人教版初中数学九年级下册《三角形相似的判定（三）》教案

人教版初中数学九年级下册《三角形相似的判定（三）》教案

一、教学背景深度分析与教育理念阐述

（一）教学内容在知识体系中的定位解析

本节课选自人民教育出版社《义务教育教科书·数学》九年级下册第二十七章“相似”中的第二十七节“相似三角形”的判定部分。具体内容为“三角形相似的判定定理（三）”：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似（可简述为“三边成比例的两个三角形相似”）。

在知识结构上，本课处于承上启下的关键节点：

1.纵向承接：学生已系统学习了相似图形与相似多边形的定义，掌握了三角形相似的预备定理（平行线分线段成比例推论），并已先后探究并证明了“两角分别相等的两个三角形相似”（判定一）和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（判定二）。本节课的判定定理（三）是三角形相似判定定理体系的最后一块拼图，标志着三角形相似判定知识体系的完整建立。

2.横向关联：该判定定理与三角形全等的“SSS”判定法在结构与逻辑上形成深刻类比，是“从全等到相似”这一核心数学思想方法的重要体现。同时，它为后续学习相似三角形的性质、位似图形、锐角三角函数以及在解直角三角形、实际问题建模中的应用，奠定了坚实的理论基础。

3.思想方法：本课教学蕴含了类比、转化、从特殊到一般、几何直观与逻辑推理相结合等重要的数学思想方法，是培养学生数学核心素养的优质载体。

（二）学情精准诊断与学习需求研判

授课对象为九年级下学期学生，其认知与能力特点如下：

1.知识储备：学生已经完整掌握了三角形全等的所有判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并初步接触了“类比”思想。对相似三角形的定义（对应角相等，对应边成比例）以及前两个判定定理有了较好的理解，具备一定的逻辑推理能力和几何直观素养。

2.思维特征：九年级学生抽象逻辑思维进入快速发展期，能够进行基于规则的推理，但思维的严谨性和系统性仍需锤炼。他们乐于接受挑战，对“如何证明一个看似直观的结论”抱有探究热情。

3.潜在困难：

1.4.定理发现的导向性：如何引导学生从“SSS全等”自然联想到“三边成比例相似”，并自主提出合理猜想。

2.5.证明思路的建构：判定定理（三）的证明需要构造一个中介三角形，此辅助线的添加方法是学生思维上的难点，也是教学的关键点。

3.6.定理的辨析与应用：在具体问题中，如何根据已知条件（特别是三边长比例关系）灵活、准确地选择和应用三个判定定理，学生易产生混淆。

（三）基于核心素养的教学目标设计

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，结合学科核心素养，制定以下三维教学目标：

1.知识与技能

1.理解并掌握三角形相似的判定定理（三）：三边成比例的两个三角形相似。

2.能准确写出该定理的符号语言，明确其条件与结论。

3.能够熟练运用该定理，结合判定定理（一）、（二），证明两个三角形相似，并解决相关的几何计算与证明问题。

2.过程与方法

1.经历“观察特例—提出猜想—逻辑证明—归纳定理”的完整数学探究过程，体会数学研究的严谨性。

2.通过与三角形全等“SSS”判定法的类比，深化对“从特殊（全等）到一般（相似）”数学思想的理解。

3.在定理证明中，通过分析、尝试、解惑，掌握“构造相似中介三角形”的证明策略，提升转化与化归的数学能力。

3.情感、态度与价值观

1.在探究活动中获得成功的体验，增强学习几何的自信心和兴趣。

2.感悟数学知识之间的内在联系（全等与相似）与和谐统一，培养辩证的数学观。

3.形成严谨求实、言之有据的科学态度和理性精神。

（四）教学重难点及突破策略

1.教学重点：三角形相似的判定定理（三）的探索、证明及其初步应用。

2.教学难点：判定定理（三）的证明思路分析，特别是辅助线（构造中介三角形）的引入。

3.突破策略：

1.4.难点前移，类比启思：在导入环节，强力激活“全等SSS”认知，通过改变条件（边长从“相等”变为“成比例”），引导学生自发猜想。

2.5.化隐为显，搭建“脚手架”：在证明环节，不直接给出辅助线，而是设计阶梯式问题链：“如何将‘边成比例’的条件与‘角相等’的结论联系起来？”“我们学过哪些能将边比关系与角相等联系起来的知识或图形？”“能否构造一个三角形，使它同时与两个已知三角形都容易建立联系？”引导学生逐步逼近证明的核心思路。

3.6.直观演示，技术赋能：利用几何画板动态演示三边长度按比例变化时三角形形状的变化规律，验证猜想的可靠性，增强几何直观。

（五）教学准备与资源整合

1.教师准备：精心设计的PPT课件、几何画板动态演示文件、课堂导学案、分层巩固练习题组。

2.学生准备：复习三角形全等SSS判定、相似三角形前两个判定定理；直尺、圆规等作图工具。

3.环境准备：具备多媒体演示功能的教室，支持学生小组合作交流的座位布局。

二、教学实施过程详案（核心环节）

第一环节：创设情境，类比猜想（预计时间：8分钟）

活动1：温故引新，建立联系

1.教师提问：“我们已经掌握了判定两个三角形相似的两种方法，请一位同学分别从文字语言和符号语言进行回顾。”

1.2.学生回顾：判定一（AA），判定二（SAS）。

3.教师继续引导：“在三角形全等的判定中，我们有一个非常简洁的方法——SSS。即三边分别相等的两个三角形全等。请大家思考：全等是相似比为1的特殊相似。那么，如果把‘三边相等’这个条件一般化、弱化，你联想到什么可能与相似有关的条件？”

1.4.学生可能回答：三边……成比例？

2.5.教师追问：“是的，这是一个极富洞察力的猜想！即：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形可能相似。这就是我们今天要共同探究的主题。”

活动2：操作感知，直观验证

1.教师利用几何画板预先绘制△ABC。

2.请一名学生上台，任意给定一个比例系数k（k>0），教师演示：画一个新三角形△A‘B’C‘，使其满足A’B‘=k·AB,B’C‘=k·BC,C’A‘=k·CA。

3.利用几何画板的测量功能，动态显示：

1.4.△A‘B’C‘与△ABC三组对应边的比值（始终等于k）。

2.5.△A‘B’C‘与△ABC三个对应角的度数。当k变化时，引导学生观察角度的数据是否变化。

6.观察发现：无论k如何变化（k≠1），三个对应角的度数始终分别相等。

7.形成猜想：通过动态演示的直观感受，学生初步确认猜想的合理性。教师板书猜想：“三边成比例的两个三角形相似”。

【设计意图】从学生已有的“全等SSS”认知出发，通过条件的一般化，自然引出新课题，建立新旧知识的强关联，渗透类比思想。几何画板的动态演示，将抽象的“成比例”关系可视化，让猜想的产生基于直观感知，符合学生的认知规律，激发了主动探究的欲望。

第二环节：合作探究，演绎证明（预计时间：18分钟）

这是本节课最核心、最具思维挑战性的环节，旨在让学生亲历定理的生成过程。

活动1：分析命题，明确任务

1.教师引导学生将生活化、文字化的猜想转化为严谨的数学命题。

1.2.已知：在△ABC和△A‘B’C‘中，AB/A’B‘=BC/B’C‘=CA/C’A‘。

2.3.求证：△ABC∽△A‘B’C‘。

4.师生共同分析：证明相似的本质是什么？（回归定义：对应角相等或满足已学的判定定理）。当前条件只有边的关系，目标是证角相等。如何搭建从“边比”到“角等”的桥梁？

活动2：思路探寻，构造“中介”

1.问题链驱动：

1.2.Q1：我们学过哪些知识能把边的比例关系和角的相等关系联系起来？（学生可能想到：平行线分线段成比例定理的推论——平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似。这个推论的本质就是利用平行线得到角等，且截得的线段与原边成比例。）

2.3.Q2：这个推论的逆用，即如果我们能先构造一个角相等的条件，是否就能得到平行线，进而得到边成比例？我们能不能反向利用这个定理？

3.4.Q3：现在我们的条件是△ABC和△A‘B’C‘的边成比例。能否构造一个“中间桥梁”——一个三角形，它既与△ABC容易建立关系（比如通过边角关系），又与△A’B‘C’容易建立关系（比如看起来可能全等）？

5.关键点拨：教师可在△ABC的边AB、AC上做文章，参照比例系数k=A‘B’/AB，考虑截取。

1.6.在边AB上截取AD=A‘B’。

2.7.过点D作DE∥BC，交AC于点E。根据平行线截相似定理，立刻得到△ADE∽△ABC。且AD/AB=AE/AC=DE/BC。

8.建立联系：现在，我们有了一个△ADE。它和△ABC相似。那么，它和我们要证的△A‘B’C‘有什么关系呢？

1.9.引导学生比较△ADE和△A‘B’C’：已知AD=A‘B’。由△ADE∽△ABC可得AE/AC=AD/AB=A‘B’/AB。而条件中有AB/A‘B’=AC/A‘C’，通过等量代换可证得AE=A‘C’。同理可证DE=B‘C’。

2.10.因此，在△ADE和△A‘B’C‘中，AD=A’B‘，AE=A’C‘，DE=B’C‘。根据全等SSS判定，得△ADE≌△A‘B’C‘。

11.完成证明：∵△ADE∽△ABC，且△ADE≌△A‘B’C‘，∴△ABC∽△A‘B’C’。

活动3：梳理过程，形成定理

1.请学生代表（或小组代表）口述完整的证明过程，教师板书关键步骤，规范几何语言。

2.师生共同总结，得到判定定理（三），并用三种语言表述：

1.3.文字语言：三边成比例的两个三角形相似。

2.4.图形语言：（配以标准图形）

3.5.符号语言：在△ABC和△A‘B’C‘中，若AB/A’B‘=BC/B’C‘=CA/C’A‘，则△ABC∽△A‘B’C’。

6.教师强调：此定理的证明方法是“构造相似三角形法”，通过构造一个与其中一个三角形相似，又与另一个三角形全等的“中介三角形”，实现了证明目标。这是一种重要的转化策略。

【设计意图】摒弃直接呈现辅助线的灌输式教学，通过层层递进的问题链，将证明的思维过程“慢放”、“解剖”，引导学生自己“想”到辅助线的做法。这不仅是传授一个定理，更是教授一种思考几何问题的方法——如何沟通条件与结论，如何利用已知定理构造桥梁。学生在此过程中获得的思维锻炼远超定理本身。

第三环节：定理辨析，体系构建（预计时间：7分钟）

活动：对比归纳，形成网络

1.教师出示表格，引导学生对比三角形全等的判定与三角形相似的判定。

类别

判定方法（简记）

本质关系

三角形全等

SSS,SAS,ASA(AAS),HL

形状相同，大小相等（相似比为1）

三角形相似

1.两角分别相等(AA)

形状相同，大小可不等

2.两边成比例且夹角相等(SAS)

3.三边成比例(SSS)

1.讨论与辨析：

1.2.Q1：全等判定中有“SSA”（边边角）不能作为定理，那么相似判定中“两边成比例且其中一边的对角相等”能否判定相似？为什么？（通过反例图说明不能，强调“夹角”的重要性）。

2.3.Q2：三个相似判定定理，条件要求有何不同？如何根据题目已知条件快速选择？（总结：有角等优先考虑AA；有一角等及其夹边成比例考虑SAS；只有边的关系考虑SSS）。

4.教师利用思维导图，将相似三角形的定义、三个判定定理、性质定理等整合成一个完整的知识网络图，强化整体认知。

【设计意图】通过对比全等与相似，凸显数学知识体系的和谐与递进。通过辨析易错点，深化对定理条件的理解。通过构建知识网络，将零散的知识点系统化、结构化，促进长时记忆的形成和迁移应用能力的提升。

第四环节：典例精析，应用提升（预计时间：10分钟）

例1：（直接应用，巩固定理）

已知：△ABC和△DEF中，AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm;DE=6cm,EF=9cm,DF=12cm。

求证：△ABC∽△DEF。

1.学生活动：独立完成证明过程书写。

2.教师点评：重点点评解题格式的规范性：先计算三组对应边的比（AB/DE,BC/EF,CA/FD），说明比值相等，再下结论。强调步骤的完整性。

例2：（灵活选择，综合应用）

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5。求证：△ABC∽△ACD，并求AD的长。

1.师生共析：

1.2.观察待证的两个三角形：△ABC和△ACD。

2.3.已知条件：有一对角相等（∠B=∠ACD）。是否可用AA？还缺一个角等，题目未直接给出。

3.4.观察边：这两个三角形共享公共边AC。已知AB,BC,AC,CD的长度。计算夹∠B和∠ACD的边是否成比例？即AB/AC与BC/CD是否相等？

计算：AB/AC=6/5,BC/CD=4/7.5=8/15。两者不相等，故SAS不成立。

4.5.计算三边：对于△ABC，三边为6，4，5。对于△ACD，三边为5，7.5，AD（未知）。目前无法直接使用SSS。

5.6.思路转换：已知∠B=∠ACD，若还能证明AB/AC=AC/AD，则根据“两边成比例且夹角相等”即可判定相似。而AB/AC=6/5是已知的。所以，问题转化为：能否证明AC/AD也等于6/5？或者说，能否先利用相似求出AD？

6.7.突破点：实际上，条件中给出了四个边长，恰好满足AB/AC=AC/CD吗？计算：AB/AC=6/5=1.2，AC/CD=5/7.5=2/3≈0.667，不相等。但观察发现：AB/BC=6/4=1.5,AC/CD=5/7.5=2/3≈0.667，也不对。

7.8.重新审题：连接已知条件∠B=∠ACD，以及AB=6,AC=5,BC=4,CD=7.5。计算两组比：AB/AC=6/5,BC/CD=4/7.5=8/15。不相等，所以SAS不成立。再看三边，需要AD。看来直接判定有困难。此时，考虑是否可能△ABC与△ACD并不直接满足三个判定定理之一？题目是否在暗示我们需要先证明另一对三角形相似？

8.9.修正思路（此例有一定难度，教师可视情况引导）：实际上，由∠B=∠ACD，及公共角∠BAC=∠CAD？不对，∠BAC和∠CAD不是同一个角。∠BAC在△ABC中，∠CAD在△ACD中，它们不相等。此路不通。

1.10.教师揭示关键：仔细看图，∠B=∠ACD是已知。在两个三角形中，这组角分别是△ABC的∠B和△ACD的∠ACD。那么，△ABC中的∠ACB与△ACD中的∠D有可能相等吗？如果它们相等，则可用AA判定。如何证明∠ACB=∠D？这需要借助另一对三角形相似或圆的知识，超出本题范畴。因此，本题给出的数据可能旨在让学生计算三边比例。

2.11.计算三边：△ABC三边：4,5,6。△ACD三边：5,7.5,AD。若相似，则对应边成比例。可能的对应关系是：AB对应AC？AC对应AD？BC对应CD？即6/5=4/7.5=5/AD。检验4/7.5=8/15≈0.533，6/5=1.2，不相等，所以这个对应关系不对。

3.12.尝试另一种对应：AB对应CD？BC对应AC？AC对应AD？即6/7.5=0.8,4/5=0.8，所以AB/CD=BC/AC=0.8。那么只要AC/AD也等于0.8即可。即5/AD=0.8，解得AD=6.25。

4.13.此时，三组对应边比为：AB:CD=6:7.5=4:5，BC:AC=4:5，AC:AD=5:6.25=4:5。所以三边对应成比例，根据SSS判定，△ABC∽△CDA（注意顶点对应关系是A→C,B→D,C→A）。这需要学生有较强的对应关系分析能力。

（注：此例题设计稍难，旨在训练学生在复杂条件下分析边角关系、寻找对应边、灵活选择判定定理的能力。教师可根据班级实际水平，调整为例题或作为思考题。）

14.优化例题：为更贴合本节课教学重点（SSS的直接应用），可将例2替换为：

例2’：已知△ABC的三边长分别为3，4，5。△A‘B’C‘的一条边长为6，若要使△ABC与△A‘B’C‘相似，且6是△A’B‘C’的最短边，求△A‘B’C‘的另外两条边长。

1.15.分析：由△ABC三边3,4,5，可知相似比可能是k=6/3=2（6对应3），则另两边为8和10；也可能是k=6/4=1.5（6对应4），则另两边为4.5和7.5，但此时4.5<6，与“6是最短边”矛盾；k=6/5=1.2（6对应5）同理不符合。故只有一组解：8和10。

2.16.设计意图：训练学生利用三边成比例定理时，注意对应边的不确定性，培养分类讨论思想。

【设计意图】例1是定理的“标准式”应用，夯实基础。例2（或例2’）旨在提升思维层次，训练学生在多条件背景下，如何分析、筛选信息，并灵活运用三个判定定理解决问题，避免机械套用。通过教师的引导分析，示范解题的思维路径。

第五环节：当堂反馈，分层训练（预计时间：5分钟）

活动：独立完成，及时诊学

发放课堂反馈练习页（A、B两组题）。

1.A组（基础达标，全体必做）：

1.2.根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

AB=3,BC=4,AC=6；DE=6,EF=8,DF=12.

2.3.一个三角形的三边长分别为8cm，10cm，12cm。另一个三角形的最长边为18cm，且与第一个三角形相似，求另一个三角形的周长。

4.B组（能力提升，选做）：

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1。求证：△ABC∽△DEF。

（网格中通常给出顶点坐标，可通过勾股定理计算各边长，再验证三边是否成比例。）

学生独立完成，教师巡视，了解当堂掌握情况，并对有困难的学生进行个别指导。

【设计意图】通过分层练习，检测全体学生对基础知识的掌握程度（A组），同时为学有余力的学生提供发展空间（B组）。即时反馈有助于教师调整后续教学，实现“教学评”一致性。

第六环节：课堂小结，反思升华（预计时间：2分钟）

引导学生从以下方面进行总结：

1.知识方面：我们今天学习了三角形相似的第三个判定定理是什么？它的证明关键思路是什么？

2.方法方面：我们是怎样发现这个定理的？（类比全等SSS）。定理的证明运用了什么策略？（构造中介三角形，化未知为已知）。

3.思想方面：本节课贯穿了哪些数学思想？（类比、转化、从特殊到一般）。

4.困惑与收获：请学生自由分享。

教师最后以凝练的语言强调：“判定三（SSS）的加入，使我们判定三角形相似的‘工具箱’更加完备。全等与相似的判定法则，构成了几何世界中识别‘形状相同’图形的完美律法。希望同学们不仅能记住这些律法，更能领略其背后的逻辑之美。”

三、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.观察：在猜想、探究、讨论环节，观察学生的参与度、思维活跃度、合作交流情况。

2.3.提问：通过课堂提问，诊断学生对知识本质的理解程度和思维深度。

3.4.练习：通过课堂反馈练习，量化评估学生对定理的掌握和应用水平。

5.终结性评价（通过课后作业体现）：

1.6.作业设计：分为三个层次。

1.2.7.基础巩固题：教材课后相应练习题，侧重于定理的直接应用和简单变形。

2.3.8.综合应用题：涉及判定定理的选择、与简单几何图形（如平行四边形、梯形）的综合。

3.4.9.拓展探究题：链接实际，如测量问题（利用三边成比例原理设计一种测量河宽的方案）；或跨学科联系（在物理光学中，相似三角形常用于解释成像原理，可布置相关阅读或小调查）。

5.10.评价标准：不仅关注答案正确与否，更关注解题过程的逻辑性、规范性以及是否有创新性解法。

四、板书设计（预设）

主板：

27.2.1三角形相似的判定（三）

一、猜