第2章 实数的初步认识 期末复习知识清单（答案版）-2024苏科版八年级数学上册

第二章实数的初步认识

实数的初步认识

知识清单

知识点1:算术平方根

1.概念：如果一个正数Z的平方等于Q,即/=Q,,那么这个正数£叫做a的算术平方根。

2.表示方法:丫£

3.性质:

①规定：0的算术平方根是

②双重非负性，即12。(-0)。

知识点2：平方根

1.平方根概念：如果/=Q(Q20),那么这个数n叫做。的平方根,也叫二次方根。

2.表示方法:土代

3性质:

①一个正数有四个平方根，这两个平方根互为相反数;

②。的平方根是9；

③负数没直平方根。

知识点3；开平方

1.尸平方概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方;

注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算;

2.开平方与平方的关系：开平方与平方互为逆运算。

知识点4：立方根

1.立方根概念：一般地，如果/=Q,那么这个数2叫做a的立方根也叫三次方根。

2.表示方法:为

3.性质：①正数的立方根是正数;②0的立方根是Q；③负数的立方根是鱼数。

知识点5：开立方

L概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。

2.尸立方与立方关系：开立方与立方互为逆运算。

知识点&实数

1.概念：有理数与无理数统称为实数。

2.分类：（1）按定义分类（2）按正负分类

［正整数正整数

正有理数

整数零正实数正分数

有理数|负整数正无理数

实数、实数零

正分数

分数有限小数或无限循环小数负整数

［负分数J负有理数

负实数负分数

.无理数（无限不循环小数）负无理数

3.有理数、无理数概念

（1）有理数：整数和分数统称为有理数,即能写成分数形式的数。

有理数的四种表现形式：整数、金数、有限小数、无限循环小数。

（2）无理数：无限不循环小数，无理数的四种常见表现形式：

•开方开不尽的数,如行,蚯等；

Ji

•有特定意义的数,如圆周率兀，或化简后含有兀的数,如一+8等;

3

•有特定结构的数,如0.1010010001…等；（注意省略号）

4.实数与数轴上的点是一一对应的关系。

5.实数的大小比较方法：

方法一：数轴比较法：左〈右

方法二：作差比较法

a—b>0^>a>b,

Q—b=0=Q=b,

a-b<0<=>a<b

方法三：作商比较法

设a、b是两正实数，W>1oQ>匕；，=1=Q=<1Q0<"

bbb

方法四：平方法

设a、b是两负实数，则。2>力2=。<8。

设a、b是两正实数,则。2>坟0。>加

6、无理数的大小估计方法：

先找到离a最近的两个平方数，例如a的前面一个平方数为m,后面一个平方数为n,即m<a<n,

则<x/a<Vn

7.有理数的运算性质及运算律实数范围内适用。

知识点7：近似值与准确值

1.准确值：与实际完全相同数据叫作准确值。

2.近似值：能够在一定程度上反被考察对象的大小与朝值非常接近,但又不完全相等的数据称为近似值。

3.精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。

4.取近似值的方法:四舍五入法、去尾法、进一法。

易错总结

一、平方根与算术平方根

1.平方根与算术平方根的概念：

错误：认为“任何实数都有平方根和算术平方根二

注意：平方根和算术平方根的概念中说的很清楚“如果Y=G（Q20）,那么这个数2叫做Q的平方根，，，，

注意括号中的条件Q'O,因为任何实数的平方都不可能是负数，所以负数没有平方根。

2.平方根与算术平方根的关系：

错误：认为“平方根一定是两个，而算术平方根一定是正的那一个”

注意：一个正实数的平方根是两个，而且互为相反数，算术平方根是正的那一个，但是C的平方根和

算术平方根都只有一个，就是0。

3.平•方根和算术平方根的表示方法：

错误：认为"，曲=±8,”

注意：出现这种错误是最常见的，主要原因是没有弄清平方根和算术平方根的表示方法，记住一个秘

诀就可以了“等号两边的符号要一致”，正负号要有都有，要没有都没有，所以正确的应该表示成

±=±8,y/di=8o

二、实数与无理数

1.实数与数轴的关系

错误：认为“有理数与数轴上的点一一对应”.

注意：实数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，数轴上的点也对应一个实数，数轴上的点与实数

是一一对应的关系。形象理解记忆“实数与数轴上的点就像衣服上的扣子和扣眼的关系”。

2.无理数的概念

错误：认为“带根号的数都是无理数”.

注意：无理数，也就是无限不循环小数，常见的无理数有四种表现形式：

（1）开方开不尽的数，如J7正等；

（2）有特定意义的数，如圆周率n,或化简后含有n的数，如二+8等；

3

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号）

其中带根号的数不一定都是无理数，例如g=2,=，§=3……这些能从根号

里开出来，它们都是属于有理数的，不属于无理数。类似的还有“带〃的数不一定都是无理

数，也可能是有理数”判断一个数是无理数，还是有理数，要先把这个数化成最简形式再判

断。

易错训练

题型01平方根与算术平方根的概念

1.下列说法中，错误的是（）

A.5是25的算术平方根B.庖的平方根是±3

C.0的平方根与算术平方根都是0D.（-4）2的平方根是Y

【答案】D

【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、求一个数的平方根

【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的性质及计算方法，掌握以上知识是解题的关键.

根据平方根和算术平方根的性质，逐一分析选项.

【详解】解：A.25的算术平方根是5,正确.

B.而'=9,9的平方根是±3,正确.

C.0的平方根和算术平方根均为0,正确.

D.（T）2=16,16的平方根是±4,但选项仅指出Y,错误.

故选：D.

2.下列说法错误的是（）

A.9的平方根是-3和3B.G是3的平方根

C.-1的立方根是-1D.-3是-3『的平方根

【答案】D

【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根

【分析】本题主要考查了立方根，平方根，熟知二者的定义是解题的关键.根据平方根，立方根的定义逐

一判断即可.

【详解】解：A、9的平方根是-3和3,故原说法正确，不符合题意：

B、右是3的一个平方根，故原说法正确，不符合题意；

C、-1的立方根是-1,故原说法正确，不符合题意；

D、斤尸=3,3的平方根是土石，故原说法错误，符合题意：

故选：D.

3.有下列说法：①J话的平方根是±4；

②-瓜表示6的算术平方根的相反数；

③-64的立方根是T：④-3是（-3『的平方根.

其中，正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解

【分析】本题考查了平方根、立方根的相关概念，掌握相关结论即可.

【详解】解：①J话=4,4的平方根是±2,故①错误；

②-卡表示6的算术平方根的相反数，故②正确；

③-64的立方根是T,故③正确；

④（_3y=9,-3是9的平方根,故④正确;

故选：C

4.下列说法中不正确的是（）

A.1。的平方根是J历B.8是64的一个平方根

42

C.-27的立方根是-3D.，的算术平方根是

【答案】A

【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解

【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，根据平方根，算术平方根和立方根的概念即可

得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：A、10的平方根是士加，故选项符合题意；

B、8是64的一个平方根，说法正确，故选项不符合题意；

C、-27的立方根是-3,说法正确，故选项不符合题意；

D、’4的算术平方根是:2，说法正确，故选项不符合题意；

故选：A.

5.下列说法中，正确的是（）

A.炳=±3B.-才的算术平方根是3

C.0没有立方根D.-近是7的一个平方根

【答案】D

【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根

【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义是解答本题的关键.根

据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答.

【详解】解：A、历=3,说法错误，不符合题意；

B、-32=-9,-9没有算术平方根是，说法错误，不符合题意；

（2、0的立方根是0,说法错误，不符合题意：

D、7的一个平方根是±5，-e是7的一个平方根，说法正确，符合题意；

故选：D.

题型02平方根与算术平方根的关系

6.若一个正数x的两个平方根是2-3〃和1+%，则%的值为（）

A.3B.7C.-7D.49

【答案】D

【知识点】已知一个数的平方根，求这个数

【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数这一性质来求解。

根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于〃的方程，求解。后再计算x的值。

【详解】解：因为一个正数力的两个平方根分别是2-3a和1+2%

所以2—3a+1+2=0,

解得：a=3,

贝打+筋=1+6=7,

所以X=72=49;

7.3的算术平方根是（）

A.9B.75C.±&D.-V2

【答案】B

【知识点】求一个数的算术平方根

【分析】本题考查了算术平方根的定义；根据算术平方根的定义，非负数。的算术平方根是平方等于。的

非负数.

【详解】解：算术平方根指非负数中平方等于原数的数；3的算术平方根需满足两个条件：1.平方后等于3：

2.结果非负;

选项A：9的平方为81,不等于3,排除；

选项B：括的平方为3,且6>0,符合条件：

选项C：土石包含负数，而算术平方根仅取非负值，排除；

选项D：-血为负数，且平方为(-&)2=2±3,排除；

故选:B.

8.计算：\/64=()

A.4B.±8C.-8D.8

【答案】D

【知识点】求一个数的算术平方根

【分析】本题主要考查算术平方根的定义；根据算术平方根的定义求解即可.

【详解】解：・・・82=64,

・••屈=8,

故选：D.

9."的平方根是()

A.2B.-2C.±2D.±>/2

【答案】C

【知识点】求一个数的平方根

【分析】本题考查了求一个数的平方根，先计算2z的值，再求其平方根，根据平方根的定义，正数的平方

根有两个，互为相反数，进行作答即可.

【详解】解：22=4，

・・・4的平方根是±2,

故选：C

10.，话的算术平方根是()

A.2B.±4C.4D.8

【答案】A

【知识点】求一个数的算术平方根

【分析】本题主要考杳算术平方根，先计算标的值，再求其算术平方根即可.

【详解】解：•••，布=4,4的算术平方根是2：

・•・、/话的算术平方根是2；

故选:A.

题型03平方根和算术平方根的表示方法

H.下列计算正确的是（

A.7^3/=-3B«—V?=-3

C.而豕川D.疔=±3

【答案】B

【知识点】求一个数的算术平方根

【分析】本题考查算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键，需注意平方根与算术平

方根的区别.根据算术平方根的定义化简即可得出答案.

【详解】解：A、斤斤'=75=3，故不选项错误，不符合题意；

B、一厅=_百=一3,故本选项正确，符合题意；

C、庖^=3,故本选项错误，不符合题意；

D、后=3,故本选项错误，不符合题意；

故选：D

12.下列各式中，正确的是（）

A.卜3『=-3B.卜町=16C.>/9=±3D.（-可=7

【答案】D

【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根

【分析】本题考查了算术平方根的定义，以及算术平方根的非负性，掌握算术平方根的定义是解题的关键.

根据算术平方根的定义，以及算术平方根的非负性逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.正时=3,

B.（-V4）2=4,原计算错误：

C.囱=3,原计算错误；

D.（->/7）2=7,计算正确；

故答案为：D

13.下列各式正确的是（）

C.J-9=—3D-JU

【答案】D

【知识点】求一个数的算术平方根

【分析】此题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义及性质，逐一分析各选项的正误.

【详解】解：A、后表示卷的算术平方根，结果为非负数，即而非±1,故A错误.

B、Jig的被开方数为负数（-1[=一与），在实数范围内无意义，故B错误.

C、Q的被开方数为负数，实数范围内无平方根，故C错误.

D、表示:的算术平方根‘佶丫」,故』=1D正确.

V99⑶9V93

故选：D.

14.下列式子正确的是（）

A.±>/9=3B.-79=±3C.=—2D.—V16=—4

【答案】D

【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根

【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键.各项利用算术平方根定义

计算得到结果，即可做出判断.

【详解】解：A、±囱=±3,故A错误；

B、x/9=3»故B错，误：

C、=2»故C错误；

D、一屈=一4,故D正确.

故选：D.

15.下列计算正确的是（）

A.庖7=—3B,房=5；

C.x/16=±4D.-7036=-0.6

【答案】D

【知识点】求一个数的算术平方根

【分析】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的概念是关铤；根据算术平方根的定义，逐一分析各选

项的正误.

【详解】解：A、m=囱=3,但选项结果为-3,错误.

226.J256226

——*5-（W5-=—,其平方为p工工），错庆.

3399

J证表示16的算术平方根，结果为4,而非±4,错误.

V036=0.6,故一＞/3^=-0.6,正确.

故选：D.

题型04实数与数轴的关系

16.下列关于石的叙述错误的是（）

A.它可以是面积为5的正方形的边长

B.它可以在数轴上找到与之对应的点

C.它可以是5的算术平方根

D.它的整数部分是3

【答案】D

【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算

【分析】本题主要考查了正方形的性质、平方根的性质、数轴的特点、有理数的大小判断等知识点，灵活

运用相关知识成为解题的关键.

根据正方形面积计算方法对A进行判断；根据数轴上的点与实数一一对应即可判断B：根据平方根的性质

对C进行判断：根据4V5<9,可得出2〈石<3可判断出D是否正确.

【详解】解：A.面积为5的正方形的边长是石，说法正确，故A不符合题意；

B.在数轴上可以找到表示后的点，数轴上的点与实数一一对应，故B正确，不符合题意；

C.有是5的平方根，说法正确，不符合题意；

D.・・・4<5<9,・・・2〈石<3,整数部分是2,故D选项说法错误，符合题意.

故选：D.

17.下列说法错误的是（）

A.0的算术平方根是。

B.实数包括正实数，0,负实数

C.的相反数是石-拉

D.所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数

【答案】D

【知识点】相反数的定义、求一个数的算术平方根、实数与数轴、实数的分类

【分析】本题考查算术平方根、实数的分类、相反数及有理数与数轴的关系，正确理解定义是解题的关键.根

据知识点桌椅判断即可得出结论.

【详解】解：A、。的算术平方根是0,故正确；

B、实数分为正实数、0、负实数，故正确；

C、-6的相反数是6-应，故正确；

D、所有有理数可用数轴上的点表示，但数轴上的点不全是有理数（如右对应点是无理数），因此后半句错

误；

故选：D.

18.祖冲之是世界上最早把圆周率计算到小数点后7位的中国古代数学家，该成果领先世界一千多年.以

下关于“圆周率乃”的说法错误的是（）

A.圆周率〃是一个无限小数B.圆周率乃是一个实数

C.圆周率不可以在数轴上表示出来D.圆周率乃是一个有理数

【答案】D

【知识点】无理数、实数与数轴、实数的分类

【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和不的意义是解题的关键.

根据实数的分类和汗的特点进行解答即可得出答案.

【详解】A.圆周率它是一个无限不循环小数，属于无限小数，该选项说法正确，故本选项不符合题意：

B.实数是有理数和无理数的总称，圆周率是无理数，所以圆周率是一个实数，该选项说法正确，故本选项

不符合题意；

C.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，圆周率是实数，所以圆周率可以在数轴上表示出来，该选

项说法正确，故本选项不符合题意；

D.有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，而圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是

有理数，该选项说法错误，故本选项符合题意；

故选：D.

19.有下列说法，其中正确的是（）

A.无限小数都是无理数B.数轴上的点和有理数一一对应

C.无理数都是无限小数D.两个无理数的和还是无理数

【答案】C

【知识点】无理数、实数与数轴

【分析】根据相关知识加以判断即可.

【详解】无限不循环小数是无理数，

故A错误，不符合题意；

数轴上的点和实数一一对应，

故B错误，不符合题意；

无理数都是无限小数，

故C正确，符合题意；

两个无理数的和可以是有理数，

故D错误，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查了无理数即无限不循环小数及其性质，数轴与实数的关系，熟练掌握无理数的定义和性

质，数轴与实数的关系是解题的关键.

2（）.下列说法：

①商的算术平方根是％

②无埋数是无限小数；

③一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为5；

④（是分数;

⑤石既是二次根式，又是整式；

⑥实数和数轴上的点是一一对应的.

其中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数与数轴、用勾股定理解三角形

【分析】根据算术平方根、无理数、勾股定理、二次根式和整式、实数和数轴分别进行判断即可.

【详解】解：屈的算术平方根是3；故①错误；

无理数是无限不循环小数，所以②正确；

一个直角三角形的两边长分别为3和4,

当4是直角边时，第三边长为序百=5

当4是斜边时，第三边长为小手=疗：故③错误；

?是无理数，不是分数，所以④错误；

石是二次根式，又是整式；故⑤正确；

实数和数轴上的点是一一对应的，所以⑥正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如右（。之0）的式子叫做二次根式.也考查了实数

与数轴、整式和勾股定理.

题型05无理数的概念

21.下列四个实数中，无理数的是（）

A.——B.6C.0D.->/4

【答案】B

【知识点】无理数、求一个数的算术平方根

【分析】本题主要考查了无理数的定义，即无限不循环小数，解题的关键是掌握无理数的定义.

根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数即可.

【详解】A.-?是分数，属于有理数，不符合题意；

B.石是无限不循环小数，且3不是完全平方数，因此行是无理数，符合题意；

C.0是整数，属于有理数，不符合题意；

D.4=2,是整数，属于