湖南省衡阳市2026年高三第一次模拟考试数学试题（人教版）（试卷及解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省衡阳市2026年高三第一次模拟考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（

）A．62 B．66 C．56 D．464．平行四边形中，，，，点M为边的中点，则（

）A． B． C．-4 D．45．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么10h后的污染物含量是初始含量的（

）A． B． C． D．6．游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（

）A．336 B．120 C．56 D．247．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（

）A． B． C． D．8．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于两点（在第一象限，在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则的值为（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．若，则关于事件的关系正确的是（）A．事件与互斥 B．事件与不互斥C．事件与不相互独立 D．事件与相互独立10．已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（

）A．是以4为周期的周期函数B．点是函数的一个对称中心C．D．函数有4个零点11．过点的直线分别交正半轴于点，则（

）A．△面积最小时，的方程为B．最小时，点到直线的距离为C．的最小值为D．周长最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知随机变量，若，则．13．已知等差数列的首项，公差，前项和，则．14．已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)求的前项和．16．已知曲线在处的切线为.(1)求切线的方程；(2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）.17．已知函数.(1)当时，证明：；(2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围.18．已知椭圆的长轴长为，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知曲线为该曲线上不同的三点，若直线均与椭圆相切，请判断直线与椭圆是否相切并说明理由．19．甲同学通过掷骰子的方式在边长为1个单位长度的正方形的场地上玩游戏，从起点出发，沿着正方形四边的顺序行走.若第（）次抛掷得到的点数（），记作，则甲从当前位置按顺序走个单位长度，下一次继续按照以上规则行走.记数列的前项和为，次游戏之后甲的位置记为，并规定：当甲在处时，甲在处时，甲在处时，甲在处时.(1)当时，求的概率和的概率；(2)当时，求随机变量的概率分布列和期望；(3)若，设，试确定该展开式中各项系数与事件（，）的联系，并求的概率.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省衡阳市2026年高三第一次模拟考试数学试题（解析版）题号12345678910答案ACDDBDCDBDBC题号11答案ACD1．A【分析】直接进行交集运算即可求解.【详解】因为集合，，所以，故选：A.2．C【分析】根据对数的运算性质，以及不等式的性质和充分必要条件的定义判断即可.【详解】若，根据对数函数的单调性可知，则，即充分性成立；若，可得，，即必要性成立.故“”是“”的充分必要条件.故选：C.3．D【分析】根据题意，求得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由数列是首项为，公比为2的等比数列，可得，所以，所以数列的前5项之和为.故选：D.4．D【分析】由基底表示表示，再结合题设和数量积的运算律即可计算求解.【详解】由题得，所以.故选：D5．B【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可求解.【详解】当时，；当时，，即，当时，，即10h后，污染物含量是初始含量的.故选：B.6．D【分析】利用插空法可得结果.【详解】在空置的5个车位的4个间隔安排三辆不同的车，故选：D.7．C【分析】由圆柱内切球的特性可知，然后求体积计算比值即可.【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为，又圆柱存在内切球，所以，，所以.故选：C.8．D【分析】根据抛物线标准方程确定焦点与准线，再利用直线的倾斜角求出其方程，接着联立直线与抛物线方程，通过代入消元得到关于交点坐标的二次方程，并根据象限位置确定两点的具体坐标，然后运用抛物线的几何性质，将点到焦点的距离转化为到准线的垂线段长度，通过坐标计算两点到原点的距离，最后将两距离相比即得.【详解】由抛物线方程，得焦点，准线方程为，过且倾斜角为的直线斜率为，直线方程为：联立直线与抛物线方程：将代入，得：整理得：解得：，由于点在第四象限，点在第一象限，则，过点作准线的垂线，垂足的坐标为，，，故.故选：D9．BD【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断即可.【详解】因为，所以事件与不互斥，A错误B正确；因为，所以.所以，又，所以，所以事件与相互独立，C错误D正确.故选：BD.10．BC【分析】根据函数的性质求函数的周期可判断A的真假；探究与的关系判断B的真假；根据函数的周期性求函数值，判断C的真假；分别作出函数与的草图，数形结合，根据两函数图象交点的个数，判断函数的零点个数，判断D的真假.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，又因为，所以函数的图象关于直线对称.所以，所以.所以函数是周期为8的周期函数，所以选项A错误；因为，，所以，所以函数的图象关于点中心对称，故选项B正确；因为函数是周期为8的周期函数，所以，，所以，故选项C正确；当时，，所以.由；由.所以函数在上单调递减，在上单调递增.且，，.作出函数与函数的图象，如图所示：可知两个函数的图象有3个交点，因此函数有3个零点，所以选项D错误.故选：BC11．ACD【分析】设的方程为：，则，根据基本不等式求出后可判断AB正误，利用三角换元可判断C的正误，利用直线的倾斜角的补角表示周长，再结合三角变换和基本不等式可求最小值，从而判断D的正误.【详解】设的方程为：，则，因为过，故.，对于A，由基本不等式有即，当且仅当时等号成立，故，此时即的方程为：即，故A正确；对于B，，当且仅当即时等号成立，此时点到直线的距离为，故B错误；对于C，，设，则，则，故，其中，故，设，其中，则当时，，当，，故在上为减函数，在上为增函数，故当时，而，故，故C正确；对于D，设直线的倾斜角的补角为，则故的周长为，当且仅当即时等号成立，故周长最小值为，故D正确.故选：ACD.12．0.2/【分析】借助正态分布的对称性计算即可得.【详解】由题意，.故答案为：.13．6【分析】根据等差数列前项和的公式列方程即可.【详解】因为等差数列的首项，公差，前项和，由得，解得.故答案为：6.14．/【分析】易知，所以为等腰三角形，所以连接，延长交于点，则为的中点.根据三点共线，及三点共线，求得.设，结合勾股定理列出相应的方程，求解得的值，进而得到的值.【详解】因为点是的外心，所以过作的垂线，交于点，则为的中点.由题可知，，所以，所以.因为，所以.所以为等腰三角形.连接，延长交于点，则为的中点.设，则.由，得；所以；由，，得.所以，解得.设，则，，所以，.由，得，所以，所以.所以.15．(1)(2)【分析】（1）由题意可得，结合等比数列的定义可得，即可求解；（2）由（1），结合错位相减法计算即可求解.【详解】（1）由，得，即，得，又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，则，所以.（2）由（1）知，，，两式相减得，所以.16．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可；（2）结合（1），将问题化为证明，令，利用导数证明恒成立，即可.【详解】（1）由，得，所以，又，所以切线方程为，即；（2）结合（1），令，则，令，则，令，得，所以时，时，所以在上单调递减且恒小于0，在上单调递增，注意到，所以有唯一根，时，在上单调递减，时，在上单调递增，所以函数，则，当且仅当时取等号，所以切线在曲线的下方（切点除外），得证.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可；（2）求导后，分和讨论单调性和极值，当时，构造函数，由导数分析单调性解抽象函数不等式可得.【详解】（1）时，，，时，；时，，所以在区间上单调递增，上单调递减，所以.（2），时，，在上单调递增，无极值；时，时，；时，，所以在区间上单调递增，上单调递减，所以的极大值为，令，则，所以在区间上单调递增，由已知，所以，解得，综上，.18．(1)(2)直线与椭圆相切，理由见解析.【分析】（1）由题意可得，，即可求得，即可得答案；（2）设，由直线均与椭圆相切，可得①，②，将可以看作方程的两个根，由韦达定理可得，即可得结论.【详解】（1）由题意可得，解得，又因为离心率为，所以，解得，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）直线与椭圆相切，理由如下：设，则．直线的方程为，即．同理可得直线的方程为，直线的方程为，与椭圆方程联立得，化简得．由与椭圆相切可得，即，①由与椭圆相切同理可得，②那么若证出③，则与椭圆相切．下证与椭圆相切：由①②可知，可以看作方程的两个根，由韦达定理得.所以，故③成立，所以直线与椭圆相切.19．(1)，(2)分布列见解析，期望为(3)答案见解析，【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算，利用古典概型概率公式计算；（2）求出随机变量的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用期望公式求解期望；（3）结合二项式系数和