函数的概念与性质（期末复习讲义）-高一数学上学期（苏教版）原卷版

专题03函数的概念与性质（期末复习讲义）

■卜明•期末考情,.

核心考点复习目标考情规律

以选择/填空题的基础题形式出现，常考“对

函数定义（对应准确理解函数“一一对应”的本质，能辨析

应关系是否为函数''的辨析，是函数模块的

关系f）的理解函数与非函数的实例，夯实函数章节基础

入门必考题，占2-5分

高频基础得分点，选择/填空/解答题第一问

熟练掌握分式、根式等各类函数的定义域

函数的定义域、均会涉及，分式/根式/对数式定义域是必考

求解方法，能通过单调性、配方法求常见

值域方向，值域常结合单调性考查，每套试卷必

函数值域

出

以选择/填空题考查不同表示方法的适用场

掌握解析法/列表法/图象法的特点，能根

函数的表示方法景，易混点是解析法的表达式规范（如分段

据情境选合适表示方法，避免概念混淆

函数定义域衔接），是高频易错点之一

中档题核心考点，常出现在解答题中，结合

理解分段困数的定义域分段逻辑，能运用

分段函数的概念“求值、解析式求解、解不等式”考查，换元

换元法、配凑法解决分段函数的求值、解

与应用法易漏定义域限制、配凑法对式子变形能力

析式问题

要求高，是拉分点之一

贯穿函数模块的核心考点，选择/填空/解答

掌握单调性的定义证明/判定方法，结合定

函数的单调性与题均覆盖，易错点是求最值时忽略定义域对

义域求函数最直，能够解决抽象函数的单

最值单调性的限制，是指数、对数函数值域问题

调性问题

的前置基础，占5-8分

必考考点，全题型覆盖，常考“奇偶性判定、

函数的奇偶性与熟练判断函数奇偶性，能正确代入对应区

利用奇偶性求解析式/求值”，易错点是代入

应用间解析式解决奇偶性相关求值、图象问题

解析式时混淆区间，失分率较高

中档偏难题，多在解答题中后段出现，结合

能综合运用单调性、奇偶性，结合数形结

函数性质的综合单调性+奇偶性+图象分析，考查“解不等式、

合思想解决函数综合问题（如解不等式、

应用求参数范围”，是数形结合思想的典型应用，

求参数范围）

区分度较高

.记•必备知识.

国知识点01函数的概念

设4,B是两个非空的实数集,如果按照某种确定的对应关系了,对于集合♦中的任意一个数x,在集

合B中都有唯二确定的数），和它对应,那么称这样的对应/：A—8为从集合4到集合B的一个函数,记作：

y=/U），X^A.

国知识点02函数三要素

（l）x叫作自变量，，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的数），叫作函数值，所有

函数值组成的的集合叫做函数的值域。值域是集合B的子集

函数的三要素：定义域、对应关系、值域

（2）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同.

国知识点03函数相等

相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等.

国知识点04函数的定义域与值域问题

（1）具体函数的定义域

①：分式函数：），二纲,定义域是g（x）工0,分母不为0.

②：0次塞类型：），=[/（x）『，定义域是/（x）w0,底数不为0.

③：根式类型：卜=W73,定义域为心）20,偶次根式被开方数却E负数

•工”[），=2"祠，定义域为仁奇次根式被开方数为?.

④：对数函数：真数大于0

（2）抽象函数定义域：

函数於江/G/（h（x））三者之间定义域的关系，

【定义域都是指JI勺取值范围】

①已知上）定义域是⑷b），求及&方的定义域：解不等式幼，其解集就是NgG方的定义域.

②已知/G&J9定义域是（小与,求心）的定义域：利用求的）的值域，该值域就是公）定义域.

③已知/QQ9的定义域是（外份，啊出⑴））的定义域：利用x□俗，力）先求出g（x）的值域（。，4），然后解不等

式c<hG入d，此不等式的解集就是的定义域

（3）值域的求法

①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数

②单调性法

_ax+b--------

③换元法：形如y二i,，〔令疝工Z=r）；尸琮（令由=「）.

\/cx+a3,

1

y=fM+

y=ax+b±\lcx+d(ac^O)(令Jcr+d=t)./(x)(令/(%)=，)

愿知识点05函数的表示方法

（1）列表法:用列表来表示两个变显之间函数关系的方法称为列表法。

（2）解析法:用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫作函数的解析表达式,

简称解析式。

（3）图象法:用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法

注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用

不同的方法表示.

园知识点06函数解析式的求法

（1）代入法，直接法：适用于①由危）求复合函数/怆44，②由心+公、危⑷、加工）、尤）等求心）•

注意：由分段函数（丫）求复合函数,igG力时，首先需要根据/（编中对x的分段，替换为对g（x）的分段.

（2）配凑法，整体替换法:适用于油+14H+1//+1）、风0，）等类型.

XXX

⑶换元法:叫6什1）=2?-3/1，/«+仇4+股类型.

（4）待定系数法:已知函数类型，就要设出该函数表达式，如人力是一次函数，则可设/&，=去+加然后，

①利用条件由对应项的系数相等完成；

②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可.

（5）解方程组法给出的方程同时含：

①危）与/（-»或/㈤与/（a-x）；

②-奇一偶函数小）与g（“

㈤与心，效x）与心；

方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组

国知识点07分段函数

分段函数：在函数定义域内，对于自变量》取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为会段

函数.分段函数的定义域是各段定义域的正集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，

但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交.

国知识点08函数的单调性

（1）函数单调性的概念

设函数/⑴的定义域为/，区间如果叫“。，当为＜9时，都有：

①F凶）＜/（X2）或）-/（x2）＜0,就称/（x）在区间。上单调递增；

②f（X）＞）或f（%）-/（x2）＞0,就称/*）在区间。上单调递减；

等价变形：

/（$）一/（♦）：（）

Yx、,X2EDXw/,（%-巧）［/（*）一/3）］＞0＜=＞司一与一/（"）在区间O上是漕函数.

fW-f（x2）＜0

Y%,dwD,工产工2,（内一无）［/（内）一/（七）］＜。=为一占=/（*）在区间D上是减函数

（2）证明函数单调性的步骤

①取值：设XI，X2是./U）定义域内一个区间上的任意两个量，且Xl＜%2；

②变形：作差变形（变形方法；因式分解•、配方、有理化等）或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

（3）函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照”取值，变形，判断符号，卜结论”判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所热悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

（4）函数单调性常用的结论：

①若./U）是增函数，则二/U）为减函数；若凡0是减函数，则嗔X）为增函数；

②若,心）和g（x）均为增（或减）函数，则在凡丫）和g（x）的公共定义域匕/U）+g（x）为增（或减）函数：

③若儿r）＞o且/U）为增函数，则函数疯H为增函数，2为减函数；

④若凡。＞。且yu）为减函数，则函数如为减函数，X为增函数

园知识点09函数的最值

前提设函数y=/（x）的定义域为/,如果存在实数M满足

条件(i)Vxez,都有yu)sw；（i）vxe/,都有人工巨M；

(2)3xoe/,使得儿io)=M(2)3xoe/,使得於))=M

结论M为最大值M为最小值

国知识点10复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）

函数,复合函数是增函数：外层函数是增（减）函数,内层函数是减（增）函数.复合函数是减函数.

国知识点11函数的奇偶性

（1）奇偶性的概念

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数兀6的定义域为/,如果V%e/,都有一且_/（-%）=

偶函数关于1y轴对称

人工）/口|）,那么函数1AX）就叫做偶函数

一般地，设函数八x）的定义域为/,如果Vx£/,都有一“£/,且如工）=

奇函数关于原点对称

-fix）,那么函数7U）就叫做奇函数

等价变形：VXE/,Rx）t/（x）=0Q/*）为奇函数；Vxw/,如力/U）=o=/（x）为偶函数.

（2）函数奇偶性的性质

①奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.

②奇偶函数的图象特征：

函数JU）是偶函数=函数JU）的图象关于），轴对称；

函数/U）是奇函数Q函数凡6的图象关于原点中心对称.

③若奇函数段）在尸0处有意义，贝I」有火0）=0；偶函数於）必满足/（x）=/（M.

④偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反：奇函数在其定义域内关于原点对称的

两个区间上单调性相同.

⑤运算函数的奇偶性规律；对于运算函数有如卜.结论；

奇土奇二奇；偶土偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇X（+）奇=偶；奇X（+）偶=奇；

偶X（+）偶=偶.

⑥复合函匆也Q），的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇

国知识点12函数的对称性

,・、£，x—I、乂十士小(^+x)+(/?-X)a+b.

(1)f(a+x)=f(b-x)<=>y=/(x)图象关于直线x=-------------=--—对称；

推论l:/(tz+x)=/(tz-x)<=>y=/(x)的图象关于直线x=〃对称；

推论2：f(x)=/(2〃一幻o)，=/(x)的图象关于直线x=。对称；

推论3:f(-x)=f(2a+x)。y=/(x)的图象关于直线R=。对称；

(2)f(a+x)+f(b7)=2co)，=/(x)的图象关于点(等,c)对称；

推论i:f(a+x)+f(a-x)=2b<=>y=f(x)的图象关于点(。,b)对称;

推论2:/(x)+f(2a-x)=2boy=/(x)的图象关于点(。,份对称；

推论3:/(-x)+f(2a+x)=2bQy=/(x)的图象关于点(。力)对称：

(3)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)

函数y=/(x)与y=/(—X)图象关于)，轴对称；

函数>=/(幻与y=一/(一幻图象关于原点对称；

函数y=f(x)与y=-/(x)图象关于x轴对称；

国知识点13函数的周期性

(1)周期函数:对于函数尸位)，如果存在一个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值时，都有於+7)=/3,

那么就称函数,，力U)为周期函数，7称为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数人制的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做Ar)的最小正周期.

(3)函数周期性结论：

①若/(x+a)=fMMT=|a|；②若+a)=f(x-a),则T=2|a|；

③若f(x+a)=-f(x),贝打=2|a|；④若/'(x+a)=±白,则「=2|a|；

⑤若/Q4-a)=f(x+b),(a*b)则T=|a-b\o

对称性、周期性判断口诀：同周异对(x同号：周期性；x异号：对称性)

国知识点14函数的对称性与周期性的关系

(1)若函数)，=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且7=2(b-a)；

(2)若函数)=y(x)的图象有两个对称中心(a©,S,c)SO,则函数y=/U)是周期函数，且T=2(b—a)；

(3)若函数产")有一条对称轴％=a和一个对称中心(Z).O)(a<〃)，则函数产公)是周期函数，且7=4(b-a).

.破•重难题型.

国题型一函数的定义域(含抽象函数的定义域)

解|题|技|巧

1.具体函数的定义域

©：分式函数：>=纲，定义域是g(x)wO,分母不为0.

②：0次塞类型：>=[“切°,定义域是/(1)。0,底数不为0.

③.根式类型.[)'=2师)，定义域沏'(彳)2°，偶次根式被开方数为负数.

.•[)，=2时「旧定义域为R奇次根式被开方数为?.

对数函数：真数大于()

2.抽象函数定义域：

函数九江/GG方，/(h(x))三者之间定义域的关系・

【定义域都是指%的取值范围】

①已知於)定义域是他，与，求加4方的定义域：解不等式4Vge幼，其解集就是/4G力的定义域.

②已知及金〃定义域是(内力)，求*x)的定义域：利用“《sb求g(x)的值域，该值域就是信)定义域.

③己知想金〃的定义域是(4,8求y(ha))的定义域：利用工□(〃，6)先求出g(x)的值域(c,d)，然后解不

等式cvhCJvd，此不等式的解集就是/(h(x))的定义域

【典例1](24-25裔一上•江苏徐州•期末)函数y=VT7的定义域为()

A.(l,+oo)B.(fl]C.[1,+功D.(』1)

【典例2】已知函数ra)='：+2-i,则函数〃2x+i)的定义域为.

V6-2x

【变式1】(24-25高一上・江苏•期末)若函数/")的定义域为[3],则函数且("=等”1的定义域是一

【变式2】（24-25高一上•浙江杭州•期末）已知函数），=/（3x+l）的定义域为[0,2],则函数的

定义域为（）

A.[1,7]B.[1,5]C.[2,50]D.[1,50]

【变式3】（24-25高一上•江苏南通•期末）函数/（力=+2%+2定义域为R的一个充分不必要条件是

（）

、2

A.m>-B.in>—C.m>—D.m>-

3432

国题型二函数的值域

解|题|技|巧

1.图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数

2.单调性法

3.换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为3转化为关于t的某种简单的基

本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解

4.分离常数法：主要针对形如y:篙（ac#0,ad#bc）的函数，常把分子分离成不含自变量的形式，即

尸音导其值域是｛渥｝

x-1x-12y+12y+1

5.反解法：例如求函数y=x+2（x>—4）的值域.由y=x+2解出x得x=।-y.由x>—4,得1-y>

2y-55

—4,即y—]>0,.,.y>2或yVl

【典例1】求下列函数的值域:

...4x2+4x+9

(i)y=----------------（A>0）；

(2)y=x-2Vx+l.

⑶

x+2

【变式1】（24-25高一上•江西赣州•期末）函数y=+的值域为（）

11

A.B.[0,+ao)C.一,+8D.

2

【变式2】⑵-25高一上•河北邯郸•期中）函数尸三的值域是（）

A.(-co,+co)B.(-<o,2)U(2,-hx)

C.(一:,+8D.(TM”)

【变式3】求下列函数的值域:

⑴y=2x+l,xe{1,2,3,4,5}：

(2)y=Vx+1：

(3)y=x2-4x+6,xe[l,5]；

m3X+2

⑷y=E

国题型三求函数的解析式

解|题|技|巧

C）代入法，直接法：适用于①由信）求复合函如gQ],②由心+力於如、/（曲、尤）等求/（》）•

注意：由分段函数儿（）求复合函数时，首先需要根据《、）中对》的分段，替换为对g&）的分段.

（2）配凑法，整体替换法：适用于/何+1人的+?、/（/：）、/（X.：）等类型.

⑶换元法：如/6x+&2f-3x+l，//吐川+净类型.

（4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如1A制是一次函数，则可设区+加然

百，①利用条件由对应项的系数相等完成；

②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可

解方程组法:已知函数f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是天知量外，还出现其他未知量，如/（一幻、

/,（-）等，则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）的解析式

X

【典例1]若函数/*）是一次函数，并且满足/（g（x））=9x+l,g（x）=3x+l,则八幻的解析式为（）

A./(x)=3xB.f(x)=3C./(x)=3x-2D./(.r)=3.r+1

【典例2】求下列函数的解析式.

⑴已知］(«+1)=%—4,求/(x)；

⑵己知/［一J)=x2+?.，求/(》)；

(3)已知2/(x)m，求/(X).

【变式1】已知g(丫)是二次函数，且g(2)=-3,^(-?.)=-7,履0)=-3,则g(r)的解析式为

(1A1

【变式2】已知/-=--则/(x)=

\X)x-\

【变式3］(1)已知/(力是一次函数，且/(/(X))=9X+4,求/(X)的解析式;

(2)已知/(4+2)=X+4&,求函数/(X)的解析式；

(3)已知函数满足〃2-x)+2f(2+；)=x,求函数)，=〃x)的解析式.

等题型四分段函数

解|题|技|巧

已知分段函数自变量的值求函数值的步骤：

①确定自变量属于哪一个区间；

②代入该区间所对应的解析式求值，直到求出值为I匕当出现f(f(xo))的形式时，应从内到外依次求值.

(2)已知函数值求对应的自变最的值：可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析

式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解

【典例1】(24-25高一上•江苏宿迁•期末)设函数则〃T)=()

x-3x,x>0

A.-4B.-2C.0D.2

I,x<0,

【变式1】(24-25高一上•江苏南通・期末)已知函数"x)=,0,.1=0,则/(/(2))=()

-1.A>0,

A.-2B.-1C.0D.1

【变式2】定义：min{a,可表示久。中的较小者.若函数y=min{l-卜-2|，*一1)2-1}在区间上〃，”］上的取值范

围为［T，0］，则机的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

__L+5r<0

【变式3】已知函数=Jx2''且/(々)=4,贝匹=.

ax,x>0.

包题型五函数的图象及其应用

解|题|技|巧

1.抓关键点：锁定图象与坐标轴的交点、两函数图象的交点、顶点（如二次函数顶点）、起点/终点（对

应实际问题的初始/结束状态），这些点通常关联核心数值。

2.析变化趋势：通过图象的“上升段/下降段/水平段”，判断函数的增减性、不变状态（比如行程问题中“水

平段”对应静I卜）C

3.联实际意义：明确横纵坐标的实际含义（如横轴为时间、纵轴为路程/利润），把图象的分段变化和

实际场景（行程、销售、工程等）对应起来。

4.用图象求式：利用图象上的已知点，代入函数解析式（一次函数用“两点式”、二次函数用“顶点式/

一般式“）求解表达式。

5.比函数值大小：在同一坐标系中，通过图象的上下位置，直接判断不同函数在某一自变量下的函数

值大小关系。

【典例1】（24-25高一上•江苏苏州•期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的

函数解析式可能为（）

图①图②

A.)，=/(r)+lB.y=/(T+i)

C.y=-/(x+l)D.尸一/(*1)

【变式1】（24-25高一上•浙江•期中）若函数=+［+.的部分图象如图所示,则/（5）=（）

【变式2】函数"x)=|x-l|+l的部分图象大致是()

国题型六函数的单调性

解|题|技|巧

1.定义法函数的单调性：

①任取XI，X2ED,且XWX2；②作差f（X|）-f（X2）；③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f（X1）-f（X2）的正负）；⑤下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）.

2复.合函数的单调性：复合函数力加明的单调性与构成它的函数〃伸㈤，y=/w的单调性密切相关，其

规律：“同增异减”

3.函数单调性的运算

y=f(x)py=g(x)~y=f(x)+g(x)py=f(x)-g(x)p

增.增.增，

增.减p•P增P

减P减.减P・~

减。增.减P

【典例1]（24-25高一上•江苏镇江•期末）已知函数/（”=王泰，xe（-l,l）.

⑴单调性的定义证明在区间（-1，1）上是增函数；

⑵解关于f的不等式：/*+£!</（；-）•

X|A+<7|-1l,x<2

【典例2】（24-25高一上•广东湛江•期末）已知函数/"）={是R上的单调函数，则实数〃

—,x>2

x

的取值范围为（）

A.[—8,—4]B.[-8,-2]C.[-6,-4]D.[-4,-2]

【变式1]（24-25高一上•湖北•期末）若函数/（』）—Jo^+Zx-l在口,"）上单调递增,则实数〃的取俏范

围是（）

A.[-1,+cc）B.（-1,+oc）C.[0,+oo）D.（0,+e）

【变式2】函数/（x）=病4+—2x的最小值为（）

A.0B.4c.6D.2N/2

【变式3］（24-25高一上・江西•期末）己知定义域为（TI）的函数/（“满足",占€（-1，1），

76)—/&)=/，且当x>0时，/(x)>0.

V-XlX2)

⑴求/⑼的值；

⑵用单调性定义证明：/（力在定义域上是增函数；

⑶若/（g）=1，求不等式〃x）+f（3x7）＜1的解集.

国题型七函数的单调性与最值

解|题|技|巧

1.先定单调性：用定义法或常见函数结论（如一次函数看k、二次函数看对称轴与a的符号:，，确定函

数在目标区间的增减性c

2.区间内找最值：

①单调增函数：区间左端点一最小值，右端点一最大值；

②单调减函数：区间左端点一最大值，右端点—最小值；

③非单调函数（如二次函数）：先找单调性分界点（如对称轴），再比较分界点与区间端点的函数值,

确定最值。

3.实际问题最值：先列函数解析式,定义域，再判断定义域内单调性，进而求最值。

易错提醒：注意函数的定义域优先原则

【典例1］函数/（x）=2x+VrZ（）

A.有最小值2,无最大值B.有最大值2,无最小值

C.有最小值孕，有最大值2D.无最大值，也无最小值

O

【变式1】若函数），=一/+（〃7+3卜+1在区间（2,3）内存在最大值，则次的取值范围是（）

A.（-2,0）B.（-3,-11C.（0,2）D.（1,3）

【变式2］已知函数1）=二=卢士£,且/（T）=-2.

⑴求函数/（X）的解析式：

（2）求函数/"）在上的最值.

【变式3】(24-25高一上•云南昭通•期末)已知函数八%)=土=经过(L2),(--2)两点.

av+b

⑴求函数/(x)的解析式；

(2)判断函数/5)在(l,+oo)上的单调性并用定义进行证明；

(3)当xe时，〃此/(幻，求实数〃1的最小值.

再题型八函数的奇偶性及应用

解|题|技|巧

函数奇偶性的运算性质:

4J/(x),g(x)都为/(X)为奇函数，/(X)为偶函数,/(x),g(x)都为

奇函数Ug(x)为偶函数”g(x)为奇函数“偶函数,，

fM+g(x)。奇函数2___________V___________?偶函数“

奇函数"____V偶函数，，

/(.v)-g(.v)M

/(x)g(x)o偶函数「奇函数”奇函数3偶函数”

AgM]奇函数“偶函数，，偶函数-，偶函批

【典例1】(24-25高一上•江苏盐城•期末)函数/(幻=/的奇偶性为()

A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数乂是偶函数D.既不是奇函数乂不是偶函数

【典例2】已知偶函数/(1)的定义域为R,且当x20时，/(x)=x2-2x4-3,则/(-1)=.

【变式1】(24-25高一上・江苏•期末)已知函数/(力=丁+21+,-3,若/⑴=4,则/(T)=.

【变式2](24-25高一上•北京朝阳・期末)设函数/("=/+(々-2)工+1(々£1i),则交=2”是"⑺是偶函

数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式3】已知y=/(.r)为定义在R上的函数，则既穴是奇函数也不是偶函数〃是“存在x°eR,

使得[〃-%)丁工卜伉)「的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D,既非充分也非必要条件

国题型九函数的单调性与奇偶性综合

解|题|技|巧

1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单

调性.(简记：“奇同偶异”).

2.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间」•的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间一卜.

进而利用其单调性比较大小.

3.解抽象函数不等式，先将不等式转化为/"(切>/[〃(#]或/[8(力]</[〃(切的形式，利用

单调性把不等式的函数符号“/“脱掉，得到具体的不等式(组).

【典例1】定义在R上的偶函数/(x),当X，。时，f(x)=^-x-2,则切•(x—1)工0的解集是()

A.(-^,-l]u[0,3]B.[-1,3]C.(T,-3Mo,1]D.[-1,0卜[3,+8)

【典例2】(23-24高一上•吉林长春・期末)若定义在(F,0)U(0,e)上的函数/")同时满足；①/")为

xf(x)—xfix)

奇函数；②对任意的玉，A-2e(0,+a)),且x尸石，都有'：「YV0.则称函数“X)具有性质P.

X\~X2

己知函数/(x)具有性质P,则不等式/*一2)<八一一对的解集为_____.

x+2

【变式1】设偶函数/(M的定义域为R,在区间[0,4]上单调递减，则()

A./(^)</(-3)</(-2)B./(4)</(-2)</(-3)

C./(-2)</(-3)</(^)D./(-3)</(-2)</(^)

【变式2](24-25高一上•广东广州•期末)设/(x)是定义在R上的奇函数,对任意的再,马£(0,+<»),4尸工2,

满足：若/(2)=4,则不等式2x40的解集为.

百一W

【变式3】已知函数〃力=上空，K/(x)+/[-l=-l(x^0).

1+rIX，

⑴求实数〃的值，并判断函数y=/(x)的奇偶性(不需证明)；

⑵判断函数.片/(-V)在(0,y)上的单调性，并证明；

⑶解关于x的不等式/(x)+《£j+i<o.

国题型十函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合

解I题I技I巧

对于定义在R上的函数/(x)：

1.奇偶性与对称性的关系

①若.f(x+。)为偶函数，即/(工+。)=/(一X+。)，则/(1)的对称轴为冗二。.

②已知/(X+4)为奇函数，即/(/+〃)=-/(-X+4),则“X)的对称中心为3,0).

2.奇偶性、对称性与周期的关系

若函数/(x)是偶函数，且其图象关于直线犬=。对称，则/(力的周期为21d.

若函数/")是奇函数，且其图象关于直线1=。对称，则/")的周期为4回

【典例1】己知函数“X)与g(x)的定义域均为R,/(X+1)为偶函数，g(x)的图象关于点(1,0)中心对称,

若f(*)+g(x)=f-1,则f(2)g(2)的值为_____.

【变式I】函数/(力是定义在R上的函数，且/(X+1)为偶函数，/(X+2)是奇函数，当了«0』时，

/(x)=3r-l,WiJ/(567)=.

x

【变式2】已知定义在R上的奇函数上⑺满足/(X+2)=/(T),且当xe[0,l)时，f(x)=3-\t则

/(5+Iog316)=.

【变式3】设函数的定义域为R,/(x-1)为奇函数，/。+2)为偶函数，当xe[-l,2]时，/(1)=以2+入若

/(1)+/(3)=0,且/(-4)+/(3)=-3,则.

■过•分层验收.

期末基础通关练（测试时间：40分钟）“

一、单选题

1.（24-25高一上•江苏宿迁•期末）函数丁="77+一二的定义域为（）

x-1

A.（一8,1）51，4）B.（-<»,T）U（-1,4）

c.H-i)u(-h^)D.[T1)U(L”)

x+4x<0

已知函数小卜［-2）3。,则/（"一））=（

2.（24-25高一上•江苏泰州♦期末）)

A.1B.7C.13D.49

3.（24-25高一上•江苏苏州•期末）函数=二［的单调递减区间为（）

A.(f-1]B.(^o,0]C.[0,+oo)D.[h-H»)

4.（24-25高一上•江苏盐城•期末）如图是y=/（x）的图象，则y=F0-x）的图象为（)

)

B.(-oo,0)vf|,+oo

A.

2_L2

C.D.

2,3253

6.⑵-25高一上•江苏・期末)函数小.、)=|\(二a+3)丁x+a小+3,px>1是增函数，则实数〃的取值范围为()

A.(3,2]D.(3,1]

C.[-2,-1]D.(-2,-1]

二、多选题

7.(24-25高一上•江苏盐城•期末)已知某周期函数/(x)一个周期的图象如图所示，则下列说法正确的是

A.当x=2025时，/(x)取最大值

R.当x=2Z—l(&eZ)时.取最小值

C.当xe[2024,2025]时，/(“递增

D./⑴的单调减区间是[4攵-3,必-1]仕eZ)

8.124-25高一上・江苏泰州•期末)已知函数/(.r)=x+±,PM()

X

A./(力的图象关于原点对称B./(力在(a,x)上单调递增

C./（x）的值域为[2"+8）D.不等式的解集为（-2.0）

三、填空题

9.（24-25高一上•江苏南通・期末）若/%）是奇函数，且当x>0时，=则/（-1）=.

x2-2ax,x<0,

10.（24-25高一上•江苏苏州・期末）设函数〃x）=1若不等式对VxeR恒成立，则实

—-l,x>0,

e

数”的值为.

四、解答题

11.（24-25高一上•江苏•期末）已知函数/（用="+