必修三数学知识点总结

必修5

第一章解三角形

1、正弦定理：在AABC中，a、匕、c分别为角A、B、C的对边，R为AABC

的外接圆的半径，则有，

sinAsinBsinC

2、正弦定理的变形公式：①a=2RsinA,Z?=2/?sinB,c=2/?sinC;

②sinA=—,sinB=—,sinC=—;③a:〃：c=sinA:sinB:sinC;

2R2R2R

（2）a+b+c_ab_c.

sinA+sinB4-sinCsinAsinBsinC

（正弦定理主要用来解决两类问题：3已知两边和其中一边所对的角,

求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、

两解、无解三中情况）

如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是:

数形结合思想

画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无CM：

当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两经4出0两

个解。bsinA|

法二：是算出CD二bsinA,看a的情况：“D

当a<bsinA,则B无解当bsinA<aWb,则B有两解

当a=bsinA或a>b时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可「

=

3、三角形面积公式：S5\BC；besinA=；c必sinC=gacsinB.

4、余弦定理：在AABC中,有a2=/>2+C:-2UCCOSA,Ir=G2+C2-2«CCOSB,

c2=a"+b2-labcosC.

5、余弦定理的推论：COSA」-2，\8£0=标+从一02.

Ibclaclab

（余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已

知三边求角）

6、如何判断三角形的形状：设〃、/八c•是AABC的角A、BVC的对边，

则：①若/+〃=/,则0=90;人忌八二

②若则c<90;③若则c>90.与

正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、舄窗求I

CD

在岸边选取相距75千米的C、D两点，并测得NACB=750,NBCD=450,

NADC=300,NADB=450（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B

之间的距离。

本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点

第二章数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数.

2、数列的项：数列中的每一个数.

3、有穷数列：项数有限的数列.

4、无穷数列：项数无限的数列.

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即:

an+1>an).

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：

an+1<an）.

7、常数列：各项相等的数列（即：an+1=an）.

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的

前一项的数列.

9、数列的通项公式：表示数列｛〃“｝的第〃项与序号〃之间的关系的公式.

10、数列的递推公式：表示任一项,与它的前一项4T（或前几项）间

的关系的公式.

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常

数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.符号表

示4「4=晨注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①册-a”—=22,4为常数）②2a,,=all+t+«„_|（〃之2）③=E+〃（〃,&为常数

12、由三个数〃，A,〃组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则

A称为。与力的等差中项.若等，则称匕为。与。的等差中项.

13、若等差数列｛4｝的首项是《，公差是"，则q=4+（"l）d.

14、通项公式的变形：①％二-加）d；②③"=附于；

④〃二予1;⑤公口.

dn-m

15、若同是等差数列9且优+〃=p+g（m、〃、/八<7wN'）,则%+4；

若&｝是等差数列,且2〃=p+g（〃、p\gwN*）,则2a“=0〃+4.

16、等差数列的前“项和的公式：①S产七㈤；

②s“=叫+当乜.③S”=4+%+…+%

17、等差数列的前〃项和的性质：①若项数为2〃（〃cN"）,则

52.=〃（％十%+I）,且S偶一3奇=〃〃,”=丁--

J偶an+l

②若项数为2"l（〃wN）,则S2-1=（2〃-1）可，且%-S偶=为，^=-^-（其

S偶〃-1

中S帚=nan,S俄=（〃-1）々“）.

18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常

数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.符号表示:

5=q（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①a„=a„_xq｛n>2,夕为常数,且工0）②味=（/?>2,anan^an_x*0）

③%=4（J?为非零常数）.

④正数列｛%｝成等比的充要条件是数列｛噫,％）（»1）成等比数列.

19、在。与〃中间插入一个数G,使〃，G,〃成等比数列，则G称为。与

力的等比中项.若G、"，则称G为〃与〃的等比中项.（注：由G?=a〃不能

得出。，G,b成等比,由a,G,b=>G2=ab）

20、若等比数列｛q｝的首项是小公比是夕，则见=卬八.

21、通项公式的变形：①4二。尸；②③

④尸”

22、若｛4｝是等比数列,且m+〃=p+4（/〃、〃、p、qeN"）,则品q=%,4；

若&｝是等比数列，且2〃=p+q(n\pv<?€N*),则

23、等比数列｛叫的前〃项和的公式：

〃q(q=i)

①s"=<40T)②s“=q+%+・・・+〃“

"q"q')

24、对任意的数列｛册｝的前〃项和s“与通项册的关系：〃〃=：=*：：）

［注］:①M=（4可为零也可不为零T为等差数列充要

条件（即常数列也是等差数列）-若d不为0,则是等差数列充分条件）.

②等差｛〃"｝刖n项和Sn=AM+珈=（3卜+（“］一?卜T3可以为零也可不为零

T为等差的充要条件T若*为零，则是等差数列的充分条件；若“不为零，

则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可

能有等比数列）

附：几种常见的数列的思想方法：

1、等差数列的前〃项和为s.，在八0时,有最大值.如何确定使S“取最

大值时的〃值，有两种方法：

一是求使％N0”xY。，成立的〃值；二是由S.=#+（%-多〃利用二次函数

的性质求〃的值.

数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:

数列通项公式对应函数

等差数%=«]+("Dd=d"+31-d)y=dx+b（d#o时为一次

列函数）

等比数n-1aln丁二叱、（指数型函数）

=6。=­q

­?

列

数列前n项和公式对应函数

等差数,«(«-1),d2.,d）ny=.+以（。/0时为二次

”一呵+今d-万.(可一5

列函数）

等比数丁二四"+3（指数型函数）

%>一；gT.

l-q]-gl-g

列

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及

前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益

的启示。

例题：1、等差数列｛%｝中m〃，（〃工则.

分析：因为他”｝是等差数列，所以勺是关于n的一次函数，一次函数图

像是一条直线，则（n,m）,（m,n）,（〃+加4+朗）三点共线，所以利用每两点形

成直线斜率相等，即纥%,”…，得%+〃,=0（图像如上），这里利用等

m-n（n+m）-in

差

数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例题：2、等差数列｛〃〃｝中，4=25,前n项和为S.，若S—品，n为何值

时S”最大?

分析:等差数列前n项和S”可以看成关于n的二次函数s”=?/+3「乡〃

⑺“）是抛物线/（〃）=32+（卬_9〃上的离散点，根据题意，S—S”

则因为欲求S.最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为

x=9："=13,即当〃=13时，5”最大。

例题：3递增数列｛%｝,对任意正整数n,%=〃、加恒成立，求4

分析：1)构造一次函数，由数列｛%｝递增得到：，.-见>。对于一切看WAT

恒成立，即2+1+4>0恒成立,所以2>-(2〃+1)对一切界€犷恒成立,设

/(〃)=-(2〃+1),则只需求出/(〃)的最大值即可，显然.(〃)有最大值/⑴=-3,

所以4的取值范围是：％>-3。

2)构造二次函数，勺=『+羽看成函数〃劝=/+既，它的定义域是

因为是递增数列，即函数/00=『+以为递增函数，单调增

区间为口,包)，抛物线对称轴。■今因为函数f(x)为离散函数，要函数单

调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，,称新需在

"L5的左侧，也可以(如图)，因为此时B点比A点高。—

23

于是，4<1,得人-工

2、如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，

求此数列前〃项和可依照等比数列前“项和的推倒导方法：错位相减求和.

例如：1，,3±...(2〃—1)—^，…

242〃

3、两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首

项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差4.小的最小公倍

数.

4.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法:对

于n》2的任意自然数，验证/一%（人）为同一常数。（2）通项公式法。（3）

中项公式法:验证2an+l=a„+an_2（嗫=anan+2）neN都成立o

5.在等差数列｛勺｝中，有关Sn的最值问题：（1）当%>0,d<0时，满

足加々°的项数m使得％取最大值.（2）当为<0,d>0时，满足但"°八的项

⑷川V。【册+1之0

数m使得“，取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应

用。

附：数列求和的常用方法

1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于其中｛%｝是各项不为0的等差数列，c为

常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

例题：已知数列｛an｝的通项为an=-i-,求这个数列的前n项和Sn.

解：观察后发现：an=l—L

ii〃+1

3.错位相减法:适用于"仇｝其中｛%｝是等差数列，团｝是各项不为0的

等比数列。

例题：已知数列｛an｝的通项公式为勺=〃2,求这个数列的前n项之和凡。

解：由题设得：

%=4+2+%+…+4

=1-21+2-22+3-23+.--+^2?,

BP^=1.2'+2-224-3.23+...+/?.2n①

把①式两边同乘2后得

254/t+1

25,(=l-2+2-2+3-2+---+n-2②

用①一②，即：

23

5„=1-2'/4/2-2+/3-2+/；,，•+/〃-2”①

/✓■////，//，/

234,,+1

2.V,I=I-2+2-2+3.2/..­+；?-2②

得

-5„=1-2+22+23+---+2,,-/?-2W+1

2d)।

=-------n-Z

1-2

=2

=(l-w)2n+,-2

・・・5.=(〃-1)2向+2

4.倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1):1+2+3+...+n=地业2)1+3+5+...+(2n-1)=,r

2

r112

3)1，+2，+••,+〃，=—72(7?+I)

4)1?+2?+3?+,,,+/?"=—〃(〃+1)(2〃+1)

6

5)-^=1-^-^=1(1--^)

n(n+1)n〃+1n(n+2)2nn+2

6）（p<q）

pqq-ppq

第三章不等式

1\6r-Z?>0<=>«>/?;a-b=O=a=b;a-b〈2oa<b.

2、不等式的性质：①a>bob<a;②a>b、b>cna>c;③a>b=>a+c>b+c;

④a>〃,c>Onac>Z?c,a>b,cvOnacvbc;⑤a>b,c>dna+c>b+d;

@a>b>0,c>d>0=>ac>bd;⑦a>〃>()=a">b"(〃eN,/z>1);

⑧a>b>U=^>啊

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的

不等式.

4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

(1)整式不等式(高次不等式)的解法

穿根法(零点分段法)

n,r2

求解不等式：aQx++a2x~+.•.+%>()(<())(c0>0)

解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x—x2)・・・(x-xm)>0(<0)形式,并将各

因式x的系数化“+”；(为了统一方便)

②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；

③由右上方穿线(即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一

穿而过)，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；

④若不等式(x的系数化后)是“>0”，则找“线”在x轴上方的

区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x轴下方的区间.

(自右向左正负相间)

例题：求不等式f一_6x+8>0的解集。

解：将原不等式因式分解为：(r+2)(.r-l)(.r-4)>0

由方程：。+2)(工一1)(工一4)=0解得玉=-2,当=1,/=4

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图

由图可看出不等式工2一3/一6工+8>0的解集为:

{x|-2<x<l,昵>4}

例题：求解不等式九。的解集。

解：略

一元二次不等式的求解:

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的讨论

A=()A<()

△>0

二次函

数廿u

y=ax1+bx+c

(a>0)的--------X

图象

一元二次有两相等

有两相异

方程实根

实根无

ax2+bx+c=Ob实根

XpXoUj<X2)X]=x=———

(a>。的根22a

2

ax+bx+c>0)<XX工--—

3>0)的解集2a

R

ax2+Z?x+c<0

同内<X<¥）0

（。>0）的解集20

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。

(2),分式不等式的解法

1)标准化：移项通分化为公>0(或似<0)；丝川(或这/0)的

g(x)g(x)g(x)g(x)

形式，

2)转化为整式不等式(组)倏>0=/(小。)>0；倏20=/需(犷°

例题：求解不等式：1<-1

X

解:略

例题：求不等式上21的解集。

X+1

(3).含绝对值不等式的解法：

基本形式：

①型如：|x|Va(a>0)的不等式的解集为：｛x\-a<x<a]

②型如：|x|>a(a>0)的不等式的解集为：次|工<一〃,兔>。｝

变型：

|ar+N<c(c>0)型的不等式的解集可以由｛x|—c<方+〃<c｝解得。其中-c<ax+b<c

等价于不等式组3+,<c在解一c<ax+b<c得注意a的符号

ax+b、-c

|or+4>c(c>0)型的不等式的解法可以由｛x\axJfb>c,T§jJx->fb<-c\来解。

③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分

类讨论来解.

④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结

合思想方法解题.

例题：求解不等式IX-2日

解：略

例题：求解不等式：|x-2|+|x+3区10

解：零点分类讨论法：_

分别令工-2=0和上+3=0

解得：x=-3fTlx=2

在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图

①当段-3时，（去绝对值符号）原不等式化为:

-(A-2)-(A+3)<1()

x<-3

x<-3

②当-3Vx<2时，（去绝对值符号）原不等式化为:

-3<x<2-3<x<2

n<=>-3<x<2

—(x—2)+(x+3)K10xeR

③当文＞2时，（去绝对值符号）原不等式化为:

x>29

(x-2)+U+3)<10=>9=>2<x<-

x<-2

9

由①②③得原不等式的解集为：卜।-日（注：是把①②③的解集

并在一起)

函数图像法：

令/(x)=|x-2I+U+3I

-2x-l(x<-3)

则有：/(x)=-5(-3<x<2)

2x+1(x>2)

在直角坐标系中作出此分段函数及/3=io的图像如图

由图像可知原不等式的解集为：

(4).一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像

③若两根有一根小于0一根大于0,即凡则有/(o)<o

④若两根在两实数nn之间，即m<a<P<n,

A>0

b

则有12a

fM>0

/(«)>0

⑤若两个根在三个实数之间即

>O

则有，/(O<O

/(«)>o

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数

例如：若方程f一2(〃?+1)工+〃/-26-3=()有两个正实数根，求/〃的取值范围。

A>04(tn+1尸一4(m~~2in—3)>0m>—1

解：由①型得十/?>=>m>3

aOn2(tn+I)>Om>—\

a•J3>0m2—2.nt—3>()m<一I,或，〃>3

所以方程有两个正实数根时，m>3o

又如：方程+的一根大于1,另一根小于1,求机的范围。

解：因为有两个不同的根，所以由

A>0(-1)2-4(/H2-1)>()_<m<—-]

./(l)<0=>2--------2

I2-l+/?z2-1<0

-1<m<\

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.

6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.

7、二元一次不等式(组)的解集：满足二元一次不等式组的x和)，的取

值构成有序数对«）,，），所有这样的有序数对«）,）构成的集合.

8、在平面直角坐标系中，已知直线AA+B），+C=O,坐标平面内的点

P（/，）b）・

①若B>0,Arn+Byo+C>O,则点P（x°,），o）在直线Ai+B），+C=（）的上方.

②若B>0,Axn+Byo+C<O,则点P（不，No）在直线Ac+By+C=O的下方.

9、在平面直角坐标系中，已知直线AY+R），+C=O.

（-）由B确定：

①若B>0,则AA+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；Ar+By+C<（）

表示直线At+By+C=0下方的区域.

②若B<0,则AA+B），+C>0表示直线Ar+By+C=O下方的区域；Ax+By+C<0

表