浙江省四校2025-2026学年高二年级上册期中联考数学试题（解析版）

浙江省四校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.在空间直角坐标系中，已知点4（0,8（2,3,4）,则|A8|=（）

A.26B.3V2C.V29

【答案】C

222

【解析]\AB\=>/（2-0）+（3+1）+（4-1）=V29.

故选：C.

2.直线3x+2y-18=0和2尤-5），+7=0的交点坐标为（）

A.（-4,-3）B.（4,3）c.（T3）D.（3,4）

【答案】B

⑶:十2y_18=O[x=4

【解析】由、「）八，解得1c，

2x-5y+7=0[y=3

所以直线3x+2）-18=0和2x-5y+7=。交点坐标为（4,3）,

故选：B.

3.己知椭圆三十』=1的一个焦点为尸（（）/），则攵=（

A.6B.M

【答案】D

伙〉4

【解析】由题意知：<“「解得：k=5.

&-4=1

故选：D.

4.已知双曲线。：/—二二1的一条渐近线的方程为2/-），=0,则〃?=（）

【答案】A

【解析】由题知，双曲线焦点在x轴上，且其中一条渐近线方程为y=2x,

所以画=2,解得m=4.

故选：A.

5.下列方程一定表示圆的是（）.

A.x2+y2=0B.x2+y2-2x+4y-6=0

C.x2+y2-\-2cvc-b2=O(tz,Z?eR)D.V+2入〉+)/一9=0

【答案】B

【解析】对于A,方程/+),2=o表示点(o,o),庆不是；

对于B,方程/+),2-21+4)，-6二0化为。-1)2+(.)，+2尸=11,此方程表示圆，B

是；

对于C,当a=b=0时，方程/+)/=0表示点(o,o),c不是；

对于D,方程Y+2x.y+y2-9=0化为x+y=±3表示两条平行直线，D不是.

故选：B

6.若向量方=(2,2,3),3=(-121)/=(0,1,1)，则4・仅+?)=()

A.5B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】由题意可得，Z?-FC=(-1,3,2),则a・(〃+c)=2x(-1)+2X3+3X2=10.

故选：C

7.(1,1)关于直线/:y=x-l的对称点为()

A.(2,0)B.(3,0)

C.(2,1)D-(|'-£

【答案】A

【解析】设(1,1)关于直线/：)，=工一1的对称点为。几〃)，

〃+1m+\

~~^rm=2

则〈解得《

n=()

_m-\

故选：A.

666

8.已知空间中向量入：。，1，0)，向量AC的单位向量为(一---9---,-----)，则点

333

8到直线AC的距离为()

273

A.在B.国

33亍

【答案】B

【解析】设向量Ad的单位向量为4，则e=一^AB.e=^~，

点B到直线AC的距离为：JAB。-A&J=bg=半，

故选：B

二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题FI要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.若平面。，夕平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是()

A.=(1,2,0),%=(2,4.0)B.4=(122),^=(-2,2,1)

C.n.=(1,0,1),电=(一2、0,-2)D.%=(0』,0),^=(0-1,0)

【答案】ACD

【解析】A：由题意，2=3%，则两个法向量平行，故A正确；

u111

B：由题意，不存在实数2使得〃则两个法向量不平行，故B错误；

C：由题意，勺=-!小，则两个法向量平行，故C正确；

D：由题意，仆=-〃2,则两个法向量平行，故D正确

故选：ACD.

2222

10.椭圆C：±+二=1与双曲线C,:」-----匚=1(一9VA<7)()

125929+Z7-kI7

A.有相同的焦点B.有相等的焦距

C.有相同的对称中心D.可能存在相同的顶点

【答案】BCD

【解析】由椭圆方程可知其焦点坐标为((),4),(0,Y),焦距为8,关于原点成中心对称,

左、右顶点坐标为(3,0),(3,0)；

0

由双曲线方程C,:二一_2_=1(一9<Z<7)可知其焦点坐标为(4,0),(-4,0),

-9+Zl-k

因此两曲线焦点不同，即A错误；

焦距为8,可得B正确：

双曲线也关于原点成中心对称，即C正确:

当2=0时，双曲线的左、右顶点坐标为(3,0),(—3,0),即D正确;

故选：BCD.

II.把方程MM+)，|)，|二1表示的曲线作为函数y=f(x)的图象，则下列结论正确的有

()

A.y=/(x)的图象不经过第三象限

B./(x)在R上单调递增

C.y=/(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1

D.函数g(X)=/(X)+K不存在零点

【答案】ACD

【解析】当x>0,时，方程是f+y2=i,当x<0,y>0时，方程是

2

J_x=J,

当x<0,><0时，方程是V+炉=一],不表示任何曲线，

当x>0,y<0时，方程是V—y2=],

函数y=/(x)的图象如图所示，

由图知：y=/(x)的图象不经过第三象限，故A正确：

/(x)在R上单调递减，故B不正确；

y=/(x)的图象上的点到坐标原点的距离•的最小值为|，故c正确；

y=/(x)的图象与)'=一%图象没有交点，故ACD正确，

故选：ACD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.过P(-1M)、Q(a+1,4)两点的直线的倾斜角为45。，那么实数。=.

【答案】1

【解析】过P(Ta)、Q(Q+l,4)两点直线的倾斜角为45，

则k=tan45=1,又的。=-----=i=>a=\.

P0a+2

故答案为：I.

13.在长方体A8CD-中，AH=aAD=b>=c,W'JACi=.（用

向量a,b,c表示）

【答案】a+b+c

【解析】由题意得AG=AB+BC+CG=AB+AD+A4,=a+A+c,

14.直线4：2犬+。〃+1）），+2=0与直线/2：〃a+3>-4=0平行，则实数，〃=.

【答案】一3或2

【解析】由直线4：2尤+。〃+1）），+2=0与直线/2：加工+3y-4=0平行，

C।1O

得一二Jw—,所以m=-3或〃7=2.

/??3—4

故答案为：一3或2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.直线/的斜率为3且它在》轴上的截距为-3.

（1）求直线/的方程；

（2）求直线/与两坐标轴所围成的三角形的面积.

解：（I）因为直线/的斜盅为3且它在丁轴上的截距为-3,

由斜截式得直线/的方程为y=3x—3,即3x-y-3=0.

（2）在），=31一3中，令），=0,即31一3=0,解得/=1,即直线/与x轴上的截距为

1,则直线/与坐标轴所围成的三角形面积S=lxlx|-3|=-.

2112

16.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD—A'B'C'。'，A3=l，BC=2,

AA'=3.求:

c7

O(A)

(1)向量AC'，BD'，A。’的坐标；

(2)AC+28。'，AC'+4。'-24。'的坐标.

解：(1)由题意可知：A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,2,3),。'(0,2,3).

所以AC；=(1,2,3)-(0,0,0)=(1,2,3),

^=(0,2,3)-(1,0,0)=(-1,2,3),

A。=(0,2,3)-(0,0,0)=(0,2,3).

(2)AC+28。=(123)+2(-1,2,3)=(7,6,9),

AU+W-2Azy=(1,2,3)+(—1,2,3)—2(0,2,3)=(0Q0).

17.已知点A(—1,0),B(0,2),圆C的方程为x2+y2—4x+4)，+4=o,过点吕的直线

/与圆C相切，点尸为圆C上的动点.

(1)求直线/的方程；

(2)求△A43面积的最小值.

解：(1)①圆C:(x—2)2+()，+2)2=4的圆心。(2,-2),半径r=2,

当直线/的斜率不存在时，/的方程为九=0,易知此直线与圆C相切，符合题意；

②当直线/的斜率存在时，设/的方程为＞=依+2,即履一)，+2=0.

因为直线/与圆。相切，所以圆心到直线的距离d=2,

3

所以直线/的方程为y=-3x+2,即3x+4y-8=0.

综上，直线/的方程为x=0或3x+4)，-8=0.

(2)由题意，得|4却=石，直线A8的方程为2x—y+2=0,

|4+2+2|_86

则圆心。(2,-2)到直线AB的距离d=

・••点P到直线AB的距离的最小值为述

2,

5

，△八钻的面积的最小值为!xgx-2=4-75.

2

18.如图，已知椭圆。的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为尸卜6,0）,点

RM

在椭圆C上.

（I）求椭圆C的方程;

（2）宜线/：y=x-l与椭圆C交于不同两点Q,求弦长|PQ|.

/V2

解：（1）由题意可设。：、+匕=1（。〉〃>0）,

31

将代入得/+/=1'又

解得4=2/=1,所以椭圆方程为工+）,2=1.

4.

（2）将直线产・1与椭圆工+），2=i联立,

4-

8

得5丁-81=0，设。（内,,）,。（々,%），则%+/=不玉&=0,

...IPQ\=Jl+公一49占=~Y~•

19.如图，在三棱锥。ABC中，PA_L平面人3C,ZBAC=90°,2瓦/分别是棱AB，

B

（1）求直线Q4与平面》所成角的正弦值;

（2）求点P到平面DEb的距离.

解.：（1）依题意：以4为坐标原点，A氏AC,AQ所在直线分别为x轴、＞轴、z轴建立空

间直角坐标系,

又。，民