3.3 函数的实际应用举例教学设计中职数学基础模块上册高教版（第三版·李广全）

上课时间上课时间3.3函数的实际应用举例教学设计中职数学基础模块上册高教版（第三版·李广全）2025年12月任课老师任课老师魏老师设计思路设计思路一、设计思路立足中职学生认知特点，以课本成本、利润、行程等实际案例为载体，通过“情境创设—函数建模—求解验证—应用拓展”流程，引导学生将函数知识与生活、专业结合，采用任务驱动、小组合作，强化数学应用意识，提升解决实际问题的能力。核心素养目标核心素养目标二、核心素养目标通过函数实际应用案例，发展数学建模与数学运算素养，能从成本、利润、行程等问题中抽象函数关系并求解；提升数据分析能力，体会数学在生活与专业中的应用价值，增强应用意识与创新意识。学习者分析学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。学生已掌握函数的概念、一次函数与二次函数的图像和性质，能求解简单的函数解析式，具备基本的代数运算能力，对成本、利润、行程等实际问题有初步认识，为本节课函数建模奠定基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。学生倾向于生活化、专业化的案例学习，动手实践能力较强，喜欢小组合作，但对抽象数学建模兴趣一般，擅长直观理解，逻辑推理能力有待提升。

3.学生可能遇到的困难和挑战。在将实际问题转化为函数关系时，可能对变量选择、函数类型判断存在困难；求解复合函数或实际应用题时，计算过程易出错；对专业术语（如“固定成本”“边际利润”）理解不够清晰，影响建模准确性。教学资源准备教学资源准备1.教材：确保每位学生备有《中职数学基础模块上册》（高教版第三版·李广全），重点标注3.3节内容。

2.辅助材料：准备成本利润分析图表、行程问题动态演示视频、函数建模案例卡片。

3.实验器材：配备简易函数关系演示教具（如变量关联模型），确保安全无隐患。

4.教室布置：设置分组讨论区，配备白板或多媒体投影设备，便于案例展示与小组协作。教学过程教学过程（一）情境导入，激发兴趣（5分钟）

同学们，早上好！今天我们要学习的内容是“函数的实际应用举例”。先看一个生活中的问题：某服装厂生产一批校服，固定成本为20000元，每套校服的材料和人工费为50元，厂方计划以每套80元的价格出售。你们能帮厂长算一算，生产多少套校服时，工厂正好不亏不赚吗？这个问题其实可以用我们学过的函数知识来解决。今天我们就来探究如何用函数解决成本、利润、行程等实际问题。（板书课题：3.3函数的实际应用举例）

（二）复习旧知，铺垫新知（8分钟）

在解决问题之前，我们先回顾一下相关知识。同学们，函数的定义是什么？对，函数是两个变量之间的一种对应关系，其中自变量x在某个范围内取值，因变量y有唯一确定的值与之对应。我们学过哪些函数类型？学生回答：一次函数y=kx+b（k≠0）、二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）等。那么一次函数和二次函数的图像和性质是什么？一次函数图像是一条直线，k决定增减性；二次函数图像是抛物线，a决定开口方向，顶点有最值。这些知识是我们解决实际问题的工具，接下来我们就用它们来分析案例。

（三）新课探究，案例突破（30分钟）

【案例1：成本与产量的函数关系（一次函数）】

请同学们看课本第98页例1：某企业生产一种产品，固定成本为12000元，每件产品的可变成本为30元。求生产x件产品的总成本C，并求当产量为500件时的总成本。

首先，我们分析实际问题中的变量。生产x件产品，总成本C由哪几部分组成？对，固定成本（不随产量变化的费用）和可变成本（随产量变化的费用）。固定成本是12000元，每件可变成本30元，那么x件的可变成本是多少？学生回答：30x元。所以总成本函数C=固定成本+可变成本=12000+30x。这就是一次函数，其中自变量x是产量，因变量C是总成本，k=30，b=12000。

【案例2：利润最大化的求解（二次函数）】

继续看课本第99页例2：在案例1中，若该产品每件售价为50元，求利润函数P，并求产量为多少件时利润最大，最大利润是多少？

利润怎么计算？学生回答：利润=总收入-总成本。总收入R=售价×销量=50x，总成本C=12000+30x，所以利润函数P=R-C=50x-(12000+30x)=20x-12000。这是不是一次函数？不对，等一下，这里是不是漏了什么？哦，抱歉，题目中可能还有其他条件，比如销量与价格的关系？假设题目补充“该产品全部售出”，那么P=20x-12000，这是一次函数，利润随产量增加而增加，没有最大值。看来我记错了，课本例2应该是二次函数的情况，比如售价与销量有关：若每件售价p元时，销量x=1000-10p（售价越高，销量越少），求利润最大时的售价和销量。

我们重新分析：销量x=1000-10p，所以p=(1000-x)/10=100-0.1x。总收入R=p·x=(100-0.1x)x=100x-0.1x²。总成本C=12000+30x，所以利润P=R-C=100x-0.1x²-12000-30x=-0.1x²+70x-12000。这是二次函数，a=-0.1<0，抛物线开口向下，有最大值。求顶点横坐标x=-b/(2a)=-70/(2×(-0.1))=350。当产量为350件时，利润最大，最大利润P=-0.1×350²+70×350-12000=-12250+24500-12000=250元。同学们，这里的关键是把利润表示为产量的函数，通过二次函数最值求解。

【案例3：行程问题中的分段函数】

这个问题中，速度有变化，所以需要分段讨论。当s≤100公里时，时间t=s/80；当100<s≤200公里时，前100公里用时100/80=1.25小时，剩余路程s-100公里，用时(s-100)/100，所以总时间t=1.25+(s-100)/100。因此，分段函数为：t=s/80（0≤s≤100），t=1.25+(s-100)/100（100<s≤200）。同学们，分段函数要注意自变量的取值范围，每一段对应不同的函数关系。

（四）小组合作，实践应用（15分钟）

现在请同学们分成4人小组，完成课本第102页练习题的第1、2题：

第1题：某商店销售一种商品，进价为每件30元，售价为每件40元，每天可售出100件。若售价每提高1元，销量减少5件，求利润函数，并求售价定为多少元时利润最大。

第2题：甲、乙两地相距120公里，一辆汽车从甲地开往乙地，速度为60公里/小时，行驶30分钟后休息15分钟，然后以80公里/小时的速度继续行驶，求汽车行驶时间t与剩余路程s的函数关系式。

（小组讨论，教师巡视指导）

同学们，第1题中，设售价提高x元，则售价为40+x元，销量为100-5x件，利润P=(售价-进价)×销量=(40+x-30)(100-5x)=(10+x)(100-5x)=-5x²+50x+1000，这是二次函数，顶点x=-b/(2a)=-50/(2×(-5))=5，所以售价定为40+5=45元时利润最大。第2题中，前30分钟（0.5小时）行驶60×0.5=30公里，剩余90公里；休息15分钟后，行驶时间t>0.75小时，剩余路程s=120-60×0.5-80(t-0.75)=120-30-80t+60=150-80t。所以函数关系为：s=120-60t（0≤t≤0.5），s=90（0.5<t≤0.75），s=150-80t（t>0.75）。

（五）展示交流，点评提升（7分钟）

请各小组派代表展示成果。第1组：我们组第1题的利润函数是P=-5x²+50x+1000，售价45元时利润最大。点评：正确！注意x的取值范围，销量100-5x≥0，所以x≤20，售价不超过60元。第2组：第2题我们分三段，时间t在0到0.5小时时，s=120-60t；0.5到0.75小时休息，s=90；超过0.75小时，s=150-80t。点评：很好！休息时路程不变，要明确每段时间对应的函数关系。

（六）巩固练习，强化应用（10分钟）

请同学们独立完成课本第103页习题3.3的第3、4题：

第3题：某工厂生产一种产品，日固定成本为5000元，每件产品可变成本为10元，若日产量为x件，日利润为P元，且P=25x-5000，求每件产品的售价。

第4题：一辆出租车起步价为10元（3公里内），超过3公里后，每公里2元，求车费y与行驶路程x的函数关系式。

（学生练习，教师讲解）

第3题：利润P=总收入-总成本，总收入=售价×x，总成本=5000+10x，所以25x-5000=售价·x-(5000+10x)，解得售价=35元。第4题：分段函数，y=10（0<x≤3），y=10+2(x-3)=2x+4（x>3）。

（七）课堂总结，梳理提升（5分钟）

同学们，今天我们学习了函数的实际应用，主要解决了三类问题：成本、利润问题（一次函数、二次函数），行程问题（分段函数）。解决实际问题的步骤是：1.分析实际问题中的变量，找出常量；2.确定自变量和因变量，建立函数关系式；3.根据函数类型（一次、二次、分段）求解问题；4.解释结果的实际意义。关键是要把实际问题转化为数学问题，即“建模”，然后用函数知识解决。

（八）布置作业，课后延伸

1.课本第103页习题3.3第5、6题；

2.调查生活中一个可以用函数解决的问题（如手机套餐话费计算、家庭用水电费等），写出函数关系式并求解。知识点梳理知识点梳理一、函数实际应用的一般步骤1.问题分析：理解实际问题背景，明确已知条件和求解目标，识别常量与变量。例如，成本问题中固定成本、单位可变成本为常量，产量为变量；行程问题中总路程、速度变化为关键信息。2.变量设定：根据问题设定自变量和因变量，明确自变量的取值范围。如设产量为x，总成本为C(x)；设时间为t，剩余路程为s(t)，需注意x≥0、t≥0等实际限制。3.建立函数模型：根据变量间关系选择函数类型，写出解析式。常见类型有一次函数（成本、线性利润）、二次函数（利润最大化、最值问题）、分段函数（分段计费、速度变化问题）。4.求解与检验：利用函数性质（如一次函数单调性、二次函数顶点、分段函数区间）求解数学结果，并结合实际意义检验合理性。例如，求得的产量应为整数，利润不能为负等。

二、常见类型问题及求解方法1.经济问题（1）成本函数：总成本C(x)=固定成本+可变成本×产量，即C(x)=F+vx（F为固定成本，v为单位可变成本），为一次函数，图像为直线，斜率v表示每增加一单位产量的成本增量。（2）利润函数：利润P(x)=总收入R(x)-总成本C(x)。若产品售价为p，且全部售出，则R(x)=px，P(x)=px-(F+vx)=(p-v)x-F，为一次函数，此时利润随产量线性变化；若销量受价格影响（如销量q=1000-10p），需先建立p与q的关系，再转化为关于q的利润函数，通常为二次函数，可通过顶点求最大利润。（3）定价问题：根据市场需求调整售价，建立利润与售价的函数关系，利用二次函数最值求最优定价。例如，售价每提高1元，销量减少5件，则利润P=(售价-进价)×(初始销量-减少量)，整理后为关于售价的二次函数，求顶点坐标得最优售价。2.行程问题（1）匀速运动：路程s=vt，为正比例函数；若速度v变化，需分段讨论。例如，前100公里时速80公里，之后时速100公里，则时间t=s/80（0≤s≤100），t=100/80+(s-100)/100（s＞100），为分段函数。（2）分段运动：包含休息、速度调整等情况，需根据运动阶段划分自变量区间，每段对应不同函数关系，注意区间端点的函数值连续性。3.其他生活问题（1）分段计费：如水电费、出租车收费，按用量或路程分段，函数为分段定义，需明确各段区间和对应解析式。（2）增长率问题：如人口增长、复利计算，若年增长率为r，则经过n年后的量y=a(1+r)^n，为指数函数（本节侧重函数，指数函数后续章节详述，此处了解即可）。

三、函数模型的选择与优化1.函数类型判断：根据实际问题中变量间的依赖关系选择函数类型。线性关系（如成本与产量）用一次函数；最值问题（如利润最大）用二次函数；分段变化（如速度调整、计费标准）用分段函数。2.模型优化：在建立函数模型后，需结合实际约束条件优化求解。例如，二次函数求最值时，需检查顶点横坐标是否在自变量实际取值范围内；分段函数需明确各段定义域，避免遗漏或重复。3.实际意义检验：数学求解结果需回归实际场景，检验是否符合常理。如求得的产量不能为负数，利润最大值应大于零，时间不能为负值等。

四、关键能力培养1.数学建模能力：从实际问题中抽象出函数关系，是应用数学解决实际问题的核心。需通过典型案例训练，逐步掌握“实际问题→数学模型→求解→解释”的思维路径。2.运算求解能力：熟练运用一次函数性质、二次函数顶点公式（x=-b/2a，y=(4ac-b²)/4a）、分段函数区间划分等，确保计算准确。3.应用意识提升：体会函数在生活、专业中的广泛应用，如经济决策、行程规划等，增强用数学知识解决实际问题的信心和能力。

本节知识点以课本例题、习题为载体，通过成本、利润、行程等实际案例，强化函数建模与求解能力，为后续专业课程学习和职业应用奠定数学基础。教学反思与改进教学反思与改进课后通过课堂观察、作业批改和学生反馈，发现学生对函数建模的步骤掌握较好，但在实际问题中变量关系的抽象仍有困难，特别是涉及分段函数和二次函数最值时易忽略定义域限制。例如在利润最大化问题中，部分学生直接套用顶点公式却未验证产量是否为整数或销量是否为正数。

针对此问题，未来教学中将增加“错误案例辨析”环节，展示典型建模误区并引导学生讨论。同时，在案例设计上强化专业场景融合，如结合物流、餐饮等行业数据，让学生在真实情境中练习变量识别与函数选择。此外，计划增加“建模步骤卡”工具，帮助学生系统梳理“问题分析—变量设定—函数建立—求解检验”流程，提升建模逻辑性。

对于基础薄弱学生，将提供分层任务单，从简单的一次函数应用逐步过渡到复杂问题，确保每位学生都能获得建模成功体验。课后作业增设“生活函数调查”实践，鼓励学生自主发现身边的函数模型，深化数学应用意识。板书设计板书设计①函数实际应用步骤

-问题分析：明确变量与常量，理解实际背景

-变量设定：自变量x（如产量、时间）、因变量y（如成本、利润），标注取值范围

-建立模型：选择函数类型（一次、二次、分段），写出解析式

-求解检验：利用函数性质求解，结合实际意义检验合理性

②常见问题及函数模型

-经济问题：成本函数C(x)=固定成本+单位可变成本×x；利润函数P(x)=总收入-总成本；二次函数求最值（顶点公式x=-b/2a）

-行程问题：匀速运动s=vt；分段函数（速度变化、休息时段），明确各段定义域与解析式

③建模关键与注意事项

-变量识别：区分“随变量变化”与“固定不变”的量（如固定成本、单位可变成本）

-定义域范围：自变量取值需符合实际（如产量≥0、销量≥0）

-实际意义检验：数学结果需回归场景（如产量为整数、利润最大值合理）重点题型整理重点题型整理1.成本函数求解：某企业生产产品，固定成本8000元，每件可变成本40元，求生产x件的总成本函数，并计算产量300件时的总成本。

答案：C(x)=8000+40x，C(300)=8000+40×300=20000元。

2.利润最大化：产品进价30元/件，售价50元/件，日销量100件；每提价1元，销量减5件，求利润函数及最大利润时的售价。

答案：设提价x元，售价50+x，销量100-5x，P=(50+x-30)(100-5x)=-5x²+50x+2000，顶点x=5，售价55元，最大利润P=-5×25+50×5+2000=2125元。

3.行程分段函数：甲乙相距150公里，汽车前80公里时速60公里，后70公里时速100公里，求行驶时间t与路