高三数学一轮复习教案：抛物线

§8.8抛物线

【课标要求】1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程2掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶

点、离心率）.3.了解抛物线的简单应用.

1.抛物线的概念

把平面内与一个定点尸和一条定直线/（/不经过点注的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物

线的焦点,直线/叫做抛物线的造缱.

注意：定点尸不在定直线/上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点尸旦垂直于直线/的一条直线.

2.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程)2=2pMp>0)/=-2/zv(/?>0)f=2p.v(/»0)f=-2py(p>0)

幅郑军

图形

范围y20,xGR

焦点&。）(-r°)(04)Q-|)

丫一p

准线方程^^2二^2

对称轴X轴Y轴

顶点(0,0)

高心率e-1

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“Y”或“x”）

（1）平面内与一个定点尸和一条定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线.（X）

（2）方程y=4f表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1,0）.（X）

（3）标准方程丁=2〃%（〃〉0）中的〃的几何意义是焦点到准线的距离.（7）

（4）焦点在卜轴上的抛物线的标准方程？=±2/W>0）,也可以写成），=加3中0）,这与以前学习的二次函数

的解析式是一致的.（7）

2.（多选）关于抛物线9=-2x,下列说法正确的是（）

A.开口向左B.焦点坐标为（-1,0）

C.准线为x=\D.对称轴为x轴

答案AD

解析对于抛物线)?=一2\•，开口向左，焦点坐标为(一］0),准线方程为对称轴为x轴，故AD

正确.

3.(2024•驻马店模拟)已知点?(6,N)在焦点为尸的抛物线C)a=2px(p>0)上，若|叩=会则〃等于()

A.3B.6

C.9D.12

答案A

解析抛物线C：)?=2px(p>0)，准线方程为x=-^,P(6,和),由抛物线的定义可知

|PF|=6+^=y,解得〃=3.

4.(2024.宝鸡模拟)抛物线)?=2px(p>0)过点A(2,2),则点A到抛物线准线的距离为.

答案|

解析由题意22=2〃X2,解得〃=1,所以抛物线的准线方程为尸一］故所求距离为2+1*

抛物线焦点弦的几个常用结论

设48是过抛物线V=2px(p>0)的焦点尸的弦，若A(R,y),8a2,竺)，O为坐标原点，则

/八P22

(1)x)X2=-j-»y\y2=~p^

(2扃+高，

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p,通径是过焦点最短的弦.

题型一抛物线的定义及应用

例1(1)若抛物线*=8)，上一点(刈，为)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则却等于()

A.-B.1

2

43D.2

答案D

解析已知抛物线的方程为f=8.y,

可得p=4,

所以焦点为F(0,2),准线为/:y=~2.

抛物线上一点Ajo,泗）到焦点户的距离等于到准线/的距寓，

即|A同=兴+2,

又因为A到八•轴的距离为外，

由已知得泗+2=2兆,解得和=2.

⑵（多选）（2025•八省联考）已知b（2,0）是抛物线C:），=2px的焦点,M是。上的点,。为坐标原点.则（）

A.p=4

冽"1

C.以例为圆心目.过〃的圆与。的准线相切

D.当NO尸120°时,△。尸M的面积为2百

答案ABC

解析由题意得勺2,则〃=4,A正确：

设A/加加）,则|MQ=x吗,|OQ与

又因为用20.所以|MF|210aB正确：

由抛物线的定义知M到厂的距离与M到C的准线的距离相等.故以M为圆心且过户的圆与。的准线相切,C

正确；

当NOPM=120°时，设M在第一象限.则xo>2,yo>0,故的产$=tan600=V5，即加二华+2,

*0-2V3

又羽=8x（）.所以8yo1675=0,

解得yo=4V3或州二竽（舍去），

所以5AOO/=1|OF]X|_y0|=1X2X46=4百,D错误.

思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的

求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.

跟踪训练1（1）（2024.贵阳模拟）抛物线/=4x上一点M到焦点的距离是10,则M到x轴的距离是

（）

A.4B.6

C.7D.9

答案B

解析抛物线)?=4工的准线方程为x=~\,由抛物线定义可得如+1=10,故双=1()-1=9,贝如，M尸

J4XM=V4X9=6,即M到x轴的距离为6.

(2)已知点P为抛物线)，2=-4x上的动点，设点P到直线/：x=l的距离为小,到直线x—y—4=0的距

离为必，则力+4的最小值是()

A.WB笆

22

C.2D.V2

答案B

解析直线/：x=l为抛物线)?=-4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点产的距离，过焦点"作

直线上+>—4=0的垂线，

如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，％+4的值最小，为点尸到直线x+)，-4=0的距离.

VF(-1,0),

_|T+0-4l_5近

••\U\rU2)min质

题型二抛物线的标准方程

例2(1)若抛物线过点(3,-4),则抛物线的标准方程为.

答案9=号;或

解析•・•点(3,-4)在第四象限，：,抛物线开口向右或向下，

设抛物线的标准方程为)2=2px(p>0)或f=-2piy(pi>0).

把点(3,—4)的坐标分别代入和f=-中，得(一4)2=2p-3,32=—2/?r(—4),

则2/7=77»2pi=*

•5q

・••所求抛物线的标准方程为

y2=?或$=一》

•5■

(2)己知抛物线E：)，2=2px(〃>0)的焦点为R准线为/,第一象限内的点A在£上，A4垂直/于点4,

B尸交)，轴于点C,若|AF|=2|8C|=4,则抛物线的标准方程为.

答案/=4x

解析由题意知C为B尸的中点，

因为|AF|=H8],所以AC与8尸垂直，

因为HF|=2|8C]=4,所以NC4尸=30。，

所以N8Ab=6()。，

方法一则AAB/为等边三角形，设48交)，轴于点。，如图，

a

在RdBC。中，易得|砌=1,即；=1,〃=2,

故抛物线的标准方程为)，2=4X.

方法二八(]+2,2V3),

代入E：V=2p即>0)可得12=2〃仔+2),

化简得p*+4p—12=0,

由于p>0,所以〃=2(p=—6舍去).

故抛物线的标准方程为y2=4x.

思维升华求抛物线的标准方程的方法

(1)定义法.

(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.

跟踪训练2(1)抛物线。的焦点"关于其准线对称的点为(()，-9),则抛物线C的方程为()

A.x2=6yB.xB2=\2y

C.x2=18vD.xD2=36y

答案B

解析由题可知，抛物线开口向上,设方程为f=2p)Q>0),

则抛物线的焦点为(0,9,则准线为y=~l,

所以=2=一<，解得P=6,

所以抛物线C的方程为』=]2y

⑵“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线G：y2=-2/?x（/?>0）>C2：y2=2〃Q>0）构造了一

个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线Ci,C2的焦点分别为Fi,尸2,点尸在抛物线GJL,

过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q,若|PF1|=2|PQ=8,则〃等于（）

A.4B.6

C.8D.12

答案D

解析方法一如图，过点P作于点M,

V|PFi|=2|P2l=8,

：.\OM]=2,则0=-2,

又点P在抛物线Ci：9=-2内（〃＞。）上，

二呼二4〃，

贝”PM=2万，

在RtAP/WF）中,|A/F）|=^-2,

・・・[PM]2+|MF][2=|PFi|2,

・・.（2而）2+仁一2）2=82.

・・・p=12S=-2O舍去）.

方法二设尸（向，）汨），则刈＜0,

V|PF||=2|Pfi|=8,

M+£=2（—2xo）=8,

.*.Ao=—2,p=\2.

题型三抛物线的几何性质

例3(1)(多选)对于抛物线M=y,下列描述正确的是()

A.开口向上，焦点为(0,2)

B.开口向上，焦点为(0,2)

C.焦点到准线的距离为4

D.准线方程为)，=-4

答案AC

解析由抛物线宗2：)，，即f=8)，，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(()，2),焦点到准线的距离为4,准

O

线方程为y=-2.

(2)(多选)已知点4(X1，M)，4(X2,)，2)是抛物线)?=8x过焦点的弦的两个端点，焦点为凡贝1」()

A.焦点尸的坐标为(4,0)

B.|A树=k+必+4

C.yy=18

D工+上

'\FA\\FB\2

答案BD

解析由抛物线y2=8x,可得焦点为尸(2,0),故A错误；

由抛物线的性质可得|A阴=-/1+由a=内+2+於+2=为+也+4，故B正确；

方法一设直线A8的方程为X=〃!)，+2,与抛物线的方程联立，可得)2—8〃罩-16=0,J>0,

则yi+j2=8m,y|竺=—16,

11111

-------------------------

田川1阳%1+2孙+2

=_2_+_2_=8+8

1+2堂+2*+16尤+16

_8y：+8乂16+8与，+8乂16

yfyf+16yf+16yf+162

―85+力)2-16力力+162

222

(yiy2)+16(y1+y2)-32y1y2+16

_8x(8m)2+i62+162

162+16x(8m)2+32X16+162

=1,故C错误，D正确.

方法二因为p=4,所以.yi”=-p2=—16,

卷+向=；=]故C错误，D正确.

思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对

称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.

跟踪训练3(1)(2024・重庆模拟)4,B是抛物线)，2=2px(p>0)上的不同两点，点厂是抛物线的焦点，且

△048(0为坐标原点)的重心恰为R若|AF|=5,则〃等于()

A.lB.2

C.3D.4

答案D

解析设A(xi,yi),B(X2,J2),飕，0),

石一孙+0-p

(32,

解得「+甘会

%=一、2，

由y\=—yi可知A,A关于x轴对称，即xi=X2,

则K+X2=2X\=~~,即X[=*,

24

又因为MF|=xi+§=*=5,解得p=4.

(2)(多选)已知抛物线)2=2/W»0)经过点M(l,2),其焦点为F,过点尸的直线/与抛物线交于两个不

同的点A3,》)，Bg»)，O为坐标原点，设直线04,04的斜率分别为公，公，贝小)

A.p=2B.|A用24

C.函而=-4D.kD.k次2=-4

答案ABD

解析因为抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,2),所以2?=2p,解得〃=2，故A正确；

所以抛物线方程为)，2=标,则焦点为F(1,0),

设直线/：尸”+1,联立''

x=my+l,

消去上整理得y2—4〃“-4=0,

则/=16评+16>0,

所以yi+”=4/n,yij2=~4,

则11+X2=〃7。1+》2)+2=4〃『+2,

x\X2=(myi+l)(77zy2+1)

=trry\y2++)'2)+1=1,

所以|4树=汨+也+2=4〃『+424,故B正确；

因为瓦?=但,yi),OB=(X2,yi),

所以雨•砺=汨M+)噂2=-3,故C错误；

由题意知，用工0且12/0,所以％次2="丝=-4,故D正确.

XIX2

■微拓展■

阿基米德三角形

1.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.

2.阿基米德三角形的常见性质

(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.

(2)若阿基米德三角形的底边即弦A4过抛物线内的定点P,则另一顶点C的轨迹为一条直线.

(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C的轨迹为准线，且CAYCB,CFLAB,阿基米德三角形的面积的

最小值为/?.

(4)若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.

(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为

8P

(6)若《制，6)，B(X2,力)，弦为阿基米德三角形的底边，则阿基米德三角形顶点C的坐标为(劈，中).

推论：阿基米德三角形的顶点C的纵坐标与弦A3的中点M的纵坐标相同，顶点C的横坐标与弦A3与x轴交

点。的横坐标互为相反数.

典例(多选)已知AU.,户)，B(X2,m)是抛物线尸=2内(〃>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q,则下列说

法中正确的是()

A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆

B.若M为弦48的中点，则MQ与x轴平行（或重合）

C.若弦A8过抛物线的焦点，则点。在抛物线的准线上

D.若阿基米德三角形的底边过焦点，M为弦48的中点，则该三角形的面积最小值为2P

答案ABC

解析对于A,由蒙日圆的定义知A正确；

对于B,过点A的切线方程为y\y=p（x+Xi）,①

过点3的切线方程为ya}'=p（.r+X2）,

又卜f=2pxi，③

（资=2p%2，④

联立①②③④，解得两切线交点。（迫，—

又"（宁，中），

...M。与x轴平行（或重合），B正确；

对于C,设（2（xo,yo）,

则直线AB的方程为joy=p（x+A-o）,

又直线A8经过焦点啰，0）,

A0=P（2+“。），，刈二■2，C正确；

对于D,若底边A3过焦点，

则Q点的轨迹方程是工二-三,

易验证炀・％=-【，即QA1QB,

故阿基米德三角形为直角三角形，且。为直角顶点，.•・|。/=中+2=与至+22华型+2=2,由B项分析

2Z4PZ4PZ

可知，MQ与x轴平行（或重合），

・FQAB=3QMM•词

当且仅当），|=-）空时，等号成立，

・•・阿基米德三角形面积的最小值为p2,D错误.

课时精练

［分值：90分］

I。知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.顶点在原点，对称轴是,，轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（）

A,.r2=±3yRy2=±6r

Cjr=±12yD.y2=±12x

答案C

解析设抛物线的标准方程为2py（p>0）或x2=-2PMp>0）,

依题意知々=3,•、p=6.

・•・抛物线的标准方程为f=土12），.

2.已知抛物线C：f=2〃），（p>0）的焦点为F,P（x。，8）是C上一点，且P到产的距离与P到C的对称轴的距

离之差为2,则〃等于（）

B.1

C.2或4D.4或36

答案D

解析因为P（xo,8）是C上一点，

所以就=16〃，所以koi=4万，

由抛物线的定义可得P到尸的距离为8+9，

点户到。的对称轴的距离为所|,

则8+^—4万=2,解得〃=4或p=36.

3.已知抛物线C：V=8x的焦点为F,准线为/,P是/上一点，Q是直线产〃与C的一个交点，若拜=4府,

则IQH等于（）

A.；B.-

22

C.3D.2

答案C

解析过点。作QQU/于点0,如图.

9：~FP=4FQ,

：.\PQ\：\PF]=3:4,

又焦点尸到准线/的距离为4,

3

••・IQF|=IQQ1=ZX4=3.

4.在平面直角坐标系Oxy中，抛物线C：V=8x,P为K轴正半轴上一点，线段0P的垂直平分线/交C于

A,B两点,若NOAP=60。，则四边形。入P8的周长为（）

A.64B.64V3

CmD.丝

33

答案D

解析根据抛物线的对称性以及AB为线段0P的垂直平分线，

可得四边形OAP8为菱形，

又NOAP=60。，可得NAOP=60。，

故可设A（a,V3a）（a>0）,

代入抛物线方程可得（百Q）2=8〃，解得。=3,

故。川=2〃=竽，

故四边形OAPB的周长为4乂普=之

33

5.已知过抛物线C：）2=2*»>0）的焦点尸的直线/垂直于x轴，且与抛物线C交于P,Q两点，点E在x

轴上，且|EF|=2.若攵3.依0=—2（0为坐标原点），则C的准线方程为（）

AJC=-1B.x=--

2

3

CJC=-2D.r=--

2

答案A

解析由抛物线的方程），2=2pM）＞0）,

得鸣0）,

由抛物线的对称性，

不妨设曙，P），Q（H—p），

当点E的坐标为C+2,0）时，

衿=2，^EQ=pPp°=,

222

因为korkEQ=—2,

所以2X：=—2,

则〃=一2（不符合题意，舍去）;

当点E的坐标为0-2,0)时，

kEQ-pP-1

2-72-292

因为MEQ=-2,所以2乂（一9=一2,

则〃=2,所以抛物线C的准线方程为X=-L

6.已知x轴上一定点A（a,0）（心0）,和抛物线）2=2内（〃＞。）上的一动点M，若恒成立，则实数。的

取值范围为（）

A.（0,外B.（0,p]

C.（0,朗D.（0,2p]

答案B

解析设M（x＜），和）®）20）,则用=2p.ro,

所以|AM|=J(x0_a)2+必

=Jao-a)2+2p%

=Jx：-(2a-2p)&+a2,

因为恒成立，

所以诏一(2〃-2P)的+/2/恒成立，

所以诏一(2〃-2p)r)20恒成立，

当为o=O时，显然恒成立，

当x()>0时，刈22。-2p恒成立，

所以2〃一2pW0,则aWp,

又。>0,所以0<aWp,

即实数。的取值范围为(0,p].

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.已知抛物线)?=2px(p>0)的焦点为F,点P(5,%)在抛物线上，且|PF|=6,过点P作PQ_x轴于点0,

则()

A.p=2

B.抛物线的准线为直线)，=-1

C.yo=2V5

DAFPQ的面积为4V5

答案AD

解析抛物线)，2=2外仍>0)的准线为直线x=一.

过点P向准线作垂线，垂足为M,由抛物线的定义可知|PF|=|PM|=5+：=6,解得〃=2,则抛物线的方程

为尸=以，准线为直线x=-l,故A正确，B错误；

将l=5代入抛物线方程，解得泗=±2后，故C错误；

焦点广(1,0),点P(5,±2府,即|PQ|=2通,所以SAQQ=gx2岔X(5T)=4V§,故D正确.

8.已知抛物线）2=2pxS>0）的焦点为凡A8是经过抛物线焦点广的弦，M是线段A8的中点，经过点4,8,

M作抛物线的准线/的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接Q尸，

NF,NB,NA,则下列说法正确的是（）

A.\MN\=^AB\

B.FNLAB

C.Q是线段MN的一个三等分点

D./QFM=/QMF

答案ABD

解析如图，由抛物线的定义，

得|AC|=HF|,\BD\=\BF],

又眼川=四产，

贝产!=抑|,A正确；

由|MM=348],\AM\=\MB\,

得=,所以

而NMNA=NCAN,所以NAMN=NC4N,

所以△ANgAANF,

可知/AC7V=NA/W=90。，

所以FN1AB,B正确；

在RlZXMN尸中，|QM=IQQ,可知NQNF=NQFN,所以NQFM=NQMF,D正确；

由尸,可知|QF|=|QM|,所以|QN|=IQM,即。是MN的中点，C不正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.抛物线的准线方程是）=2,则实数a的值为.

答案三

解析由题章一；=2,解得〃=一：.

4a8

10.已知点M(20,40)不在抛物线C：9=2/»(/»0)上，抛物线C的焦点为“.若对于抛物线上的一点P,|PM|

十|尸尸|的最小值为41,则p的值等于.

答案42或22

解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点尸作抛物线准线的垂线，垂足为D,

则|PE=|PO|,

|PM+W=|PM+|PD|.

当点M,P,/)三点共线时，IPM1TP网的值最小.

由最小值为41,得20+户41,解得〃=42；

当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当M,P,/三点共线时，IPM+IPQ的值最小为1似几

由最小值为41,得1402+(20—?2=41,

解得p=22或p=58.

当〃=58时，r=H6x,点M(20,40)在抛物线内，故舍去.

综上，〃=42或〃=22.

①②

四、解答题(共28分)

11.(13分)已知动点M与点尸(2,0)的距离与其到直线上=-2的距离相等.

(1)求动点M的轨迹方程；(5分)

(2)求点用与点46,0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标.(8分)

解(1)由题意知动点M到"2,0；的距离与它到直线工=-2的距离相等，所以动点M的轨迹为以尸(2,0)

为焦点，以直线工=-2为准线的抛物线，

因此动点M的轨迹方程为y2=8x.

(2)设M得，m),

由两点间的距离公式得

IMAI=J(T~6)2+m2=yl^~T+36

=%(苏―16)2+32,

当m2=16,即m=±4时，|M4|min=4或,

即当M的坐标为（2,4）或（2,-4）E寸，点M与点A的距离最小，最小值为472.

12.（15分）已知动圆过定点（4,0）,且在y轴上截得的弦长为8.

（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（6分）

（2）已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y=x+4和），轴的距离之和的最小值.（9分）

解（1）设圆心。的坐标为（彳,y）,

则半径r=J（%_4尸+y2,

又动圆在），轴上截得的弦长为8,

所以小+/=。一4y+），2,化简得,

即动圆圆心C的轨迹方程为），2=8比

（2）如图，设轨迹C的焦点为F（2,0）,点P到直线y=x+4的距离为|PPi|