2025-2026学年上海普陀高三一模实心试题数学试题 附答案

/普陀区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模一、填空题（本大题共有12题，满分54分）每个空格填对前6题得4分、后6题得5分.1．已知集合，，则.2.不等式的解集为________.3.若复数是纯虚数，且，则的实部为.4.若，则的最小值是________.5.设，，是等差数列的前项和，若，，则该等差数列的公差为.6.的展开式中含项的系数是_______.第8题图7.设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为_______.第8题图8.在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为________.9.设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为________.10.某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个维向量表示.若某位置编码可以写成的形式，其中、、，则在仅考虑前个位置的情况下，、、恰好取个不同值的编码共有_______个.11.设是边长为的正六边形所在平面上的一点，若点、、满足，则的最小值是________.12.设，函数和的表达式分别为，，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）.13.下列函数中，周期为的奇函数是（）.14.已知直线、和平面、，且，，则下列命题中正确的是（）.若，则若，则若，则若，则15.设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（）.的最大值是的最小值是的最大值是的最小值是16.设，，数列和满足，且，，现有如下两个命题：=1\*GB3①若数列是等比数列，则数列是常数列；=2\*GB3②设是数列的前项和，若取得最大值时，则能被整除.则下列结论中正确的是（）.①为真②为真①为真②为假①为假②为真①为假②为假三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分第17题图如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点.第17题图（1）设平面平面，求证：；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在中，内角，，所对的边分别为，，，且，.（1）求角的大小；（2）设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1、2小题满分各4分，第3小题满分6分人工智能生成内容（AIGC）是引领未来的新兴战略性产业.根据国家工信部发布的《人工智能产业发展年报（）》及国家统计局相关数据显示，中国AIGC产业已形成完整产业链结构，截至年月,产业链核心层企业分布及核心市场规模分别如表一、表二所示.表一表二产业链层级企业数量（家）年份市场规模（亿元）第一层基础第二层模型框架第三层应用（1）根据表二所提供的数据，请判断“年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法是否正确，并基于你对整体变化趋势的分析，试选用平均增长率模型预测年我国AIGC的市场规模（结果精确到亿元）；（2）赫希曼指数（HHI）是衡量产业集中程度的综合指标，计算公式为，其中为第个层级的企业数量，为企业总数.请根据表一所提供的数据，计算我国AIGC产业链的HHI指数（结果保留整数），并参照“为竞争型，为低集中寡占型，为高集中寡占型”的标准，判断其产业分布结构类型；（3）为制定产业支持政策，现计划从表一所提供的AIGC核心企业中随机抽取家进行深度调研，求抽到的这家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于家的概率（结果精确到）.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设，，、是不全为零的实数，椭圆，、分别为的左、右两个焦点，直线与交于、两点，为坐标原点.（1）若，，且四边形为矩形，求的离心率；（2）若，且的周长的最大值为，求的方程；（3）若，，，直线与的斜率之积为，为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质.（1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由；（2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围；（3）若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是.普陀区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模一、填空题（本大题共有12题，满分54分）每个空格填对前6题得4分、后6题得5分.1．2.3.4.5.6.7.（或5、7、9、11其中之一）8.9.10.11.12.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）.13.D14.C15.D16.A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点.（1）设平面平面，求证：；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）（1）由已知得，又平面，在平面外，则平面，………4分又平面平面，平面，则.………6分（2）设的边上的高为，则，当三棱锥的体积最大时，，即为的中点，………2分又平面，是在平面上的投影，，由三垂线定理得，，则是二面角的平面角，………6分在直角三角形中，，，则，即所求的二面角的余弦值为.……………8分18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在中，内角，，所对的边分别为，，，且，.（1）求角的大小；（2）设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）（1）由已知条件得，，………2分由正弦定理得，，………4分又，则，则.………6分（2）由得，，又，则，………2分又，则，………4分要在区间上恰有三次使得函数的值能取遍内的所有值，则，即，则所求的的取值范围是.………………8分19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1、2小题满分各4分，第3小题满分6分人工智能生成内容（AIGC）是引领未来的新兴战略性产业.根据国家工信部发布的《人工智能产业发展年报（）》及国家统计局相关数据显示，中国AIGC产业已形成完整产业链结构，截至年月,产业链核心层企业分布及核心市场规模分别如表一、表二所示.表一表二产业链层级企业数量（家）年份市场规模（亿元）第一层基础第二层模型框架第三层应用（1）根据表二所提供的数据，请判断“年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法是否正确，并基于你对整体变化趋势的分析，试选用平均增长率模型预测年我国AIGC的市场规模（结果精确到亿元）；（2）赫希曼指数（HHI）是衡量产业集中程度的综合指标，计算公式为，其中为第个层级的企业数量，为企业总数.请根据表一所提供的数据，计算我国AIGC产业链的HHI指数（结果保留整数），并参照“为竞争型，为低集中寡占型，为高集中寡占型”的标准，判断其产业分布结构类型；（3）为制定产业支持政策，现计划从表一所提供的AIGC核心企业中随机抽取家进行深度调研，求抽到的这家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于家的概率（结果精确到）.【正确答案】（1）约亿元.（2）高集中寡占型.（3）（1）此说法不正确.2021-2025年市场规模逐年增长率分别为：、、、，由此可看出：2021-2023年增长率加快，2023-2025年市场规模增长逐年放缓；…1分五年的平均增长率为，则按照该模型预测2026年我国AIGC市场规模约亿元.…………4分（2）由表一中的数据以及赫希曼指数的计算公式得，我国AIGC产业链的赫希曼指数为：，…………3分则目前我国AIGC产业分布结构为高集中寡占型.…………4分（3）抽到的这家企业全来自第一层的概率为：，…………2分抽到的这家企业中来自第一层的有家，来自第二或第三层的有家的概率为：，…………4分则抽到的这家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于家的概率为：.……………6分20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设，，、是不全为零的实数，椭圆，、分别为的左、右两个焦点，直线与交于、两点，为坐标原点.（1）若，，且四边形为矩形，求的离心率；（2）若，且的周长的最大值为，求的方程；（3）若，，，直线与的斜率之积为，为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值.【正确答案】（1）（2）（3）（1）由，得，，由，解得，……2分又四边形是矩形，则，即离心率.…………4分（2）由得，，即轴，…………1分则，…………4分且等号当且仅当过右焦点时取得，即的周长的最大值为，即，即，则所求的.…………6分（3）设，，，由得，点,又，则，因为点在上，所以则，又点、均在上，则，，由得，，即，则，又，即.…………3分由，得，，…………4分又，，即直线，

由得，，则，，则由得，，即，即，化简整理得，，则，…………6分又原点到直线的距离为，

则.则.……………8分21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质.（1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由；（2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围；（3）若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是.【正确答案】（1）具有（2）（3）证明见解析（1）由得，设，，当时，，………2分又，则存在，使得，即，故函数具有性质.……………4分（2）由得，，因为函数具有性质，所以存在实数，使得，即，即，……………2分设，则，令，解得或，列表如下：……4分因为函数具有性质时，的值恰有三个，所以满足条件的的取值范围是.………6分（3）由得，，由得，，设，先证充分性：当时，，考虑函数，则，当时，；当时，；当时，，则函数在上是严格减函