期末综合试题-2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习

期末综合试题2025-2026学年上学期

初中数学人教版九年级上册期末复习

一、单选题

1.剪纸是中国古老的民间艺术之一.下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

2.若关于x的方程（5-是一元二次方程，则〃?的取值范围是（）

A.B.m=\C.m>1D.

3.方程2f+6x-l=0的两根为花、吃，则N+七等于（）

A.-6B.6C.-3D.3

4.如图所示的是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“山”所在区域内

5.在平面直角坐标系中，0P是以点尸（3,4））为圆心，5为半径的圆.则下列说法正确的是（）

A.原点。在外B.原点。在CP内

C.原点。在。P上D.无法确定

6.对于抛物线），=-（x-2）2+3,下列判断正确的是（）

A.开口向上B.对称轴是直线X=-2

C.与），轴相交于点（0,3）D.顶点坐标是（2,3）

7.如图，是的直径,C,。是0。上的点，过点。作0。的切线交AK的延长线于点E,ZE=40°,

D

A.25°B.30°C.35。D.40°

8.若点A（4,），J,6（-1,y2）,C（l,%）都在二次函数y=-丁+2x+〃的图象上，则升为，%的大小

关系正确的是（）

A.B.>3<y,<y2C.<y2<D.y2<y,<y3

9.如图，AABC中/8AC=IOO。，将AABC绕点A逆时针旋转150。，得到A4DE,这时点4、C、力恰

好在同一直线上，则2E的度数为（）

A.50B.75:C.65D.60"

10.如图，A8是0。的弦，人8=8，。是上的一个动点，且NAC3=45。，若M,N分别是AB,BC

的中点，则MN的最大值是（）

二、填空题

11.4也物线y=--2x+3的顶点坐标是.

12.在平面直角坐标系中，点4-5/）关于原点对称的点为网06）.则（〃+力）2侬=.

13.如图，。。是VA3c的内切圆且与BC,AC相切于点。，E,/，若A"=3,BD=2,CE=4,

则NABC的周长为.

14.如图，AB是直径，点C是40中点，四边形A3CD内接于。。，若NA=40。，贝l」/A8C=

D

C

A

OB

15.已知正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分（如图的面枳

16.用适当的方法解下列方程:

(l)x(x-5)=x-5；

(2)X2-7X+5=0.

17.抛物线丁=/+〃a+〃与1轴的公共点是（-1,0）,（3,0）,求这条抛物线的顶点坐标.

18.如图，在平面直角坐标系中，VA8C的三个顶点的坐标分别为4（-2,1）,,C（-2,4）.

⑴画出VA8C关于原点0对称的蜴G；

⑵画出VA8C绕原点0顺时针旋转90得到的线Cz，并写出点4的坐标.

19.甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯.已知他们分别在1至4层的任意一层出日梯.

4

2

车库

⑴如果甲在I层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是_____；

⑵请你用列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率.

20.已知关于%的方程"1=0有实数根.

（1）求左的取值范围；

（2）若该方程有两个实数根，分别为必和/，当玉+七+%丙=4时、求k的值.

21.如图，aAOE由AABC绕点A按逆时针方向旋转90。得到，且点8的对应点。恰好落在BC的延

长线上，AD,EC相交于点P.

（1）求N8OE的度数；

（2）产是£C延长线上的点，且NCQ"=ND4C.判断。F和PF的数量关系，并证明.

22.如图，已知是圆。的直径，AC,8C是圆0的弦，OE//AC交BC于E,过点4作圆。的切线

交OE的延长线于点。，连接OC并延长交朋的延长线于点尸.

（1）求证：0c是圆。的切线：

（2）若N/WC=30",AB=8：求线段CT的长.

23.某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单

价x（元）之间满足一次函数关系：y=-2x+160,且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50

元.

⑴俏售单价为多少元时，每天能获得800元的利润；

⑵若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元?最大利润为多少元？

24.如图，在平面直角坐标系中，直线），=r+3与y轴交于点4与x轴交于点8,抛物线），=*+'•+’,

经过A,8两点.

⑴求抛物线的解析式：

⑵过点A作4C〃人•轴，交抛物线于点C点P为抛物线上一动点（点P在4C上方），作PD〃y轴

交于点。.当点P在什么位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

⑶当fWxWf+3时.函数》，=—/+力x+c的最大值为2,求i的值.

参考答案

题号12345678910

答案CACDCDACCC

1.C

【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某

一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个

点就是它的对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意.

故选：C.

2.A

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整

式方程叫一元二次方程是解题的关键.

【详解】解：•・•（〃-1）/+〃a-1=0是一元二次方程，

m-\工0,

解得"7。1，

故选A.

3.C

【分析】根据对于一元二次方程，当A>0时，两根之和为-2即可求出答案.

a

【详解】•・•由于A>。，，&+占=一3,故选C.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系.

4.D

【分析】直接利用“III”所示区域所占圆周角除以360,进而得出答案.

ozino_QAO_6007

【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“ni”所示区域内的概率是：-一而二一=-,故

D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键.

5.C

【分析】根据勾股定理计算出。夕的长度，与OP的半径相比较，即可判断求解，本题考查了点与圆

的位置关系，解题的关键是：熟练根据点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系.

【详解】

解：•.•点尸的坐标是（3,4）,

.-.OP=V32+42=5.

而0P的半径为5,

「•OP等于圆的半径，

•••点。在0。上，

故选：C.

6.D

【分析】根据抛物线的解析式，由〃的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标和芯称轴，判

断即可.

【详解】解：：抛物线），=-U-2）2+3,

・•・抛物线的开口向下，对称轴为直线工=2,顶点坐标是（2,3）,

故选项A、B错误，D正确；

令x=0,y=-4+3=-l,所以与），轴相交于点（0,—I）,故选项C错误：

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称轴、

顶点坐标与y轴的交点.

7.A

【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的

关键.连接OC,根据切线的性质可知/OCE=9（r,再由直角三角形的性质得出NCO石的度数，由圆

周角定理即可得出结论.

【详解】解：连接OC,

•ICE是00的切线,

/.ZOCE=90°,

•/NK=400,

，ZCOE=90°-40°=50°,

Z./CDB=-ZCOE=25°.

2

故选：A.

8.C

【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式的特点,确定其开口方向和对称轴，

根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小即可得到答案.

【详解】解：•・•二次函数解析式为)，=-f+2x+b=-(,i-iy+b+l,

・•・抛物线开I」向下，对称轴为直线x=l,

，离对称轴越远，函数值越小，

•・,点A(4,y),巩-1,y2),C(L必)都在二次函数V=-^+2x+〃的图象上，4-1>1-1,

,另<y2<>3，

故选：c.

9.C

【分析】根据图象旋转的性质，得4B=AZ),NB4D=I5O。，从而得NB=15。，结合/4OE=/8=15。，

NO4E=NBAC=I(X)。，即可求解.

【详解】解：•・•将AA8C绕点A逆时针旋转150。，得到&40E,

・・・AB=AD,ZBAD=l50°,

:.Z8=ZADB=(180°-150°)^2=15°,

••・N4QE=N8=150,ZDAE=^BAC=\(J0P,

：.^E=180o-1000-15o=65°.

故选C.

【点睛】本题主要考杳旋转变换的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键.

10.C

【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定，勾股定理，圆周角定理等知识点，

解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，根据中位线定理得到MN的长最大时，4c最大，当AC

最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值.

【详解】解：,•,点M，N分别是A4,BC的中点，

:.MN=-AC

2f

・•・当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC是直径时，AC最大,

如图，连接49并延长交。。于点C',连接6C',

•.•2'4%=450,八8=8,

.•./ACB=45。，

/AC'8="A8=45。，

/.BC=AB,

•••由勾股定理得，4C=&48=8夜，

:.MN,d五,

故选：C.

II.(1,2)

【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的一般式与顶点式之间的转换是解题的关键,

利用配方法将二次函数的一般式转换成顶点式，根据顶点式的特点即可得到答案.

【详解】解：Vy=x2-2A+3=A-2-2x+l-l+3=(x-l)2+2,

・•・抛物线)，=/_2x+3的顶点坐标是(1,2).

故答案为：(L2).

12.1

【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，掌握关于原点对称的点的坐标横纵坐标

互为相反数是解题关键.根据关于原点对称，得到以=5,方=-6,再代入计算乘方即可.

【详解】解：点A(-5乃)关于原点对称的点为8(兄6),

.,.a=5,b=-6,

.•.(»)*(-1)*1,

故答案为：1.

13.18

【分析】本题主要考杳了切线长定理,熟练掌握切线长定理是解题的关键.利用切线长定理，得出三

角形三边被切点分成的线段长度关系,进而求出三角形的周长.

【详解】解：是zvABC的内切圆，且与A，，BC,AC相切于点。，£,F,

：,AF=AD=3,BD=BE=2,CE=CF=4,

/.AB=AD+BD=3+2=5,

BC=BE+CE=2+4=6,

AC=AF+CF=3+4=1f

.hAAC的周长为AB+AC+AC=5+6+7=18,

故答案为：18.

14.70。/70度

【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.连接AC，根据圆

周角定理得到NC48=20。，Z4C8=90。，根据直角三角形的性质计算即可.

【详解】解：如图，连接AC,

•••点C为劣弧80的中点，ZmB=40°,

/.ZC4Z?=-ZD4/?=20°,

2

•.•AB为。。的直径，

.\ZACfi=90°,

ZABC=90。-20°=70°,

故答案为：70°.

【分析】仔细分析图形可得阴影部分的面积等于2个以。为直径的圆的面积的和再减去1个以。为边

长的正方形的面积.

【详解】解:由图可得阴影部分的面积=双（。）2'2-/=:.2-/

22

故答案为：^a2-a2.

【点睛】本题考查圆、正方形的面积公式，解题的关键是读情题意及图形，找到阴影部分的面积等于

2个以。为直径的圆的面枳的和再减去1个以〃为边长的止方形的面积的规律.

16.（1）$=5,A,2—I

7+V297-V29

3=---，v2=---

【分析】本题主要考查了解一元二次方程的方法.根据方程特点选择合适的方法是解题的关键.

(1)根据方程的特点利用因式分解法来解答，先对其变形，再结合提公因式进行因式分解可得

(x-5)(x-l)=0,至此问题即可迎刃而解：

(2)先确定方程中的4、〃、C分别是什么数，再求判别式判别式的值，然后根据求根公式解方程即

可.

【详解】⑴解：x(x-5)=.r-5,

移项，得爪-5)-。-5)=0,

提公因式，得(彳一5)(工一1)=0,

Ax-5=0,x-l=O,

：♦西=5,x?=1.

(2)解：Y-7X+5=0,

这里a=L。=-7,c=5,

/.A=Z>2-4«c=(-7)2-4xlx5=29,

.-b±ylb2-4ac7±V29

••X=------------=------'

la2

.7+V297-V?9

.,耳=-，x2=2.

17.(I)

【分析】本题主要考杳待定系数法求解析式，配方法求顶点竺标，掌握待定系数法求解析式，配方法

的运用是解题的关键.

运用待定系数法求出〃?，〃的值，再求出抛物线的解析式，运用配方法即可求解.

\-m+n=0

【详解】解：依题意得:

9+3m+〃=0

m=-2

解得：

n=-3

「•解析式为：y=%2—2x_3,

配方得：y=(x—I)?—4,

二•顶点坐标为；(1,-4).

18.(1)作图见解析

(2)作图见解析；A2(l,2)

【分析】本题考查作中心对称图形，作旋转图形，掌握中心对称图形与旋转图形是解题的关键.

(1)根据关于原点对称点的坐标变化得到VA8C的三个顶点关于原点。的对称点A,4，G的坐标,

再在坐标系中描出点儿，B1,C，依次连接即可得到△A4G：

根据旋转的性质作出点依次连接即可得到△人区由平面直角坐标系直接写出

(2)A，B2,G，G，

点&的坐标.

【详解】⑴解：•・•A(-2,l),5(-1,3),C(-2,4),与VA8C关于原点。对称,

•••A(2,T),4(1,-3),C(2T)，

・•・如图，△AMG即为所求.

点人的坐标为(1,2).

19.(1/

（2）见解析，I

O

【分析】（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）列表得出所有等可能的结果数以及甲、乙在相邻楼层出电梯的结果数，再利用概率公式可得出

答案.

【详解】（1）解：由题意得，乙在1层出电梯的概率为:，

4

.・.乙和甲在同一层楼出电梯的概率是!.

4

故答案为：4-

4

（2）解：列表如下：

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

一共出现16种等可能的结果，其中甲、乙在相邻楼层出电梯的结果有6种，

：.p（甲、乙在相邻楼层出电梯）=4=1-

【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本

题的关键.

9

20.（1）k<--（1）I.

4

（分析】⑴根据方程有实数根，可分为k=0与kWO两种情况分别进行讨论即可得；

31

⑵根据一元二次方程根与系数的关系可得内+勺=2x,x2=i,由此可得关于k的方程，解方程即

可得.

【详解】（1）当％=0时，方程是一元一次方程，有实根符合题意，

当我工。时，方程是一元二次方程，由题意得

△=b2—4ac=9-4Z:>0>

解得：攵49，

4

9

综上，左的取值范围是kwg；

（2）Xx和42是方程辰、-3x+1=0的两根,

,/X)+x2+XjX,=4,

314

・r■厂.

解得k=l,

9

经检验：攵=1是分式方程的解，且1<=，

4

答：攵的值为1.

【点睛】本题考查了方程有实数根的条件，一元二次方程根与系数的关系，正确把握相关知识是解题

的关键.

21.(1)N8OE=90。；(2)DF=PF,证明见解析

【分析】(1)由旋转的性质即可求得结果；

(2)由旋转的性质可得NACE=NAQ8=45。，则易得NQO=/D4C+/ACE:/CO尸+乙4。比/尸OP,

从而可得DF二PF.

【详解】(1)由旋转的性质可知，AB=ADtNZMQ=90。，ZADE=ZB,

在中，N8=NADB=45。,

，NADE=NB=45。,

，NBDE=ZADB+ZADE=90°.

(2)DF=PF.理由如卜.：

由旋转的性质可知，AC=AE,NCAE=90。，

在山△ACE中，ZACE=NA£C=45°,

NCDF=NCAD,NACE=/A/%=45。，

ZADB+ZCDF=NACE+NC4。，

即/尸PO=/尸。P,

：,DF=PF.

【点睛】本题考杳了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，关键是掌握

旋转的性质.

22.(1)见解析；(2)C/=4后

【分析】(1)连接OCAC,根据平行线的性质得到Nl=NAa,由圆周角定理得到Nl=4C8=90，

根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC,求得ND8E=NOCE,根据切线的性质得到/。5。=90,

求得OCJ.OC,于是得到结论；

(2)解直角三角形即可得到结论.

【详解】(1)证明；连接。C4。,

VOE/MC,

，N1=ZACB,

〈AB是圆。的直径,

/.Zl=ZACfi=9()，

：.0D±BC,由垂径定理得。。垂直平分3C,

/.Dfi=DC,

/./DBE=NDCE,

又；OC=OB,

，4OBE=4OCE,

即NO8O=NOCD,

〈OB为圆。的切线，08是半径，

工"40=90,

，NOCO=ND8O=90,

即OC1DC,

•・•OC是圆。的半径，

・•・DC是圆。的切线：

(2)解：在心A48C中，446c=30",

，/3=60，又OA=OC,

・•・MOC是等边三角形，

，ZCOF=60,

在RACO尸中，tanZCOF=—,

0C

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅

助线是解题的关键.

23.(1)销售单价为40元时，每天能获得800元的利润;

(2)若使俏售该商品每天获得的利润最大，俏售单价应定为5。元，此时最大利润为1200元.

【分析】(1)根据题意，列出一元二次方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解；

(2)设商品的利润为w元，得到卬与x的二次函数关系式并配成顶点式，根据自变量取值范围和二

次函数的性质，即可求出当下50时，M，有最大值，此时w=1200,问题得解.

【详解】(1)解：由题意得(x-30)(-2x+160)=800,

整理得炉-110x+2800=0,

解得％=4("=70,

由题意得3(用k50,

・・・x=70不合题意，舍去，

Ax=40,

答：销售单价为40元时，每天能获得800元的利润；

(2)解：设商品的利润为卬元，由题意得

w=(x-30)(-2x+l6())=-2x2+220x-48(X)=-2(x-55)2+1250(30领k50),

V-2<0,

・••当3滕上50时，卬随x的增大而增大，

,当x=50时，卬有最大值,此时卬=1200,

答：若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为5()元，此时最大利润为1200元.

【点睛】木题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，理解题意，熟知二次函数的性质，根据

题意正确列出一元二次方程和二次函数解析式是解题关键，解题时一定要注意商品单价的取值范围.

24.⑴y=-/+2x+3

⑵点P的坐标为停野最大面积为.

(3)-2-6或1+丘

【分析】本题主要考查了二次函数综合，•一次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的相关知识是

解题的关键.

(1)先利用一次函数求出A、8的坐标，然后把A、8坐标代入抛物线解析式