期末大题分类提升训练：图形的相似压轴-2025-2026学年湘教版九年级数学上册

期末专题大题分类提升训练

图形的相似压轴

1.点。是线段8C上一点，点A是线段8c外一点，连接AB,AD,将△A3。沿4。所在直线翻折，点8

的对应点为点E，连接

(1)如图1,点。为8C的中点，求证：AD//CE；

BD

(2)如图2,AB//CE,若AB=2.5,CE=],求一的值；

CD

(3)如图3,过点C作CF〃人从交OE的延长线于点尸，连接AE若BD=2,CD=1,CF=5,ZFAD

=NABD,求人4的长.

图1图2图3

2.三角形的布洛卡点(Brocardpoinl)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.LCrelleM^-1855)于1816

年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛

卡(Brocard\M5-1922)重新发现，并用他的名字命名.如图1,若aABC内一点P满足/以B=N

PBC=ZPCA=Za,则点尸是△48C的布洛卡点，Na是布洛卡角.

(1)如图2,点P为等边三角形A8C的布洛卡点，则布洛卡角的度数是；雨、PB、PC

的数量关系是:

(2)如图3,点尸为等腰直角三角形A3c(其中N/MC=90")的布洛卡点，且N1=N2=N3.

①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；

3.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片

绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片44c和AOE中，A/3=4)=3,〃C=£)E=4,

ZABC=ZADE=W.

【初步感知】

BD

(1)如图1，连接BQ,CE,在纸片4。月绕点4旋转过程口，试探究二7的值.

CE

【深入探究】

(2)如图2,在纸片AOE绕点A旋转过程中，当点。恰好落在△A8C的中线8M的延长线上时，延

长ED交AC于点F,求C/的长.

【拓展延伸】

(3)在纸片AQE绕点A旋转过程中，试探究C,D,£三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所

有直角三角形COE的面积；若不能，请说明理由.

图1图2备用图

4.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=2(),cosA=点、E在边AB上,且AE=38E.点P是边

AC上一点,作NPEQ=45°,使点Q落在折线AC・C8上，且点。与点C在"的同侧.

(1)线段A8的长为；

(2)当点Q在边AC上时，求证：AAEQ^AEPQ；

(3)当点。在边3c上时，连结PQ,若△PQE是直角三角形，则AP的长为；

(4)当EP、EQ将△A8C分成个四边形和两个三角形时，若两个三角形的面积比等于16:9,直接

写出4尸的长.

5.在△A8C中，AB=BC=\O,BO_LAC于点。，点E是边44的中点，点尸是线段4E的垂直平分线与

BD的交点、,连接石厂，点G是线段。尸上的一点，点〃是边8C上的一点，连接£G,EH,GH,AEGH

sXEFB,且这两个三角形除顶点E外无其他部分成合.

(1)如图1,当AC=12时，

①求cosZABD的值；

RH

②求薪的值：

(2)如图2,当NA8C=a(30°<a<60°),BG=m时，请直接写出8”的长(用含加和a的式子

表示).

图1图2

6.综合与实践

从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题

展开探究.

特例研究

在正方形ABC。中，AC,BO相交于点0.

（1）如图1,XADC可以看成是AAOB绕点4逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数

为,k的值为；

（2）如图2,将△AO8绕点4逆时针旋转，旋转角为a,并放大得到△AEf'（点0,8的对应点分别为

BF

点、E,F）,使得点E落在。。上，点尸落在8c上，求不7的值；

0E

类比探究

（3）如图3,在菱形A/3c。中，/A〃C=60。，0是43的垂直平分线与4。的交点，将AAOA绕点4

逆时针旋转，族转角为a，井放缩得到△A".（点。，〃的刈应点分别为点儿”），使得点上落在口）

DC

上，点、F落在BC上.猜想I的值是否与a有关，并说明理由.

0E

7.综合实践,

问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长

度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究.如图1,在△ABC中，ZB=90°,AB=BC=4,

分别取AB,AC的中点。，E,作△AOE.如图2所示，将△AOE绕点A逆时针旋转，连接8。，CE.

图1图2图3图4

(1)探究发现

旋转过程中，线段8。和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.

(2)性质应用

如图3,当。E所在直线首次经过点8时，求CE的长.

(3)延伸思考

如图4,在RI/S4BC中，ZABC=90°,AB=S,BC=6,分别取AB,8c的中点。，E.作△BOE,将

△BDE绕点B逆时针旋转,连接40,CE.当边A8平分线段OE时，求tanNECB的值.

8.【问题背景】

如图1,正方形A8CO的边长为8,E是边8。的中点，点尸在射线AO上，过点尸作PF_LAE于点凡

连接PE.

【初步探究】

(I)求证：XPFAs

(2)若点。在边W上，且S”过形2c〃=44，求△「心与的相似比；

(3)如图2,当点产与点E重合时，设PF交CD于点G,连接4G,求AG的长；

【深入拓展】

(4)当点户在射线AO上运动时，设办=%,是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形与

△ABE相似？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由.

图1图2备用图

9.【感知】新定义：如图1,在四边形A8C。中，若在四边形内部存在一点。，连接OA,OB,OC,0D,

OA0B

满足NAOO+NBOC=180°，且一=—k,则称四边形A8CO为“蝴蝶四边形”，其中点。为“蝶

OD0C

心”，k为“蝶比”.

⑴如图2,正方形/WCQ（填“是”或“否”）“蝴蝶四边形“，蝶比为

【探究】

（2）如图3,在四边形/WC。中，NAOD+N4OC=180°,取线段人B中点为点M,延长MO交线段

CD于点N,若满足/CM7=/C0B,请判断四边形ABC。是否是以点。为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？

并说明理由.

【拓展】

（3）如图4,四边形A8CO是“蝴蝶四边形”，点。为“蝶心”，其中NAOQ=N3OC=90°,ZOAD

=NOBC=a,过点。作OM_LA8交A8于点M,延长MO交CO于点N.

①“蝴蝶四边形”人8C。的蝶比为.（用含〃的代数式表示）

②求证：点N是线段CD的中点.

③请直接写出二7的值为.（用含。的代数式表示）

10.综合与实践

己知：矩形ABC。，M是4。边上一点.

图1图3

【基本图形】

(1)如图1，AM=MD,AM交AC于〃点，4M的延长线与CO的延长线交于点上，连接AE,求证:

MFEM

~BF~~EB'

【类比探究】

(2)如图2,AM=MD,过点。任意作直线与BM,BC的延长线分别交于点E,点P,连接4E,求证：

ZEAD=ZPAD；

【扩展延伸】

(3)如图3,AM=MD,连接AP交OC于点N,若48=4Q,BC=50,AD=2DN,求△/!£：尸的面积.

11.如图1,在△48C中，AB=AC,NB4C=108°,以点C为圆心，。的长为半径作弧，交BC边于点

D,连接4).

ffll

(1)NBAD=

若AC=6,求人。的长;

如图2,点G在边上，连接。G,将线段。G绕点。顺时针旋转108°得到线段。〃，点G的

对应点”在△AC。内部，过点H作MN〃8C分别交AG,AC,人。于点M,N,Q,求证：BG?=AN*

QH.

12.我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上，且这条线段截得的小三角形与原三角形相

似，相似比为｝则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”.

（1）等边三角形的“半似位线”的条数为条.

（2）一个三角形的“半位似线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是.

（3）若一个三角形的三边长之比为1：2：V5,则这个三角形的“半似位线”的条数为条.

（4）如图，在中，N6=90°,AA=40,8c=30.点尸从点A出发，以每秒5个单位长度的速

度,沿AB向终点B运动；在点P出发的同时，点。从点4出发，以每秒。个单位长度的速度，沿折

线4C-CB向终点8运动.设运动时间为/秒.

①用含，的代数式表示尸8的长为.

②当PQ为△A8C的“半似位线”时，直接写出a的值.

13.【观察与猜想】

（1）如图1,在矩形48co中，点E、尸分别在边4。、ABh,连接。尸与CE交于点0,若NF0C=

DF

90°,且AO=8,CD=5,则一=

CE

【类比探究】

（2）如图2,在平行四边形A8CO中，点区尸分别在边AD、A3上，连接。尸与CE交于点0,当N

DFAD

F0C与NA满足什么关系时’还=而成立？请说明理由;

【拓展延伸】

3

(3)如图3,在四边形ABC。中，AD=151,AB=7,ZA=ZBCD=120°,—一,点£在边4。

2BC4

BD

上'连接。8与CE交于点当N8℃=NA时'求建的值.

图1图2图3

14.（I）问题

如图1,在四边形A8CO中，点P为A8上一点，当NOPC=NA=NB=90°时，求证：AD*BC=AP*

BP.

（2）探究

若将90"角改为锐角（如图2）,其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

（3）应用

如图3,在4c中，AB=2V2,N4=45°,以点A为直角顶点作等腰RtZXAOE.点。在BC上，

点石在AC上，点F在BC上,且NEFO=45°,若CE=网,求C£）的长.

图1图2图3

15.(1)【问题呈现】如图1,△A8C和△AOE都是等边三角形，连接8。，CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,ZUBC和△AQE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90a.连接3Q,

请直接写出哭的值.

CE

ABAD3

(3)【拓展提升】如图3,Z\A8C和△")£：都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,^―=—=:连

BCDE4

接BQ,CE.

①求詈的值：

②延长CE交8。于点尸，交AB于点G.求sinNBFC的值.

16.【问题提出】

(1)如图1,在矩形ABC。中，点£,尸分别是边AQ,43上的点，连接C£与。小交于点。，若NFOC

【迁移应用】

(2)如图2,在国4BC。中，八8=4,A。=7,点£厂分别是边AO,/W上的点，连接CE与。尸交于

CE

点O,且NCOO+NB4D=180°,求一的值.

DF

【拓展提高】

(3)如图3,在四边形ABC。中，点E是边4。上的一点，连接B。与CE交于点O,/B0C=/BAD

AB1BC4CE

=ZBCD=120°,-=请直接写出一的值.

AD3CD3BD

图1图2图3

17.九年级16班某同学针对三知形角平分线进行了如下的研究:

（一）探究过程

ABAD

（1）如图①，在△ABC中，8。平分NA8C交AC于点。，该同学得出:.

BC7C7Dr

如图②，该同学给出如下证明过程：

方法一：方法二：

如图②.过点A作交A。延长线如图③过点D作DNA.AB于点N,DM±BC

于点E.于点M，过点8作8E_LAC于点E

,:AE〃BC,,.,占。平分NA/3C,且QN_LA8,DMLHC,

・,•③,

Z2=ZE,

••--1—,

S^CBD^BCxDM

,.・4。平分NA4C,

CBD/DXBE

AZI=Z2,AD

•SACBD~^CDxBE-CD'

・・・NE=N1,

.ABAD

：.AE=®,''BC~CD'

.ABAD

''BC~CD'

请完成填空：①;②;③

④;

（二）内化迁移

84AD

（2）如图④，点。为△ABC的边C4延长线上一点，连接B。，M为边CB延长线上一点，当77=二

BCCD

时，判断N4BD与/OBM的数量关系，并给出证明；

（三）问题解决

（3）如图⑤，在矩形48C。中，A8=6,AO=4,E为边8c上一点，G为CB延长线上一点.Q为矩

形内部一动点，连接CQ并延长交A8于点儿连接QE,若QC=2QE,QF平分/CQE交BC于点、F,

FE=l,当GE=£C时，连接QG、QD,求QQ-4E的最小值.

图①力图②图③

18.定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成

位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”.

D

图1图2图3图4

(1)知识理解：①如图1,AABC,△4OE都是等边三角形，则△48C的“旋转位似

图形”(填“是”或“不是

②如图2,若△A8C与△AOE互为'旋转位似图形”,NB=100°,NE=30°,则ND4£=°：

③如图2,若△A4C与△AOE互为“旋转位似图形"，若A3=4,AD=6,AE=15,则4C=,

DD

若连接BQ,CE,则二77=

CE--------------------------------

(2)知识运用:

如图3,在四边形八8c。中，/AOC=90‘，于E,/OAC=Z7)6C,求证：△AS和△A8E

互为“旋转位似图形”；

(3)拓展提高：

如图4,△A4C为等腰直角三角形，点G为AC的中点，点户是A4上一点，。是Gr延长线上一点，

点E在线段G/7上，且△AB。与△AGE互为“旋转位似图形"，若4C=6,AD=272,求DE和B。的

长.

19.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不

全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.

【理解】

(1)如图1,若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，AB=\,BC=2,ZABC=ZACD

=90°,求出CD的长度.

(2)如图2,在四边形A8CO中，NABC=80°,ZADC=140°,对角线4。平分NA8C,请

问是四边形A4CO的“相似府角线”吗？请说明理由；

【运用】

(3)如图3,已知"/是四边形MG〃的''相似对角线“，/EFH=NHFG=30：连接印，若4EFG

的面积为16g,求尸〃的长.

20.问题探究:

(1)如图1,在矩形A8CO和RtZkBEV中，ZEBF=90°,N4C8=NEF8,点E在对角线AC上，连

接CR求证：△ABEsMBF；

(2)如图2,在菱形A3C。中，AB=4,tanD=V3,。是AO边的中点，。是边CO上一动点，将4

PDQ沿PQ所在直线翻折，得到△PEQ,连接BE,求BE的最小值；

问题解决:

(3)如图3,四边形48C。是某地规划中的现代农业生态园部分平面示意图，其中NA8C=90°,AD

=6km,CD=4km,8。是一条有机蔬菜展览走廊，AC是一条循环生态河，4C48=;，设计要求，

有机蔬菜展览走廊尽可能的长，即8。的值最大.请问BZ)是否存在最大值？若存在，请求出8。的最

大值；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

参考答案

1.(1)证明：•••△48。沿八。翻折得到4>4£。，

/.ZADE=ZADB,BD=ED,

又丁点。为灰?中点，

：.BD=CD,

：.ED=CD,

：・4DEC=/C.

•：4EDB=/DEC+/C=2/C,

NEDB=ZADE+ZADB=2ZADB,

，NC=NADB,

：.AD//CE；

(2)解：如图2所示，延长A/J、EC交于点”，

图2V

F

由翻折可知48=AE=2.5,ZBAD=ZEAD,

,:AB〃EF,

，/84。=/尸，

：.ZF=ZEAD,

：.AE=FE=2.5,

：.CF=FE-CE=2.5-1=1.5；

•:AB//EF,

/./XABDsgCD,

*BDAB2.55

CD~CF~1.5~3'

(3)解：延长A。、R?交于点G,如图3所示,

A

E.

BD、C

\：

(

图3G

由A4〃〃G,可得△48OsAkGCQ,

ADABBD2

iYZ=~~——,

GDGCCD1

可设AQ=2x,GD=x,

故AG=3x.

,/ZFAD=NAB。，NADB=/ADE,

：.ZBAD=ZAFD=ZG,

:•△AG尸s△4/£),

•_A_G__A_F

•♦=9

AFAD

，AF2=AG・AO=3X・2X=6/，AF=V6X.

♦：AB"FG,

又•・•XABDsRFAD,

ABBD

AF~AD

UAnAF-BD屈x，2rr

故rw=

2.解：（1）如图:

「△ABC是等边三角形，

：.AB=BC=AC,/C48=N/t8C=/AC8=60°,

,/^PAB=NPBC=NPCA,

，ZPAC=NPBA=/PCB,

:•△ACP0△BAP(ASA),

:,CP=AP,

同法可证CP=BP,

：,PA=PB=PC,

，ZPAB=4PBA=/PBC=ZPCB=ZPCA=ZPAC=30Q

故答案为：30°,PA=PB=PC；

(2)①△ABPSABCP,证明如下：

如图：

:△ABC是等腰直角三角形，

：.CA=AB,ZCAB=90a,

AZABC=ZACB=45°,

VZ2=Z3,

：.ZABC-Z2=ZACB-^ZABP=ZBCP,

VZ1=Z2,

:.△ABPS^BCP：

②过A作A〃_L8尸交8P的延长线于“，如图：

设AP=m.

VZAPH=Z\+ZABP=Z2+ZABP=45°,

而A”_LBP,

是等腰直角三角形,

•\AH=^-AP=42

~2mt

由①知：△ABPs/\BCP,

.APBPABV2inBP&S“BPAB2V221

BPCPBC2BPCP2S®Pbc22

:・BP=y[2m,CP=2m,SABCP=2S、ABP，

Ii9

S^APC=-j*AP*CP=5XmX2rn=nr,

V21

SAABP=^BP*AH=x\[2m*-m=不〃广2,

22

SABCP=25.A.4SP=nr,

)1，/75，

S^ABC=S/xAPC+S^ABP+Sr：..BCP=m-+广+/?T=3"广,

5

•「△ABC的面积为r

2

.525

22

解得/〃=1或/力=-1(舍去)，

:•S4PBC=晶=1.

3.解：(1)*：AB=AD=3,BC=DE=4,NA8C=NADE=90°,

.-.△ADE^AABC(SAS),AC=AE=y/32+42=5,

：,ZDAE=ZBAC,

AZDAE-NDAC=NBAC-^DAC即NC4E=N8AO,

ADAE

—=—=1,

ABAC

：.△ADBsXAEC,

BDAB

•••_，

CEAC

・;A4=3,AC=5,

*RD3

••一;

CE5

(2)连接CE,延长交CE于点。，连接A。交Er于P,延长£产交AC于，如图:

E

A

B

同(1)得△AQBs/XAEC,

/.ZABD=ZACE,

•・・8M是中线,

：,BM=AM=CM=1AC=I，

NMBC=NMCB,

•••/ABO+NMAC=90°,

，NACE+NMCB=90°,即N8CE=90°,

：.AB//CE,

：.ZBAM=ZQCM,ZABM=ACQM,

又AM=CM,

(AAS),

J.四边形ABCQ是平行四边形,

•/N4BC=90°

••・四边形ABCQ矩形,

，A8=CQ=3,BC=AQ=4,ZAQC=90°,PQ//CN,

：.EQ=yjAE2-AQ2="52-42=3,

：.EQ=CQ,

:.PQ是△C£N的中位线,

1

-

2

设PQ=x,则GV=2x,AP=4-X,

•:/EPQ=NAPD,NEQ尸=90°=NADP,EQ=AD=3,

•1△EQ峰△40。(AAS),

：,EP=AP=4-x,

t：EP1=PQ1+EQ-,

:.(4-x)2=X2+32,

解得：

o

257

•"尸=4-k詈，CN=2x=%

，：PQ〃CN,

/.XAPFsMCNF,

APAF

••.__=__,

CNCF

AP+CNAF+CFAC

CN-CF~CF

VAC=5,

方法2：

*：BM是RtA/lBC斜边AC上的中线,

：・AM=BM=CM=1AC=I，

J.NARM=NRAM,

;AB=AD,

/.ZABM=ZADB,

/.N8AM=ZADB,

ZABM=ZDBAt

：.△AZM/s△OBA,

5

ADDM,35

J—=—,即r一=2,

BDABBD3

•••BD=M

511

----

:・DM=BD-BM=^~21o

ZEAD=ZCAB=NABD=/ADB,

：.DM//AE,

：.4FDMs4FEA、

11

DMFM77FM

，一=—,即2=——5'

AEFA5尸M+—

2

解得FM=祟

：.CF=CM-FM==

(3)C,D,E三点能构成直角三角形，理由如下：

①当AQ在AC上时，DELAC,此时△a)£是直角三角形，如图,

^SA.CDE=|CD-DE=|X(5-3)X4=4：

②当A。在CA的延长线上时，DEA.AC,此时△©£>£是直角三角形，如图,

:・SMDE=^CD*DE=卜(5+3)X4=16：

③当。石_LEC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ_LEC于点Q,如图,

：AQJ_EC,DE工EC,DELAD,

・•・四边形AQEQ是矩形，

：,AD=EQ=3,AQ=DE=4,

\'AE=AC=5,

：,EQ=CQ=1CE,

1

:.一CE—3,

2

，CE=6,

SACDE=^AQ*CE=x4X6=12；

④当。C_LEC时，△CQE是直角三角形，过点A作4Q_LEC于点Q,交DE于点N,如图,

VDC1EC,AQ±EC,

J.AQ//DC,

'：AC=AE,AQ±EC,

：,EQ=CQ,

:・NQ是△□此的中位线，

：.ND=NE=1DE=2,CD=2NQ,

'：/AND=NENQ,NADN=NEQN=90°,

••・NDAN=NQEN,

/.tanZDAN=tanZQEN,

.DNNQ

AD-EQ'

./V£_2

••―=一,

EQ3

2

・・・NQ=初

J

,：NQ1+EQ2=N^,

2

；・(-EQ)2+庭=22,

解得EQ=空，

.ms12月2s4/13

・・CE—2EQ=1a,NQ=qEQ=1?,

・fire87H

・•CD—2NQ=]3,

.$If1、,8原,12月48

••'△CQE=qCD*CE=2X•]3x—~

48

综上所述，直角三角形CDE的面积为4或16或12或一.

4.(1)解：・・・cos4=辛，且N/l为锐角,

・・・NA=45°,

VZC=90°,

•••△A8C是等腰直角三角形，

：,AC=BC=20,N8=45°，

由勾股定理得，AB=y]AC2+BC2=VZO2+202=2072；

故答案为：20V2；

(2)证明：VZA=45°,NPEQ=45°,

・・・NPEQ=NA,

*/ZAQE=ZEQP,

・•・△AEQsAEPQ：

(3)解：①当N〃0£=9O’时，如图，作NOJ_4C,垂足为〃,

/.ZPQE=90°,NPEQ=45°,

•••△EPQ是等腰直角三角形，

:,EQ=PQ,

\*ED±AC,

AZEDC=90°,

••・/。七。+/。。£=90°,

*//DQE+ZCQP=180°N〃QK=90°,

:・NQED=/CQP,

在△EOQ和△QCP中，

(LC=乙EDQ=90°

\z.CQP=乙DEQ,

{QP=EQ

:.△QCPW4EDQ(A4S),

/.QD=PC,DE=CQ,

'：AE=3BE,

：.BE=\AB=20V2=5A/2,

VZB=45°,ZEDB=90°,

•••△8EQ是等腰直角三角形，

：.DE=BD,

由勾股定理得，BE=y/DE2+DB2=VDE2+DE2=\l2DEy

：・DE=BD=孝BE=芋x5&=5,

，CQ=5,

：.CP=DQ=BC-CQ-80=20-5-5=10,

：.AP=AC-CP=20-10=10：

②当NQPE=90°时，如图，作E/LLAC,垂足为尸，

与①同理可得，△EPQ是等腰直角三角形，4PEF//\QPC

由勾股定理得，AE=y/AF2+EF2=yjAF2+AF2=V2/1F,

•\AF=EF=导AE=孝x15V2=15',

♦:丛PEFW4QPC,

：.PC=EF=\5,PC+4〃=I5+I5=3O>4C,与题干矛盾，故舍去;

综上所述，AP=\0；

故答案为：10；

(4)解：①当点。在边AC上时，如图，作E/LLAC,垂足为F,

P

AB

E

当霭争则舞焉

由（2）可知，△AEQS^EP。，

.QPQEEPS“EG_4

"QE~QA~AEShAEQ5

由（3）可知，AE=15A/2,AF=EF=\5,

4L

：,EP=^AE=12版

在RtAPEF中，PF=VEP2-EF2=2—152=3x/7,

：.AP=AF-PF=15-3^7；

当鬻二轴’

S^PEQ9

同理,—,△AEQS/\“Q,

S^AEQ

.QPQEEPS"EG_3

''QE~QA~AES^AEQ5

：.EP=^AE=9五EP=9丘VEF,无法构成三角形,故舍去:

②当点。在边3C上时,

B

VZPEQ=45°，

・••180°N/£Q=135°，

•••/A=NB=45°，

：.NAPE+NA"=180°-4=135°，

・•・/APE=/BEQ,

：.XPEAs4EQB,

APAEPESXPEA4

BE~BQ~EQS&EQB3

〈BE=5VL

：.AP=\BE=^X5V2=

SAPk49

当=一时，同理，APEASAEQB,

S^EQB16

.APAEPEISNE/.3

"~BE='BQ=~EQ=JSAEQB二下

:,BQ=i/lF=X15V2=20V2,

*DD

,:BQ=20五ABC,与题设矛盾，故舍去；

综上所述，AP的长为15-3近或£2.

5.解：(1)①;在△ABC中，A8=BC=10,BDA.AC.

.\AD=CD=^AC=6,

：・BD=y/AB2+AD2=8,

・••在Rt/\ABD中，cosZ-ABD=器=白=9

②过点尸作FM_LA8于点M,如图所示：

•:点、E为AB的中点,

，BE=24B=5,

•・•点F在线段BE的垂直平分线上,

:・BM=EM=*BE=W，EF=BF,

在Rt/XMM中，cos乙ABD=器=自

.5x|25

•9=丁=可

25

:,EF=BF=

石'

'：/\EGHS4EFB,

EGEH

:"GEH=/FEB,

EF~EB

EGEF

/.ZGEH+ZHEF=ZHEF+ZFEB,—=—

EHEB

:・/GEF=/HEB,

:AGEFsAHEB,

•_B_H__B_E_5_8

,方=法=巨=9

8

(2)过点/作尸M_LA8于点M,如图所示:

•・•在△ABC中，AB=BC=\0,BD1AC,

Z.ABD=^Z-ABC=ia,

•・•点七为A8的中点，

：.BE=^AB=5,

•・•点F在线段BE的垂直平分线上，

15

：.BM=EM=^BE=EF=BF,

在RtAfiFM中，C0SZ.ABD=cos^a=翳,

5

:・EF=BF=

2co

•:BG=m,

5

:.GF=BG-BF=tn---------.

2cos^a

,:AEGHSAEFB,

EGEH

：・/GEH=/FEB,

EF-EB

EGEF

:・/GEH+NHEF=NHEF+/FEB,—=—

EHEB

:"GEF=4HEB,

:.AGEFSAHEB,

*_B_H__B_E

•■=,

GFEF

„„BH5

即5~=5，

7n

--2-c-os^a---2-c-os-^a

解得：BH=2mcos^a-5.

6.解：（1）•・•在正方形ABC。中，AC,4。相交于点。,

：.ZOAB=ZDAC=45°,AD=^20A,

••,△AOC可以看成是△AOB绕点4逆时针旋转并放大k倍得到,

.•・旋转角为45°,女=耦=鱼，

故答案为：45°；V2；

（2）根据题意得△AE/S/XAOB,

AFAE

：.ZEAF=ZOAB,

AB-AO9

AFAB

：,ZFAB=ZEAO,

AE~A。'

，△AFBs△人石0,

BFAB

•♦=,

OEAO

VZO4B=45°,NAO8=90°,

ABr-

—=V2,

AO

BFAB

:.—=—=<2r;

OEAO

BF

（3）二7的值与a无关；理由如卜:

OE

同理可证石。，

•R_FAR

••^―--9

OEA0

•・•菱形48C。中，NABC=60°,

AZABO=30°,

•・・。是AB的垂直平分线与BD的交点,

：,AO=BO,

•••N84O=/48O=30°,

如图3,过点。作0GJ_A8于点G,

・"B=2BG,A0=B0=20G,

在直角三角形BOG中，由勾股定理得：BG=>/BO2-OG2=V3OG,

.££_££_9G_V3

''OB~0A~20G~2'

AB2BG

J—=——=<3r,

OAOA

BFAB

/.—=—=<r3,

OEAO

•••宾的值与a无关.

7.解：（1）7点。和点E为分别为AB,7c中点,

「・由图1可知，AD=\AB,AE=^AC,

ADAEADAB

/.—=—,则nl一=—,

ABACAEAC

VZ/?=90°，AB=BC=4,

，NBAC=45°，

AB42

/.cosZ-BAC=元=7

根据旋转的性质可得：ZBAD=ZCAE,

，XABDsXACE、

BDAB\[2

•a'----=-----=—;

CEAC2

（2）由图1可知，点。和点E为分别为AB,AC中点,

：.DE//BCfAD=^AB=2,

•••△ABC's

•••NADE=/A8C=90°,

・••当OE所在直线经过点3时，ADA.BE,

根据勾股定理可得：BD=7AB2-AD2=2g

由⑴可得：还

.20\[2

CE2

解得：CE=2A/6；

(3)令AB,QE相交于点Q,过点E作£G_L8C于点G,如图4,

BG

图4

根据题意可得：BE=QC=3,

•.•/A4c=90",A/S=8,4c=6,

：.AC=7AB2+842=10,

•••边/IB平分线段OE,NOBE=N"C=90°,

:,BQ=DQ=1DF,

:.NQBD=NQDB,

,:△DBESAABC,

:.NQDB=/CAB,

:・/QBD=/CAB,

根据旋转的性质可得：/QBD=/EBG,

:・NCAB=NEBG,

3

J.sinLCAB=sin^EBG=F，cos乙CAB=cos乙EBG=•

9I?

••EG=BE-sin乙EBG=耳，BG=BE•cos乙EBG=亏,

•.r•CrG-—oBrC—oBrG-—a612一_18,

8.(1)证明：在正方形A8CO中，AD//BC,

：.ZPAF=ZAEB.

ZPFA=ZABE=9^,

（2）解：•・•正方形ABC。的边长为8,

・••正方形ABC。的面积=8Xg=64,

■:S五边）fiPDCEF=44,

，S△尸用+S.M8E=64-44=20，

•：AB=BC=8,点、E是8C的中点，

/.BE=4,

'SMBE=]48'BE=16,

・'・S/J>M=20・16=4，

••—―,

S“8E4

1

AAPM与△ABE的相似比为

2

（3）解：VZBAE+ZAEB=^CEG+ZAEB=90a,

:.NBAE=/CEG,

VZABE=ZC