概率论与数理统计 教案 第五章第一节第二节 第一节：统计学中常见基本概念 第二节 抽样方法与统计推断

《概率论与数理统计》教学设计方案PAGE21.知识与技能目标（1）知道总体、样本、简单样本和统计量的概念；（2）掌握样本分布的数字特征（均值与方差）的计算方法.2.能力与思维目标了解统计研究中4个阶段工作过程，培养在统计中抽样方法与数据收集的思维；3.情感态度与价值观目标（1）在流量时代，作为大学生，有依据数据事实，进行多维度、分层次的剖析，才能表达观点的意识，不能因为片面的解释就忽视细分环节中可能存在的问题，陷入舆论漩涡或做出错误决策；让学生体会到数理统计来源于实践又服务于实践，培养学生运用数理统计的思想理性看待实际；（2）对统计法有敬畏之心，有坚守“数据真实是统计生命线”之心.（1）理解总体、样本，统计量；（2）常用的统计量的分布.处理措施：（1）举例讲解什么是总体、样本、统计量；（2）让学生沉浸式感受生活情景实例，通过计算统计量解决实例问题.样本均值与样本方差的实际意义．处理措施：通过课堂讨论：初高中计算的均值（期望）与方差，与此时我们学的样本均值与样本方差的区别，通过类比迁移加深理解.思政元素融入章节介绍：统计学是通过对实验数据的统计分析，寻找样本所服从的分布和数字特征，从而推断整体的规律性，进而指导人们实践的一门学科.本模块聚焦统计推断与决策分析，围绕数据的收集、整理、分析，将系统阐释数理统计的基本概念与关键方法，如参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等，为从数据到决策分析的实践工作提供理论支撑与实践指导.​要理解统计推断与决策分析的逻辑脉络，需先明晰统计研究的完整工作过程，这一过程分为相互关联、依次递进的四个阶段，且与本模块的核心内容紧密呼应：​第一，统计设计阶段.这是统计工作的准备环节，需根据研究目的明确收集何种数据、如何收集数据，拟定的统计设计方案直接决定后续工作的质量.第二，统计调查阶段.按照统计设计的要求，用科学方法有计划、有组织地收集原始数据，这是实际统计工作的起点，对应本模块的“数据的收集”章节.此阶段数据的准确性、全面性与时效性，直接影响后续推断与决策的可靠性.其成果多以调查表、登记表等原始形式呈现.第三，统计整理阶段.对调查获取的原始数据进行分类、汇总，使其条理化、系统化，这正是模块中“数据的处理”章节的核心内容，其质量直接关乎分析结论的有效性.​第四，统计分析阶段.运用各类统计方法对整理后的数据深入研究，揭示本质规律并进行预测，这与模块中“数据的分析”章节紧密对应，是统计工作出成果的关键环节.通过分析得出的统计指标与结论，是开展统计推断、支撑科学决策的核心依据.​统计工作的这四个阶段环环相扣，共同构成了统计推断与决策分析的完整链条.本模块的“数据的收集”“数据的处理”“数据的分析”章节，将分别对应统计调查、统计整理、统计分析阶段，深入剖析各环节的基本方法与逻辑，只有扎实做好每个环节，才能从数据中精准提炼规律，高效完成从数据到决策的转化.​[情景与案例]引例某科技公司“智创未来”在2025年校园招聘中，主要开放了高级算法工程师(A类岗)与客户关系专员(B类岗)两类热门岗位，招聘结束后，人力资源部汇总的整体录取数据如及按岗位类别细分的招聘数据（表5-1）所示：表5-1公司整体招聘数据汇总录取情况女性应聘者男性应聘者录取200350未录取400450应聘人数600800表5-2分岗位类别的招聘详细数据录取情况高级算法工程师(A类岗)客户关系专员(B类岗)女性男性女性男性录取10050100300未录取300150100300应聘人数400200200600思考：1.结合案例，你能简述统计工作过程吗？2.你知道案例中的统计总体是什么？根据案例中的数据，你能计算出哪些指标？3．根据计算的指标，男性应聘者的整体录取率会高于女性应聘者吗？招聘的公平性是否得到了保障？基本概念：知识点一（数字人视频脚本）统计学含义：统计学是一门关于数据的收集、整理、分析的方法论科学，它可以指导人们如何做好统计工作.知识点二（数字人视频脚本）统计立法：依法规范统计行为.统计工作并非简单的数据收集，而是受法律严格约束的国家行政行为，体现公权力运行的科学性与严肃性.1983年12月8日，第六届全国人民代表大会常务委员会第三次会议审议通过《中华人民共和国统计法》，这是新中国第一部统计专门法律.为适应社会主义市场经济体制建立的新要求，1996年5月15日第八届全国人大常委会第十九次会议通过《关于修改〈中华人民共和国统计法〉的决定》.此次修正重点强化了统计监督职能，增加了对虚报、瞒报等违法行为的处罚条款，体现了法治与改革同步深化的特点.针对统计工作中出现的新问题，2009年6月27日第十一届全国人大常委会第九次会议完成系统性修订.新法于2010年1月1日起施行.统计工作者不得伪造、篡改统计资料、不得编造虚假数据，坚守“数据真实是统计生命线”，这既是法律要求，更是对国家发展和历史的责任担当.统计学中常见基本概念知识点三（数字人视频脚本）：总体和个体在一个统计问题中，我们把研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体，构成总体的每个元素称为个体.比如，我们要研究某大学的学生身高情况，则该大学的全体学生构成问题的总体，而每一个学生即是一个个体.事实上，每个学生有许多特征：性别、年龄、身高、体重、民族、籍贯等.而在该问题中，我们关心的只是该校学生的身高如何，对其他的特征暂不予以考虑.这样，每个学生（个体）所具有的数量指标值——身高就是个体，而将所有身高全体看成总体.知识点四：抽样和样本.为推断总体特征，可通过抽样收集数据.从总体中抽取一部分个体的过程称为抽样．抽样结果得到的观测值数据，称为样本．样本中所包含的个体的数量称为样本容量.现在想检查这个箱子里面的物品是否质量合格，每一件物品都检查太麻烦了，这时候就可以采取抽样的方法.要保证每一件物品被抽到的可能性都是一样的，可以采用随机抽样的方法有很多，这个视频主要来讲简单随机抽样.比如想从50件物品里面抽取三件来检查，就可以抽一件摇一摇，再抽一件，再摇一摇，摇一摇再抽一件，这样每次被抽到的可能性就都是一样的.像这样从n个东西里抽m件出来，每次抽时，每个东西被抽到的可能性都一样，这种抽样的方法就叫做简单随机抽样，其中这个n就叫做总体容量，这个m叫做样本容量.学生在学习通上观看视频，思考知识点一：统计学含义知识点二：统计立法知识点三：总体和个体知识点四：抽样和样本.教学环节主要教学内容学生活动安排反转课堂，帮助学生绘制知识线（共10分钟）向学生展示[情景与问题1]案例，结合案例，教师提问学生：1.你能简述统计工作过程吗？（课前知识点一）2.根据案例中的数据，男性应聘者的整体录取率会高于女性应聘者吗？招聘的公平性是否得到了保障？你能计算出哪些指标？女性整体录取率=200/600≈33%，男性整体录取率=350/800≈44%

表面现象：男性应聘者的整体录取率显著高于女性应聘者（44%vs33%）.教师提问：这一差异引发的社会关切与疑问：这是否意味着男性毕业生在能力上普遍优于女性？或者，公司在招聘过程中（特别是在简历筛选、笔试面试环节）是否存在对女性的无意识偏见？（深入分析的突破口）学生活动：分别计算高级算法工程师(A类岗)、客户关系专员(B类岗)男性与女性的录取率并阐述观点（2分钟）.引导学生回答出以下内容：原因解释：女性应聘者分布：绝大部分涌向了竞争极其激烈的A类岗（高级算法工程师），男性应聘者报考B类岗的人多，男性应聘者录申请了取率相对较高的B类岗（客户关系专员）.[结论、反思与课程思政融入点]由本案例，我们了解统计工作大致过程，即数理统计的全貌，通过从该公司人力资源部获得应聘数据，这是数据的收集，将数据制成表格的过程是数据的简单处理，而通过计算录取率得到该公司公司整体录取率的性别差异主要源于应聘者在不同岗位上的申请分布差异，而非招聘环节存在广泛的性别歧视，这是数据的分析.揭示真相，破除表象：本案例深刻警示我们，面对统计数据（尤其是涉及公平、歧视等敏感议题时），切忌仅凭表面数字或整体指标就仓促下结论.必须依据数据事实，进行多维度的剖析，才能表达观点.从更广视角看，学习本课程，学会数理统计，有助于我们更理性地看待社会现象，减少因误解数据而产生的社会偏见，依据事实表述观点.学生通过学习通抢答问题1-2.教师引导学生思考学生计算可得出：A类岗男性与女性的录取率都是25%；B类岗男性与女性的录取率都是50%让学生体会该过程就是通过数据进行统计推断的过程.新课(70分钟)知识点1.简单随机样本及统计量知识2.平均数和样本标准差知识点3.样本k阶（原点）矩、样本k阶中心矩[情景与案例]例5.1罐装可乐的容积按标准应在350毫升和360毫升之间.生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运.怎么知道这批罐装可乐的容积是否合格呢？教师问：检查每一罐容积是否合于标准？引导学生回答：显然不行！通常的办法是进行抽样检查.教师提问：那么该如何抽样，数据比较可靠？引导学生学习：简单随机抽样有的两点要求.样本具有随机性，即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，这就意味着每一样本Xi与总体X有相同的分布样本具有独立性，即要求样本中的每一样本的取值不影响其他样本的取值，这就意味着X1,X教师承上启下：以上我们学习了抽样的最常用也是最简单的办法：即简单随机抽样.按照我们所学，现从该厂生产的可乐中随机抽取10罐测定其容积（单位：毫升）得到如下结果：351354356357354352357358350355请问：这个案例中，总体、个体，样本分别是什么？（对应课前知识点三、四）引导学生回答：这是一个容积为10的样本的观测值，对应的总体为该厂生产的罐装可乐的容积.教师小结：基于上述案例我们可以知道，从总体中抽取一个个体就是对总体X进行一次观察并记录其结果，若在相同的条件下对总体X进行i次重复的独立的观察，其观察的结果即为X1,X2,...,Xi，则可以认为X1,X定义5.1设总体X是具有分布函数F的随机变量，若X1，X2，…，Xn是与X具有同一分布F（x），且相互独立的随机变量，则称X1，X2，…，Xn为从总体X得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本.教师承上启下：如果要了解数据特征的指标，如平均数和样本标准差.我们需要构造适当的统计量（样本的函数），再利用统计量来进行统计推断，所以我们接下来介绍统计量的概念.定义5.2设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，g（X1，X2，…，Xn）是X1,X2…，Xn的函数，若g中不含任何未知参数，则称g（X1，X2，…，Xn）是一个统计量.设x1，x2，…，xn是相应于样本X1，X2，…，Xn的样本值，则称g（x1，x2，…，xn）是g（X1，X2，…，Xn）的观察值.定义5.3设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，x1，x2，…，xn是这一样本的观察值.定义样本平均值，其观测值；例如：例5.1的样本平均值为x对于计算得数据的平均数为354.4，当样本不同时，样本平均数也可能不同.接下来，介绍样本标准差.样本标准差是样本数据中各数据偏离平均数x的平方和的平均值的平方根.定义5.4设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，x1，x2，…，xn是这一样本的观察值.定义样本方差S2=；其观测值s2=样本标准差S=；其观测值s=；例如：例5.1中的样本平方差为样本标准差为样本k阶（原点）矩Ak=，k=1，2，…；样本k阶中心矩Bk=，k=1，2，….它们的观察值分别为ak=，k=1，2，…；bk=，k=1，2，….其观察值仍分别称为样本k阶矩、样本k阶中心矩.特别地，样本一阶原点矩就是样本均值.但样本的二阶中心矩与样本方差是不同的，这是两个统计量.样本的二阶中心矩为B2=，一般也记为，，而样本方差为，它们的关系为.教师：可以发现，以上计算如果数据复杂，笔算的话，计算量比较大，所以我们