2025-2026学年八年级数学上册（人教版）期中压轴题专训【30题】（第13-15章）解析版

期中压轴题专训【30题】（第13-15章）

一.解答题

1.（2025春•北京期中）如图，直线a〃4点/为直线a上的动点，点8为直线〃、b之间的定点，点C

为直线b上的定点.

（1）当/D48与NEC8互余（如图）时，力8与8c的位置关系是4BLBC.

（2）在（1）的条件下，作△8P。，使B尸=0P,ZP=90°,平分N48P,交直线。于点M,8N平

分N08C,交直线b于点M瘠△8P。绕点8转动，且8c始终在NP80的内部时，NDMB+/ENB的

值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求其变化范围.

（3）点b为直线。上一点，使得NAFB=NABF,N48C的平分线交直线。于点G,当点工移动时，写

乙FBG

出77777的值•

Z-CCo

【答案】（I）ABLBC；

（2）不变，NDMB+NENB=675。；

乙FBG1

（3）--------=一

/-ECB2'

【解答】解：（1）如图，延长力6交直线人于点G,

由条件可知NDAB=ZAGC,

■:/DAB+/ECB=9。。,

:.ZAGC+ZECB=90°t

・・・NC8G=180。-AAGC-NECB=90°,

I

：,ABVBC,

故答案为：ABLBC,

（2）不变化，理由如下,

如图，过点、B作BH〃a,

由条件可知8〃〃a〃b,

・•・ZDMB=/MBH,ZENC=/HBN,

:.ZDMB+ZENB=ZMBH+ZNBH=/MBN,

0=90。，BP=QP,

:・NQBP=45。,

•:/力8c=90。，

・•・ZABC+ZQBP=NABP+ZCBP+ZCBP+ZQBC=ZABP+ZQBC+2ZCBP=135°,

由条件可知4NBC=4“8C,

乙

1

工匕MBP=ABP,

：・2NMBP+2/NBC+24cBp=135。，

・•・/MBP+/NBC+NCBP=675。,

JZMBN=61.5°,

:./DMB+/EBN=675°；

由条件可知/FGB=ZBHC,

'：AB=Ab',

2

・•・/AFB=NABF,

由条件可知N＜8G=NC8G,

・•・NABG=ZF'GB+ZECB=ZABF+ZFBG,

*：ZAFB=NFGB+NFBG,

・•・/FGB+/ECB=NFGB+NFBG/FBG,

：.NECB=24FBG,

.乙FBG1

**Z,ECB=2'

2.(2025春•成都期中)已知△力BC中，BE平分NABC.

(1)如图1,若点P在射线比上，ZJ5C=42°,CP〃/8且平分48,求4的度数；

(2)如图2,在ZVIBC中，NCV/BAC,BE平分NCBA,P为线段8E上一点，PFLBE千P交CA延

长线于点凡NBAC=m。,/C=，巴求/尸的度数(用含〃，，〃的代数式表示).

(3)如图3,已知三角形三条角平分线交十一点O(点。在射线BE上)，4P平分NC4F交3E十点

P，过点O作。。〃力夕交边力8于点O.若NAPB=NC4B=5O。,将△力。。绕点力顺时针旋转一定角度Q

(0。＜。＜2()()。)后得△4O7T,旋转后的三角形一边所在直线与28平行，请直接写出所有符合条件的旋

转角度a的值.

【答案】(1)Z/f=42°；

11

(2)cF=pn°—pi°；

(3)15°或40。或130。或195°.

【解答】解：(1)*：CP//AB,且N48C=42°,

・•・ZPCD=ZABC=420,

•「CP是N4CO的平分线，

:.N/4cO=2NQCO=84。，

乂ZACD=ZA+ZABC,

:.N4=N4CD-ZJ5C=84°-42°=42°；

3

(2)•••/月8。+/8/。+/4。6=180°且/8力。=〃产，ZABC=n0,

・•・ZJ5C=1800-ABAC-Z/IC5=180°-m°-n°,

又・.・4七平分N/4C,

111

・•・乙CBE=万4ABC=90°--w°-~n°,

1111

・•・ZBEA=ZCBE+ZACB=90^--m0--no+n°=90°--m°^-n°,

乙乙乙乙

■:FP1BE即/口£=90。，

/.NF+NPEF=90°,

111111

:.zF=90°-乙PEF=90°-(90。-^inQ+^n°)=-m°-~n°,即NF=”一产;

(3)VZBAC=50°,

：.ZC4F=180°-50°=130°,

•・Z夕是NC力厂的平分线.

工NO尸=65。，

JNBAP=ZBAC+ZCAP=50^65°=115°,

VZAPB=50°,

AZJ5P=180°-ZBAP-ZJP5=180°-115°-50°=15°,

,・，4E是N/1BC的平分线,

/.ZC5£=15°,N/4C=30°,

・•・N4C4=180。-50°-30°=100°,

义•：CO是N4CB的平分线，

/.Z5CO=50°,

：.ZBDO=ZBOC=\SO0-15c-50°=115°,

/.ZADO=\SO0-ZBDO=\SQQ-115°=65°,

••710是NB4C的平分线,

：・NDAO=NC4O=25。,

・•・NIUO+N。=250+65。=90。，

・•・ZJOD=90°；

①如图，当时，则N4P8+NP4y=180。,

4

E

■:N4P8=50。，

・•・NP47=130。，

,旋转角度a=130°-65°-50°=15°；

，旋转角NCMO的度数a=130°-65°-25°=40°；

③如图，当时，延长OZ交PB于点Q,则N4QP=90。,

・・・/00=65。-40。=25。,

0,>c，

・•・ZOAQ=ZOAC+ZCAO=25+25=5Of

：.旋转角NCM。的度数a=180°-50°=130°；

④如图，当力。'〃尸"时，则NONP=N/P8=50°,

5

o

D

旋转角的度数a=360°-25°-65°-50°-25°=195°：

当力O'〃尸8时，则尸8=50。,

・•・旋转角NO/O'的度数a=3600・250・650・500=220。（舍去）；

综上，旋转角度数a的值为：：5。或40。或130。或195。.

3.（2025春•长春校级期中）“如图1,在Rt△彳8C中，ZC=90°,/41C和N48。的平分线相交于点

求N力的度数.”小白在解决这个问题的过程中，发现当4%。取不同的数值时，N/4Q4的大小并不

攻变，于是猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数最关系，所以

决定将其作为一个项目做进一步探究.

【项目模型】如图2,直线与直线P。相交于点。，点X在射线。尸上运动（点力不与点。重合），

点8在射线OM上运动（点8不与点。重合）.连接力8,N84O和/480的平分线交于点£探究/

与/力。8的数量关系：

【特例发现】如图2,当/408=100。时，ZAEB=140度；当/408=70。时，AAEB=125

度：

【规律探索】如图2,当度数为a时，用含a的代数式表示N4瓦？的大小，并写出挂导过程；

【拓展应用】如图3,当/月。8=90。时，/尸力〃和的平分线交于点凡NE4A和/用力的角平分

线交于点£在点力和点4的运动过程中，当△力8E的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接

写出N84O的度数30。或60。.

6

M

BM

图1图2图3

【答案】特例发现：140；125；

规律探索：z^=90°+|a,推理过程见解析；

拓展应用：30。或60。.

【解答】解：特例发现：当408=100。时，

由条件可知N/8O+N历10=80°,

VZBAO和480的平分线交于点E,

11

J.Z-EAB=-Z.BAO,Z.EBA=彳4/1B。，

乙乙

111

J.LEAB+Z.EBA=-Z.BA0+-/-ABO=-(/-BAO+乙力8。)=40°,

乙j乙

/.AAEB=\^°-ZEAB-NEBZ=140。；

当/力。8=70。时，ZABO+ZBAO=\\0o,

VZBAO和N/BO的平分线交于点E,

11

：,Z.EAB=­/-BAO,Z.EBA=~^ABOt

111

J.Z-EAB4-/-EBA=-/-BAO+-/-ABO=-(/.BAO+/.ABO)=55。，

乙L乙

AZJ£,B=1800-ZEAB-/EBA=125°；

故答案为：140,125；

规律探索：^AEB=90°+^a,推理如下：

ZAOB=a,

AAABO+^BAO=\^-a,

•・•NB和/440的平分线交于点E,

11

C.LEAB=-^-BAO,Z-EBA=-Z-ABO,

7

1111

LEAB+LEBA=—^.BAO+-Z.ABO=—{/.BAO+4/80)=90°—~a,

乙J乙乙

11

・•・^AEB=180°-/-EAB-LEBA=180°-90°+-a=90°+-a；

拓展应用：VZAOB+ZABO+^BAO=\SO°,//08=90°,

:.N48O+N8/0=90°,

由条件可知NP力8+NMM=180。・Z5JO+1800-ZABO=270°,

•・•ZPAB和的平分线交于点F,

11

JZ.FAB=-Z.PAB,Z.FBA=-/-MBA,

乙乙

111

：.Z.FAB+乙FBA=-LPAB4--^MBA=-(Z-PAB+/.MBA)=135°,

乙乙乙

・•・ZF=180°-ZFAB-N尸84=45。,

VZFAB和NFB4的角平分线交于点E,

1

.\ZE=9004--ZF=112.5°；

乙

当NE=3N刈8时，则/以8=37.5。，

:.NFAB=2NEAB=75°,

ZPAB=2ZFAB=\50°,

：,N5力0=180。-NP45=30。：

当NE=3NE8/时，则NE8/=37.5。，

/.ZFJ5=180o-ZE-NE8月=30°,

.\ZFAB=2ZEAB=60°,

・・.NPAB=2NK4B=120。,

・•・ZBAO=180°-NP/14=60。：

当/EAB=3NEBA时，

VNE/1B+NEB4+NE=18O°,

1

：.Z.EAB+-Z.EAB+112.5=180°,

・•.NEj4=50.625°,

JZFAB=2ZEAB=\01.25°,

?.ZPAB=2ZFAB=202.5°,不符合题意；

当/EBA=3ZEAB时，/EAB+3ZEAB+112.5=180°,

AZ£JZ?=16.875°,

8

・•・N〃8=2NE"=33.75。，

JNPnB=2NH4B=67.5。,

・・・NA4O=180。-NP/出=112.5。，不符合题意；

综上所述，N历1。的度数为30。或6（）。.

故答案为：30。或60。.

4.（2025春•南海区期中）已知：直线4A〃CO,三角板EFH中NEFH=90。,/EHF=60。.

（1）如图1,三角板£777的顶点〃落在直线CO上，并使E4与直线48相交于点G,若N2=3N1,

则/I的度数=30。:

（2）如图2,当三角板EF"的顶点/落在直线48上，且顶点〃仍在直线CQ上时，EE与直线相

交于点A7,试确定NE、NAFE、NM//E的数量关系；

（3）如图3,当三角板EFH的顶点尸落在直线N8上，顶点，在44、CO之间，而顶点£恰好落在直

线C。上时得△/?”,在线段EH卜取点P.连接厂Q并砒长交百■线（7。干点厂在线段£尸卜取点K,连

接PK并延长交NCE”的角平分线于点Q,若NQ-NHFT=15。,nNEFT=NETF.

①探求：与/力所的数量关系，并说明理由：

②求证：PQ//FH.

【答案】（1）30。；

（2）NAFE=NE+/MHE,理由见解答:

（3）®ZHFT=^ZAFE；

②证明过程见解答.

【解答】解：（1）,：AB//CD.

：.Z\=ZCHG.

,:Z2=3Z1,

・•.Z2=3ZCHG.

'：/。伙升/石/"+为=18（）。,

9

/.4ZC/7G+60°=180°.

AZC/7G=30°.

AZ1=30°.

(2)NAFE=NE+NMHE,

理由：'：AB//CD,

・•・NAFE=NCME.

":/CME=/E+/MHE,

・•・/AFE=/E+/MHE.

(3)①设/力所=x,贝iJ/8/H=900・x,ZEFB=\S00-x.

•：AB//CD,

NBFT=NETF.

•；NEFT=NETF,

11

・•・NEFT=ZBFT=3NEFB=9Q。--x.

1

・•・ZHFT=ZBFT-ZBFH=

1

即ZHFT=-ZAFE,

②证明：VZC)-ZHFT=\50,

1

：.ZQ=\5°+^x.

*：AB//CD,

:.N/FE+NCE尸=180°.

.\ZCFF=180o-x.

・・・NC£H=NCE尸+N尸EH=I800-x+30°=210°-x.

•・・£0平分/"〃，

11

・•・/QEH=~^CEH=105°--x.

•/N0+NQEH+ZQPE=180°,

11

Al5°+~v+105°--v+ZQPE=180°.

乙乙

.,.Z0PE=6O°.

•・•/"=60。，

:・NQPE=NH.

10

：.PQ//FH.

5.（2025春•诸暨市期中）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活

动，如图，已知两直线。，b,且〃〃从AJ4c是直角三角形，ZBCA=90°,ZJ=30°,操作发现：

（1）如图1,若/1=48。，求/2的度数；

（2）如图2,若N1的度数不确定，同学们把直线〃向上平移，并把N2的位置改变，发现N2-NI=

120°,请说明理由.

（3）如图3,此时发现N1与/2又存在新的数量关系，直接写出N1与N2的数量关系.

【答案】（1）42。：

（2）详见解答：

（3）Zl+Z2=120°.

【解答】解：（1）如图1,VZ1=48°,Zl+Z3=180°-90o=90°,

.•.Z3=90°-48°=42°,

又,：a〃b,

/.Z2=Z3=42°；

（2）如图2,过点、B作BD〃Q,则

'：BD//a//b,

AZ2+ZJZ?£）=180o,N1=NCBD,

又•：NABD+NCBD=N4BC=90。-Z/l=60°,

AZ2+（60°-Nl）=180°,

即N2-Zl=120°；

（3）Zl+Z2=120°,理由如下:

如图3,由三角形内角和定理可得，Nl+N2+N8=180。，而N8=60。，

r.Zl+Z2=120°.

B

,A

b

M

ffll图2图3

6.（2025春•韩城市期中）【问题情境】

小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于180。”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结

论正确.证明过程如下：

如图1：延长4c到点。，过点C作CE〃，&

•:CEHAB、

・,•①/4=ZACE,②4B=/DCE,

•・•ZJCB+AACE+Z.DCE=180°,

・•・ZJC5+ZJ+Z5=180°.

（1）补全小安证明过程中①②所缺的内容；

【问题解决】

（2）如图2,直线八〃/2，点48分别在八，&上，C是八上点4右侧的动点，点G在射线84上，连

接CG,仃为/力CG的平分线，作N48O的平分线8E,交R?的延长线于E,过点E作EH///1.

①若NG=20。，求N8EC的度数；

②如图3,G"平分N/GC交卜于点/，且//8。=70。.在点C的运动过程中，NGMB-NBEC是否

为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

【答案】（1）N4NB；

（2）①80。,②是定值,20°.

【解答】解：（1）延长5C到点。，过点C作CE〃44,

AZ/4=ZJC£,NB=NDCE,

•・•ZACB+ZACE+ZDCE=180°,

・•・N4C8+N4+N8=180。，

故答案为：NA,ZB；

(2)①"〃勿EH//I]f

:.EH〃h，/GAC=/ABD,NHEF=NACF,

:./HEB=/EBD,

•••。/平分N4CG,BE平分NABD.

/.ZACF=2ZACG,ZEBD=ZABD,即防=N4CG,4HEB=/GAC,

，/BEC=NHEF+/HEB=5(ZACG+ZGAC),

•・・/G=20。，

AZACG+ZGAC=1800-ZG=160°,

:.Z5EC=80°；

②NGM8-N8Q7是定值，口这个定值为20。，理由如下：

由①可得N8EC=2(ZJCG+ZGJC),

：./BEC=(180°-ZAGC)=90°-ZAGC,

二•GM平分/4GC,

：・/BGM=2/AGC,

・・・NGA/8=180。-/GBM-N8GM=180。-70。-ZAGC=\\0<>-ZAGC.

:・NGMB-NBEC=\1O。-N/1GC-(900-ZAGC)=20°,即NGA/8-是定值，且这个定值为

20°.

7.(2025春•双流区校级期中)已知/力。8=90。，直线CO与04交于点。，与08交于点。，点C,。均

不与点O重合，CE平分NOCO,DE平分/CDO.

(1)如图1,当NOCO=40。时，NCEZ)的度数为135。：

(2)如图2,延长CE与BO交于点、F,过E作射线EG与。交于点G,且满足NCFO-NGEQ=

450.求证：GE//DO：

(3)如图3,过点C作C."_LCMMM是NCO。的外角平分线所在直线，与射线CE交于点M与CM

交于点例.在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出NCOE的度数.

13

【答案】(1)135°；

(2)证明见解析；

(3)22.5。或183

【解答】解：(1)VZAO8=9G°,NOCO=40。，

:.NCQO=9()°-N()DD=90。-40°=50°,

11

■:乙DCE=-Z.DCO=20°,Z-CDE=-Z.CDO=25°,

乙乙

/.ZCED=1800-ZDCE-NCQE=18()。-20。-25°=135°,

故答案为：135。；

11

(2)证明：•乙DCE=3乙DC0,乙EDF=3乙CDO,

'：NDCO+NCDO=90。,

/DCE+/EDF=45。,

VZCFO=ZDCF+ZCDO=ZDCF+2ZEDF=NEDF+45。,

；・/EDF=/CFO-45。,

VACFO-/GED=45。,

:・NGED=NCFO-45。,

：,NEDF=NGED,

:・GE〃DO；

(3)分情况讨论：①当NM=4NNB寸，

，：CM1CN,即NMCN=90。，

・•・NM+/N=90。，

1

.\z/V=-x90o=18°,

1

VzCOM=-x90°=45°,

乙

・•・ZNCO=/COM-NN=27c,

•・・CE平分/OCO,

・•・NOCO=2NNCO=54。，

:.ZCW=I8O°-90°-54°=36°,

■:DE平分4CDO,

1

:.&CDE=;乙CDO=18°；

②当NMCN=4NN=900时，

・•・NN=22.5。，

1

VzCOM=-x90°=45°,

乙

：.4NCO=/COM-/N=22.5。，

•・・CE平分NOCO,

・•・NZ）CO=2NNCO=45。，

:.ZCDO=\800-90°-45°=45°,

,:DE平令乙CDO,

1

:.乙CDE=-Z.CDO=22.5°；

当NMCN=4NM=90。时，则NM=22.5。，

:.NN=1800-90°-22.5°=67.5°,

，：MN是4COD的外角平分线所在直线，

1

."COM=5X90°=45°,

/.ZNCO=ZCOM-ZN=-22.5°,不符合题意，舍去；

当NN=4NM时，同理可得NM=18。，则NN=72。，

同理可得此时NNCO=NCOM-NN=-27。，不符合题意，舍去；

综上，ZCDE的度数为22.5。或18°.

8.（2025春•青羊区校级期中）在平面内，对于/尸和NQ,给出如下定义：若存在一个常数/（；＞0）,

使得，ZP+/ZO=18（）°,则称是N0的”f系数补角

例如：ZP=60°,N0=3O。，有/0+4/。=180。，则N0是/尸的“4系数补角

【概念理解】

（1）若/尸=40。，/尸的“2系数补角”是70。；/尸的“5系数补角''是28。；

15

在平面内，48〃。，点E为直线48上一点，点尸为直线CO上一点，请解答下面(2)(3)题；

【初步认识】

(2)如图1,点G是直线44、。。内一点，连接G£,GF,NDFG=24。,若N0PG是N8EG的“5系

数补角”，求NEG尸的大小；

【问题解决】

(3)如图2,连接ER若点，为直线跖右边平面内一动点(点，不在直线力以CQ上)，NEFH与

NbEH两个角的平分线交于点若/BEH=m,ZDFH=mNN是NEW/的“3系数补角”，请直接写

(2)ZEGF=84°：

111

(3)ZN的度数为30°—~(m+九)或30°--(m—九)或30°+-(in-n).

【解答】解：(1)VZP=40S

.•・NP的“2系数补角"NQ=(180°-NP)-2=70°,

/尸的“5系数补角“NQ=(180°-NP)+5=28。,

故答案为:70%28°；

(2)根据题意得N8EG+5NQFG=180。，

••・N8£G=5x240=80。，

・・・NB£G=60。，

*：AB//CD,

:.AB"CD"MN,

16

・•・/MGE=NBEG=60。,/MGF=NQG/=24。,

・•・AEGF=NMGE+NMGE=84。；

(3)如图，当点〃在直线力从C。内部时，

，：EM平分4FEH,FM平分/EFH,

11

:.乙EFM=-Z,EFH,乙FEM=*FEH,

乙乙

•:AB//CD、

:.NBEF+NDFE=18O。,

:.ZBEH+ZFEH+ZDFH+ZEFH=180。，

VZBEH=ni,NDFH=n,

；・NFEH+NEFH=180。-(〃?+〃)，

1

:.乙EFM+乙FEM=90°——(m+n),

乙

1

:.乙EMF=180°-(NEFM+4MEF)=90°+-(m+n)

乙

NN是NEW"的"3系数补角”，

1

・・・N£A/Q3NN=180。，即90。+弓(m+n)+3/N=180°,

1

・"N=30°--(m+n)；

6

/FEH=DFE+/BEH=180°,

JNFEH+NDFE=180。-m,

17

・•・/FEH+/EFH=NFEH+NDFE+NDFH=T80。-m+n,

■:EM平分/FEH,FM平分/EFH,

11

JZ.EFM=-Z.EFH,乙FEM=-Z-FEH,

乙乙

11

:.乙EFM+乙FEM=-(180°-m+n)=90°--(m-n),

乙乙

1

:.乙EMF=180°-{LEFM+乙FEM)=90°+-(m-n),

•・・/N是NEM/的“3系数补角”，

1

・・・NEA"+3NN=180°,即90。+弓(血一几)+3zN=180°,

乙

1

:,乙N=30°-7(m-n)；

如图，当点，在直线/〃上方时,

11

同理可得4尸EM+4EFM=5(180。+v2—n)=90°+-(m-n),

1

：.Z.EMF=180°-(zFEM+乙EFM)=90°--(m-n),

乙

・：/N是4EMF的“3系数补角”，

1

・・・NEMF+3NN=180。，BP90o--(?n-n)+3z/V=180°,

1

乙N=30°+—(m—n)；

6

111

综上所述，NN的度数为30。一工(小+九)或30。一式m—n)或30。+-(m—n).

boo

9.(2025春•淮阴区校级期中)数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是180。“，进行了一系列探究，过程如

下：

(1)【论证】如图1,延长4.4至点O,过点力作力〃〃8C,就可以说明NZMC+N8+NC=180。成立，

即：三角形的内角和为18()。.请完成上述说理过程.

(2)【应用】如图2,在△/BO中，N84C的平分线与N/C8的角平分线交于点P,过点4作力£〃

BC,M在射线力石上，且N/CM=N4WC,MC的延长线与4P的延长线交于点。.

①设N3=a,则NO=_Ja_(用含a的代数式表示)；

18

②/DCP的度数为90。.

（3）【拓展】如图3,在△力8c中，NBAC=90。,/力。8=30。，过点4作EF〃BC,直线MN与E/相

交于力点右侧的点P，ZAPN=6O0.△〃改绕点力以每秒10。的速度逆时针方向旋转，同时MV绕点尸

以每秒6。的速度顺时针方向旋转，当"N第一次与石尸重合后，立刻再绕着点Q以原速度逆时针方向旋

转至出发位置运动全部停止.设运动时间为/秒（/>0）.在旋转过程中，当/的值为多少时，与

的一边平行？请直接写出f的值.

D，4MF.

【答案】（1）见解析；

（2）0|a；②90。；

1545

（3）/的值为彳或百或15.

45

【解答】看（1）证明：延长64至点Q,过点/作/E〃8C

O

D

；・/DAE=/B,ZCAE=ZC.

ZBAC+ZCAE+ZDAE=\S(]0,

:./胡C+/C+N8=180。；

（2）解：①如图：

19

YAP是NH4c的角平分线，

1

.*.Z3=4BAD=—Z.BAC,

乙

在△48C中，ZZJ+ZJCT+2Z3=180°,

'：AE//BC.

:・/ACB=/MAC,/\=NBCD,

VZACM=/AMC,

・•・N4CW=N8CO=N1,

VZD+Z3=ZACM,ZBCEHZACB+ZACM=]SO0,

・・・2(ZD+Z3)+ZACB=\S00,

：・NB+2N3=2(ZZHZ3),

・・・N3=2N。，

•:4B=a,

1

AZ.D=-a；

乙

②•：AE//BC、

・•・ZACB=ZMAC,

・・・。尸是//1。8的平分线，

1

.\Z2=乙PCB=3乙ACB,

乙

/.ZMJC=2Z2,

V2Z2+ZACM+Z1=180°,ZACM=Z\,

.,.2Z2+2Z/1GV/=18O°,

.*.Z2+ZJGW=90°,

ZPCP=180°-(Z2+ZJCM)=90°；

(3)解：•・•MN绕点P以每秒6。的速度顺时针方向旋转，当MN第一次与小重合后，立刻再绕着点P

20

以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止.

，总时间1=2x646=20（秒），

的运动角度为10°x20=200°,

当MN第一次与E/重合前，5C〃A/N时，延长4C交E厂于0,

由题意得：ZNPQ=(60-6z)°,/BAQ=NBAC+NCAQ=90o+(30-lOz)°=(120-10/)°,

AZBQP=ZBAQ+ZABC=(120-1()/)°+60°=(180-1()/)°,

YBC〃MN,

：.ZBQP+ZNPQ=180°,

A60-6/+180-10r=180,

15

解得：£=丁；

当MN第一次与E/重合前，4C〃MN时,

由题意得：ZNPA=(60-6t)°,ZCAP=(10z-30)0,

•:AC"MN、

工NC4P=NNPA,

A10/-30=60-6/,

45

解得：£二W：

o

当MN第一次与E/重合后，BC〃历N时，令BC交EF于D，

:・NADB=NCAP+NC=(10/-30)°+30°=(1()/)°,

21

•:BC//MN,

・•・/ADB=/NPA,

・・・10/=60-&（舍去），

当MN第一次与E/重合后，力。〃A/N时,

由题意得：NMM=6L60。，4cAp=（10r-30）°,

•:AC"MN,

:・/CAP=/NPA,

A10/-30=60-6r,

45

解得：f=k（舍去）；

o

与48平行则有:10/-120=6z-60,

t=\5.

1545

综.上所述，/的值为■或­或15.

10.（2025春•周村区期中）【生活常识】

射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等.如图1,是

平面镜，若入射光线40与水平镜面夹角为N1,反射光线OB与水平镜面夹角为N2,则N1=N2.

【应用探究】

有两块平面镜OM,ON,入射光线经过两次反射，得到反射光线CD

（1）如图2,若OMLON,试证明48〃CO；

（2）如图3,光线18与CQ相交于点P,若NA/OV=48。，求N8PC的度数：

（3）如图4,九线力3与8所在的直线相交丁点尸，々MONiZ笈尸C—p,试猜想a与p之间满足

的数量关系，并说明理由.

22

图3图4

【答案】(1)见解析；

(2)84°；

(3)p=2a,理由见解析.

【解答】(1)证明：・・・OMJLOM

:.NMON=90。，

・・・N2+N3=90。，

又・・・/1=/2,N3=N4,

・•・NABC+NBCD

=180°-Z3-Z4+1800-Zl-Z2

=360°-2(Z2+Z3)

=360°-2x90°

=180°,

:.AB〃CD、

(2)解::NMON=48。,

/.Z2+Z3=132°,

由(I)可知，

NABC+/BCD

=180°-Z3-Z4+1800-Zl-Z2

23

=360°-2(Z2+Z3)

=360°-2x132°

=96°,

/.ZZ?PC=180°-(NABC+NBCD)=180°-96°=84°.

(3)解：p=2a,理由是：

NPBD+/P=NO+N4,

Z3=Z4=ZO+Z2,

/1=/2=/PBD,

:.Nl+P=a+a+N1,

/.p=2a.

II.(2025春•和平区校级期中)问题探究：

(1)如图I,在四边形力8C。中，AB=AD,ABS.CB,AD1.CD,E,厂分别是ACCD上的点,口

LEAF=^DAB,探究图中b，BE,。产之间的数届关系.小明同学探究此问题的方法是：延长C归到

点、G,使BG=DF.连接4G,先对比△/8G与△力。尸的关系，再对比△/£/与a/lEG的关系，可得出

EF、BE、。尸之间的数量关系，请问：他的结论是EF=BE+DF；并对此问题给出完整解题过程.

理解运用：

(2)已知：在四边形力88中，AB=AD,N48C+N/OC=180。，点E、点/分别在直线8C、直线8

1

上，月/£4F=54B4?；如图2,点E、点尸分别在边C8、DC的延长线上：如图3,点E、点户分别

在边BC、CZ)的延长线上.请从图2和图3中任选一种，写出线段防、BE、2之间的数量关系，并说

明理由.

拓展延伸：

(3)如图4,在四边形/14。。中，448C+N月0c=18()。，AB=AD,若点尸在C5的延长线上，点?在

C。的延长线上，若EF=BF+DE,请直接写出N口尸与/D48的数量关系.

【答案】(1)EF=BE+D〃,过程见解析:

24

(2)图2：DF=EF+BE,理由见解析；图3：BE=EF+DF,理由见解析;

1

(3)LEAF=1QO0--/.DAB.

乙

【解答】解：(1)结论：EF=BE+DF.

理由：如图1,延长C8到点G,使8G=。凡连接4G,

•:AB=AD,NABG=NADF,

・••△ABG义AADF(SAS),

：・/BAG=NDAF,AF=AG,

/./FAG=NDAB,

1

'：LEAF=-Z-DAB,

1

J.LEAF=-LFAG,

乙

；・/EAF=/EAG,

在ZUE”和人勿久；中，

(AE=AE

1/.EAF=Z.EAG,

VAF=AG

:AAEF绎AAEG(SSS),

:・EF=EG=BE+BG.

:・EF=BE+DF,

故答案为：EF=BE+DF.

(2)如图2,DF=EF+BE,理由如"

在。尸上截取QG=8E,连接4G,

25

A

D

飞

F

图2

Z/li?C+ZD=180°,N//6C+N月8石=18()°,

NABE=ND,

又・；AD=4B,

J△ADG//\ABE,

AZDAG=ZEAB,AE=AG,

・•・ZEAG=ZBAD,

1

,：Z.FAE=-/.BAD,

1

/.Z.FAE=—Z.EAG,

乙

；・NEAF=NGAF,

又・・・的=力凡

:•△EAFgAGAF(SAS'),

:.EF=FG,

•;DF=FG+DG,

；・DF=EF+BE

对于图3：对于图3,BE=EF+DF,理由如下：在BE上截取8G,使BG=DF,连接力G,

图3

同图2法可得：△ABGWAADF,

：,AG=AF,NB4G=NF4D,

:・/BAD=/FAG,

26

1

'：LEAF=-LBAD,

乙

1

：.Z.EAF=-z.FAG,

f：AE=AE,

：,^EAG^^EAF,

:.EG=EF,

・•・BE=BG+EG=DF+EF；

1

(3)结论：Z-EAF=180°--^DAB.

乙

理由：如图3,在。。延长线上取一点G,使得QG=8R连接4G,

VZABC+ZADC=\SO0,ZABC+ZABF=\^0,

：,ZADG=ZABF,

•：4B=AD,

工AABF会/\ADG(SAS),

：.AG=AF,NDAG=NBAF,

":EF=BF+DE,DG=BF,

:,EF=DG+DE=EG,

在A4EF和△//EG中,

(AE=AE

\FA=EG,

IFF=EG

:•△AEF"AAEGCSSS),

：・/FAE=NEAG,

VNFAE+NEAG+NG4F=360。,

：.2/FAE+(NGAB+NBAF)=360°,

：.2ZFAE+(ZGAB+ZDAG)=360°,

即2NE4F+/DAB=36。。,

27

：.LEAF=1800--Z-DAB.

乙

12.（2025春•锦江区校级期中）已知△[8C,AWE•均为等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°.

（1）如图1,求证：BE=CD；

（2）如图2,在图1的基础上延长和。。相交于点G,这点4作力产，8G于点凡若CG=2,BG=

7,求跖的长;

（3）如图3,点。，£