2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷【江苏无锡专用测试范围：苏科版九年级全部】（全解全析）

九年级数学上学期期末模拟卷（江苏无锡专用）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏科版九年级全部。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

I.在中，ZC=90°,若△/AC的三边都放大2倍，则sin力的值（）

A.缩小2倍B.放大2倍C.不变D.无法确定

【解答】解：•・•把的三边都放大2倍后，所得的三角形与△48C是相似三角形，

Z.A的大小不变,

/.sinJ的值不变.

放选：C.

2.下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x-2=0B.x+3y=1

21

C.无29+”=0D./=]

【解答】解：/、x-2=0中最高次数为1,不是一元二次方程，不合题意：

B、x+3y=I中未知数有2个，不是一元二次方程，不合题意；

2

C、必+—+i=。不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；

X

D、*=1是一元二次方程，符合题意.

故选：

3.若OO的半径为3c〃?，点4不在。0内，则。1的长()

A.大于3c〃？B.不小于C.大于D.不小于

【解答】解：•••点力不在OO内，

・••点到圆心的距离大于或等于圆的半径，即0423或OA的长不小于3cm.

故选：B.

4.把抛物线y=-Zr2先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为()

A.y=-2(x+1)2+1B.y=~2(x+1)2-1

C.y=~2(x-1)2+lD.y=-2(x-1)2-1

【解答】解：由“上加下减，左加右减”的平移规律可知：

把抛物线卜=-2/先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，

所得函数的表达式为y=-2(.r-1)2+1.

故选：C.

5.如图，在。0中，直径48=6,8c是。。的0弦，若N8=60°,则々1的长为()

A.6TTB.4TTC.2TID.IT

【解答】解：如图，连接oc,o

VZ5=60°,

/.ZAOC=120°,

•・•直径48=6,

・・・r=3,

入120TTX3

故选：C.

6.下列说法中，正确的是()

A.长度相等的弧是等弧

B.在同圆或等圆中，等弦对等弧

C.优弧一定比劣弧长

D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等

【解答】解：A,能够重合的弧是等弧，故原说法错误；

B、在同圆或等圆中，等弦所对的劣弧和劣弧相等，优弧和优弧相等，故原说法错误;

C、在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，故原说法错误；

D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，说法正确.

故选：D.

7.一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（）

【解答】解：•・•整个图形面积=4X4=16,阴影部分面积=4xgx2xl=4,

41

・•・小球停在阴影区域的概率=—=T.

104

故选：B.

8.运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：S2=：［2（3-5）2+2（4—门2+3（2一歹）马，根据该信息,

下列说法错误的是（）

A.样本的容量是3B.样本的中位数是3

20

C.样本的众数是2D.样本的平均数是亍

【解答】解：由题意可知：这组数据为2、2、2、3、3、4、4,

2+2+2+3+34-4+420

・•・样本容量为7,中位数为3,众数为2,平均数为-----------------=—.

*/

故选：A.

9.已知关于x的二次函数y=・f+2mx+〃（〃b〃为常数），则下列说法正确的是（）

A.开口向上

B.对称轴在y轴的左侧

C.若加+〃=1,该函数图象与x轴没有交点

D.当〃L1WXW〃?+2时，该函数的最大值与最小值的差为4

【解答】解:A'."-K0.

・•・抛物线开口向下，故力错误，不合题意；

2m

B、•・•二次函数的对称轴为直线x=-2x(-1)

・•.当〃?>0时，对称轴为y轴右侧，当〃?V0时，对称轴为歹轴左侧，当〃?=()时，对称轴为y轴；

故6错误，不合题意；

c、I,

/.A—(2w)2-4X(-1)*/7=4w2+4n=4w2+4(I-m)=4w2-4w+4=4(m—")2+3>0,

乙

・•・函数图象与X轴有两个交点，故C错误，不合题意；

D、•・•抛物线开口向下，对称轴为直线x=〃i,

・••二次函数的最大值为-m2+2m2+n=ni2+n,

V/w+2-ni=2>m-(m-1)=1,

,当x=〃i+2时，二次函数有最小值,最小值为-(m+2)2+2/〃(w+2)+n=m2+n-4,

-(m2+n-4)=4,故。正确，符合题意.

故选：D.

BD1AM

10.如图，将等边三角形纸片48c折叠，使点力落在边上的。处，MV为折痕.若不二5,言■的值

UC*乙/V

为()

1245

A.—B.—C.~=D.—

4JO/

【解答】解：•••△48C是等边三角形，

・•・//=N8=NC=60°,

由折叠可知：4AMN与4DMN关于MN对称,

：.AM=DM,AN=DN,NA=NMDN=60。,

：.ZBDM+ZCDN=\20c,

V120°,

/BMD=/CDN,

-ZB=ZC,

：.4BDMSRCND,

.BDBMDM

**'CN=~CD=~NDy

•B•-D-------1-

•DC-2'

设BD=x,则CD=2x,

：.BC=AB=AC=3x,

设4M=DM=k,

:・BM=3x-k,

x3x-kk

：，~CN=-2F=加'

2x22xk

：，CN=~-DN=~一

3x-k3x-k

•・•DN+CN=AN+CN=AC=3x,

2x22xk

---r

故选：C.

第二部分（非选择题共120分）

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）

*2y

H.若；=W，则有的值为一.

yJ人尸

x22

【解答】解：根据等式的性质，由可得：”=“，

y

:.原式=|y_y=—3.

故答案为：-3.

12.两个相似三角形的面积比为4：9,其中较小三角形的周长为4,则较大三角形的周长为

【解答】解：设较大的三角形的周长为X,

•・•两个相似三角形的面积的比是4：9,

・••这两个相似三角形的相似比为2：3,

・•・这两个三角形的周长比为2：3,

•・•较小的三角形的周长为4,

42

-解得；x=6.

故答案为：6.

13.某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是x,则可列方程

为—.

【解答】解：设平均每次降价的百分率为X，

则第一次降价后药价为100(1-x)元，第二次降价后药价为100(1-x)2元，

由题意可得：100(1-x)2=36.

故答案为：100(1-x)2=36.

14.有一斜坡的坡度/♦=12：5,斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为一米.

【解答】解：设水平距离为〃?米，斜边长为〃米，

122.4

由题意可得：—=——，解得：掰=1,

An=JM+2.42=2.6.

故答案为：2.6.

15.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A,B,C,。都在格点处，48与CZ)相交于

点、P，则sin/XPC的值为一.

【解答】解：如图，连接8",AM,则氏W〃QC,

，NABM=/APC,

设正方形网格的边长为。，

则力必=，。2+(242=4M=J(2a)2+(4a)2=2炳a,AB=V(3a)2+(4a)2=5a.

：.AM2+BM2=AB2,

•••△/AM为直角三角形N4MB=9(T,

AM\f5aA/5

在RtAJ^Vf中，sinZABM==--~~=—,

AB5a5

sinZ.APC=s\nZ.ABM=号.

故答案为：造.

16.方程『-2024x-2025=0的两个根分别是〃】、“，则Cm2-2023m-2026)(M2-2023〃-2026)=

【解答】解：•••方程2024;-2025=0的两个根分别是〃?、〃，

・・・加2-2024m-2025=0,n2-2024〃-2025=0,w+n=2024,mn=-2025,

J加=2024m+2025,#=2024«+2025,

:.(〃於-2023/n-2026)(M-2023〃・2026)

=(2024w+2025-2023m-2026)(2024/7+2025-2023〃-2026)

=(〃i-1)(〃-1)

=mn-(/〃+〃)+1

=-2025-2024+1

=-4048.

故答案为：-4048.

17.若二次函数-队+2有最大值8,则y=・a(x・3)2+/?a・3)+2的最小值为.

【解答】解：•・•二次函数y-x2-瓜+2有最大值8,

二次函数^=-a^+bx-2有最小值-8,

；・二次函数歹=-ax2+bx+2有最小值-4,

・••当x=一&=/时，y=-ax2+bx+2有最小值・4,

・••当x-3=五时，函数y=-a(x-3)2+b(x-3)+2的最小值为-4.

故答案为：■4.

7

18.如图，在口力8CD中,48=25,40=40,N8是锐角且cosB=云，E是8C边上的动点，连接。E,

作/DEF=NB,EF与AD边交于点、F,则过点。，E,产的0。的半径最小值为.

【解答】解：如图，作△£）所的外接圆。。，连接0七、OF、OD,过。作。〃_1_力。于点用

设NQE"=N3=a,

/.ZFOD=2ZDEF=2a,

:・/FOH=a=/B,

过E作E/_L4)于点/,过彳作力G_L8C于点G,

7

AB=25,cosB=—,

乙O

:.BG=AB・CGSB=7,

,\AG=EI=y]AB2—BG2=24,

VZFOH=ZB,ZAGB=Z0HF=9^,

r.△ABGS/\FOH.

ABBG257

•••加二万？即：=~0H,

7

.・・。”=育,

,：OII+OE^EI,

775

+r>24,解得：r>—,

75

・・・O。的半径最小值为彳.

75

故答案为：—.

三、解答题（本大题共10小题，满分96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（每小题4分，共8分）计算：

/X]

（1）sni30°----cos45°+—tan2600；

23

（2）解方程：『-4x-5=0.

【解答】解：（1）原式-WxW+Jx（V3）2

11

=———+I

22

=1：......................................................4分

（2）.r2-4x-5=0,

（x-5）（x+1）=0,

Ax-5=0或x+1=0,

=5,%2=-1•

=1：......................................................8分

20.（8分）已知关于x的一元二次方程一七什加・1=0.

（I）当，"=0时，求方程的实数根.

（II）若方程有两个不相等的实数根，求实数，〃的取值范围.

【解答】解:⑴当〃?=0时，方程为，+x-i=o,

A=12-4X1X(-1)=5>0,

.-i±Vs

..x=——--

2x1

.-1+V5-1-V5

・・修=---，M=-5-.......4分

（H）•・,方程有两个不相等的实数根,

/.A>0,即［2-4X1X(w-I)=1-4w+4=5-4w>0,

5

8分

4

21.（10分）小亮、小明两人都握有分别标记为力、B、C、。的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每

次各出一张牌，规定小胜8,8胜C,C胜。，。胜力，其他情况均无法分出胜负.

（1）若小亮出“力”牌，则小亮获胜的概率为:

（2）求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率.

【解答】解：（1）由题意可得：若小亮出“力”牌，小明亮出的牌有4种等可能性，

・•・小亮获胜的概率为

故答案为：；；.............................4分

（2）画树状图如下：

.............................7分

共有16种等可能的结果，其中小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的结果有8种，

81

・•・小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率为它=亍

ioZ

.............................10分

22.（10分）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CN7E2025”）于2025年6月12

日-14日在北京的中国国际展览中心隆重举办.某校随机抽取七、八年级的部分同学进行“国防知识知

多少”的测试，满分为10分，8分及以上为优秀.

【数据整理】小文同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图：

【数据分析】小文同学又对两个年级的成绩进行了分析，得到了如下的统计表：

平均数/分中位数/分众数/分优秀率

七年级8.0758b72.5%

八年级8.375a9C

请根据以上信息，回答下列问题:

（1）填空：a=»b=,

（2）小科同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是X分，在我们年级属于中游水平.”你认为小

科同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由；

（3）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩高于平均数的人数.

人数用

6

4

2

0

8

6

4

2

0

【解答】解：（1）•・•七年级数据数据8分出现15次，出现次数最多,

・•・这组数据的众数是8,即6=8,

•・•八年级数据中间的两个数是8,9,

・•・中位数Q=g(8+9)=8.5,

11+14+6

优秀率c=X100%=77.5%,

40

故答案为:8.5,8,77.5%；3分

（2）推测小科同学可能是七年级的学生，理由如下:

•・•小科的分数在年级属「中游略偏上，

・••小科的分数大于或等于所在年级的中位数，

•・•七年级的中位数为8,八年级的中位数为8.5,

・•・小科同学可能是七年级的学生，

故答案为：七；.............................7分

（3）七年级高于8.075的同学有10+4=14（人），

14

由样本估计总体可得：600x^=210（人），

・•・估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人........................10分

23.（10分）如图，在菱形48co中，过。作。E_L4C交4C的延长线于点上，过E作E/U4B交/1B于点、

（1）求证△。石Cs△斯2

（2）若8c=6,CE=2,求力广的长.

【解答】（1）证明：•・•四边形48。是菱形，

：.CD〃AB,

：./DCE=NEBF,

•・・。后_1_〃。交4c的延长线于点E,EFL4B于点F,

:./DEC=NEFB=90°,

:./XDECSXEFB、.....................................................5分

（2）解：,:BC=6,CE=2,

:.AB=CD=BC=6,BE=BC+CE=6+2=8,

•・,ADECSAEFB,

tCECD

••而二乐’

BECE

•nr7___________8_x_2__—8

♦♦B"CD-6-3f

810

'•AF=AB-BF=6—-=.....................................................10分

24.（10分）“惠山之眼”亮了，位于惠山大道东侧的摩天轮终于焕发光彩，成为地标性网红打卡点.如图,

某人站在距离摩天轮60米的点力处（即48=60米），以30°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的。点，

在原地再以60。的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的。点.（人的身高忽略不计）

（1）求摩天轮的最低处到地面的距离C8的长；

（2）求摩天轮圆轮直径CO的长.

【解答】解：由题意可得：乙％C=30°,乙必。=60°,

CB

(1)在RtZ\/18。中，tanZBAC=—,

An

：.CB=t^nZBACXAB=tan30°X/8=哼x60=20遮(米)，

答：摩天轮的最低处到地面的距离CB的长为2()旧米：.........................5分

BD

(2)在Rt△48。中，tanN胡。二而，

AH

ABD=tanZBADXAB=tan60cX44=百x60=6()巡(米：，

/.CD=BD-C5=60V3-20V3=4073(米)，

答：摩天轮圆轮直径CO的长为40百米..............................10分

25.(1()分)如图为。。的直密，。为84延长线上一点，。为。0上一点，连结力。，作。于点

E,交CO于点E^ZADC=ZAOF.

(1)求证：CO是。。的切线：

CD4

(2)BD=10,求小的长.

【解答】(1)证明：如图，连接。。，

VOF1AD,

：・/OEA=90°,

:・NAOF+/OAD=90",

•・•ZADC=NAOF,

，N/OC+NO4O=90°,.............................2分

'：OA=OD,

：,ZODA=ZOAD,

：,ZODA+ZADC=^,

AZODC=90°,

：.OD1DC,

为。。的半径，

，CO是OO的切线；.............................4分

CD4

（2）解：V—=

・••设CO=4x,则OC=5x,

OB—OD—3x，

，C8=8x,......................................................6分

•・14为。。的直径，

.♦.NALM=90",

：,ADLBD,

,：OF.LADf

C.OF//BD,

:•△COFs/^CBD,

.OFOC5x5

，*~BD='CB=8x=8,

5525

：・OF=-BD=-x10=—,......................................................8分

oo4

,：OFVAD,

：,AE=DE,

♦：OA=OB,

・・・OE为的中位线，

1

/.OE=—BD=5,

乙

255

：.EF=OF-OE=—-5=-.......................................................10分

44

26.（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每

天的销售量为25（）件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少1（）件.

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式.

（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？

(3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：⑴w=(x-20)[250-10(x-25)]

=(x-20)(-lO.r+500)

=-10^+700.\--10000,

-I0x+50020,

，xW50,

・•・“，=-10X2+700X-10000(254W50)；..........................................................4分

(2)由题意可得：-I0X2+700X-10000=2000,解得：勺=30,》2=40,

・••销售单价应定为30元或40元,.............................7分

答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为3()元或4()元；

(3)w=-10J2+700X-10000=-10(x-35)2+2250,

V-10<0,

・•・函数图象开口向下，

・••当x=35时，w有最大值，以心=225(),

答：当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元.

..........................................................10分

27.(10分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数)，=⑪2+云-4(aVO)的图象与x轴交于点4(2,0)

和点夕(-4,0),与轴交于点C.

(1)求二次函数的表达式；

(2)过点。作x轴的平行线交抛物线于点。，

①如图1,点£为抛物线对称轴上一点，且/。£8=90°,求点£的坐标；

1

②如图2,点P为抛物线上一点，连接DP交)，轴于点E,若480P=45。+yDEC,求点P的坐标.

【解答】解：(I)把4(2,0),6(-4,0)代入y=ov2十队十4得:

_1

[4a+2b+4=0

解得:Q一一？,

ll6a-4b+4=0U=-i

.，・二次函数的表达式为y=-TP；?-x+4：...........................................................2分

1

(.2)①在y=-夕，_x+4中，令x=0得y=4,

:.C(0,4),

1.1,9

*/y=—TX2-x+4=——(x+1)2+~,

222

・••抛物线的对称轴为直线x=-1,

•・•过点C作x轴的平行线交抛物线于点D,

・・・。与。关于直线x=-1对称，

：.D(-2,4),..........................................................4分

设E(-1,/),

•：/DEB=90°,

：,BE2+DE2=BD2,

YB(-4,0),

・・・9+於+1+(r-4)2=20,解得：f=3或f=l,

；・£的坐标为(-1,3)或(-1,1)；...........................................................6分

⑦如图，设DP交x轴于兀延长CD到K,

1

■:NKDP=NDCE+NDEC=900+NDEC,NBDP=45°+-ZDEC,

11

:・/KDB=NKDP-/BDP=Q0°+ZDEC-(450+3/DEC)=45°+;NDEC,

NKDB=NBDP,

,?/KDB=NDBT,

4BDP=/DBT,

:.DT=BT,8分

设T(〃?，0),

■:D(-2,4),3(-4,0),

(m+2)2+16=(川+4)2,解得：〃[=],

/.rci,0),

44

由。(-2,4),T(1,0)得直线。尸的解析式为歹一一5,

G44

-X+-

33

V1

-X2r

2

820

工尸的坐标为（子10分

28.（10分）【问题提出】

（1）如图1，四边形48C。为矩形，点上为边8C上的一点，连接4E,过E作E/LL4E交边8于点

F,若月4=4,EC=3.

①行的值为___;

C*1

②连结AF,则sinZEJF的值为.

【类比探究】

（2）如图2,四边形力4。力是边长为9的正方形，E是边4c上的一点，O是对角线力。的中点.BE：

EC=\t2,连接4E,作交CD于点凡连接O兄求tanN产OC的值.

【拓展应用】

（3）如图3,四边形片8CZ）是菱形，NB4D=60°,AB=6,E是边8c上的一点，。是对角线4C的中

点.BE：EC=\z2,且/4Q=120°,则tan/FOC的值为.

【解答】解：（1）①•・•四边形44CO为矩形,

，NB=NC=90°，

:・NB4E+NBE4=9()°,

'：EFLAE.

/.AAEF=