勾股试题及答案

勾股试题及答案一、基础巩固题1.已知直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，求斜边的长度。2.一个直角三角形的斜边为13m，其中一条直角边为5m，求另一条直角边的长度。3.若△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点D在BC上，且AD=BD，求CD的长。4.已知△ABC的三边分别为a=7，b=24，c=25，判断△ABC是否为直角三角形，若是，指出直角对应的顶点。二、拓展提升题5.如图（注：此处可想象图形：矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，点A落在矩形内的点F处，且DF=2），求AE的长。6.一个等腰三角形的周长为32cm，底边长为12cm，求底边上的高。7.已知△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P为BC边上一动点（不与B、C重合），过点P作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，求PD+PE的值。8.如图（注：想象立体图形：一个底面为正方形的长方体，底面边长为3，高为4，一只蚂蚁从下底面的顶点A出发，沿表面爬到上底面的顶点C'，求最短路径的长度）。三、实际应用题9.一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙3米。若梯子顶端下滑1米，求此时梯子底端离墙的距离。10.一棵树在离地面4米处折断，树的顶部落在离树根底部3米的地方，求这棵树折断前的高度。11.如图（注：想象平面图形：河两岸平行，河宽60米，A、B分别在河的两岸，且A到河岸的垂直距离为20米，B到河岸的垂直距离为10米，A、B在河岸上的投影点相距80米），现要在河上建一座垂直于河岸的桥，使从A到B的路径最短，求最短路径的长度。12.某公园有一块直角三角形的绿地，两条直角边分别为60米和80米，现要在绿地内部修建一条笔直的小路，连接两条直角边上的点，使得小路将绿地分成面积相等的两部分，且小路的长度最短，求最短小路的长度。四、综合探究题13.已知正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边AD上，且∠ECF=45°，设AE=x，AF=y，证明：x+y=xy。14.如图（注：想象坐标系：平面直角坐标系中，点A(0,3)，点B(4,0)，点C为x轴上一动点，连接AC、BC，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标。15.探究勾股定理的证明方法：（1）用赵爽弦图证明勾股定理；（2）用美国总统伽菲尔德的梯形面积法证明勾股定理。16.已知△ABC中，AB=√5，AC=2√2，BC=3，D为BC的中点，求AD的长度（用两种方法解答：①勾股定理结合中线公式；②坐标系法）。答案及解析1.解析：根据勾股定理，斜边c=√(a²+b²)=√(5²+12²)=√(25+144)=√169=13cm。答案：13cm。2.解析：设另一条直角边为b，则b=√(c²-a²)=√(13²-5²)=√(169-25)=√144=12m。答案：12m。3.解析：由∠C=90°，AB=10，AC=6，得BC=√(AB²-AC²)=√(100-36)=8。设CD=x，则BD=BC-CD=8-x。因AD=BD=8-x，在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²，即(8-x)²=6²+x²，展开得64-16x+x²=36+x²，化简得-16x=-28，解得x=1.75。答案：CD=1.75。4.解析：验证a²+b²=7²+24²=49+576=625=25²=c²，满足勾股定理逆定理，故△ABC为直角三角形，直角顶点为C（因c为斜边，对应角C）。答案：是直角三角形，直角顶点为C。5.解析：矩形ABCD中，AB=8，BC=6，AD=BC=6，设AE=x，则DE=AD-AE=6-x。折叠后，BF=AB=8，EF=AE=x，∠BFE=∠A=90°。在矩形中，DF=2，故AF'（F到AD的距离）可通过坐标系分析：设A(0,0)，B(8,0)，D(0,6)，则F坐标为(m,n)，由DF=2得√(m²+(n-6)²)=2，且BF=8得√((m-8)²+n²)=8，EF=x得√(m²+n²)=x（因E在AD上，E(0,x)）。又F在矩形内，联立方程：m²+(n-6)²=4，(m-8)²+n²=64，展开得m²+n²-12n+36=4→m²+n²=12n-32，m²-16m+64+n²=64→m²+n²=16m。故12n-32=16m→3n-8=4m→n=(4m+8)/3。代入m²+n²=16m，得m²+(16m²+64m+64)/9=16m，两边乘9：9m²+16m²+64m+64=144m→25m²-80m+64=0→(5m-8)²=0→m=8/5=1.6，则n=(4×1.6+8)/3=(6.4+8)/3=14.4/3=4.8，故EF=x=√(m²+n²)=√(2.56+23.04)=√25.6=√(128/5)=8√10/5=1.6√10？此处可能计算有误，换思路：折叠后，AF=EF=x，DE=6-x，在Rt△DEF中，DF=2，EF=x，DE=6-x，由勾股定理：x²=(6-x)²+2²→x²=36-12x+x²+4→12x=40→x=10/3≈3.33。（注：之前坐标系法错误，正确应为F在矩形内，DF=2，DE=6-x，EF=x，Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，即x²=(6-x)²+2²，解得x=10/3。）答案：AE=10/3cm。6.解析：等腰三角形底边长12cm，两腰长=(32-12)/2=10cm。底边上的高h将底边平分，故h=√(10²-6²)=√(100-36)=√64=8cm。答案：8cm。7.解析：连接AP，△ABC面积=1/2×BC×高=1/2×12×8=48（高由AB=AC=10，BC=12，得高=√(10²-6²)=8）。△ABP面积=1/2×AB×PD=5PD，△ACP面积=1/2×AC×PE=5PE，总面积=5PD+5PE=48→PD+PE=48/5=9.6。答案：9.6cm。8.解析：长方体底面边长3，高4，A为下底面顶点(0,0,0)，C'为上底面顶点(3,3,4)。蚂蚁沿表面爬行，最短路径需展开相邻面：展开前面和右面：路径长=√[(3+3)²+4²]=√(36+16)=√52=2√13≈7.21；展开前面和上面：路径长=√[(3+4)²+3²]=√(49+9)=√58≈7.62；展开左面和上面：路径长=√[(3+4)²+3²]=√58≈7.62；故最短路径为2√13。答案：2√13。9.解析：初始时，梯子顶端高度h=√(5²-3²)=4米。下滑1米后，顶端高度为4-1=3米，设此时底端离墙x米，则x=√(5²-3²)=4米。答案：4米。10.解析：折断部分长度为√(4²+3²)=5米，故原高=4+5=9米。答案：9米。11.解析：将B点向河岸方向平移60米（桥宽）至B'，则A到B的最短路径为A到B'的直线距离，长度=√[(80)²+(20+10)²]=√(6400+900)=√7300=10√73≈85.44米。答案：10√73米。12.解析：直角三角形面积=1/2×60×80=2400，小路分面积为1200。设小路连接直角边60上的点P（距直角顶点x米）和80上的点Q（距直角顶点y米），则1/2×x×y=1200→xy=2400。小路长度L=√(x²+y²)，由均值不等式，x²+y²≥2xy=4800，当且仅当x=y=√2400=20√6时取等，但x≤60，y≤80，20√6≈48.99<60且<80，故最短L=√(4800)=40√3≈69.28米。答案：40√3米。13.解析：延长AB至G，使BG=AF=y，则△CBG≌△CAF（SAS），故CG=CF，∠BCG=∠ACF。因∠ECF=45°，∠ACB=90°，故∠ACE+∠ACF=45°，即∠ACE+∠BCG=45°，故∠ECG=∠ECB+∠BCG=∠ACE+∠BCG=45°=∠ECF。△ECG≌△ECF（SAS），故EG=EF。EG=BE+BG=(1-x)+y=1-x+y，EF=√(AE²+AF²)=√(x²+y²)，故1-x+y=√(x²+y²)，两边平方得1-2x+x²+2y-2xy+y²=x²+y²，化简得1-2x+2y-2xy=0→2y-2x=2xy-1→2(y-x)=2xy-1（可能错误，换思路：旋转△CDF至△CBG，使CD与CB重合，则CF=CG，∠FCG=90°，∠ECF=45°，故∠ECG=45°，△ECF≌△ECG，EF=EG=BE+BG=BE+DF=(1-x)+(1-y)=2-x-y。而EF=√(x²+y²)，故2-x-y=√(x²+y²)，平方得4-4x-4y+x²+2xy+y²=x²+y²，化简得4-4x-4y+2xy=0→2xy-4x-4y+4=0→xy-2x-2y+2=0→xy=2x+2y-2（与题目结论不符，可能题目条件有误，正确结论应为x+y+xy=1？或调整辅助线）。正确方法：过C作CH⊥EF于H，由面积法，S△CEF=S△CBE+S△CDF=1/2×1×(1-x)+1/2×1×(1-y)=1/2(2-x-y)。又S△CEF=1/2×EF×CH，而CH=1（正方形边长），故EF=2-x-y。又EF=√(x²+y²)，故√(x²+y²)=2-x-y，平方得x²+y²=4-4x-4y+x²+2xy+y²，化简得0=4-4x-4y+2xy→2xy=4x+4y-4→xy=2x+2y-2，与题目要求x+y=xy不符，可能题目条件应为∠ECF=45°且E在AB，F在AD，正确结论应为x+y=xy当且仅当其他条件，可能题目有误，暂按正确步骤解答。14.解析：点C在x轴上，设C(t,0)。△ABC为直角三角形，分三种情况：∠A=90°：向量AB=(4,-3)，向量AC=(t,-3)，AB·AC=4t+9=0→t=-9/4，故C(-9/4,0)；∠B=90°：向量BA=(-4,3)，向量BC=(t-4,0)，BA·BC=-4(t-4)=0→t=4，故C(4,0)（与B重合，舍去）；∠C=90°：向量CA=(-t,3)，向量CB=(4-t,0)，CA·CB=-t(4-t)=0→t=0或t=4（t=0为A，舍去；t=4为B，舍去）。另，用距离公式：AC²+BC²=AB²→t²+9+(t-4)²=25→2t²-8t+16=25→2t²-8t-9=0→t=(8±√(64+72))/4=(8±√136)/4=(8±2√34)/4=2±(√34)/2；或AB²+AC²=BC²→25+t²+9=(t-4)²→34+t²=t²-8t+16→8t=-18→t=-9/4（与∠A=90°一致）；或AB²+BC²=AC²→25+(t-4)²=t²+9→25+t²-8t+16=t²+9→-8t=-32→t=4（舍去）。故C点坐标为(-9/4,0)或(2+√34/2,0)或(2-√34/2,0)。答案：C(-9/4,0)、(2+√34/2,0)、(2-√34/2,0)。15.解析（1）赵爽弦图：四个全等的直角三角形（直角边a、b，斜边c）围成正方形，中间小正方形边长为b-a。大正方形面积=c²=4×(1/2ab)+(b-a)²=2ab+a²-2ab+b²=a²+b²，故c²=a²+b²。（2）伽菲尔德梯形法：梯形由两个直角三角形（直角边a、b）和一个等腰直角三角形（直角边c）组成，梯形面积=1/2(a+b)(a+b)=1/2(a²+2ab+b²)。又梯形面积=2×(1/2ab)+1/2c²=ab+1/2c²，故1/2(a²+2ab+b²)=ab+1/2c²→a²+b²=c²。