2025年北京市数学（理科）高起专考试试题及答案

2025年北京市数学（理科）高起专考试试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x^33x+1在x=a处取得极值，则a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a=0

D.a∈(∞,+∞)

答案：B

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=±1。将x=±1分别代入f(x)，得f(1)=1，f(1)=3。因此，a=1或a=1时，函数f(x)取得极值。由于极值点两侧导数符号相反，所以a<0。

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=25，S10=110，则该数列的首项a1和公差d分别是（）

A.a1=1，d=2

B.a1=2，d=3

C.a1=3，d=4

D.a1=4，d=5

答案：B

解析：S5=5/2(2a1+4d)=25，S10=10/2(2a1+9d)=110。联立方程求解得a1=2，d=3。

3.已知函数f(x)=x^2+bx+c（b、c为常数）的图像与x轴相交于点A(3,0)、B(1,0)，则函数f(x)的解析式是（）

A.f(x)=x^22x3

B.f(x)=x^24x3

C.f(x)=x^2+2x3

D.f(x)=x^22x+3

答案：B

解析：因为f(3)=0，f(1)=0，代入选项检验，只有选项B满足条件。

4.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的最小值是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：圆心到直线的距离为d=|k0+b0|/√(k^2+1)=|b|/√(k^2+1)。因为直线与圆相切，所以d=1。即|b|/√(k^2+1)=1，两边平方得b^2=k^2+1。所以k^2+b^2=k^2+(k^2+1)=2k^2+1。由于k^2≥0，所以k^2+b^2的最小值为1。

5.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调递增区间（）

A.(∞,1)

B.(1,1)

C.(1,+∞)

D.(∞,+∞)

答案：C

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)>0，得x>1或x<1。但由于x=1是函数的极值点，所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞)。

6.若矩阵A=[ab;cd]的行列式为2，则a+d的值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：行列式det(A)=adbc=2。由题意，a+d=det(A)+bc=2+bc。由于a、b、c、d均为实数，bc的取值范围是(∞,+∞)，所以a+d的值可以是任意实数。但根据选项，只有B选项2是可能的。

7.若函数f(x)=x^22x+3在区间[a,b]上单调递增，则a和b的取值范围是（）

A.a<0，b>2

B.a<0，b<2

C.a>2，b>2

D.a>2，b<2

答案：A

解析：f'(x)=2x2，令f'(x)>0，得x>1。因此，函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增。所以a<0，b>2。

8.若三角形ABC的三个角分别为A、B、C，且A+B+C=180°，则以下结论正确的是（）

A.A=B=C=60°

B.A、B、C中至少有两个角相等

C.A、B、C中至多有一个角为直角

D.A、B、C中至少有一个角大于60°

答案：C

解析：三角形的内角和为180°，所以最多只能有一个角为直角（90°），否则另外两个角的和将超过90°，使得三角形的内角和超过180°。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，则a+b+c=_______。

答案：2

解析：f'(x)=2ax+b，令f'(1)=0，得2a+b=0。又因为f(1)=a+b+c，所以a+b+c=2。

10.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=16，S8=64，则该数列的公差d=_______。

答案：3

解析：S4=4/2(2a1+3d)=16，S8=8/2(2a1+7d)=64。联立方程求解得d=3。

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图像与x轴相交于点A(3,0)、B(1,0)，则b的值为_______。

答案：2

解析：由题意知，f(3)=0，f(1)=0。代入f(x)得93b+c=0，1b+c=0。解得b=2。

12.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k和b满足的等式是_______。

答案：k^2+b^2=1

解析：圆心到直线的距离为d=|k0+b0|/√(k^2+1)=|b|/√(k^2+1)。因为直线与圆相切，所以d=1。即|b|/√(k^2+1)=1，两边平方得b^2=k^2+1。所以k^2+b^2=1。

13.若函数f(x)=x^33x+1在区间[a,b]上单调递增，则a的取值范围是_______。

答案：a>1

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)>0，得x>1或x<1。由于函数在区间[a,b]上单调递增，所以a>1。

三、解答题（每题10分，共30分）

14.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的极值点及极值。

解：f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=±1。f''(x)=6x，f''(1)=6>0，所以x=1是极小值点，极小值为f(1)=1。f''(1)=6<0，所以x=1是极大值点，极大值为f(1)=3。

15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=25，S10=110，求该数列的首项a1和公差d。

解：S5=5/2(2a1+4d)=25，S10=10/2(2a1+9d)=110。联立方程求解得a1=2，d=3。

16.已知直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，求k和b的取值范围。

解：圆心到直线的距离