三角函数中参数w的范围问题（题型专练） -2026年高考数学二轮复习解析版

专题07三角函数中参数w的范围问题

|目录

i

i第一部分题型破译微观解剖，精细教学

i

i凸典例引领田方法透视（E变式演练

|【选填题破译】

题型01三角函数的单调性与w的取值范围

I

题型02三角函数的对称性与w的取值范围

题型03三角函数的零点与w的取值范围

I

题型04三角函数的最值（值域）与w的取值范围

；第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

选填题破译＜

题型01三角函数的单调性与W的取值范围

再何和横

【例1-1】已知函数/+在区间1,n上单调递增，则。的取值范围是（）

59]r131ii,

A.B.—C.0,—D.（0,2]

.84J\_24JI4

【答案】C

【分析】确定〃+1,结合正弦函数性质可得£〃）+：,兀〃）+?u-[+2E,J+2E

4|_244」[_244」[_22

由此解不等式组，即可求得答案.

【详解】由题意得I，兀，则S+三/+£,；13+2,

24244

It717T冗c,兀

—69+—,7169+—U——+2K7t.—+2KTlkwZ、

244H22

n兀、冗

—69+—>——

242,解得一又故口<,；

当士=0时，由<3>0,0<

兀,兀244

716>+—<—

42

717C、37r

—a）+—>一

242

当2=1时，由v,得。无解，同理当上22/eZ时，。无解.

兀一5兀

7t<y+-<—

42

故选：c

【例1・2】已知函数小）=2sin（2°x-a-1®>0）在区间看,内单调递增,则。的最大值是（）

1324

A.-B.-C.-D.-

2233

【答案】D

【分析】可用整体代入法求解，令2s-mJ-g+2版^+2面MeZ,又xJ是函数单增的一个

6|_22J［_124_

子区间，可建立不等式组，再结合。的取值范围即可求解

【详解】令J-g+20,三+2氏］,丘2,又函数在单增，故有

6L22J［124

，

71（0Tt、7C•/>»

--------->——+2攵兀a）>-2+\2k

•662，4区解得［4,,,kwZ,又/>0,当A=O时。取到最大值之

n（o冗/冗、a）<-+4k3

--------<—+2k^3

126213

故选：D

【点睛】本题考查由三角函数的增减性求解参数取值范围，属于中档题

方收透规

给定区间需含于三角函数的单调区间，且区间长度〈周期的一半。

步骤：

①求，=S+0在目标区间［4，W］上的范围：f6［。玉+9,少吃十回：

兀71

②对照正弦/余弦的单调区间（如正弦递增区间为-］+2k兀、不+2k兀，攵cZ,列不等式组:

③结合◎>（）求解，验证端点是否满足单调性。

【变式7】已知函数g（x）=sin（2@r+U（/>0）在区间（宗兀）上是单调的，则/的取值范围是（）

【答案】C

【分析】三角函数在区间上单调，可知在区间内不含对称轴，构建不等式即可求得0的取值范围.

【详解】因为g(x)sin2c()x+—(6?>0),

\3J

71

令2Gx+£=¥+2E,(ZeZ),可得对称轴方程x+kn(keZ),

3226yl6

7T

函数g(x)sin12/X+三)”>°)在区间［与兀J上是单调的，

3

•.?吟且“二n,

.I一+EMM,(AeZ),

痣W即。

函数(+升/>在区间色

g(x)=sin230),71上是单调的,

2

景6JI,171

—+kit<—

2

所以《，即2〃)<跑(AreZ).

612

+(k+l)兀>7T

又0V3W1,

]、17

可得()</K—或一4&4—,

12612

故选：C.

7T2n

【变式1・2】已知函数/(x)=cos(2s+0)®>O,O<。<兀)的图象过点八0,1I，且对任意N，出G

乙)2,T>

都有(X-再)0&)-/(电)］之。，则。的取值范围是.

【答案】弓［］川

【分析】根据己知可得/(x)=cos(2s，+£|且在仁司3

上单诫递增，进而得到，4eN,讨论女

4

即可得参数范围.

71

【详解】由题设/(O)=8Se=；,0<*<兀，则8，则/(x)=cos269X+-,

3

由百，42e之。，又。>0,

所以，⑺在仁书上单调递增，此时2公+工陋+巴)

3333

b一c,/冗46V7l冗c,,r2+6%/-5+6%,r

所以7i+2kn<<V7T+—<-----+—<2n+2kn、ksZ，可得-----<(o<--------,kwZ,

33334

4I25

当上二-1有一一<6?<一一，故当2=0有一工04一，

3434

山」，/8/，山，八七2+6&5+6A

当人=1有；SoW二，当攵22有一^>—；—,

3434

2sS11

乂/>0,所以。

3434

75R11

故答案为：匕,二］［彳,下］

3434

题型02三角函数的对称性与w的取值范围

辑例引名

【例2-1】已知函数/(x)=sinj@-?](/〉0)在内单调递增，是函数〃x)的一条对称轴，则

【答案】D

【分析】根据正弦函数的单调性和对称性求得。=2,即可求得/(x)=sinbx-g1,代入即可求解函数值.

k6)

【详解】因为函数〃x)=sin(s;-43>0)在j-内单调递增，

k6yz\o3>

l兀，12兀兀

所71以7t所以.同二石,所以°<8<2'

乂是函数“X)的一条对称轴，所以10一^=反十大26工)，所以/=3攵+2,

J362

所以。=2,所以/(x)=sin(2x—所以/(2]=sin(2x2-工]=sin二=立.

\6)<24JV246J42

故选:D

【例2・2】已知函数〃"=sin"3…的最小正周期丁吟，若函数小)在表)上单调，且关

于直线工=与对称，则符合要求的①的所有值的和是()

A.!B.2C.5D.—

44

【答案】D

【分析】根据最小正周期求法及得0VG<4,结合函数的区间单调性及对称轴有。值为;和二和:,

2444

再验证是否符合题设，即可得答案.

【详解】函数f*）=sin（的+9）的最小正周期7=空>]且。>0,得（）<。<4.

3co2

由于"V）在小多上单调，该区间长度小于等于半个周期，即*富二，得0工6,

636269

综上，0<<v<4,

又/*）关于直线x对称，所以OXM+[=E+W，解得。=F+L，keZ,

333224

1713

在0</<4的范围内，满足条件的。值为;和《和与，

444

验证可知，这三个值均满足函数在GA）上单调，

63

因此，符合要求的。所有值的和为I;+79产13=?21.

4444

故选：D

方收电视

核心结论：

yr

对称轴：正弦/余弦函数过最值点，满足。/+8=5+攵%Mwz；

对称中心：正弦/余弦过零点，满足攵4，,相邻对称中心间距为g。

步骤：

①用整体代换求，的区间；

②根据“恰有攵条对称轴/个对称中心”列不等式，控制t区间内包含的“对称轴/对称中心个数〃;

③赋值人求切范围。

‘支式信称

【变式2・1]已知函数/（x）=2cos[s:-]J+l,（69>0）的图象在区间（0,2兀）内至多存在3条对称轴，则

”的取债范围是（〉

25]（251「75）「5）

I3」133」[63；L3）

【答案】A

【详解】因为工«0,2兀）,6»0,

所以切4_四-四，

3（33）

画出y=2cosz+l的图象,

jrjr

要想图象在区间（0.2n）内至多存在3条对称轴，则2加T-QC--,3n

JIJ

解得T（W.

故选：A

【变式2・2】/>0,〃x）=sin1°Vj在声J有且仅有一条对称轴，则0范围为

【答案】信1M2］呜用

71

6y(4))

【分析】由题意结合三角函数的性质可得。=与44一

与+（“1）7C>7C，伙cZ）,整理后按照A=o、

co

1（I）兀吟

CD4

1、k=2、A=3分类讨论即可得解.

兀）上有且仅有一条对称轴，。>0,

【详解】•函数/（X）的图像在区间

・•・函数/（力的周期7之兀一］二1•.一=年《4,

则x=5(今+"兀)("wZ)‘

(!)3.

—<一+幺<(0

24

3

整理得《"+(k+l)2a(上GZ),

3+(人1)«吆

4172

•••0KZW3且AeZ,

0)3

—<—<(0

24

33

当上=0时，原不等式可化为、-+1>6>,

4

42

Yr1<3

2-

37H

-,\>

—-0--

当止时，原不等式可化为4+|'/44

=1+13

3-1

,X-

-乜1<

47-2

3715

当2=2时，原不等式可化为1+(2+1)2。解得

-+(2-l)<-

4172

当上=3时,

综上所述,

故答案为:

【变式2-3］已知函数/(x)=3sin|8(@>。)在区间一三J上单调递增，则当切取最大值时，/")在

13)I36；

区间去兀)上的值域为()

(33⑸(1/

D.［在1

122」22'~"2

【答案】C

【分析】先由正弦函数的单调性和/W在区间上单调递增确定。的最大值，再由正弦函数的单调

\36)

性求出值域即可.

_、“■、ic〜।I.，兀兀1.n(DTI71COTl7C)

【详解】因为o>0,用「以当XE一不2时，(OX+^E一——+T^—+TL

\3o73\33o3)

因为/（x）在区间（q4卜单调递增，所以看•箱=f则r”即金之兀，

con7tn

------+-2——

332

所以0<。42,所以解得1.则。的最大值为1，

口n7T,7

-----+—<-

632

此时/（x）=3sin楼+],

当xw几时，％+]?鬻号字，则/（%）在区间上的值域为（-乎，|.

故选：C.

题型03三角函数的零点与w的取值范围

》例引颔

【例3・1】设函数/（.1）=呵8+都0>0）在区间（0,2兀）恰有2个零点，2个极值点，则。的取值范围是

()

117117117117)

B.C.D.

方612,61126J

【答案】C

【分析】把xe（0,2兀）转化为◎x+Jw传,2cM+7,然后结合正弦函数图像的性质即可求解.

o\oo7

【详解】因为工€（0,2%），所以4"+m2M+g

oVoo

因为函数/'（x）=sin（cM+K（40>O）在区间（0,2兀）恰有2个零点，2个极值点,

所以2兀<25+巴解得

62126

故选：C

【例3・2]已知函数/（x）=Gsin5-cosm（。〉0）在区间-彳，彳上单调递增，若存在唯一的实数

/«（）,可，使得〃G）=2,则。的取值范围是（）

「281「25'

A.B.

28-58-

C--D--

399699

【答案】B

【分析】利用辅助角公式变形函数/"），结合函数的单调区间和取得最值的情况，利用整体代入法可求得

参数范围.

【详解】由题得：

f(A)=6sin-cos(ox=2sin(<vx——),且<y>0,

6

因为不«0,nI，

--,.7C7C71

所以0%_工6-,fyn-,

6L7676_

若存在唯一的实数天40,兀］,使得/(%)=2,

则：W师-g<孚，解得］«①<［,

26233

„［2n3兀

当工©时，

_54_

2兀兀，兀，3兀n

-----(D----4CDX----4----(O----，

56646

又区间I令,当］上单调递增，

_54

r*r*।।27c7T7CLI3兀7U7T

所以----co—>—11.—co—W一,

562462

解得@4=且0477,

69

结7合彳x可得9S

3336

故选：B.

方做电视

零点对应，=4乃，极值点对应通过，区间内的“点的个数''列不等式。

2

步骤：

①确定/的区间h，%]；

②设区间内包含m个零点/极值点，列不等式：（〃?-1）"vf2Vni7c（零点）或（加-1）%+]v<〃历+y

（极值点）；

③结合。:>0求解。

文式窗炼

【变式3-1]已知函数/(X)=COSMY+0®>O,F<8<O)的图象与)'轴的交点为0,8=,又

nit

在区间上有且仅有一个零点，则。的取值范围是

31?

【答案】40,2]

【分析】由/(())=#,求出W=-聿，然后求出/(x)在坐标原点两侧最接近0的两个零点，根据题意列不

等式求解即可.

【详解】依题意得，八0)=cos展巫，—冗<*<0,则e=一白

26

则f(x)=cosLx-g],

*H/日兀人7t7t/日27t

^6)X--=-~,得X=一丁，令0X一工=大，1^X=—,

623co6236y

所以在坐标原点两侧最接近的两个零点分别为-瑞，得，且-/2TT

0<—

3。

兀〉兀

由题意，得3,解得1</工2,

2兀兀

136?~3

则。的取值范围是(1,2].

故答案为:q；(〔a

【变式3・2】设函数〃x)=cos2号+,sins-《(口〉0),若函数“力在区间(。微)上恰有4个零点，则

实数。的取值范围为()

【答案】C

v'生An、4nt\2/工*11+COS(OX^3.

【详用《】1由n/(.r)=cos*——十——sintwx——=-------------+——sincox

―22222

=旦3+%0…皿蛆+与

226

71I小兀、一Ti兀7171门717171

设1=3十一，由xw(0,一),可rZ得W一</工+—v一0+―,r即l/,

626626626

作出函数)，=sin/的图象.

y-dim/7T

//"、、>函数在区间05上哈有4个零点,

由图，则4兀<色/+2《5兀，解得

2633

故选：C.

【变式3-3］已知函数/(x)=sin(2sV)+cos2s(@>0)在区间1.n内不存在零点，则。的取值范围

是______.

■(。，加州

【分析】先化简函数得/(x)=6sin(2s+T),结合产sinx的图象，利用函数在节上无零点、,歹U不

等式组可求。的取值范围.

【详解】因为J(x)=sin26yx+$+cos2cox=sin2coxx+cosIcoxx—=>/5sinlIcox十1.

6；22k3J

由题意：n--=—<—=>T>n,即女,兀=0v/vl.

222

,n兀c兀

n2(ox+—eC071+—,2(071+—

333

因为/(力=0在区间全兀内不存在零点，结合y=sinx的图象,

ct)n+—>7i

可得：，

'Icon+—<n2(on+—<2n

195

解得：0<co<—^―<(0<—.

336

25)

故答案为:

3,67

题型04三角函数的最值(值域)与w的取值范围

共例引41

【例4・1】已知函数〃"=sin蛆+9(3〉0),若/(x)Wfg且函数“X)的最小正周期7满足

H抬)，则7=()

2兀、2n〃兀c4n

AA.—B.—C.—D.—

79415

【答案】A

【分析】由条件可得/(可皿=八2)，从而可得再由正弦函数的周期可得切的范围，即可得到结果.

【详解】由“小/田可得/(.%=/偿川，即/俘=土1，

即sin(工。+三=±1,则工0+工=马+左兀/wZ,

V63)632

解得q=l+6A,keZ,

又会佟外即£<如<:其中。>0,解得6VOV10,

(53J503

所以k=1时，s=7,则7号.

故选：A

【例4・2】函数/(x)=sin(s+3®>0),当Re[0,同时函数/(力的值域为[日』],则函数/(x)的最小

正周期的取值范围是()

A.[匹3万]B.[4,6乃]C.[3不,6句D.[6乃,12句

【答案】D

【分析】先由题意求出^«防+5«3，即Jvgw：,然后根据丁=生可得最小正周期的取值范围.

23363co

"q/\

【详解】令7=0x+—w—,(07T+—,y=sint—<t<COTT+—.

3-33_\33，

.nJ3.乃.j/冗2冗fl,,1

□msin--*sin=1,回<COKl<，回<&)<,

32223363

函数/(x)的最小正周期7=生£[6],12句.

CO

故选D.

【点睛】本题主要考杳含参数的正弦型三角函数的周期性问题，关键是求出。的取值范围.

方法速视

通用流程

①定小用整体代换求的区间；

②列关系：结合单调性、对称性等性质，建立，的不等式:

③解。：解不等式并结合。〉0、整数攵赋值；

④验端点：排除不符合题意的边界值。

【变式4・1】已知函数/G)=cos(s-1在]40,2句上的值域为-1,4，则0的取值范围是()

\O/L

\__5_51

D.

2~n12,2

【答案】A

【详解】当x=4时，cosj舁旦结合余弦函数的性质知,若。>0则该函数值域会出现大于B的

6I6J22

情况，则。<0.

nc冗兀

x40,2司时,由值域为COX------€2(ait——,——

666

川「以----<27169——<-7t,

66

所以一240〈一9.

612

故选：A.

【变式4・2】已知函数/")=2sinM++>0,刨苦)的最小正周期为7，且/图=&,若/(X)在(0,：

上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则切的取值范围是()

A.[6,11)B.[6,15)C.17,11)D.[6,12)

【答案】A

【分析】根据/图=&得到当代(吟]时亨卜;，味:兀)兀。兀兀

从II而r-4得4Jz到：il5丁--5,

4442

求出①的取值范围.

【详解】因为3>(),所以「=去故/百=/•信)=2sin(e>0)=_2sin0,

故-2sin0=V?,BPsin^=-^-»

因为时<]，所以°=_(，

故f(x)=2sin(3-；),

nitit（ait

当时,COX——€

4

要想/(X)在xw(0,：上有且只有•个最大值点和•个最小值点,

则要多工詈-：<当，解得0目6,11).

故选：A

~02

一、单选题

1.若函数/*)=6•5+8$3(@>0)满足/。+兀)=/*),且在(0,少没有零点，则。的最大值为()

6

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】利用辅助角公式化简函数/(、)，再利用指定区间上无零点及周期情况列式求解.

【详解】函数/(幻=65皿的+858=25皿的+巳)，当XC(0,3时，公¥+巳6(色，”士巴)，

66666

由函数/'(X)在(0与没有零点，得”;K*解得0K5,

OO

由f(X+7C)=/(X),得兀是函数/(X)的周期，则兀=6里,&wN',

co

解得3=2Z,keN・，所以当攵=2时，。取得最大值4.

故选：A

2.已知函数/(x)=sin(w+e)(3>0)的一条对称轴是x=-1,且/(“在［,卷)上单调，则3的最大值为

()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】先利用函数对称轴可得产(丘Z),乂由在上为单调函数，列不等式可得间的

co3koJ

不等关系，进而可得。的最大值.

［详解］函数f(x)=sin(&r+0)(3>0)一条对称轴为x=_^,一空+9=&|冗+］依eZ),

.,.^=^71+—+—,y=sin（5+e）的对称轴可以表示为①式+4忑+巳+a=&兀+巳（女？eZ）,

23232

令上=心一用，则l=蛆一f(ZeZ),/(x)在(兀,?］上单调,

G)3k07

ku兀,

------------<71

co342,32,

则弘eZ,使得《解得K/工§(%+1)，由7^45(大+1),彳‘二248,

(2+1)冗7i7n

---------------——2—

(o36

当上=8时，◎取得最大值为6.

故选：C.

3.已知函数〃x)=2sin(w+e)(①>0)在区间修，当上单调，且满足小£=/停|，若函数八)在

上有且仅有3个极值点，则。的取值范围为()

(6)

【答案】D

【分析】根据/(x)在仁，引上单调求出了2兀，再根据/(-胃=/(力得到函数”“在1=聿时取最值,

再根据函数/(力在［［，2兀］上有且仅有三个极值点，结合正弦函数图象列出不等式，求出兀wr〈半，

16/9

进而求出出的取值范围.

【详解】设函数/(x)=2sin(@E+8)(0>O)的最小正周期为兀因为/(x)在看,?上单调，所以

727r兀71

六石一片子即八兀;

又因为小斗后］,且s所以函数〃x)关于直线x=zlil」对称，

所以函数/(X)在“看时取最值1最大值或最小值)，又因为函数〃工)在长,2兀卜二有且仅有三个极值点,

-T<2TI--,T<—,

则有26,即:，又因为丁之冗,所以冗47<孚，即加《@<坐，解得当</«2,

2人2兀」T>^勺(o911

612

则。的取值范围为(号，2.

故选:D.

4.我们称正弦函数图象上取得最大值处的点为峰点，取得最小，直处的点为谷点.设函数

/。)=齐45+已)3>0),若曲线y=/(x)相邻峰点与谷点的距离为5,则八1。)=()

A.一述B.-3C.2D.也

4444

【答案】D

【分析】根据曲线）=/（幻相邻峰点与谷点的距离为5,由5=/巳1+日+3丫求得。的值，进而求解/（I。）

的自

【详解】由题意得5=.（21+仁+?丫，Wf-l=25-9=16,

122)

7T

解得0=二，

4

所以/(X)='SHl[iX+kJ，

故选:D.

5.将函数/（力=皿5（0＜。＜271）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（）

A.”的最小值为二B.8的最大值为万

C.。的最小值为gD.啰的最大值为了

【答案】D

【分析】利用正切函数图象重合的相位条件，推导。的表达式，结合范围确定出的可能值，从而确定正确答案.

【详解】将/（/）=tan3K的图象向左平移4个单位，得/（x+4）=tan［＜w（x+4）］=tan（w+43）.

因所得图象与原图象重合，故ian（5+4。）=tan〃*对任意x成立，

因此4o=E（&wZ）,即切=包.

4

Irjr

由0<0<2兀，得0<—<2兀，解得0<%<8(kwZ),

4

所以＜y的最大值是一丁.

4

故选：D

Z\

6.己知函数/（x）=2sins+F仅＞。），则下列结论

①若切=1,则/"）在（0,^］上单调递增

②若+1=则正整数切的最小值为2

16/16/

③若。=2,函数)，=〃x)的图象向右平移彦个单位长度得到g(x)的图象.则g(x)为奇函数

其中判断正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据正弦型函数图象的单调性判断①，对称性判断②，由图像变换的性质判断③.

【详解】①当。=1时，"x)=2sin(x+,)

,「八九1.兀(兀兀、r/兀九)「兀…兀…

当xe0,丁时，x+—€—,.11,—c--+2^^—+2fet,keZ,

\5)0\027\o2/22

所以函数/(可在(0g)上单调递增，正确；

②若/但+.]=/住-],则函数f(x)=2sinjsr+1关于直线x对称,

ko7\0；16/6

即二。+—=—+而，左wZ,解得@=2+6k,kwZ、

662

又@>0,所以攵>-；，即女20,所以正整数。的最小值为2,正确;

③由0=2,得/(x)=2sin(2x+J则函数)，=〃x)的图象向右平移今个单位长度得到

g(x)=2s\n\2(X-^]+^\=2sin[2.x-^\,则g(O)=—l工0,不满足奇函数性质，错误；

LV6)616；

综上所述，正确结论的个数为2,

故选：C.

7.已知函数/(x)=cos4_r+2sinxcosK-sin“x,有下列命题：

①]二称为函数/")图象的一条对称轴；

O

②将/")的图象向左平移9个单位，得到函数飘幻的图象，若双X)在[(V]上的最大值为g(o),则，的最大

4

值为华；

4

③Ax)在K)⑼上有3个零点，则实数。的取值范围是|"寿，等];

.oO?

④函数/(X)在上单调递减，其中错误的命题个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据三角恒等变换化简〃x)=&sin2X+£，根据对称轴处取得最值判断①：先求出

g(x)=&cos(2x+：j,再根据余弦函数的性质判断②；根据零点求值判断③；根据正弦函数的单调区间

判断④.

【详解】由/(.r)=coslx+2sinxcosx-sin'x=(cos2x-sin2xjjcos2x+sin2x)+sin2x

-cos2xlsin2x-gsin(2xI：).

对于①，fy^=>/2sin^2x-y+^=-x/2,

则x=—为函数/(M图象的一条对称轴，故①正确;

O

对于②，g(x)=f卜+；J=&sin[2x+^+；=&cos2x+—,

I"

当；ce［O,f］时，2x+—e—,2t+—,

4144

由「g(x)在⑼上的最大值为g(0),所以2喈？争则，吟,

所以f的最大值为当，故②正确；

兀c兀

对于③，当XG［0,a］时,2c.XH--兀€一,2。+一

444

囚为/(A)在［0,«］，有3个零点,

所以3兀42a+：<4%，解得—不？a——,故③错误;