2026年中考数学复习：二次函数的应用

2026年中考数学复习：二次函数的应用

一、单选题

I.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不

同温度的环境中，经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如下表）:

温度/七・・・-4-20246・・・

植物每天高度的增长量y/mm•••41494941251•••

由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量），是温度X的二次函数，那么下列三个结

论:

①该植物在OC时，每天高度的增长量最大;

②该植物在-6℃时，每天高度的增长量能保持在25mm左右;

③该植物与大多数植物不同，6c以上的环境下高度几乎不增长.

上述结论中，所有正确结论的序号是

A.①②③B.①③C.0@D.②③

2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形O/WC构亦长方形的长OA是12〃?，宽OC是4加.按

照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用+公表示.在抛物线型拱璧上需要

6

安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8/〃.那么两排灯的水

C.4夜〃?D.4y/3m

3.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高

I3Q

度）,（米）与水平距离X（米）之间的关系式为），=一百+由此可知小宇此次训练

实心球落地时的水平距离为（）

A.85米B.8米C.10米D.2米

4.用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设A8为x(m),则窗框的透光面积

关于x(m)的函数表达式为()

A.y=x(4-x)B.y=x(8-3x)C.y=gx(8-3x)D.y=-x(8-3x)

5.如图，RtZXABC中，AC=4C=2,正方形CDE”的顶点。、b分别在AC、BC边上,C>

。两点不重合，设C'。的长度为x,VA4C与正方形CQEF重叠部分的面积为户则下列图象

能表示)，与x之间的函数关系的是()

6.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m,水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最

高点后落下，若最高点距水面4m,P距抛物线对称轴1m,则为使水不落到池外，水池半径

最小为()

试卷第2页，共6页

A.1B.1.5

C.2D.3

7.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=f+x-2作关于x轴的轴对称变换，再将所得的抛

物线作关于y轴的轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）

A.y=-x2+x+2B.y=-x2+x-2C.y=-x2-x+2D.y=x2+x+2

8.一个矩形周长为64cm,不能围成的面积是（）

A.220cm2B.240cm2C.256cm2D.320cm2

二、填空题

9.如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m.把它的

截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是一

米.

10.某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个.若销售单

价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个.设该商品的销售单价上涨x元/个，每天的利

润为）'元，则y与x之间的函数关系式为.

11.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（204x430,且x

为整数）出售，可卖出（30-x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元.

12.某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车

由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1

个，乂要装上该站发往后面各站的货包各1个.在整个行程中，快递货车装载的货包数量最

多是一个.

13.如图是一个长为3米、宽为1米的矩形隔离栏（ABC。），中间被4根栏杆五等分，每

根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点日点P）以及点A、点B在同一

条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（£尸）与第2根栏杆未涂色部分（P。）长度相等，

则族的长度是米.

14.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面A8宽20米，拱桥的最高点。到水面的

距离是4米，如图建立直用坐标平面xQv,如果水面上升了1米，那么此时水面的宽度是—

三、解答题

15.某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面

的路径形状是抛物线.建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距

离湖面高度为），米.现测量得到如卜数据，喷泉最高点姐离湖面的高度为5.6米.

X（米）01234

试卷第4页，共6页

y(米)2.04.05.25.65.2

请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)求喷泉的落水点距水枪的水平距离.

16.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示.

(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该

抛物线对应的函数关系式；

(2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?

17.如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向

沿形状相同的抛物线落下.若水流喷出的高度)’(m)与水平距离x(m)之间的函数关系

式为丁=-(17+2.25.

(1)求喷出的水流离地面的最大高度；

(2)求喷嘴离地面的高度；

(3)若把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？

18.某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最人高度为4.5m,宽度O2为6米，现以地

面(OP所在的直线)为x轴建立平面直角坐标系(如图1所示)

(1)求这条抛物线的函数表达式：

(2)如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该

横幅的宽度为多少米？

(3)为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架”"C。(由四根木杆

组成），使〃，C两点在抛物线上.A,。两点在地面0P上（如图2所示），请你帮施工队

计算一下最多需要准备多少米该种木杆？

试卷第6页，共6页

参考答案

题号12345678

答案DDBCADAD

I.D

【分析】(I)因为是二次函数，所以设y=ax?+bx+c(a^O),然后选择x=-2、0、2三组数据，

利用待定系数法求二次函数解析式，把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数

的最值问题解答：

【详解】(1)因为是二次函数，所以设尸江+员+«#0),

•・・x=-2时，y=49,

x=0时，y=49,

x=2时,y=41,

4a2-2h+c=49a=-\

分别代入解析式，・c=49,解得卜=-2,

4a2+2/?+c?=41c=49

・・.,y关于x的函数关系式为;

:y=-x2-2x+49=-(x+1)2+5O,

A=-l〈0.抛物线开口向上，

，当x=T时，y有最大值为50,

即当温度为-1℃时，这种作物每天高度增长量最大；

故①错误.

(2)把x=-6代入解析式y=-x2-2x+49得：y=25,

故②正确.

(3)把x=6代入解析式y=-x2-2x+49得：y=l

把x=7代入解析式y=-x2-2x+49得：y=-14<0,

故③正确.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是化顶点式和代入求值.

2.D

【分析】根据长方形的长OA是12m,宽OC是4m,可得顶点的横坐标和点C的坐标，即

可求出抛物线解析式，再把y=8代入解析式即可得结论.

【详解】根据题意，得

答案第1页，共12页

OA=\2,0C=4.

所以抛物线的顶点横坐标为6,

b2.

即----=1=6,b=2.

2。i

VC（0,4）,・・・c:4,

所以抛物线解析式为：

y=-^x2+2x+4

6

=--7（x-6）2+10

6

当产8时,

8=-I（x-6）2+10,

解得：x/=6+275»x?=6-275.

则472=473.

所以两排灯的水平，距离最小是473.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解

决.

3.B

I鼻Q

【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线1与X轴交点的横坐标，

即当），=0时，求X的值即可.

1QQ

【详解】解：当尸0时，即丁=-右/+h+，

解得：士=-2（舍去），］2=8,

所以小宇此次实心球训练的成绩为8米.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意,

取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键.

4.C

【分析】根据题意，得/\。=空竺=4-根据矩形的面积公式解答即可.

22

答案笫2页，共12贝

本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得从。=话竺=3（8—3x）,

故窗框的透光面枳）（一）关于x（m）的函数表达式为），=gx（8-3x）.

故选：C.

5.A

【分析】本题主要考查了王方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，动点问题的函数图

象，分类讨论：当04x41时，根据正方形的面积公式得到），=/；当1VX<2时，ED交AB

于M,EF交AB于N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面

积得至1卜，=工2一2（工—炉，配方得至I］）,=—（X—2Y+2,然后根据二次函数的性质对各选项进

行判断.

【详解】解：当点E恰好在48上时，

•••四边形C0EE是正方形，

ADEJ.AD,CD=DE,

;□△ABC中，AC=BC=2,

工ZA=45°,

・•・VAO£是等腰直角三角形，

,AD=DE=CD=-AC=\

2t

，当OWxWl时，正方形CD所与VA8c的重叠部分即为正方形COM,则y=/；

当1<X（2时.，ED交AB于M,EF交AB于N,如图，

CD=x,则AO=2-K,

同理可证明/SADM为等腰直角三角形，

..DM=AD=2-A,ZEMN=/AMD=45c,

•••△ENM是等腰直角三角形，

:.EM=EN=x-（2-x）=2x-2,

Iz、，/、，

••-5£V,W=-（2X-2）-=2（.V-1）-,

/.y=x2-2（x-l）2=-x2-i-4x-2=-（x-2）2+2,

答案第3页，共12页

X-(O<A<1)

-(x-2f+2(l<x<2)

故选：A.

【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0,即可求解.

【详解】如图建立坐标系：

设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4,

把（0,3）代入解析式得：a+4=3,

解得：a=-l,

则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4,

当y=0时,-（x-1）2+4=0,

解得:X|=3,X2=-l（舍去）,

则水池的最小半径是3米.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键.

7.A

【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案.

【详解】解：先将抛物线），=/+%-2作关于x轴的轴而称变换，可得新抛物线为

y=-x2-x+2；再将所得的抛物线），=-/-1+2作关于），轴的轴对称变换，可得新抛物线

为y=一丁+x+2,

答案笫4页，共12页

故选A.

【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴、y对称的点的坐标特点

是解答此题的关键.

8.D

【分析】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，设矩形的宽为xcm,则长为（竽,

设面积为.ycm2,根据矩形的面积公式求出），=-（%-16y+256,然后根据二次函数的性质求

解即可.

【详解】解：设矩形的宽为wm,则长为（与-jem,设面积为广nf,

根据题意，得y=“5一0

=-f+32x

=-（X-16）2+256,

V-l<0,

・••抛物线开口方向向下，

，当x=16时，y有最大值为256,

即矩形的面积最大值为256cm2,

观察四个选项，只有选项D符合题意，

故选：D.

9.-

25

【分析】设抛物线的解析式为y=ax?+4.把（5,0）代入函数解析式求得a的值，即可求

得该函数解析式，然后把x=l代入函数解析式，来求相应的y值即可.

【详解】依题意得，该函数的顶点坐标是（0,4）.故设该函数解析式为：y=ax2+4（a^O）.

把点（5,0）代入，得up?十4=0,

4

解得：a=--,

4

所以该函数解析式为：y=-^x2+4.

496

把X=1代入得到:y=-2X12+4=3.

25

96

即桥洞离水面的高是77米，

答案第5页，共12页

故答案为：—.

【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，学会用待定系数法求解抛物线解析式，设出点

的坐标，根据点与抛物线的位置关系，解决实际问题.

10.y=-x2+30x+400

【分析】根据销售问题中数量关系：利润=(售价-进价)x销量建立函数式.

【详解】解：y=(40-30+x)(40-A)=-x24-30x+4()0,

故答案为：y=-x2+30.r>4()0

【点睛】本题考查销售问题的数量关系，列函数关系式，理解销售问题的数量关系是解题的

关键.

11.25

【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润:每件利润x销售量，每件利润:每件售价-

每件进价.再根据所列二次函数求最大值.

【详解】解：设利润为卬元，

则(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25,

V20<x<30,

•••当x=25时，二次函数有最大值25,

故答案是：25.

【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用.此

题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.

12.210

【详解】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，

再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站.

【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，

快递货车上需要卸下已经通过的(X-1)个服务驿站发给该站的货包共(x・1)个，

还要装上下面行程中要停靠的(n-x)个服务驿站的货包共(n-x)个.

根据题意，完成下表：

服务驿站序号在第X服务驿站启程时快递货车货包总数

答案第6页，共12页

1n-1

2(n-1)-1+(n-2)=2(n-2)

32(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)

43(n-3)-3+(n-4)=4(n-4)

54(n-4)-4+(n-5)=5(n-5)

••••••

n0

由上表可得y=x(n・x),当n=29时,y=x(29・x)=-x2+29x=-(x-14.5)2+21025,

当x=14或15时，y取得最大值210.

答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个.

故答案为：210.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函

数的最值在x=-时取得.

2

13.-/0.4

5

【分析】本题考存了一次函数在实际问题中的应用，由实际问题正确建立数学模型是解题的

关键.设8为坐标原点，/弘所在的直线为x轴，所在直线为)，轴，建立平面直角坐标

2

系，设抛物线解析式为：y=ca+bx+c,先分别将点8和点A的坐标代入，求得c的值并

用。表示从设EF=PQ=)n,用含/〃的式子分别表示出点石和点尸的坐标，代入解析式,

从而得出关于〃和，〃的方程组，求解即可.

【详解】解：设8为坐标原点，B4所在的直线为x轴，所在直线为)，轴，建立平面直

角坐标系，如图：

设抛物线解析式为：)，=加+版+C,

答案第7页，共12页

将8（0,0）代入得：c=0,

y=ax2+bx,

V必=3米，

・•・A（3,0）,

:.0=ax3?+3力，

/.b=Ta,

/.y=ax1-3ax,

设EF=PQ=m,

则E（0.6,〃z）,尸

将点七和点。坐标分别代入抛物线解析式得：

ni-ay.0.6,-3ax0.6

1一，"=ax1.2?-3axi.2'

2

m=­

解得：5

J

a=----

18

2

EF=6=m米，

2

故答案为：

14.10G

【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是），=纨2,由题意结合图象可

知，点（10,T）在函数图象上，求出解析式），=-白产,然后把产-3代入即可求解，准确理

解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.

【详解】设该抛物线的解析式是y=

由题意结合图象可知，点（10,T）在函数图象上，

代入得：100〃=-4,解得：a=,

2

•••该抛物线的解析式是y=~xt

答案第8页,共12页

则水面上升了1米，此时y=-3,

—3=——-^2»解得：x=±5>/3,

则此时水面的宽度是106米，

故答案为：ioG.

15.（1）抛物线的表达式为），=-0.4（x-3）2+5.6

⑵喷泉的落水点距水枪的水平距离为（3+旧）米

【分析】（1）由表格中的数据可知抛物线的顶点，利用待定系数法求出二次函数的关系式即

可；

（2）把），=。代入解方程即可.

【详解】（1）解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；

可设抛物线的函数表达式为y=a（x-3）2+5.6.

将（0,2）代入y=a（x-3）2+5.6,

得"-0.4,

•••抛物线的表达式为y=-0.4（x-3/+5.6.

2

（2）由题可知，当喷泉落水时x=O.BP0=-0.4（.t-3）+5.6,

解得E=3+JiZ,9=3-JiZ（舍去）.

所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为（3+x/iW）米.

16.（1）y=；（2）不能通过.

【分析】（1）根据图中数据假设适当的解析式，用待定系数法求解；

（2）车从中间过，即入=1.5,代入解析式求出y值后，比较即可.

【详解】（1）如图，设抛物线对应的函数关系式为丫=@*2

答案第9页，共12页

抛物线的顶点为原点，隧道宽6m,高5m,矩形的高为2m,

所以抛物线过点A(-3,-3),

代入得-3=9a,

解得a=-1,

所以函数关系式为

(2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，

将x=L5代入抛物线方程，得y=-0.75,

此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25<45

从而此车不能通过此隧道.

【点睛】本题考查的是二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐

标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键.

17.(l)2.25m

(2)1.25m

(3)半径至少为2.5m

【分析】(1)直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度；

(2)利用x=0求出》的值即可；

(3)利用求出1的值，进而得出答案.

【详解】(1)解：•.•水流喷出的高度)'(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为

y=-(x-l)2+2.25,

二•喷出的水流离地面的最大高