2025-2026学年上海进才中学高一上学期数学周练（含答案）

/进才中学2025-2026学年第一学期高一年级数学周练1一、填空题1．若集合，则．2．设是实数，集合，若，则．3．若＂＂是＂＂的必要条件，则的取值范围是．4．已知集合，试用例举法表示集合，则．5．命题＂对于任意的成立＂的否定形式为．6．全集是不大于20的素数，则集合．7．已知，则＂＂是＂＂的条件（从＂充分非必要＂、＂必要非充分＂、＂充要＂、＂既非充分也非必要＂中选择一个作答）．8．已知集合，则中所含元素的个数为．9．已知集合，且满足，则实数的值是．10．是有理数集，集合，在下列集合中：（1）;（2）；（3）；（4）．与集合相等的集合序号是．11．对于区间我们规定是这个区间的＂长度＂．已知都是集合的子集，，则集合＂长度＂的取值范围是．12．高一的同学发现对于一个有限集，一般都可以找到两个非空数集和，满足，且，记集合为的一个＂划分集＂．若中有个元素，则不同的＂划分集＂共有个（用含的表达式填空）．二、选择题13．已知集合，设，下列说法正确的是（）.A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充要条件 D．是的既不充分也不必要条件 14．下列关于集合运算的结论，错误的是（）.A．B．C．D．15．己知集合，若，则（）.A．1B．-1C．0D．216．如图，己知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）.A．B．C．或D．或 三、解答题17．设集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．18．设，求证：中至少有一个为非负数．19．命题甲：关于的方程无实根；命题乙：关于的方程有两个不相等的正根，设命题甲、命题乙为真命题时实数的取值分别组成集合．（1）求集合；（2）若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围；20．己知非空数集满足：对任意给定的可以相同），有且．（1）哪个数一定是中的元素？说明理由；（2）若是有限集，求；（3）若中最小的正数为5，求．21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为＂和谐集＂.（1）判断集合是否是＂和谐集＂，并说明理由；（2）求证：若集合是＂和谐集＂，则集合中元素个数为奇数；（3）若集合是＂和谐集＂，求集合中元素个数的最小值． 答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.存在;6.;7.充要;8.;9.;10.④；11.12.11．对于区间我们规定是这个区间的＂长度＂．已知都是集合的子集，，则集合＂长度＂的取值范围是．【正确答案】区间长度为1，区间长度为，当时，，区间长度为1，取得最大值，当时，区间长度为，取得最小值，故集合＂长度＂的取值范围是．12．高一的同学发现对于一个有限集，一般都可以找到两个非空数集和，满足，且，记集合为的一个＂划分集＂．若中有个元素，则不同的＂划分集＂共有个（用含的表达式填空）．【正确答案】集合中的每个元素都有属于或属于两种情况，故共有种情况，排除全都属于或的两种情况，考虑对称情况，故不同的＂划分集＂共有个．二、选择题13.B14.D15.C16.B15．己知集合，若，则（）.A．1B．-1C．0D．2【正确答案】C因为，所叱或，解得．故选．16．如图，己知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）.A．B．C．或D．或 【正确答案】B集合，而，则，图中阴影部分表示的集合为．故选．三、解答题17.（1）（2）18.证明略19.（1）（2）20．己知非空数集满足：对任意给定的可以相同），有且．（1）哪个数一定是中的元素？说明理由；（2）若是有限集，求；（3）若中最小的正数为5，求．【正确答案】（1）0（2）（3）（1）数字0一定是中的元素，若，则，即．（2）为有限非空数集，假设中有非零元素，则有形如的所有实数都是的元素，与是有限集矛盾，所以；（3）中最小的正数为5，则5的正整数倍一定是中元素，又，故当时，，故所有形如（为整数）的数都是中的元素，假设中有形如的元素，那么，这与中最小正整数5矛盾，综上，．21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为＂和谐集＂。（1）判断集合是否是＂和谐集＂，并说明理由；（2）求证：若集合是＂和谐集＂，则集合中元素个数为奇数；（3）若集合是＂和谐集＂，求集合中元素个数的最小值．【正确答案】（1）不是（2）证明见解析（3）最小值是7．（1）对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是＂和谐集＂，（2）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，因此的奇偶性相同，①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，②若为偶数，此时取，得仍满足题中条件，集合也是＂和谐集＂，若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的＂和谐集＂，由①得为奇数；综上，集合中元素个数为奇数；（3）由（2）得集合中元素个数为奇数，当时，显然任意集合不是＂和谐集＂．当时，不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相