2025-2026学年九年级寒假中考综合练习：三角函数

三角函数专题综合练习

一、核心问题定位与特征

题型定位：中考数学解答题中的实际应用题，常为第23题。

问题背景：以测量、航海、工程、坡度、方位等现实生活为背景。

数学核心：将实际问题抽象为几何图形，并转化为解直角三角形的问题。

核心难点：图形复杂，涉及多个直角三角形的叠加与关联，需要通过作辅助

线（通常是作高）来构造可解的直角三角形。

二、解题步骤

第一步：审题画图，标注己知

审题：逐句阅读，泥取所有数据（角度、长度、速度、时间）和关键词（方

位角、仰角、俯角、坡度）。

画图：根据题意画出清晰的示意图。如果原题有图，在其基础上补充辅助线

和标记。

标注：在图上明确标出所有已知数据和待求量。

判断模型：初步判断属于“背靠背〃、“母子〃还是其他组合模型。

第二步：作辅助线，构造双△

第三步；解三角形，逐步计算

第四步：回归问题，检验作答

写答案：将数学结果还原为实际问题答案，并带上单位。

验合理性：检查答案是否符合常识（如长度、时间为正，高度合理等）。

三、习题精选

1.如图，是某公园平面图，景点8在入口A的正东方向

1400米处，景点E在入口4的东北方向1200米处，景点

C在景点8正北方向，景点。在景点3北偏东30。方向，

在景点E的正东方向，且景点。在景点。的北偏东60。方

向.（参考数据：72«1.41，N/6«2.45）

⑴求景点。到。的距离（结果保留根号）；

⑵小希与小福同时从A出发，小希选择路线游玩，小福选择路线

AfAfCf。游玩，但当小福到9时接到通知C处有施工无法通行（接通知的时间忽略

不计），于足小福选择的小路继续到£>,若在整个过程中，小希与小福的速度均相

同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达。处？

2.为了加强海上巡航检查能力，某海警船甲、乙在如图所示的海域进行航行检查训

练.4B、C、。为同一平面内的四座小岛.4岛位于5岛正西方向，。岛位于3岛北偏西

60。方向60海里处，。岛位于8岛的正北方向，。岛位于A岛北偏西15。方向（参考数据：

\[1«1.4>>/6«2.45）.

⑴求小岛4。间的距离（结果精确到1海里）；

（2）卬、乙两海警船同时从C岛出发前往B岛进行巡航检查训练，

甲海警船沿Cf3航行，乙海警船沿CfDfB航行，甲海警船

的速度与乙海警船的速度之比为3:4.两海警船同时到达8岛处,

求小岛从C间的距离（结果保留小数点后一位）.

3.今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图44,

C,。在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，

位于学校。的正西方5千米处；小福家B位于学校。的北偏

西75。方向；博物馆。位于小福家8的北偏东60。方向.（参

考数据：6=\.73,#=2.45）

⑴求小福家8与学校。的距离（结果保留一•位♦小•数•）；

⑵小希从自己家出发，沿A-C方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发,

沿8fC方向匀速前往博物馆C,已知小希和小福的速度之比为3:4.小福到达博物馆C后

发现忘记带身份证，于是立即原速回家4处取，当他到家后得知小希正好到了。。方向的超

市E处，他们查阅地图发现从4到E正好有一条公路可以直达，公路跖与CO的夹角

/BED=60。（/或心<90。），且跖的距离比BC的距离还少2千米，于是两人商定小希

在E处等待小福.求博物馆。与小福家8的距离（结果保留:便个蓼）

4.某景区使用无人机对观光热气球进行航拍.如图，A,B,C,。位于同一平面，B在A

的正东方向2千米处，。在〃的南偏东30。方向，且在/的南偏东60。方向，。在C的正西

方向，且在4的南偏西30。方向.某一时刻，位于彳的航拍无人机需要沿着4-。-C的路

线前往C处进行拍摄.（参考数据：

5/2*1.41,石=1.73,77«2.65)

⑴求AC的长度（结果保留根号）：

⑵航拍无人机从4出发的同时，观光热/\

气球从8出发沿着8。飞往C处继续游览，J

无人机的速度是热气球速度的3倍.无

人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄.请问热气球飞离

〃处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？

5.如图，四边形ABC。是某湿地公园的环湖步道，点A，B,C,。在同一平面，经测量，

点。在点C的正西方向，点。在点八的北偏东60。方向，点B在点C的西南方向，点8在点

。的南偏西30。方向，且8、D\D__C；D

两地相距400米，4、6长度小

于300米（参考数据：6,1.73,////

76«2.45，V7«2.65）\//^

⑴求CO两地的距离（结果保留

⑵小王和小李同时出发，小王从点。出发沿DA慢跑，小李从8出发沿84步行，小王与小

李的速度之比为3:2,若他们在A点相遇，求力。的距离（结果保留整数）.

6.某中学组织学生进行研学活动.如图，学生到达基地大门A处后按组分两条线路进行参

观体验，最后前往宣讲中心8处集合.经勘测，8处在人处的正北方，手工制作区E在8处

的南偏西60。方向且距离8处400米处，农耕体验区。在人处的正西方，农耕体验区。也在

E处的正南方600米处，户外拓展区。在3处的南偏东75。方向，户外拓展区C也在A处的

北偏东45。方向.（参考数据：0"41，75»1.73,

限x2.45）

⑴求户外拓展区C与基地大门人之间的距离.（结

果精确到（）.1）

⑵已知第一组学生沿线路①A-C-8参观体验，在

户外拓展区。处的活动时间为40分钟，第二组学生沿线路②A-O-E-8参观体验，在农

耕体验区。处的活动时间为25分钟，在手工制作区£处的活动时间为20分钟，若两组学

生步行的平均速度均为70米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达宣讲中心4处.

7.如图，A处位于A处正北方向7千米处，C处位于。处的正东方向,

东60。方向6千米处，。处在。处的东北方向.（参考数据：72«1.41，

>/3»1.73,5/6«2.45）

⑴求3与C之间的距离（结果保留小数点后一位）；

⑵甲，乙两人相约跑步，甲从。处出发，沿某方向匀速直线运动，乙

从A处出发，沿正南方向匀速直线运动.甲的速度是乙的速度的1.5倍，

两人同时出发，在A8上某处相遇.当两人相遇时，乙一共跑了多少千

米？（结果保留小数点后一位）

8.因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院力

处返回到学校C处，如图，学校C在剧院月的正北方向，小数从剧院力出发，沿北偏西60。

方向前进600m到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店8出发，沿北

偏东45。方向行走至学校C,小学从剧院片出发，沿北偏东45。方向行走至江湖菜馆D再

从江湖菜馆。出发,沿北偏西75°.方向到学校C.（参考数据：&=1.41,G。1.73,瓜x2.45）

⑴求商店6与学校。之间的距离（结果保留根号）：

（2）已知小数的平均速度为25nVmin，小学的平均速度为

30nVmin,请通过计算说明小数和小学谁先到达学校

C.通过计算说明（结果保留小数点后一位）.

参考答案

1.⑴400a米

（2）小希先到达。处

【分析】（1）过E作所_L/\A于凡延长BC交DE于H，根据题意得到△人所是等腰直

角三角形，ACDB=ZHCD-Z.CBD=30°,ZHDC=30°,进而利用等腰直角三角形的判定

与性质求得E厂-人尸-变人月-6000，CD=BC,利用含30度角的直角三角形的性

2

质得到〃。=1。。，由AC+〃C=4,求解即可；

2

（2）先由题意求得£77=8尸=1400-600后，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股

定理求得且B，=200“，B力=4（X）«,然后分别求得两人的路程，比较大小即可

3

得出结论.

【详解】（1）解：过E作EFLAR干尸,延长8c交。口干〃，如图，则，

由题意，得NEE4=/8”£)=90。，ZA=45°,ZCW=30°,ZWCD=60°,AE=1200,AB=140(),

EF=BH,

回△AM是等腰直角三角形，ZCDB=ZHCD-ZCBD=30°,NHDC=30。

=EF=AF=—AE=m)>/2

2

0CD=£?C,HC=-CD

2f

由4C+〃C=BH得8+^8=600人,

解得CD=400/，

即景点C到。的距离为400夜米:

(2)解：由题意，ZEFA=ZHBF=^BHD=90°,

团四边形“心〃是矩形,

^EH=BF=AI3-AF=\400-600人，

在RlHBO中，/HBD=30°,贝ij4/)=2〃/),

FtlBH2=HD~+BD2=3HD2得HD=-BH=200#，

3

0«D=4OOx/6,

团小希走的路程为A£+E”+H£>=I2(X)+14(X)-600X5+20()G=2244(米)，

小福走的路程为AB+B£>=1400+400^e2380(米)，

团在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，2244<2380,

团小希先到达。处.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的外

角性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

2.⑴小岛A、。间的距离为32海里；

(2)小岛8、C间的距离为128.6海里.

【分析】本题主要考查勾股定理中方位角的应用、30。所对的直角边等于斜边的一半、解一

元二次方程等，能够理解方位角的角度进行应用时解决本题的关键.

(1)先过点A作交8。于点E,通过方位角，得出各个角的角度，再用30。所对的

直角边等于斜边的一半求出边的关系，最后用勾股定理求解即可.

(2)过点。作_LC/3交于点r，通过方位角，得出各个角的角度，再用30。所对的

直角边等于斜边的一半和勾股定理结合求出边，然后用速度比求出路程比，最后用勾股定理

求解即可.

【详解】(1)解：过点人作AEJ_8。交8。于点E,

(3A岛位于8岛正西方向，C岛位于3岛的正北方•向，

团“84=90。.

团D岛位于8岛北偏西60。方向60海里处，

0ZCBD=6O°,40=60.

(3/DBE=NCBE-NCBD=90°-60°=30°,

^AEIBD,

(3/6£4=NOE4=90。.

回用..AE8中，ZBE4=90°,ZDBE=30°,

^2AE=AB,ZE4B=60c,

0£?E=ylAB2-AE2=y]4AE2-AE2=y)3AE2=»AE・

团。岛位于A岛北偏西15。方向，

oo

0ZZMB=9O+15=iO5°1

0ZDAE=/DAB-Z.EAB=105°-60°=45°,

0ZZME=45°,ZDE4=9O°,

回为等腰直角三角形，

^DE=AE,

团OA=\IDE2+AE2=>1AE2+AE2=&AE.

mDB=DE+BE=0）,BE=&E,DE=AE,

团"AE+4E=60，

解得AE=qg=30（G-l）,

0D4=V2AE=3OV2（x/3-l）=3Ox/6-3Ox/2=3O（>/6->/2）,

将灰。1.4，指。2.45代入得：

DA=30（>/6-V2）«30（2.45-I.4）=30x1.05=31.5®32.

答：小岛4。间的距离为32海里.

(2)解：过点。作交C3于点r,

团A岛位于4岛正西方向，C岛位于3岛的正北方向,

0ZCBE=9O°.

0。岛位于B岛北偏西60。方向6()海里处，

0ZCBZ)=6O°,80=60.

©DF1CB,

⑦NDFB=NDFC=90。，

0NFDB=90°-NCBD=30°，

团凡D8/中，/DFB=%。,NFDB=M

0«F=-BD=3O,

2

^DF=y)DB2-BF2=A/602-3O2=30A/3•

团甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为3:4.两海警船同时到达8岛处，

设甲海警船的速度为3x,乙海警船的速度为以，时间/,

回甲海警船的路程为3”，乙海警船的路程为4H.

03xt:4xt=3:4,

回甲海警船的航行路程Cf8与乙海警船的航行路程CfDfB之比也为3:4,

团设CB=3_y,CD4-DB=4y,

^CF=CB-BF=3y-3O,CD=4y-DB=4y-60.

/中，ZDFC=90°,CF=3y-3O,CD=4y-60,。/=30退，

团根据勾股定理：CD?=CF2+DF?,

(4y-60)2=(30x/3)2+(3y-3O)\

解得y=0(舍)，%=?.

团CB=3y=3•竿二竿六128.6.

答：小岛8、C间的距离为128.6海里.

3.(1)7.1km

(2)8.4km

【分析】(1)过点4作4〃_LA。于点〃，取交8。于点”，不妨设A〃=x,根

据题意，可知AO=5km,NKO8=75o,8M〃KD,/48M=45。，先求得NA8O=30。，那么

AB=2.r,BH=,接着利用等腰三角形的性质，得到产“=瓜，AF=2x,然后利用外

角求得N/%O=N8D4=15。，那么O/；=4，=2x,然后在RhAO”中应用勾股定理求得答

案；

(2)过点D作DN工BE千点、N,不妨设AO+。石=3x,那么=2x,/)《=3x-AO=3x-5,

BE=21—2,然后证明NEDN=30。，那么==兰述匚更，

222

x+1

BN=BE-EN=—,最后在RtZXAQN中利用勾股定理求得答案.

【详解】(1)解：

过点A作AH_L8O于点方，取Ab=A8交8。于点尸，不妨设A"=x,如图所示:

根据题意，可知A。=5km,NKDB=75。,BM//KD.ZABM=45°,

国KD//BM,

0/DBM=/KDB=15°,

回ZABD=/DBM-ZABM=75°-45°=30°,

^AHA.BD,

^AB=2AH=2x,

团8"=JAB2-AH2=瓜'

BAF=AB,AH1BD,

弹FH=RH=Cx,7AFH=/ARH=30°,

0ZKDA=90°,NKDB=75°,

BZBDA=\50,

团ZFAD=NBFA-NBDA=30°-15°=15°,

^ZFAD=ZBDA,

^AF=DF=2x,

^HD=FH+DF=y/3x+2x,BD=BH+FH+DF=2岛+2x,

团A“_L8O,

0AH2+HD2=40?，

0X2+（V3X+2X）2=52,

孙=5（遍一夜）（舍去负值），

4

5（V6-V2）5（V6-V2）

团BD=2Kx△-------+2x△-------L=5何km），

44

0x/2«1.41，

0BD«5xl.41»7.1（km）；

答：小福家8与学校Z）的距离为7.1千米.

（2）解：团小希从自己家出发，沿A-C方向匀速前往博物馆C；同时小福也从刍己

家出发，沿C方向匀速前往博物馆C,已知小希和小福的速度之比为3:4.小福到达博

物馆。后发现忘记带身份证，于是立即原速回家4处取，当他到家后得知小希正好到了。C

方向的超市七处，

团不妨设AO+OE=3x,那么28c=4x,

0BC—2x,DE—3x—AD—3x—5,

回跖的距离比8c的距离还少2千米，

^I3E=2x-2,

过点D作DN_LBE于点、N,如图所示：

azmv=3o°,

13r-5

©EN=-DE=-------,

22

0D/V=y）DE2-EN2=GEN=6X=34-

22

clL”cc3x-5XAA

0BN=BE-EN=2x-2------=-4-----4---3---+-5=---+-1

222

国DNLBE,

团BN2+DN2=BD2,

团（学J+产学卜5&）\

回xJ1+13夜（舍去负佳），

7

…c11+13夜22+26夜八\

0BC=2x--------=---------（km）,

77v7

l3x/2«1.41，

22+26x1.41

~T~«8.4（km）.

答：博物馆C与小福家4的距离为8.4千米.

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半,

平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键.

4.⑴2G

(2)1.6千米

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点:，利用辅助线构

建直角三角形是解题的关健.

(1)过8作用?_LAC于点E,则AE=CE,解RtZXABE求出AE,即可解答；

(2)由题意可知，无人机在A-O-C上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，则令其

距离恰好为1千米进行计算，设无人机在。C上的“处，距气球N刚好1千米，即MN=1,

过N作NK_LCM于点K,设用V=x,则AO+ZW=3x,利用解直角三角形和线段的和差，

表示出MK、NK,再利用勾股定理建立方程，即可得解.

【详解】(1)解：由题可知，A4=2千米，ZABC=90°+30°=120°,/84。=90。一60°=30。，

则VA8C中，ZACB=\80°-ZABC-ABAC=30°,

团N44C=ZAC4,A4=BC=2千米，

如图，过8作8E_LAC于点E,则4E=CE=』AC,

2

在RtAABE中，AE=ABcosZBAE=AB-cos30°=2x（千米）,

^AC=2AE=2xy/3=2y/3（千米），

答：AC的长度为2#千米;

（2）解：由题意可知，无人机在A-。-。上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，

如图，设无人机在。C上的〃处，距气球N刚好1千米，即MN=1,过N作NKJ.CM于

点K,则NNKC=NNKM=90。，

t北

勺

二

—

设BN=x,

团无人机的速度是热气球速度的3倍

0AD+DM=3x,

图8在4的正东方向，。在C的正西方向，即A4CD,

0ZACD=ZBAC=30°,

l?l/DAC=900,AC=2^3,

团4。=ACtanNACQ=ACtan300=2Gx9=2,CD=2AD=4,

3

团DM=3x-2,CM=CD-DM=4-（3x-2）=6—3x,

在Rl.NCK中,NNKC=90。，ZNCK=ZACB+ZACD=60°,NC=BC-BN=2-x,

团CK=《NC=1x,NK=A^Csin60°=（2-x）x-^=

22v722

0MK=CM-CK=6-3x—(1—gx)=5-1x,

在RL^MNK中，NK?+MK?=MN?,

即伉一2〕+"%]=12

2)[2)

解得x=2土也，

7

0BN〈BC=2,

0BN=2-—*1.6(千米)；

7

答：热气球飞离〃处L6千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球.

5.⑴(2(X)6—200)米

(2)203

【分析】本题考查/解直用三角形中方向角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键.

(1)过点3作8E_LCO,交CD的延长线于点E,在中求出瓦"DE,在RjBCE

中得到CE,从而得到结果；

(2)过点A作。。的平行线，交BD于点、F,过点/作bG_LAO于点G,过点8作

于点H,依题意得m：43=3:2,在RtzXAG/7中求出心,在RtZ\8"尸中得到“尸，BH,

在RtZ\A”8中，由勾股定理列方程即可求解.

【详解】(1)解：如图，过点8作8E_LCQ,交C。的延长线于点£,

依题意得：ZEDB=60°,ZC=45°,

ZEBD=30°.

.\ED=-«D=200m.

2

:.BE=^Blf-EDr=200x/3m•

.•ZC=45°,乙EBC=43°.

/.BE=CE=200Gm.

CD=（200>/3-200）m.

答：。。两地的距离为仅C0G-200）米.

（2）解:团小王与小李的速度之比为3:2,

AD:AB=3:2.

设AD=3AIYI,则AB=2ATB,

如图，过点A作CD的平行线，交8。于点尸，过点尸作巾_L于点G,过点B作BH_AF

于点H,

依题意得，NA4尸=30°,

AF//MC,

/.ZDAFZMDA^3O0.

ZADF=90°-30°-30°=30°.

/.ZaAF=ZADF=30°.

：.AF=DF,ZAFD=120°.

.-.ZAMJ=60°.

4HBF=30°.

QFGJ.AD,

:.AG=-AD=-xm.

22

/.cosZGAF=cos300=—=—

AF2

AF=Qrm.

/.DF=Gvm.

BF=BD-DF=(400-m.

HF=-BF=\200--x\m.

22

Xz

fiH=^200V3-1x^m,AH=AF-HF=y/3x-^2OO-x^=乎x—200m.

在RtzXA〃6中，AH~+BH2=AB2，

即(孚x-200、+(20()G-|X)=(2X『，解得X=120有±40板，

•/AB<30()m,

/.x=120x/3-40x/7.

二.AB=240G-8077»203m.

答：A8的距离为203米.

6.⑴户外拓展区C与基地大门A之间的距离约为890.7米

⑵第一组学生先到达宣讲中心4处，计算见解析

【分析】此题考查了解直角三角形应用，矩形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键.

（1）过点E作所JLAB于点尸，过点6作8G_LAC于点G；求出8尸=g/3£=200.证明

四边形A0E厂为矩形，得到4/=。石=600,AB=S00.

则AG=8G=400夜.CG=竺炖，则3c=2CG=2区,即可得到答案；

33

（2）分别求出线路②和线路①的改度，得到答案后比较即可：

【详解】（1）解：过点E作斯于点尸，过点8作8GJLAC于点G；

由题可知：BE=400,。E=600,Z£SF=60°,ZA8c=75°,ZBAC=45°,

在Rt△现下中，团@厂=60°,

0/8上万=3。°,

团8尸=，BE=200.

2

团NE必=/BAD=N。=90°,

团四边形「为矩形，

(3A/=。片=600,

0AB=AF+BF=6OO+2OO=8OO.

在RtZxABG中，0Za4G=45°,

^AG=BG=—AB=400及.

2

在RtBCG中,0ZCBG=75°-45°=30°,

用“G"400680。m

lilCO=/JG=-----------,/SC=zco=------,

333

团4C=AG+CG=4(X)V2.顿"«890.7(米)

3

答：户外拓展区C与基地大门A之间的距离约为890.7X.

(2)在中，0Zfi£F=3O°,

0EF=6BF=200后.

由(1)可知：四边形AOM为矩形，

0AD=EF=20()6，

团线路②：AD+DE+13E=200>/j+600+4()0=2OOx/3+1000.

团死=说也…(Xg竺巫，

33

团线路①：AC+BC=+400^+=400x/2+400^.

33

回第一组学生共用时：迎正士叫巫+40=62.1(分钟：)

70

团第二组学生共用时：2(X)6+1000+25+20才64.2(分钟)

70

[2162.1<64.2

团第一组学生先到达宣讲中心。处.

7⑴1.2千米

(2)3.5千米

【分析】(1)如图所示，过点。作DESAB于点E,过点。作bJLOE于点E解直角三

角形求出AE,DE,然后求出8后=48-他=7-3=4,证明出四边形8(才后是矩形，得到

CF=BE=4,证明出VC。r是等腰直角三角形，得到。卜=忆=4,进而求解即可；

(2)如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，根据题意得到QG=L5AG,设AG=x,则

DG=l.5AG=\.5x,然后根据勾股定理求解即可.

【详解】(1)如图所示，过点。作总工A6于点E,过点。作于点E,

»东

BC

044=60。

0BE=AB-AE=7-3=4,

^DEIAB.CFVDE,AB1BC

回四边形8c正是矩形

^CF=BE=4

0ZFCD=45°,CFLDE

团V6尸是等腰直角三角形

□£>F=FC=4

BC=EF=E