三角形内角和定理(第2课时)课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.1三角形内角和定理(2)

第一章

三角形的证明及其应用课标要求1.理解三角形及其内角、外角等概念；2.掌握推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。目标要求1.了解并掌握三角形外角的定义。(重点)2.掌握三角形外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。(难点)3.在解决问题过程中，引导学生思考探究三角形内角平分线，外角平分线的

常用结论。2.在△ABC中，(1)∠C=90°，∠A=30°，则∠B=

；(2)∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=

。1.三角形三个内角的和等于

度。3.在△ABC中，

∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A=

，∠B

=

,∠C

=

。40°60°80°65°60°180温故知新ABC123三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角称为三角形的外角。组成∠1的两条边有什么特征？想一想你能在图中画出△ABC的其他外角吗？ACB123图中的∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？思考·交流∠1与∠4的关系是：

。4∠1与∠2，∠3的关系是：①

；互补∠1=∠2＋∠3②

；③

。∠1＞∠3∠1＞∠2证明：∵在△ABC中，∠4＋∠2＋∠3=180°，∴∠2＋∠3=180°－∠4。∵∠4＋∠1=180°，∴∠1=180°－∠4。∴∠1=∠2＋∠3。∵∠1=∠2＋∠3，∴∠1＞∠2，∠1＞∠3。【方法一】证明：过C作CE∥AB，则∠5=∠2，∠6=∠3。∵∠ACF=∠5＋∠6，∴∠ACF=∠2＋∠3。【方法二】56EACB234F已知：△ABC，求证：∠ACF=∠2＋∠3。思考·交流相邻内角外角不相邻内角三角形的内角，外角及其相互关系【推论】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。【推论】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。ACB123456如图：∠5=

；∠5＞

；∠5＞

。∠6=

；∠6＞

；∠6＞

。∠3＋∠4∠3∠4∠2＋∠4∠2∠4思考·交流学一学

在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新结论。像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论。推论可以当做定理使用。你能在下图中找出三角形的外角吗？∠BEF是

的外角，也是

的内角；∠BDC是

的外角，也是

的内角；∠BFC是

的外角，也是

的内角。△AEC△BEC，△BEF△ABD△BDC，△CDF△BEF，△CDF

△BFC试一试随堂练习1.如图，在△ABC中，∠A=45°，外角∠DCA=100°。

求∠B和∠ACB的度数。ABCD解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A＋∠B。∴∠B=∠ACD－∠A=100°－45°=55°。∵∠ACD＋∠ACB=180°，∴∠ACB=180°－100°=80°。随堂练习2.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，

那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？ABC312解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，∴∠1=∠ABC＋∠ACB,∠2=∠BAC＋∠ACB,∠3=∠BAC＋∠ABC。∴∠1＋∠2＋∠3=∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ABC

=2∠ABC＋2∠ACB＋2∠BAC

=2(∠ABC＋∠ACB＋∠BAC)。

∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC=180°，∴∠1＋∠2＋∠3=2×180°=360°。重要结论：三角形的外角和为360°。例题学习

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求证：AD∥BC。例2ABCDE

∴∠DAC=∠C

。∴AD∥BC。你还有其他证明方法吗？例题学习

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求证：AD∥BC。例2ABCDE

∴∠EAD=∠B。∴AD∥BC。【方法二】例题学习

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求证：AD∥BC。例2ABCDE

∵AD平分∠EAC(已知)，∴∠EAD=

∠CAD。∴∠CAD=∠C。∴AD∥BC。【方法三】

例题学习例3证明：如图延长BP，交AC于点D。∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)，∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角大于任

何一个和它不相邻的内角)。已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC。求证：∠BPC＞∠A。ABCPD∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，∴∠PDC＞∠A(三角形的一个外角大于任何

一个和它不相邻的内角)。∴∠BPC＞∠A。你还有其他证明方法吗？例题学习例3证明：连接AP并延长，交BC于点E。∵∠1是△ABP的一个外角(外角的定义)，∴∠1＞∠2(三角形的一个外角大于任

何一个和它不相邻的内角)。已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC。求证：∠BPC＞∠A。ABCPE∵∠3是△ACP的一个外角(外角的定义)，∴∠3＞∠4(三角形的一个外角大于任何

一个和它不相邻的内角)。∴∠1＋∠3＞∠2＋∠4，即∠BPC＞∠BAC。2143【方法二】例题学习例3证明：过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F。

∴∠1=∠A。

已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC。求证：∠BPC＞∠A。ABCP∴∠2＞∠A。∵∠BPC＞∠2，∴∠BPC＞∠A。12【方法三】EF∵∠2是△CEP的外角，∴∠2＞∠1(三角形的一个外角大于任

何一个和它不相邻的内角)。三角形的外角定义外角的一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线。性质1.三角形的外角等于与它不相邻

的两个内角的和。三角形的外角和三角形的外角和等于360°。2.三角形的外角大于与它不相邻

的任何一个内角。课堂小结习题1.13.如图，∠ACD是△ABC的一个外角，过点D的直线

分别交AC和AB于点E，F。下列哪个结论一定不正确？

(1)∠B＞∠ACD；

()

(2)∠B＋∠ACB=180°－∠A；

()

(3)∠B＋∠ACB＜180°；

()

(4)∠FEC＞∠B。

()ABCFED×√√√习题1.116.如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高。

(1)已知∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数。

你还能求出哪些角的度数？

(2)∠DAE与∠B，∠C有怎样的关系？为什么？ABCDE40°60°

∵AE分别是△ABC的高，∴∠AEB=∠AEC=90°。∵∠AEC＋∠C＋∠EAC=180°，∴∠EAC=180°－90°－60°=30°，∴∠DAE=∠DAC－∠EAC=40°－30°=10°。此外，∠ADE=90°－10°=80°，∠ADB=180°－80°=100°。习题1.116.如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高。

(1)已知∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数。

(2)∠DAE与∠B，∠C有怎样的关系？为什么？ABCDE

∵AE分别是△ABC的高，∴∠AEB=∠AEC=90°。∵∠AEC＋∠C＋∠EAC=180°，∴∠EAC=180°－90°－∠C=90°－∠C。

17.已知：如图，点D在∠BAC的内部。求证：

(1)∠BDC＞∠A；

(2)∠BDC

=∠B＋∠C＋∠A。DABCE习题1.1证明:(1)如图延长BD，交AC于点E。∵∠BDC是△CDE的一个外角，∴∠BDC＞∠CED(三角形的一个外角大于任

何一个和它不相邻的内角)。∵∠CED是△ABE的一个外角，∴∠CED＞∠A(三角形的一个外角大于任何

一个和它不相邻的内角)。∴∠BDC＞∠A。DABCE习题1.1证明:(2)∵∠BDC是△CDE的一个外角，∴∠BDC

=∠C＋∠CED(三角形的一个外角等

于和它不相邻的两个内角的和)。∵∠CED是△ABE的一个外角，∴∠CED=∠A＋∠B(三角形的一个外角等

于和它不相邻的两个内角的和)。∴∠BDC=∠A＋∠B＋∠C。17.已知：如图，点D在∠BAC的内部。求证：

(1)∠BDC＞∠A；

(2)∠BDC

=∠B＋∠C＋∠A。18.在上题中，如果点D在线段BC的另一侧，分别求∠D与∠A,∠B,∠C的关系。

(1)若∠D在∠BAC的内部时；(2)若∠D在∠BAC的外部时。

DABC习题1.1解：(1)当∠D在∠BAC的内部时，如图连接AD，∵∠BAD＋∠B＋∠ADB=180°，

∠CAD＋∠C＋∠ADC=180°，∴∠BAC＋∠B＋∠BDC＋∠C=180°＋180°=360°。

即∠D=360°－∠BAC－∠B－∠C。DABCE(2)当∠D在∠BAC的外部时。如图延长AC，交线段BD于点E。∵∠ACD=∠CED＋∠D，∠CED=∠A＋∠B，∴∠ACD=∠D＋∠A＋∠B，

即∠D=∠ACD－∠A－∠B。若将∠ACD看做大于平角的内角∠C，则∠D=360°－∠C－∠A－∠B。2.将一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角∠1=

。60°30°45°45°随堂检测1.将图中∠1、∠2、∠3按由大到小的顺序排列为

。321ABCDE∠1、∠