第10讲 不等式（寒假预习讲义）七年级数学新教材华东师大版 教学设计

第10讲不等式（寒假预习讲义）七年级数学新教材华东师大版教学设计一、教材分析本节课选自华东师大版七年级数学新教材，是寒假预习阶段的核心内容，承接小学阶段所学的数量大小比较，铺垫后续一元一次不等式（组）的解法及实际应用，是初中代数中“不等关系”学习的启蒙课，也是连接算术与代数、等式与不等式的重要桥梁。结合2022年数学新课标要求，本节课聚焦“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”三大核心素养，打破“概念灌输+机械练习”的传统模式，注重引导学生从生活实例中发现不等关系，通过探究活动提炼不等式相关知识，培养学生的抽象概括能力、逻辑推理能力和应用意识，契合七年级学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的认知特点，为后续更复杂的代数学习奠定坚实基础。教材编排遵循“生活实例→抽象概念→探究性质→应用巩固”的逻辑，贴合寒假预习“低难度、重基础、强衔接”的需求，知识点难度循序渐进，注重知识的生成过程，便于学生自主探究、逐步理解，同时预留了拓展空间，可结合预习特点补充基础应用，兼顾不同层次学生的学习需求。二、教学目标结合2022新课标数学核心素养要求，围绕“学习理解、应用实践、迁移创新”三个层面，层层递进设计教学目标，兼顾知识掌握、能力培养和素养提升，贴合寒假预习的实际需求。（一）学习理解层面1.能准确识别现实生活中的不等关系，理解不等式、不等式的解、不等式的解集的核心含义，明确它们之间的区别与联系；2.掌握不等式的基本性质，能结合具体实例说明每条性质的意义，初步感知不等式性质与等式性质的异同；3.能借助简单实例，用数学语言（文字、符号）表示不等关系，初步培养用数学眼光观察现实世界的意识。（二）应用实践层面1.能根据不等式的概念，判断一个式子是否为不等式，能识别一个数是否为某一不等式的解；2.能利用不等式的基本性质，对简单不等式进行变形（两边加、减、乘、除同一个数或式子），并能说明变形的依据；3.能结合寒假生活中的简单场景（如购物、作息、运动），列出简单的不等式，提升用数学语言表达现实世界、用数学思维思考实际问题的能力。（三）迁移创新层面1.能结合等式性质与不等式性质的异同，归纳总结不等式变形的注意事项，培养逻辑推理和归纳概括能力；2.能利用不等式的知识，解决寒假预习中的简单拓展问题（如判断不等式变形的正误、根据解集确定字母的取值范围），实现知识的初步迁移；3.能主动发现生活中的不等关系，尝试用不等式知识解释或解决，培养应用意识和创新意识，进一步落实新课标数学核心素养要求。三、重点难点（一）教学重点1.不等式、不等式的解、不等式的解集的概念理解，能准确区分三者的含义；2.不等式的基本性质，能熟练运用性质对简单不等式进行变形，并说明变形依据；3.能结合生活实例，用符号表示简单的不等关系，落实数学语言表达的核心素养。（二）教学难点1.不等式的解集的理解，尤其是区分“不等式的解”与“不等式的解集”，能初步感知解集的无限性；2.不等式基本性质3的应用，准确掌握“不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变”的规律，避免与等式性质混淆而出现错误；3.结合实际场景列不等式，能准确提取题目中的不等关系，将文字语言转化为数学符号语言，培养数学思维的严谨性。四、课堂导入（5分钟）导入设计贴合寒假生活场景，兼顾趣味性和启发性，引导学生主动发现不等关系，激发预习兴趣，落实“用数学的眼光观察现实世界”的新课标要求，同时衔接小学阶段的数量比较知识。师：同学们，寒假已经开始了，大家是不是都有自己的寒假计划呀？比如购物、运动、完成作业等等。今天我们就从寒假生活中的几个小场景，一起来发现一种新的数量关系。请大家仔细思考以下几个问题，举手分享你的想法：1.妈妈给你20元零花钱，让你去买笔记本，每本笔记本3元，你最多能买几本？买完后零花钱会有剩余吗？这里的“最多”表示什么关系？2.寒假期间，老师要求大家每天体育锻炼不少于30分钟，你每天的锻炼时间满足这个要求吗？“不少于”又表示什么关系？3.我们班同学的身高，最高的同学比最矮的同学高5厘米以上，这里的“高5厘米以上”又是一种什么关系？（引导学生自由发言，发现这些场景中都存在“不相等”的数量关系，区别于小学阶段所学的“相等”关系）师：非常好，大家都发现了这些场景中存在“不相等”的数量关系。在我们的生活中，除了“等于”这种数量关系，还有很多这样的“不等”关系，今天我们就一起来预习七年级数学中的重要内容——不等式，一起学习如何用数学的语言表示这些不等关系，用数学的思维分析这些不等关系。（设计意图：从学生熟悉的寒假生活场景入手，激发学生的学习兴趣，引导学生主动观察现实世界中的不等关系，初步感知不等式的意义，落实新课标“用数学的眼光观察现实世界”的核心素养，同时自然导入本节课的学习内容。）五、探究新知（25分钟）探究新知环节紧扣“教-学-评”一体化理念，将知识点拆分为三个核心模块，每个模块遵循“实例探究→归纳概念→即时评价”的流程，引导学生自主探究、合作交流，知识点讲解细致详尽，贴合七年级学生认知特点，同时落实新课标数学核心素养要求。模块一：不等式的概念（探究+归纳+评价）1.实例探究：结合课堂导入的场景，给出以下实例，引导学生观察、分析，找出其中的不等关系，并用简单的符号表示出来。实例1：妈妈给的20元零花钱，买每本3元的笔记本，设买x本，买x本笔记本的总费用为3x元，最多能买6本（3×6=18≤20），总费用不能超过20元，即3x≤20；实例2：每天体育锻炼不少于30分钟，设每天锻炼时间为t分钟，即t≥30；实例3：最高身高比最矮身高高5厘米以上，设最高身高为h₁厘米，最矮身高为h₂厘米，即h₁-h₂＞5；补充实例4：七年级学生的年龄一般在12岁以上，14岁以下，设年龄为a岁，即12＜a＜14；补充实例5：不等式5+3≠10，也是一种不等关系。2.合作探究：请同学们分组讨论（2人一组，寒假预习可自主思考后线上交流），观察以上这些式子，它们有什么共同的特点？与我们以前学过的等式（如3x=20、t=30）有什么区别？（给予学生3分钟思考、交流时间，教师巡视引导，重点关注学生是否能发现“不等号”这一核心特征，是否能区分等式与不等式）3.归纳概念：结合学生的交流结果，教师引导归纳，落实“用数学的语言表达现实世界”的核心素养。像3x≤20、t≥30、h₁-h₂＞5、12＜a＜14、5+3≠10这样，用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接两个代数式（或数），表示不等关系的式子，叫做不等式。补充说明：①不等号的种类：＞（大于）、＜（小于）、≥（大于或等于，也可读作“不小于”）、≤（小于或等于，也可读作“不大于”）、≠（不等于）；②不等式中可以含有未知数（如3x≤20、t≥30），也可以不含未知数（如5+3≠10、7＞5）；③等式表示“相等”关系，只有一种情况，而不等式表示“不等”关系，可能有多种情况。4.即时评价（教-学-评一体化）：请同学们判断以下式子是否为不等式，说明理由，教师即时点评，巩固概念。①2x+1=3②3y-2＜5③7+2＞9④4a≥0⑤x-3（评价要点：能准确识别不等式，明确“不等号”是判断不等式的核心，排除等式和代数式，针对错误答案及时纠正，强化概念理解）模块二：不等式的解与解集（探究+归纳+评价）1.实例探究：结合模块一中的实例1（3x≤20，x表示买笔记本的本数，x为正整数），引导学生探究“哪些x的值能满足这个不等式”。师：我们知道x是正整数，大家试着代入具体的数，看看哪些x的值能使3x≤20成立？（引导学生自主计算：x=1时，3×1=3≤20，成立；x=2时，6≤20，成立；……x=6时，18≤20，成立；x=7时，21≤20，不成立；x=8时，24≤20，不成立……）2.概念提炼：结合学生的计算结果，引导学生提炼“不等式的解”和“不等式的解集”的概念，落实“用数学的思维思考现实世界”的核心素养。①不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。例如，x=1、x=2、x=6都是3x≤20的解；x=7、x=8都不是它的解。补充说明：不等式的解可能有多个，甚至无数个，而等式的解一般只有一个（或有限个）。②不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如，3x≤20（x为正整数）的解集是x=1、2、3、4、5、6；若x为非负实数，其解集是x≤20/3（约6.67）。补充说明：解集是“所有解的集合”，是一个整体，而不等式的解是解集的一个具体成员；寒假预习阶段，暂不深入讲解数轴表示解集，仅让学生理解解集的含义，知道解集包含所有满足不等式的解即可。3.即时评价（教-学-评一体化）：请同学们完成以下题目，教师即时点评，区分“不等式的解”与“不等式的解集”。题目：判断下列说法是否正确，说明理由。①x=3是不等式2x＜7的解；②x=3是不等式2x＜7的解集；③不等式2x＜7的解集是x=3；④不等式2x＜7的解集是x＜3.5。（评价要点：能准确区分“解”和“解集”，明确解是单个值，解集是所有解的集合，针对易错点“将解等同于解集”进行重点讲解，强化概念理解）模块三：不等式的基本性质（探究+归纳+评价）1.复习铺垫：引导学生回忆等式的基本性质（等式两边同时加、减、乘、除同一个数或式子，等式仍然成立，除数不能为0），为探究不等式的基本性质做铺垫，通过对比，培养学生的逻辑推理能力。2.探究活动：结合具体不等式，引导学生自主探究“不等式两边进行加、减、乘、除运算后，不等号方向是否改变”，分三步进行，落实“用数学的思维思考现实世界”的核心素养。第一步：探究不等式两边加、减同一个数（或式子）的性质。给出不等式：5＞3，引导学生计算：5+2=7，3+2=5，7＞5→5+2＞3+2；5-2=3，3-2=1，3＞1→5-2＞3-2；5+（-1）=4，3+（-1）=2，4＞2→5+（-1）＞3+（-1）；5-（-3）=8，3-（-3）=6，8＞6→5-（-3）＞3-（-3）。归纳：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。第二步：探究不等式两边乘、除同一个正数的性质。给出不等式：5＞3，引导学生计算：5×2=10，3×2=6，10＞6→5×2＞3×2；5÷2=2.5，3÷2=1.5，2.5＞1.5→5÷2＞3÷2；5×0.5=2.5，3×0.5=1.5，2.5＞1.5→5×0.5＞3×0.5。归纳：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。第三步：探究不等式两边乘、除同一个负数的性质（难点突破）。给出不等式：5＞3，引导学生计算：5×（-2）=-10，3×（-2）=-6，-10＜-6→5×（-2）＜3×（-2）；5÷（-2）=-2.5，3÷（-2）=-1.5，-2.5＜-1.5→5÷（-2）＜3÷（-2）；补充不等式：-4＜2，计算：-4×（-3）=12，2×（-3）=-6，12＞-6→-4×（-3）＞2×（-3）。引导学生对比：当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向发生了什么变化？归纳：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。3.性质总结：结合探究结果，引导学生完整总结不等式的三条基本性质，教师补充强调易错点，帮助学生精准掌握。性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。强调：①性质3是难点，一定要注意“同一个负数”和“不等号方向改变”两个关键条件，切勿与等式性质混淆；②不等式两边不能同时乘（或除以）0，因为乘0后不等式变为等式，除以0无意义。4.即时评价（教-学-评一体化）：请同学们利用不等式的基本性质，判断下列不等式变形是否正确，说明变形依据，教师即时点评，突破难点。①由3x＞6，得x＞2；②由-2x＜4，得x＜-2；③由x+3＞5，得x＞2；④由4x＜-8，得x＞-2。（评价要点：能准确运用不等式的三条基本性质，重点关注性质3的应用，判断不等号方向是否改变，针对错误变形，引导学生找出错误原因，强化性质记忆和应用）六、课堂练习（10分钟）课堂练习紧扣本节课三个核心知识点，遵循“基础巩固→提升突破→拓展延伸”的梯度，贴合寒假预习难度，兼顾不同层次学生需求，每道题目均对应教学重点和难点，落实“教-学-评”一体化，及时巩固所学知识，培养学生的应用能力。（一）基础巩固题（对应知识点：不等式的概念、不等式的解）1.下列式子中，属于不等式的有（）①3x+1②5＞2③2x-3≤4④x+5=7⑤6≠8⑥-x≥0A.2个B.3个C.4个D.5个2.判断下列各数是否为不等式2x-1＜5的解：①x=0②x=3③x=4④x=-1（二）提升突破题（对应知识点：不等式的解集、不等式的基本性质）3.下列说法正确的是（）A.x=2是不等式4x＞8的解B.不等式4x＞8的解集是x=3C.不等式-2x＜6的解集是x＜-3D.x=5是不等式x-3＞0的解4.利用不等式的基本性质，将下列不等式变形为x＞a或x＜a的形式（说明变形依据）：①x+5＞8②3x＜-9③-2x＞6④x-7≤0（三）拓展延伸题（对应知识点：综合应用，迁移创新）5.结合寒假生活场景，列出一个含有未知数的不等式，并写出它的2个解和解集（提示：可从购物、锻炼、作业等场景入手）。练习说明：①基础题侧重概念巩固，确保所有学生掌握核心知识点；②提升题侧重难点突破，重点考查性质3的应用和解集的理解；③拓展题侧重迁移创新，引导学生结合生活实际，落实新课标数学核心素养；④学生自主完成后，教师公布答案，针对易错题型（如性质3的应用、解集与解的区分）进行重点讲解，及时查漏补缺。七、课堂总结（3分钟）课堂总结遵循“学生自主梳理→教师补充完善”的流程，引导学生回顾本节课的核心知识点，梳理知识脉络，强化重点、突破难点，同时培养学生的归纳概括能力，落实“教-学-评”一体化的收尾环节。1.学生自主梳理：请同学们闭上眼睛，回顾本节课所学内容，试着说出本节课我们学习了哪些知识点，每个知识点的核心是什么（可引导学生从“什么是不等式→什么是不等式的解与解集→不等式有哪些基本性质”三个方面梳理）。2.教师补充完善：结合学生的梳理，教师进行总结，强调重点和易错点，帮助学生构建完整的知识体系：本节课我们围绕三个核心知识点展开预习：一是不等式的概念，核心是“不等号”，能准确识别不等式；二是不等式的解与解集，重点区分“单个解”和“所有解的集合”，知道解集的无限性；三是不等式的基本性质，三条性质中，性质3是难点，一定要记住“乘（除）同一个负数，不等号方向改变”。3.素养提升总结：通过本节课的学习，我们学会了用数学的眼光观察生活中的不等关系，用数学的思维探究不等式的性质，用数学的语言表示不等关系，希望同学们在寒假期间，能主动运用所学知识，发现生活中的数学，提升自己的数学核心素养。八、课后任务（贴合寒假预习，分层设计）课后任务遵循“基础巩固+拓展提升+实践应用”的原则，分层设计，贴合寒假预习的特点，不加重学生负担，同时巩固本节课所学知识，实现知识的深化和迁移，落实新课标应用意识的培养要求。（一）基础巩固任务（必做）1.写出5个不等式，其中3个含有未知数，2个不含未知数；2.找出不等式3x-2＜7的3个解，并写出它的解集（无需用数轴表示）；3.利用不等式的基本性质，将下列不等式变形为x＞a或x＜a的形式，并说明依据：①x-4＜5②2x＞-6③-3x＜12④x+6≥9（二）拓展提升任务（选做）1.判断下列不等式变形的正误，若错误，请改正，并说明理由：①由-5x＞10，得x＞-2；②由x+3＞-2，得x＞-5；③由4x＜-8，得x＞-2。2.已知x=2是不等式ax+3＞7的一个解，求a的取值范围（提示：将x=2代入不等式，求解关于a的不等式）。（三）实践应用任务（必做，贴合寒假生活）观察自己的寒假生活，找出3个存在不等关系的场景，分别列出对应的不等式（含有未知数），并简单说明每个不等式表示的意义。任务说明：①基础任务确保学生巩固本节课核心知识点，全员掌握；②拓展任务面向学有余力的学生，培养迁移创新能力；③实践任务引导学生将知识应用于生活，落实新课标“用数学的语言表达现实世界”的核心素养；④寒假期间，学生自主完成，开学后进行交流点评，及时发现问题、解决问题。九、板书设计（简洁明了，突出重点，贴合预习课特点）板书设计遵循“简洁、重点突出、逻辑清晰”的原则，贴合七年级学生认知，便于学生回顾和复习，突出本节课三个核心知识点和易错点，避免繁琐。第10讲不等式（寒假预习）一、不等式的概念不等号：＞、＜、≥、≤、≠定义：用不等号连接，表示不等关系的式子二、不等式的解与解集解：单个满足不等式的未知数的值解集：所有解的集合（无限性）三、不等式的基本性质1.加、减同一个数（式子），方向不变2.乘、除同一个正数，方向不变3.乘、除同一个负数，方向改变（难点）易错点：性质3的应用（不等号方向）核心素养：观察、思考、表达（数学眼光、思维、语言）十、教学反思本节课作为七年级数学寒假预习课，围绕“不等式”的三个核心知识点展开，紧扣2022新课标数学核心素养要求，以“教-学-评”一体化为核心，结合学生熟悉的寒假生活场景设计教学，贴合七年级学生认知特点，注重知识的生成过程和学生的自主探究，整体教学流程清晰、知识点讲解细致，基本达成了预设的教学目标，但结合预习课的特点和学生的实际情况，仍有需要改进的地方，具体反思如下：（一）教学亮点1.贴合新课标要求，落实核心素养：整个教学设计围绕“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”三大核心素养展开，从生活实例导入，引导学生自主探究，注重知识的生成和能力的培养，避免了机械灌输，贴合新课标“以学生为主体、素养为重”的理念。2.教-学-评一体化贯穿始终：每个探究模块都设计了即时评价环节，课堂练习分层设计，课堂总结和课后任务也紧扣评价目标，能及时了解学生的学习情况，查漏补缺，确保学生掌握核心知识点，同时培养学生的应用能力和迁移创新能力。3.贴合寒假预习特点，分层设计：教学内容难度循序渐进，重点突出基础，难点适当突破，课堂练习和课后任务均分层设计，兼顾不同层次学生的需求，实践任务贴合寒假生活，能激发学生的学习兴趣，同时落实知识的应用，符合寒假预习“低难度、重基础、强衔接”的要求。4.难点突破有效：针对不等式基本性质3这一难点，通过具体实例探究、对比等式性质、即时练习纠错等方式，引导学生逐步理解“乘（除）同一个负数，不等号方向改变”的规律，同时强调易错点，帮助学生精准掌握，降低了预习难度。（二）存在不足1.学生自主探究的深度不足：由于是寒假预习课，学生可能处于放松状态，自主探究和合作交流的积极性不够高，部分学生依赖教师的引导，缺乏主动思考的意识，导致探究活动的效率不够高，对知