吉林省长春市重点高中2026届高三年级上册10月月考数学试卷

2025-2026学年度上学期月考

高三数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

设集合人=卜卜大2},B=卜|1W4},则BDCRA=()

A.{^11<x<2]B.[x\x<4}C.{x|2<x<4JD.{x|x>I)

2.已知平面向量a=（2,x）,/?=（x+2,4）,则“x=2”是“ab”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数/（刈是定义域为R的偶函数,且在（0,十R）上单调递减，则（）

A./(-7i)>/(-l)>/(V2)B./(-I)>/(-TT)>/(V2)

C./(-TU)>/(V2)>/(-1)D./(-l)>/(V2)>/(-7i)

在点网到处的切线方程是（）

4.曲线）,=吧

A.x+nv+K=0B.x+兀)'一兀=0C.2x+ny-7t=0D.x+n2y-7t=O

5.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需时间T=Alog2N（单位：小时），其

中士为常数.在此条件下，训练5.12x1029个单位的数据量所需时间是训练8xi（）9个单位的数据量所需时间的

)

A.2倍B.3倍C.4倍D.8倍

6.设函数/(x)=cos(x+°)，M<3，对TxwR都有f=0,则〃x)=()

71八兀.71

A.cos卜+：B.sinX+—C.cosx——D.sinx——

444

7.已知a>0,/?>0,且出2-4。+1=0,则一+9人的最小值是（）

A.4B.6C.8D.9

8.若关于x的不等式lnx-a/-⑪20有且只有一个整数解，则实数。的取值范围是（）

In3ln2)In2In3)

B.D.

~n'~6),I10'12-nr，E

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设向量。=（3㈤/=（2,-1）,则下列说法错误的是（）

A.若a与人的夹角为钝角，则k>6

|7|B.的最小值为9

C.与共线的单位向量只有一个，为

\Z

D.若a=^b|则Z=±6

10.已如函数人%）与其导函数/'（M的图象如图所示，设8（幻=工，则（）

f（x）

A.曲线M为函数/（X）的图象B.曲线N为函数的图象

C.函数以外在区间［0,2］上单调递增D.函数g0）在区间句上单调递减

11.中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过

的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的.如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个

平轮的转动.忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2,记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A,大

平轮上最高点为点6,大、中、小平轮和立轮的半径分别为4,3,2,1.随着转动，以下说法正确的是（）

图1图2

A.小平轮转2圈,大平轮转1圈

B.人8两点距离最大为18

C.AB两点距离最小为10

D.若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为2后

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数z满足i.z—1+i,贝噌=.

13.直角梯形中，AB=BC=2,AD=V3,。。=1,点0,E为的中点，尸在8c边上运动(包含

端点)，则OE。产的取值范围为.

14.已知函数/(x)=sin(w+0),其中0＞0,。＜。＜兀，恒成立，且＞=/3)在区间0.-^上

4I8J

恰有3个零点，则。的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=sin?x+＞/5sinx8si.

(1)求/(”的最小正周期和对称轴方程；

⑵求〃工)在区间-冷看上的最大值，并求出此时对应的x的值.

16.己知函数/(力=2'+〃-2-'("为常数，f/eR).

(1)当。取何值时，函数/(“为奇函数；

(2)当〃=1时，若方程〃2x)—入〃力=3在x«0.l］上有实根.求实数上的取值范围.

冗一B

17.已知。，b,。分别为AABC三个内角A,B,。的对边，sin—=sinB,CdC8=6,且△A8C的

面积为75.

⑴求C；

(2)若。在8c边上，且线段AO平分N8AC,求线段A。的长度.

18.已知函数g(K)=lnx-苏+(2-a)x(aeR).

(1)求g(力的单调区间;

⑵若函数/(6=4"+如2-(2+〃)-公9(0"<々)是函数/(力的两个零点，证明：尸(三产卜0.

19.设函数/“)=吐1

x

⑴求/3)的单调性.

(2)求证：当x>0时，/(x)>1x4-l.

⑶若函数尸3)=/。)-。加1-1在(0,兀)上有零点，求实数。的取值范围.

2025-2026学年度上学期月考高三数学试题答案

1.A

【详解】由A={g2},得QA={x|x<2},

结合8={x|lKxK4},得BcdA={x|lKxv2}.

故选:A.

2.A

【详解】因为〃b,所以x(x+2)-2x4=。，解得x=2或T,

故“x=2”是％的充分不必要条件.

故选：A

3.D

【详解】因为y=〃x)是定义域为R的偶函数,可得〃F)=/(兀)J(T)=〃1),

又因为“力在(0,+8)上单调递减,且1V&V兀,所以/⑴>/(&)>/(兀)，

所以/(T)"(A)>/(F).

故选：D.

4.C

【详解】由函数的解析式可得)，'=(一4二)：一8”,

尸

(.7l}71It

-sin----cos—(、

所求切线的斜率为/=x~零——-=---由于切点坐标为不。，

x=2£7T12；

T

故切线方程为)，=-2x—弓］,即为2x+呼一兀=0.

兀I27

故选:C.

5.B

【详解】设训练5.12』10人及8x109个单位的数据量所需时间分别为7；,T2t

T}=Zog2(5.12x10")=隰512+晦1()27=910g22+27logJ0

y9

T2Alog2(8xlO)log28+log21031og22+91og210

9+271ogJ09(1+310g2IO)3

3+9log,103(l+31og210)

所以训练5.12x1()29个单位的数据量所需时间是训练8xl()9个单位的数据量所需时间的3倍.

故选：B

6.A

【详解】由题意VxeR都有/仁+、卜/仁-。=0,可知函数/(x)的图象的对称中心为

由函数/(x)=cos(x+p)可得(+0=5+E(kwZ),

解得8=履+?&Z),乂陶

故选：A

7.A

【详解】因为小劭+1=0,所以〃+:=4,所以L9/—UL9"。+口=]10+々+9用，

ba41a八a41ab)

又〃>0,/?>0,所以出?>0,所以」-十火力之2)」-,9"〃=6,当且仅当二=%活，即a=l,6=!时等号

abvabab

成立，

所以L+9〃N1(|O+6)=4,即2+9〃的最小值是4.

a4a

故选：A.

8.A

【详解】因为Inx-alV+xR。，x>0,所以电二Na(x+1),

令〃小亭则小)二岁,

当工«0,e)时,f(x)>(),当劝在(0,e)上单调递增,

当x«e,+8)时，/'")<(),/(幻在(e,+e)上单调递减，

当x->0时.，/(x)^-oo,当XT+8时，/(x)f0,且/⑴=0,

令g(x)=a(x+l)f则g(x)的图象是一条过定点尸(TO)的直线，

当。工0时，不符合题意；

则心0,如图，当g。)的图象经过A(2,殍)1(3,印｝(4,苧)时,

直线PA,PB,PC的斜率分别为（，黑，书

不等式生£之。（％+1）只有1个整数解,

9.BC

3X(-1)H2A

【详解】对•于A,若。与力的夹角为钝角，则需满足,解得攵>6,故A正确,

ab=6-k<0

对于B,卜卜律*23,当且仅当左=0取到等号，故B错误,

对于C,与/,共线的单位向量有两个，为±启=±表（2，-1）,故C错误,

对于D,由卜卜3例得后+公=3亚+（-1＞，解得k=±6,D正确，

故选：BC

10.ACD

【详解】对于AB,因为/'（力＞0时/（“单调递增，/。）＜0时/（x）单调递减,

所以由图可知曲线M为函数/'（M的图象，曲线N为函数/"）的图象,

故A错误，B正确；

对于CD,由图可知当nw(0,〃)时/(x)-/'(x)>0,xw(a,T)时/(x)-/'(x)〈0,

因为小人也需皿（X

R3),所以当xw(O,a)时g'(x)>0,当xe(a,3)时g'(x)<0,g(x)单

调递减，xe（3,b）时x'（x）＜0,g。）单调递减，故CD错误。

故选：ACD

11.ABD

【详解】对于A,单位时间内，三个平轮的弧长满足〃=/中二〃，

而大、中、小平轮和立轮的半径分别为432,1,

因为小平轮转2圈，大平轮转1圈的弧长分别为/小=2x2"l=4兀，/大=2兀x2=4兀,

满足/小=/大，所以小平轮转2圈，大平轮正好转1圈，故A正确：

利用半径是2倍关系，则转过的角度是一半的关系，

可设A(2cos2e,2sin2。)，贝I]812+4cos(1+夕),4sin(]+0j,

即£?(12-4sin6>,4cos6>),

A#=(12-4sin夕一2cos26)2+(4cos0-2sin2夕『

=144+16sin29+4cos?2^-96sin(9-48cos2^+16sin^cos2^+16cos2^+4sin22。-16cos6sin2。

=i64-48x(l-2sin26>)-l12sin6>=116+96sin26-112sin6,

令sin夕=AB2=4(24r2-28r+29),

OQ7

当，=合=£时，AA取得最小值，

2x2412

当/=-1时，A3取得最大值为14x(24+28+29)=18,

当/=1时，A8取值为J4x(24-28+29)=10,不为最小值，故B正确.C错误；

对干D.立轮直径为2,小平轮直径为4.所以最大值为亚百=2后，故D正确.

故选：ABD.

12.【详解】由题设忆|=十="i|=J「R=&.

故答案为：及

13.【详解】

建立平面直角坐标系如图，则A(0,0),8(2,0),C(1,V3),D(0,V3),

.••点O,E为A81c的中点，."(1,0),E

OE,BC=(T,®OB=(LO),

F在8c边上运动(包含端点)，设BF=2BC(0<A<1),

/.=.•.0尸=08+8尸=。,0)+(—；1,6/1)=(1—46/1),

.，.OEOF=-(\-A)+—xy/3A=A+-,

2V722

0<A<1,「.一M义+—K—,

222

-13-

.•.OE。”的取值范围为.

故答案为：.

14.【详解】由己知得：/3)&/(：)恒成立，则/(X)m”=/(：)，

7T兀c,■)花TICD—1)

—a+0=—F2K71,KGZ(D=----------F2kli今&£Z,

4224

(3n)/3兀、

由xe0.—\^MX+(pe((p,—(o+(p),

o/88

由于y=/(x)在区间(61

上恰有3个零点,

C九兀0C,

0<°<兀0<---------+2E<兀

24

故3兀则',keZ,

-3lt(O7111CO2

37r<-----+---------+2E<4兀

824

\Sk-2<ct)<Sk+2

则120-16&<0工28-16%'火£Z,

6<<y<10

只有当k=l时，不等式组有解，此时＜故6<@<10：

4<69<12

故答案为：(6,10)

1-cos2xx/3.-

15.【详解】(1)f(x)=sin2x+\j3sinxcosx=------------+——sin2,v

22

cos2xI711

=—sin2x------+—+—

22262

^-2x~—=—+kn,keZ,解得了=2+“九〃wZ,

6232

所以/(A)的最小正周期T=兀，对称轴方程为x=1+g兀★eZ.

当2一丁=9即时，sinf2x-^=l,/(“取得最大值

623\6/2

所以/("在区间［-*手上的最大值为］此时

16.【详解】(1)若〃x)为奇函数，则/(X)+/(T)=0,

即2,+夕2-*+2-*+。・2*=(。+1乂2*+2-*)=0,

•.,2'>0，2r>0,.,"+1=()，解得：a=-\.

(2)当4=1时，/'(x)=2'+2：f(2x)=2lr+2~2X=(2r+2~x)：-2,

•・J(2x)-h/(x)=[/(x)]2_k./(x)_2.

当xe[0』时,2xe[l,2],又丫=x+，在[1,2]上单调递增，

X

.•.当x«0,l]时，/(力=2「+2-，=2、+5£2,|,

令l=/(x)，则方程产-人”2=3在2,|上有实根,

.•.&=。"；在止2,|上有实根，又在匡]上些调递增，

5「11],「1厂

tL22jL22」

17.【详解】(1)由已知C4由cosC=6，且三角形面积S=g他sinC=75,

可知tanC=3,

3

又c«o㈤,

则c=I

6

(2)

A

c

CDB

由己知sin---=sinB,

2

结合诱导公式及二倍角公式可得cosg=2sin与cos与

222

又Be(0,兀)，即cosgoO,

所以sin4=1,即3=?，

223

所以4=7C-B-C=1,

则由正弦定理白=4=小，

sinAsinBsine

可得a=2c，b=y/5c，

2

所以S.HC=—«Z?sinC=^-c=G»

Aric..22

BPc=&»a=2>/2,b=瓜,

又线段AO平分/曲C,

所以/84£>=NCAO=百，

4

又SABC=SAlfl)+SACl),

即石=L「.ADrinN+L〃•八/)・$出四，

2424

则有='x/LA/>sin乙+L"dO・sin¥,

2424

解得AO=3-"

18.【详解】(1)函数g(x)=lnx-6?+(2一的定义域为(O,+e),

(av-l)(2x+l)

^7x)=--2ax+2-a=-

x

①当a<0时，g'(x)>0,则g(x)在(0,y)上单调递增;

②当a>0时，若()<x<B，则/卜)>0,若则g'(x)〈O,

/1

则g(x)在(0,,上单调递增，在—,+°°上单调递减.

综上，当“W0时，g(x)单调递增区间为(0,+8),无递减区间;

当〃>0时，g(x)单调递增区间为(0,5)；单调递减区间为15,+8

/(X))=Inxy-2axi=0In%-Inx2

(2)由已知可得可得〃=

2(%-马)

/(x2)=lnx2-2ax2=0

<0,艮】证百+4>,，

由f(x)=Inx-2ax可得f(x)=--2af要证f

X

2五-1

即证西+巧>：(*：/),,即证]门工<2(斗_/)=<X2y

*In玉-Inx242A,+A2Jl

x?

由题意可知士>为>。，令/=土日：。，1),即证ln/<2(—)

t+\

构造函数〃(/)=ln/-坐?，其中Ovtvl,即证/)<0,

14fr-iV

"(')=7-西京所以‘函数'?(“在(°」)上单调递增，

当Ov/vl时，/z(r)<//(l)=O,故原不等式成立.

19.【详解】(1)由题意，/3)的定义域为{xlxwO},且广(X)="？c",(x.0),

设r(x)=(x-l)e，+l,则/(行=心、，

当工〉0时，r\x)>0,/■")在(0,y)上递增，则/•(x)>《0)=。，OPf(x)>0,所以/卜)在(0,y)上递

增；

当不<0时,/(x)<0,r(x)在(TO,0)上递减,则一(力>{0)=0,即/出>0,所以/(x)在(F,0)上递

增.所以，/(X)在(f,0)和(0,+。)上单调递增.

_]]1

(2)当不>0时・，f(x)=--->-x+\^>ex>-x2+x+\.

x22

令/?(x)=e，-gf-x-i,plij//(x)=ev-x-l,

®/7z(x)=/Z(x)=er-x-l,则z?/(x)=e'-1,

x〉0时，加(x)>0,即