角平分线（二）课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明1.5.2角平分线二学习目标1.能熟练运用角平分线的性质定理和判定定理解决相关的问题，

进一步提升思维和推理能力2.理解并掌握三角形的三条角平分线的特征,温故知新上一节课我们探索了角平分线的相关知识:性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(1)角平分线性质是什么?其作用是什么?作用:已知角平分线,证垂线段相等(2)利用角平分线性质解决问题时常作的辅助线是什么?常作辅助线:过角平分线的一点,作边的垂线(3)判定角平分线的方法有哪些?①定义(证角相等)②判定定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在

这个角的平分线上.(证垂线段相等)新知探究如图,OC是∠AOC的平分线,P为OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E,下列结论正确的有哪些,并简要说明理由.OBAPED12CM(1)PD=PE(2)OD=OE(3)OP垂直平分DE(4)OC平分∠DPE以上结论都正确.典例精析例1如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD.CDABE∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm

解:

(2)证明：由(1)的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE(全等三角形的对应边相等).∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.CDABE小试一下

F解:过D作DF⊥AC于F,

典例精析例2已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P.求证：∠A的平分线经过点P.分析：要证明∠A的平分线经过点P，需要什么条件?PABNCM(1)连接AP证明∠NAP=∠MAP(2)过点P作边AB,AC的垂线,证明垂线段相等.尝试上面的两种方案,你能证明吗?证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，

垂足分别为D，E，F.PABNCMDFE∵BM是△ABC的角平分线，∴PD=PE().同理，PE=PF.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等∴点P在∠A的平分线上()，即∠A的平分线经过点P.∴PD=PE=PF.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上通过本题的结论,你还能得到哪些相关的结论?三角形的三条角平分线交与一点，并且这点到三边的距离相等尝试·思考取一张纸，在纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，验证前面结论.三角形的三条角平分线交内部于一点，并且这点到三边的距离相等1.

如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，

∠BOC＝110°，则∠A的度数为(

)当堂测评A．35°B．40°C．50°D．70°B2.如图，这是一块三角形的草坪，现要在草坪上

建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边

的距离相等，凉亭的位置应选在(

)A．△ABC的三条中线的交点处B．△ABC三边垂直平分线的交点处C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三条高所在直线的交点处CABCA．1∶1∶1B．7∶6∶5C．6∶5∶7D．5∶6∶7D3.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是50，60，70，其三条角

平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(

)

5

6.如图,用尺规在∠AOB内部作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB两边的

距离相等。(1)作CD的垂直平分线MN(2)作∠AOB的平分线OE直线MN与OE