等差与等比数列（数学竞赛试题汇编）解析版-2025-2026学年高中竞赛试题汇编

专题。9数列(上)

全国各地竞赛真题试题汇编「

一、填空题

1.(2025•山东预赛)在递增的等差数列｛册｝中，若©，。3，。5，。卜依次成等比数列，则整数上的值为一.

【答案】9.

【详解】设。3=。且公差是d>0,则由组，。3，。5依次成等比数列可知：

2

aj=a2a5=a2=(a-d)(a+2d)=ad=2d=>a=2d=>an=(n—l)d.

又因为的,。5,%依次成等比数列，从而2dx(A-l)d=16浸，所以故k=9.

2.(2025•江苏预赛)设等差数列｛册｝的公差为d,S”是其前几项和.已知©025=S2025=2025,则d=—.

【答案】2.

【详解】使用52»1=(2忆-1)在将52025=2025变为2025的013=2025,即=从而2025-1=

“ZU45=1012d,/Jd=2.

3.(2025•浙江预赛)若等差数列｛时｝满足:%>0S+图=0,其中£为数列前7项的和，则使得25n>2

的r’的最大值为一.

【答案】7

【详解】设等差数列的公差为d,由57+04=0,得力=-3d,d<0.

由2s八之科得(2?1—1)%+(九一l/dNO,将由=-3d代入得，-3(2n-1)+(n-I)2<0,故n的最大值

为7.

4.(2023•上海预赛)止整数。1，%，。3，。4，。5构成一个严格递增的等比数列，且满足Q1+。2+&+。4+。5=

211,则%=,公比q=.

【答案】a｝=16：q=g

【详解】由于211是质数=q不是整数，且211=%+a?+。3+。4+>5%=a1V42.

设q=(m,n)=1,则的==/।%=n=2,%=16.

当出=16,n=2时，a2N24,%N36,。4N54,的Z810%+3+。3+。4+劭工211,

等号成立时0=称满足题意.

5.(2023•新疆预赛)对于数列｛an｝,记“=an+1-an,则数列｛%｝为数列｛%｝的一阶差数列，记q=bn+1-

bn,则数列｛金｝为数列｛Q〃｝的二阶差数列.以此类推，可得到数列｛册｝的p阶差数列.若｛a,J的p阶差数列是

非零常数列，则称数列｛斯｝为p阶等差数列.已知数列｛%J是二阶等差数列，%。=23,。20=23,且二阶差

数列&｝中,cn=20,则。30=-

【答案】2023

2

【详解】an=xn+yn+z,

22

bn=an+1—an=x[(n+l)-n]+y[(n4-1)—n]=x(2n+1)+y=2xn+x+y,

cn=bn+1—=2%=20=>%=10.

股J%。=1°.10°+1°'+z=23,,y=-300,

汰'U2o=10-400+20y+z=23nlz=2023.

所以即=10月2-300n+2023=>a30=2023.

6.（2022•福建预赛）已知各项均为正数的等比数列中，at=2ta8+a10=16（a4+a6）,数列｛bn｝满

足：对任意正整数m有a向+%匕2+…+。也=ST）・2n+1+2,则今+京…+*=.

【答案】2T

【详解】。8+Q1O=Q4（«4+a6）=16（。4+。6）=q=2=册=2",

nn+1nn

而即b=2dn=（n-1）-2-（n-2）-2=2n=>bn=n,

又Z二2±l一山，所以工+2+2

人2n271"12n”人2丁22T丁2Tl42n.

7.（2022•甘肃预赛）已知等差数列｛册｝的公差d不为0,等比数列｛b｝的公比q是小于1的正有理数，若

%=匕匕1=能，且鳖丝1是正整数，则勺=.

【答案W

【详解】an=nd,bn=d2qx,没q=%其中（£,s）=L则鬻普=/篇

=丁四"=s?+st+严|14,若s23,Ms2+st+t2>13,矛盾：

s2+st+t2

从而只能s=2,t=l.所以q=：.

8.（2022•苏州预赛）若等差数列｛斯｝满足股022=。20+。22=1，则%的值为

【答案】1981

4002

4+2021d=L1981

【详解】设｛的公差为则

%Jd,%+20d=1=%4002

二、解答题

9.(2025♦广西预赛)已知f(%)=(%-1y,g(x)=4(%-1)；数列｛9｝满足(°n+i-an)^(a?i)+f(«n)=。，

其中%=2：数列｛3｝满足％=3/(an)-g(即+i).求％的最大值与最小值.

【详解】由f(x)=(x-1)2,g(x)=4(*-1)及(a〃+i-a〃)g(a〃)+f(a〃)=0,

可得3n+i-a”)•4(0n-1)+(%-I)?=0,从而3n-1)(4%+1-3an-l)=0.

%=2H1.若H1,则4%+1-3%—1=0,从而分+1=H1.

因此，QnWl,7l£N.于是4册+1-3a”-1=0.

-^T=4-a"-1=(a1-1),(4)=(4)-a"=(4)+1-

/3\nr/3\n-1l2/3\〃T

23

bn=3/(an)-^(an+1)=3(an-l)-4(an+1-1)=3--七)=,(-3七)

令金二(3nt则b=3(0_]2_*当nN]时，J为递减数列.

11113111911

tl~2=1~2=2，t2~2=4~2=4，t3~2=16~2=16,

当九N4时,3TnV.

因此，当n=3时，/=-学最小；当九=1时，/=0最大.

256

1().(2025•江苏预赛)设数列｛册)满足：Qi=l,an+1=证明：当"22时，忌<an+1<意

【详解】若记&=%+••・+即，则a"1=?，得S4=—,于是对几>2有£一=两者相减得二---

a

5nQn+1n^n+1

an(n>2),注意该式对n=1不成立.令勾=上，则有%+i=%+*(九N2),

an"n

将递推式两边平方后移项得贷+i-屎=2+^(n>2),从而n>2时

bn

%-1）+（6+卷+>2（n-1）+^7

结合尻=1=1知标+i>2n,即0n+i<息,九>2.

由条件知nN3时有

=2+V2（Vn—1-1）<V2n+1

而"=2时显然成立.故斯+i>回+i，n>2.综上得证.

1v-,2324

11.（2024•吉林预赛）已知数列｛%｝满足：Qi=1,劭=2,Qn+i=—+an-i（n>2）.求证：>—>88.

a

n<fc=1ah

【答案】证明见解析

【详解】由即+1=上+an_i（7?22）,得。篦即+1-Qm_ian=1,又％=1,a2=2,

an

所以｛册-Qn+J是首项为2,公差为1的等差数列，检验n=1时成立，

所以斯•an+1=〃+l.

令"=2024,得a2024a2025=2025.

由册+i=工+Qn-iS之2）可得，—=ak+1-ak_i（k>2）,乂Q1=1,a2=2,

anak

2024]i/

—=—+（。3-Ql）+（04-a2）"•----（a2025一a2023）=a2Q24+a2025—al—a2+~

Zk=la*aiai

2732024^2025~2=2^025-2=88,当且仅当。2024=Q202s=45时，等号成立・

2024

Z卜~>88.

12.（2024•江苏预赛）已知｛%»｝为等差数列，仍〃｝为等比数列，且%=blta2=5g=4%=2bz.

（1）求｛aJ｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛即b｝的前n项和外.

%+d=5,件]=2,

【详解】(1)设｛册｝的公差为&｛5｝的公比为q,依题意，%+2d=4Q],nd=3,

2al—Q1q.q~2.

n

所以即=3n-l,bn=2(neN*)

n+1n

(2)设an%=(3n-1)2"=[a(n+1)+b]•2—(an+b)-2

—[2a(n+1)+2b—an-b]-2n=(an+2a+b)•2”,则a=3,b=-7.

fc+1k

所以％=S?=iakbk=所=J(3k-4).2-(3k-7)・2]=(3n-4)•2"1+8.

13.(2023•费州预赛)设｛%,｝是正项等差数列，公差为d(d>0),前n项和为S”,孙九,p,q均为正整数.若

n<p,qV7九，且7九+72=p+q,证明：

(1)dmCLn<UpClqi

⑵+Sq.

【答案】证明见解析

[详解](1)记劭=&-d,则

2

aman=(a0+md)(a0+nd)=«o+(m+n)aod+mnd,

z

apaq=(a0+pd)(a()+qd)=ag+(p+q)aoci+pqd.

222

由于4rmi=(巾+ny-(帆_n),4pq=(p+q)—(p—q)

nmn-pq=1[(p—q)2—(TH—n)2]<0,

2

所以-apCiq=(mn-pq)d<0=>aman<apaq.

n

(2)Sn=nax+(7)d，则

22

Sm+Sn=(m4-n)ay+?[m4-n—(m+n)],

Sp+Sq=(p+q)aj+g[p2+q2—(p+q)].

由于2(771?+n2)=(m+n)2+(m—ri)2,2(p2+q2)=(p+q)2+(p—q)2

=(m2+n2)-(p2+Q2)=|[(m-n)2-(p-q)2]>0,

所以(Sm+SQ-(Sp+Sq)=，/+-(p2+g2)]>0=>Sm+Sn>Sp+.

14.(2023•苏州预赛)已知正数数列｛册｝,也｝满足：%=1也=2,即+i=册+处4+1=吼+詈-

an%

a

求证：(1)50<650<50<51；

(2)Q50一为o<京.

【答案】证明见解析

(详解】(1)。2=1+2=3也=2+：=?.

下而用数学归纳法证明：72Vb<即W九+1对九N2恒成立.

九二2时，2<b2<a2<结论成立；假设〃=k(kN2)时结论成立，

即

k<bk<OLkWk+1=>—akbkK—dk+bkk

则7i=k+l时，

,__bkak_i上比一唬—/ak+bk\

=（以—尻）[1—七+白卜（a,-W（l-1）>0

=ak+i>加+1；

且%1=ak+—<k+l+l=k+2,bk+1=加+皆>k+1,

于是k+1<bk+1<ak+1<k+2,即八=k+1时结论也成立.

综上，九<%<Q〃4九+1对n22恒成立，且等号成立时当且仅当n二2.

所以50<b^Q<的。V51.

（2）由（I）知九？2时，ak+1-bk+1=（幺—[1一+£）]V（纵一瓦）（1.一看）

0%+i一瓦+iv]_，口,

—bkk+1k+1

所以的。-坛。=（a2-W咯叫占=汨备年~~«

15.（2023•重庆预赛）已知人为正实数，数列｛颔｝满足：%="+】=I?7T=1,2,3,….若对任意

oZQR+1

的m£N・，都有£在1以〈九求2的最小值.

【答案】1

［详解1ai=22；"0—^—=2--+白，设与=3,b=—,

71t+11n

4a^-2an+lan+ian2忌an

当。>2时，%+i-2=一一%=>0=bn+1>2,

由数学归纳法原理知.hn>2对任意九EN♦均成立.

又匕n+l-%=9一2%+2=*力n-2)2>0=数列也｝单调递增，于是

n-1n-1

bn(bn-2)3//3\/3\

3+1-2=3n-2)n%-2"瓦一2七)=(-)

ZoXn-l

=>bn>2+(jJ,从而当nT-8时，bnT+8.

另一方面，1=:=/

匕〃+1-2bn(bn-2)bn-2bn

=2=/一己=器】以=黑京=六—-=1——.

由前述知，1一(穹6工工区］以=1一7—VI,

因此m-+8时,£在］以的上确界为1.

综上，4的最小值为1.

.全国联赛真题试题汇编「

一、填空题

1.（2025•全国联赛A卷）^log3（9x）,log9（27x）,log27（3划成等差数列,则正数4的值为

【答案】9.

【详解】设log3X=t，则2+£,手，等成等差数列，即2+t+辞=2•等，解得£=2,故X二3±二9.

2.（2025•全国联赛B卷）若k）g3%/og9（3x）,log27（9x）成等比数列，则正数”的值为.

【答案】3或卷.

【详解】设log3%=3则£,等,誓成等比数列.所以（等7二£•等，化简得产+2亡-3=0,解得t=l或

-3.相应有％=3,=3或5.

3.（2024•全国联赛A卷）设无穷等比数列｛册｝的公比q满足0<1<?1<L若｛。〃｝的各项和等于｛每｝各项的

平方和，则。2的取值范围是.

【答案】［-^0）U（0,2）

【详解】因为数列｛Q〃｝的各项和为言，注意到｛册｝各项的平方依次构成首项为谈、公比为q2的等比数列,

于是｛*｝的各项和为黑.

由条件知言=黑，化简得。1=1+q.

当q€（T,O）u（0,1）时，的=（1+q）q=（q+；）一江［一：，°ju（o,2）.

4.（2022•全国联赛A1卷）若等差数列｛an｝及正整数血（m>3）满足：%=l,am=2,且

---------++-+=3

ala2Q2a3--------------am-lan

则%+&+•••+Qm的值为-

【答案】§

【详解】设｛Qn｝的公差为d,则

7n-l

111、—4

----+-----+…+

(i\CI2a2a3即1一1的14-^dctjCli+i

1=1

m-1

dQf+l，d\GjQm，dQ]Q7nQlQyn

4—1

结合条件可知3=掾，得m=7.

所以处+。2+…+am=比等=3

5.（2022•全国联赛A2卷）若无穷等比数列｛斯｝的各项和为1,各项的绝对值之和为2,则首项即的值为

【答案】：

•5

【详解】设｛%｝的公比为q，根据条件，显然有一l<q〈0,且

口=1，口i=2.

由前一式知%>0，进而1-q=2（1-|q|）=2（1+q）,得q=-g,则%=1-q=g.

6.（2022•全国联赛Bl卷）若等差数列｛aj的各项非零，且空&=4,则上土%的值为_____

口3a7

【答案】g

【详解】设5｝的公差为d，则"::;丁）=%即看=*.

令%1=7t,d=-2t（t*0）,从而

''a7%+6d7t-12t5

二、解答题

7.（2024•全国联赛A卷）给定正整数r.求最大的实数C,使得存在一个公比为r的实数等比数列

满足1惧脑1工C对所有正整数n成立.（II%II表示实数》到与它最近整数的距离.）

【答案】当r为奇数时，所求C的最大值为玄当r为偶数时，所求C的最大值为向

【详解】情形1：广为奇数.

对任意实数，显然有11%1隆玄故满足要求的C不超过今

又取｛an｝的首项%=%注意到对任意正整数九，均有4t为奇数，因此||每||=吟』=也这意味着。=泄

足要求.从而满足要求的C的最大值为去

情形2：?•为偶数.

设r=2m（m£N”）.对任意实数%我们证明||%||与||。2||中必有一数不超过—，从而C4—.

2m+l2m+l

事实上，设Qi二k±6,其中k是与由最近的整数（之一），且

注意到,对任意实数》及任意整数匕均有II%+k11=11x11,以及IIr11=11x11.

若。W64T，则口】11攵±611=6<

2m+l2m+l

若mV6工2,则2mV27n6WTH,即771----<6r<771,此时

2m+l22m+l2m+l

ll«2ll=呵4=11kr±Sr||=||Sr||<.

Q2m+1

另一方面，取的=捻，则对任意正整数九，有册=热（2m）”】，由二项式展开可知每=品（2血+1-

l）nT=K+（—l）nT』，其中（为整数，故如“||二9".这意味着。=［三满足要求.

2m+l2m+l27n+l

从而满足要求的c的最大值为蒜=岛.

综上，当r为奇数时，所求C的最大值为会当r为偶数时，所求C的最大值为岛.

8.（2024•全国联赛B卷）设无穷等比数列｛每｝的公比q满足0V\q\<1.若｛册｝的各项和等于｛aj各项的

平方和，求。2的取值范围.

【答案】［-j,0）U（0,2）

【解析】设即=Qiq〃T,neW,则或=。汨2n-2,｛嫌｝是以嫌为首项，q2为公比的等比数列.

设｛Q,J的前几项和为外,｛吗｝的前几项和为Tn.则S”=生产=吗毕.

1-(?l._q4

由题意知】imSn=Hm4,即鲁=《整理得的=l+q,因为0V|q|V1,BPqG(-1,0)U(0,1),

n-»oon-*oo1-ql-q‘

所以做=%q=q2+qE卜：,°)u(02).

9.(2022•全国联赛A卷)给定正整数3).设正项等差数列｛册｝与正项等比数列｛%｝满足：｛“｝的