《概率论与数理统计》（第2版）课件 谢寿才 第1-3章

概率论与数理统计(课件)四川师范大学

大学数学教研室目录第一章事件与概率第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布点击标题跳转第四章随机变量的数字特征第五章大数定律及中心极限定理第六章样本及其抽样分布第七章参数估计第八章假设检验引言引言

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科.

什么是随机现象?我们用下面两个简单的试验来阐明,这里所说的试验是对自然现象进行一次观察或进行一次科学试验.

对于试验1,

根据其条件,我们就能断定取出的必是白球.

在一定条件下必然发生的现象,称为确定性现象.确定性现象非常广泛,例如

(3)人从地面向上抛起的石块经过一段时间必然落到地面.

对于试验2,根据其条件,在球没有取出之前,不能断定其结果是白球、红球或是黑球.在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称为随机现象.随机现象在客观世界中也极为普遍,例如:(1)掷一枚均匀硬币,考虑出现哪一面;(2)抽查流水生产线的一件产品,确定是正品还是次品;(3)观察在某段时间内电话总机接到的呼叫次数,等等.

上述3个试验的共同特点是:试验的结果具有一种“不确定性”：

即任意做一次试验时,我们不能断言其结果是什么；

但是大量重复这个实验,试验结果又遵循某些规律.

概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象这种规律性的一门数学学科.其理论和方法被广泛地应用到自然科学、社会科学、工程技术和经济管理等领域.

概率论与数理统计是既联系紧密又互相区别的:概率论——从数学模型进行理论推导,从同类现象中找出其规律性.

数理统计——着重于数据处理,在概率论理论的基础上对实践中采集获得的信息与数据进行概率特征的推断.第一章事件与概率§1.1随机事件与样本空间§1.2

事件的概率§1.3

古典概型与几何概型点击标题跳转§1.4

条件概率、全概公式与贝叶斯公式§1.5

事件的独立性及伯努利概型§1.1

随机事件与样本空间1.1.1随机试验

为了研究和揭示随机现象的统计规律性,我们需要对随机现象进行大量重复观察.

(1)试验在相同条件下可以重复进行;(2)每次试验的所有可能结果是预先知道的,且不止一个;(3)在每次试验之前,不能预言会出现哪个结果.

上述事件统称为随机事件,简称事件.事件的定义

例1.1.1

掷一颗均匀骰子,观察出现的点数.

用集合描述事件

样本空间是概率论的核心概念.要描述随机试验，必知其样本空间.1.1.2事件的关系及运算

在一个随机试验中,一般有很多随机事件,有的随机事件是很复杂的,需要通过对简单事件及其关系的研究来掌握复杂事件的规律.

子集事件1.事件的包含与相等

2.事件的并(或和)

推广：

3.事件的交(或积)

推广：

4.事件的差

5.互不相容事件

6.互逆事件(对立事件)

7.完备事件组

事件的运算满足运算律:

(3)分配律:

(4)DeMorgan律(对偶律):

概率语言：第一式表示“至少发生一个”的反面是“全部都不发生”；第二式表示“全部都发生”的反面是“至少有一个不发生”.

或

§1.2事件的概率

对于一次试验,我们常常希望知道某些事件在这次试验中发生的可能性的大小,这就是事件的概率(Probability).1.2.1事件的频率

由频率(Frequency)的定义,易知其具有如下3条性质:

实践探索：历史上有不少人做过“抛硬币”试验.表1-2-1列出了他们的一些试验记录.表1—2—1试验者德摩根蒲丰费歇尔皮尔逊皮尔逊

结论

事件发生的可能性的大小,就是“频率稳定值”.1.2.2事件的概率1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)

(1903—1987)综合前人大量的研究成果,提出了概率的公理化结构,使得概率论成为严谨的数学分支,极大地推动了概率论的发展.Kolmogorov

紧凑形式

概率公理化定义为研究随机现象的统计规律展开了一道新的大门.其3条公理也是3条运算性质，从它们出发，还可以得到以下常用的计算性质（从编号4开始）：

证明如图：

因此，有

§1.3古典概型和几何概型1.3.1古典概型

概率的古典定义

由于球的外形完全相同,故样本点具有等可能性,这是一个古典概型.

由古典概率的定义，有

在古典概型的计算中经常要用到两条基本原理——乘法原理和加法原理,以及由它们导出的排列、组合等公式.

解每个电阻被取到的机会一样，这是一个古典概型.

因此，根据古典概率的定义：

2026/2/2841

因此至少有两人生日相同的概率为

注本题用到了“对立公式”求解，若直接讨论“生日相同”，则问题会复杂.

次品正品……

次品正品……

因此,

于是

从而所求概率为

1.3.2几何概型

对于古典概型来讲,样本空间只有有限个样本点且每个样本点发生的可能性相同[有限性和等可能性].

当样本空间中样本点的个数无限时,又具有某种意义下的“等可能性”，古典概率的定义就不适用了.我们转向所谓的“几何概型”.

注

等可能性(均匀分布)指的是“落入某个可测子集的概率与测度大小成正比，与形状、位置无关”.

因此，由等可能性：

注

Buffon投针问题不但有概率上的意义，还有计算上的意义.

图1.3.2

因此，所求概率为：

§1.4条件概率、全概率公式及贝叶斯公式1.4.1条件概率

合格品个数次品个数总数第一台车床加工的零件第二台车床加工的零件总数

例1.4.1

已知某家庭三胞胎小孩中有女孩,求至少有一个男孩的概率(假定每个小孩是男是女是等可能的).

因此，

因此，§1.2中的关于概率计算的性质完全适用于条件概率.例如：

整理，得：

1.4.2乘法公式

根据题设条件，有

因此，整理可得：

为什么不直接用乘法公式？

利用古典概率的计算方法,得

因此:

1.4.3全概率公式和贝叶斯公式

在计算随机事件的概率时,经常会遇到一些比较复杂的事件.通常把复杂事件分成若干个互不相容的简单事件来处理(全概公式).这是一种“化整为零，凑零为整”的思考模式，可以很大程度上简化问题.

根据题意,有

因此，

现在考察例1.4.6的另一个侧面：

若从该厂生产的产品中任取一件,取到的是次品,那么这件次品出自哪条流水线的可能性最大？

比较结果，知：次品出自第三条流水线的可能性最大.由此引出另一个重要的概率公式:逆概公式或贝叶斯公式.

逆概公式又称为贝叶斯公式（Bayes’Formula）.证明（略）.可仿照全概公式的证明进行.

人们常喜欢找“有经验”的医生给自己治病,因过去的经验能帮助医生作出较准确的诊断,而贝叶斯公式正是利用了“经验”的知识,这类方法过去和现在都受到人们的普遍重视,并称之为贝叶斯方法.

由贝叶斯公式,有

检查存在误诊的可能性，“阳性”检查结果并不代表一定“确诊”.§1.5事件的独立性及伯努利概型1.5.1事件的独立性

解(1)

如果采用不放回抽取,有

(2)如果采用放回抽取,则

事实上，比较以下两个式子即知：

独立性是概率论中一个很重要的概念,几乎遍及概率统计的每个角落.

关于事件的独立性有如下性质:

事件的独立性的定义可以推广到多个事件的情形.

如：

解根据题设，有

直接验证，可知：

或：

1.5.2伯努利概型本小节可视为事件独立性的一个典型应用，在下一章用随机变量的方式还要进行讨论.

要求的概率为“刚好命中两次”的概率，即

第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布函数§2.2离散型随机变量及其分布§2.3连续型随机变量及其概率密度点击标题跳转§2.4随机变量函数的分布

在第一章，讨论了事件及其概率，在一定程度上刻画了随机现象的统计规律.但在实际问题中，有时并不关心哪一个样本点出现或者哪一个样本点不出现，而只关心诸如“某个事件发生多少次”，“某个样本点应处于哪个区间”等等.这是更广泛的问题.§2.1随机变量及其分布函数

为了全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,需要把随机试验的结果数量化,即随机变量.这就是本章要讨论的问题.

2.1.1随机变量的概念

利用随机变量的取值可以方便的刻画事件，如

2.1.2随机变量的分布函数要研究随机变量的统计规律性,就需要知道其取各种值的概率.如r.v.落在某个区间的概率，随机变量只取某一个值的概率等等.

也就是：

参看示意图：

超出课程范围，不证明.解

综合(1)、(2)、(3)得：

§2.2离散型随机变量及其分布

对于常见的随机变量,根据其可能取值的整体状况,通常将其分为两类进行讨论:离散型和连续型.

分布列还有直观的表格表示：（2.2.2)2.2.1离散型随机变量及其概率分布离散型r.v.分布列的两条性质：

(2)正则性:

（2.2.4)注意！性质（2.2.3）、(2.2.4)是分布列必须具有的基本性质、是判断某个数列是否能成为分布列的充要条件.

离散型r.v.的分布函数：

即分布列为：由此可知：

2.2.2常见的离散型随机变量的概率分布

1.两点分布

或0-1分布

或者写成表格形式：(2.2.6)

其分布函数为：

2.二项分布(BinomialDistribution)二项分布与伯努里(Bernoulli)试验紧密联系.

直接验证：

分析虽然这是不放回抽取，严格说来，每次抽取的次品率是不一样的.但由于数量较大，可近似认为次品率保持不变，且抽取是独立的.

数据计算：代入上面的公式得到计算结果如下

因此，所求概率为

3.泊松分布

泊松分布是1837年由法国数学家Poisson(1781—1840)首次提出.

说明

泊松分布是一种常见的离散分布,它常与单位时间(或单位面积、单位产品等)内的计数过程相联系.

例如,以下现象皆可用Possion分布描述：(1)某地区在一天内邮递遗失的信件数;(2)某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数;(3)某城市一年内发生的火灾次数;(4)某一本书一页中的印刷错误数;(5)某交换台一段时间内的电话呼唤次数.

此定理属于选学内容，此处不证明.以下举例以展示其应用.

解

做完了这个题目，你，有什么感想？4.超几何分布

称式(2.2.10)所示的分布为超几何分布.

超几何分布是一种常见的离散型分布,它在抽样理论中(小样本)占有非常重要的地位.

5.几何分布

§2.3连续型随机变量及其概率密度2.3.1连续型随机变量及其概率分布

（1）

非负性：

(2)正则性：

性质(2.3.2),(2.3.3)示意图

图2.3.1

注这是微积分基本定理的直接结果.

证明

结论对于连续r.v.变量而言，取单点值的概率为0，则在计算其概率时，不区分目标区间是否包含端点：

解

2.3.2常见的连续型随机变量的概率分布本小节介绍在理论研究和实际应用中都极为重要且常见的三种连续型r.v.

:(1)均匀分布(Uniformdistribution)(2)指数分布(Exponentialdistribution)(3)正态分布(Normaldistribution)最后，简单介绍统计学中一种常见的分布——伽玛分布(Gammadistribution).1.均匀分布（UniformDistribution）

与区间长度成正比，与区间位置无关.这就是“均匀”.

密度示意图

分布函数示意图

因此，所求目标概率为

因此

2.指数分布(ExponentialDistribution)

说明

(1)

指数分布是一种偏态分布(偏向于右侧).(2)

由于指数分布中随机变量只可能取非负实数,所以指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似.

证明

指数分布在可靠性理论与排队论中有着广泛的应用.

解

或直接的（回顾生存概率），有：

3.正态分布(NormalDistribution)

正态分布(NormalDistribution)是概率论与数理统计中最重要的一个分布.19世纪初高斯(Gauss,1777—1855)在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差,所以正态分布又称为高斯分布.

图2.3.2

正态分布的概率密度图形的特征:

横向平移示意图

图2.3.3分布函数

解

查标准正态分布表,得

类似计算，可知：

教师划分等级的规则：

由此可计算得:

图2.3.5

(2)在实际问题中,很多随机变量可以用正态分布描述或近似描述,譬如测量误差、人的身高、某地区年降雨量等都服从正态分布.

(3)

本书第五章的中心极限定理还将说明:一个随机变量如果是由大量微小的、独立的随机因素叠加而成,那么这个变量一般都可以认为服从正态分布.

可见：在概率论与数理统计的理论研究与实际应用中,正态分布起着非常重要的作用.*4.伽玛分布伽玛函数具有如下性质:定义2.3.6

称函数

§2.4随机变量函数的分布

本节分离散型和连续型分别讨论.2.4.1离散型随机变量函数的分布

写成表格形式，就得到(2.4.1)

解

首先

计算得到：

再由概率分布列的正则性，得：

2.4.2连续型随机变量函数的分布

这一部分对任何平方函数的分布函数推导都是成立的.

于是，有

因此：

最后，介绍一个简洁的定理，它对随机变量的严格单调函数求概率密度很方便.

(证明略.思路可见例2.4.3.)

整理，即得：

这就证明了：

第三章多维随机变量及其分布§3.1

多维随机变量及其分布函数§3.2

二维离散型随机变量及其分布§3.3

二维连续型随机变量及其分布点击标题跳转§3.4随机变量的独立性§3.5

条件分布§3.6

多维随机变量函数的分布

在第二章中,介绍了一维随机变量及其分布,但在实际问题中,对某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.

随着讨论的问题越来越广泛，就涉及对多维随机变量（Multi-dimensionalRandomVariable）统计规律的研究.本章主要讨论二维随机变量及其分布.§3.1多维随机变量及其分布函数3.1.1多维随机变量(Multi-dimensionalRandomVariable)的概念

在实际问题中,对某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.

一般地,有

3.1.2多维随机变量的联合分布函数(JointDistributionFunction)

本章主要研究二维随机变量,而二维以上的情况可作类似推广.

图3.1.1

示意图

示意图

因此，有

示意图

其中

3.1.3边缘分布函数

证明

同理可得：

一般来说，边缘（边际）分布函数不能确定联合分布函数.如：

§3.2二维离散型随机变量及其分布3.2.1二维离散型随机变量的联合分布列

3.2.2二维离散型随机变量的边缘分布列

称

式(3.2.5)的合理性:

常记为：

解由式(3.2.5)和式(3.2.6),得

§3.3二维连续型随机变量及其分布3.3.1二维连续型随机变量的概率密度(DensityofProbability)

二维联合概率密度具有以下性质:

(2)正则性:

性质(3)示意图

(1)由概率密度的正则性，有

整理，得：

图3.1.13.3.2二维连续型随机变量的边缘概率密度（MarginaldensityofProbability）

因此，有

同理：

图3.3.2

同理，由(3.3.7),得

图3.3.2

3.3.3常见的二维连续型随机变量的分布1.均匀分布（UniformDistribution）

示意图如何体现均匀？

图3.3.3

图3.3.4

2.二维正态分布

也就是：

首先,配方可得

然后,由边缘概率密度的计算公式,

巩固认知：联合分布唯一确定了边缘分布；边缘分布通常确定不了联合分布.§3.4随机变量的独立性通过随机变量的取值可以确定事件，独立性是事件的一个重要性质，因此，可以讨论随机变量的独立性.

我们用分布来正式定义随机变量的独立性.

直接观察，得：

两个边缘密度分别为：

因此，有

综合上述讨论：

图3.4.1

整理，得

同理可得,

积分区域如图3.4.2所示，因此

图3.4.2

二维随机变量的独立性可自然的推广到多维随机变量的情形.

对于离散型和连续型两种情况，可具体阐述为：

§3.5条件分布

在第一章讨论了介绍了条件概率的概念,是针对随机事件而言.在本节,将把第一章的基本理论应用到随机变量的讨论中.3.5