-y=o或x+y-2=o.

16.(15分)

22

已知椭圆。过点(3⑵且左、右焦点分别为耳,工，椭圆工+匕=1与椭圆。有相同的焦点，直线八y=x+

83

与椭圆C交于A,B两点.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵求△/W鸟的面积.

【答案】(1)二+二=1

1510

(2)4X/6

【分析】(1)方法一：根据两椭圆有相同焦点，设椭圆C的方程，然后将点(3,2)代入从而求得方程；方法

二：先求出椭圆C的焦点，然后根据椭圆的定义求出。，从而求出椭圆C的方程.

(2)联立直线方程和椭圆方程组，根据韦达定理求出,48用的面积.

【详解】（1）方法一：利用共焦点的椭圆系方程（与椭圆《+《=1（。>6>0）有公共焦点的椭圆系方程为

a~b~

4—+<—=与椭圆£+£=］（稣〃〉（））有公共焦点的椭圆系方程为

a+Ab~+A''a~b~

上+上l（o>b>0,b~>—.

a2+2b2+A

因为椭圆C与椭圆寸+片=1共焦点，所以设椭圆。:上一+上="〉-3）,

838+43+2

因为机泅IC过点（3,2）,所以_322_+，2?_=1,即舒-24-35=0,解得；1=7或4=-5（舍去），

8+23+2

所以椭圆。的方程为《+［=1.

1510

方法二：利用椭圆的定义

设点”（3,2）,因为椭圆£+《=|的焦点为小—石,0）,人（石,0）,椭圆C过点例（3,2）,

83

所以2〃=|A/娟+1A/用=］（3+逐）2+22+7（3-X/5）2+22=J18+6石+J18-6石=2厉,

所以a=V15，血c=㈠，所以匕=J16»

所以椭圆。的方程为上+《=1.

1510

（2）在线/:y=x+6过椭圆的左焦点7-石,0）；该椭圆的右焦点为口后,0）.

厂

%2+21_i

设A（.±,y）,8al，%），由百十而一得5y2-4后y-20=0,所以X+.8=勺色,X.%=T,

y=x+V55

所以E―必|=J（y+必『-4yM=-

所以s"=gx|£周X,一%|=32氐哼^=46.

17.（15分）

已知抛物线。：心29>。）的焦点为F,以产和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为竽的等边三

角形.

(I)求C的方程;

(2)若过点(-2,1)的直线/与。只有一个公共点，求直线I的方程.

【答案】⑴人=4%

(2)丫=1或产7_1或＞=夫+2

【分析】(1)由等比三角形的高求得P即可;

(2)通过左=0和两类情况讨论即可.

【详解】(1)由题意得焦点尸准线方程为彳=-5，

以焦点和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为题的等边三角形FAB，

3

而这个等边三角形的高为J(竽-:乂竽'-2，

即焦点到准线的距离勺(-9=〃=2,

所以。的方程为丁=4乩

(2)显然直线/的斜率存在，设/的方程为y-l=k(x+2).

'21]0+2)'可得后-4)，+4(2攵+1)=0.

由方程组

(i)当％=0时，解得x=!，y=l,

4

此时方程只有•个实数解，/与。只有一个公共点；

(ii)当女工0时，△=-16(2%2+A-l),

由A=0,解得力=-1或

此时方程有两个相等的实数解，，与C只有个公共点;

综上，4=0或一1或g时，/与C的交点个数为1；

故,的方程为y=1或）=一4—1或1y=；x+2.

18.（17分）

如图1,点E凡G分别是边长为4的正方形43CO三边A区CDA。的中点，先沿着虚线段AG将等腰直角三

角形/7X；裁掉，再将剩下的五边形A8CFG沿着线段EF折起，使得平面4EFG_L平面反O,（如图2）,

连接人A,CG,0是四边形反。”对•角线的交点.

图1图2

⑴求证：AO//平面GC/；

（2）求直线A8与平面GC”所成角的正弦值；

（3）在棱4G上是否存在点/,，使得平面E8P与平面Gb的夹角为45?若存在，求出点尸的位置，若不存在,

请说明理由.

【答案】（1）证明见详解•

（3）存在，点P与点A重合.

【分析】（1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行；

（2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量

与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值：

（3）由（2）知道平面CFG的法向量，设点/,坐标，由空间向量求得平面P8E的法向量，由两个面的法向

量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点夕坐标，即可知道点P的位置.

【详解】（1）取CF中点〃，连接O”,G”

;四边形3CFE为矩形，

・••点。为梦中点,

/.OHNBCUOH=-BC,

2

又*•AG=，8C且AG//3C,

2

・•・AG=OHH.AG//OH,

・•・四边形0〃G4为平行四边形，R」AO〃G”,

•・•GHI平面GCF,

・•・AO〃平面GCF.

（2）yAE±EF,且平面AEFG_L平面EBB,平面AEfG1平面=

，AEJ_平面EBCF,

又,:BEu平面EBCF,AE±BE,

故以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系£-冲2，

・・.A(0,0,2),8(2,0,0),上(0,4,0),C(2,4,0),G[0,2,2)t

A6=(2,0「2),CF=(-2,0,0),CG=(-2,-2,2),

设〃]=（司,）1，4）为平面6。尸的，个法向量,

x=0

CFn.=-2x,=0t

则，,解得y=1,即仆=(0,1,1),

CG-〃1--2x—2yl+2Z]-0

14=1

设直线AB与平面GCF所成角为0,

则"H如尸猊=忌$

（3）由（2）可知平面GC/的一个法向量为％=（（）/」）,

设存在2（0,a,2）,则PB=（2,—a,—2）,庄=（0,—凡一2）,

设平面PEB的一个法向量为勺=（%，y2，Z?），

jx2=0

PB-%=2X-ay-2z=0

则222，解得卜2=-2,即%=（0,-2,a）,

=0

PEn2=-ay2-2z2[Z2=a

/\|_'"陷a-2

则cos450=cos41

r.d=o,即P（O,O,2）

19.（17分）

已知双曲线C:「-/=l（a/>0）的左右顶点分别为A8,实轴|AB|=2,且左焦点尸到其中一条渐近线的

距离为x/5.

（1）求双曲线。的标准方程;

⑵过左焦点尸的直线/交双曲线C左右两支于MM两点（点M位于第一象限），直线AM与3N相交于点7.

（i）求证：点7在定直线上;

（ii）求证：射线口平分

【答案】“白

⑵（i）证明见解析：（ii）证明见解析

【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得b=G，再求。即口J求解,

3,

（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，可得冲历=：（y+为），

（i）求直线AN,8N的方程，由此可得言=-g,再求X,由此证明结