2025-2026学年人教A版高中数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷

人教A版数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷

（时间：120分钟分值：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线/i：at+3y+〃2—5=0,b：尤+（。-2）y+4=（）,若两条直线平行，

则实数。=（）

A.-1B.1

C.3D.-1或3

2.若直线4上+3y-12=0与两坐标轴的交点为A,B,则以为直径的圆

的方程为（）

A.3x—4y=0

B.Ar+y2—4x-3y=0

C.x2+y2+3x+4y=0

D.f+V+4x+3y=0

3.已知A,B,C三点不共线，。是平面ABC外一点，下列条件中能确定

点M与点A,B,C一定共面的是（）

A.OM=OA+OB+OC

B.丽=旅+2而+3配

C.OM=-2OA^--2OB-\--2OC

D.OM=-OA-\--OB-\--OC

333

4.已知双曲线C：1一、=1（。＞0，。＞0）的右焦点到它的一条渐近线的距离

为4,且焦距为10,则。的离心率为（）

5.在三棱柱A8C-A出G中，底面边长和侧棱长都相等，/C4A=NBA4

=60。，则异面直线8G与Ab所成角的余弦值为（）

6.已知向量〃=(—1,1,0),5=(1,0,2),且履+〃与a—25互相平行,

贝|Jk=()

ii

4

7.设A是抛物线C：V=-4x上的动点，8是圆M：。+8)2+)2=1上的动

点，则|A8|的最小值为［)

A.V30-1B.4V2-1

C.2V7-1D.27

8.已知过点P(l,3)的直线/被圆。一2尸+)2=4截得的弦长为2K，则直

线/的方程是()

A.4x+3y—13=0

B.3x+4y-15=0

C.3x+4y—15=0或x=l

D.以+3)，-13=()或上=1

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得。分.

9.已知圆C：x2+)2=9,圆C2：(x-3)2+(y+4)2=9,且G与C2交于P,

。两点，则下列结论正确的是()

A.圆C1与圆C2关于直线PQ对称

B.线段尸。所在直线的方程为6X一8)，-7=0

C.圆G与圆C2的公切线方程为4x+3)，T2=0或4x+3)，+12=0

D.若A,8分别是Ci与C2上的动点，则|AB|的最大值为11

10.如图所示，长方体ABCD-A\B\C\D\的底面ABCD是边长为1的正方形，

长方体的高为2,E,尸分别在A。，AC上，且小七=|4。，AF=^ACf则下列

结论正确的是()

A.EFLA\D

B.EF//BD\

C.异面直线E厂与C。所成角的余弦值为当

D.平面E4C与平面ACQ的夹角的正切值为鱼

11.已知尼分别是椭圆E：［+马=1(〃>/»())的左、右焦点，P是椭圆

a，

E上一点，且|PQ|W|PB|,cos/户入凡=3则下列结论正确的是()

A.椭圆£的离心率为,

B.椭圆E的离心率为g

C.PF\VPFz

D.若△尸QB内切圆的半径为2,则椭圆E的焦距为10

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知«=(1,—1,3),b=(—1,4,—2),。=(1,5,/),若。，仇c

三向量共面，则实数x=.

13.已知椭圆氏\+\=1(公>方>0)的右焦点为产(4,0),过点”的直线交椭

圆E于A,8两点.若A8的中点坐标为M(l,—1),则勺=

14.已知直线/过抛物线C：产=2/>(〃>0)的焦点，与C相交于A,B两点,

且|A阴=1().若线段AB的中点的横坐标为3,则〃=；直线/的斜率为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

15.(13分)已知空间中三点A(〃z,-1,2),8(3,1,-4),C(l,〃，一1).

(1)若A,B,C三点共线，求〃的值；

(2)若〃=0,且荏，府的夹角是钝角，求实数〃，的取值范围.

16.(15分)已知圆C经过点A(0,2)和点伙L3),且圆心C在直线人一、一1

=0上.

(1)求圆。的方程；

(2)若线段DE的端点。的坐标是(4,3),端点E在圆C上运动，求线段QE

的中点M的轨迹方程.

17.(15分)已知抛物线Cy2=2px(0<p<10),尸为抛物线的焦点,。⑻yo)

为抛物线上一点，点£为点。在x轴上的射影，且|OE|=g|OF|.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线/与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点，OA_LO以求证：

A8过定点.

18.(17分汝口图，点E在△ABC内部，。七是三棱锥。-ABC的高，且0E=

2.△48。是边长为6的正三角形，DB=DC=5,尸为BC的中点.

(1)求证：点E在只产上；

(2)点G是棱AC上的一点(不含端点)，求平面DEG与平面BCD的夹角的余

弦值的最大值.

19.(17分)己知椭圆C摄+3=1*0)过点(1,1),且长轴长等于4.

(1)求椭圆C的方程；

⑵若R,乃是椭圆C的两个焦点，圆。是以FiB为直径的圆，直线/：y

="+m与圆。相切，并与椭圆C交于不同的两点A,B,若瓦5•通=—|,求

%的值.

人教A版数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷

(时间：120分钟分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线/i：at+3y+〃2—5=0,b：尤+(。-2)y+4=(),若两条直线平行,

则实数。=()

A.-1B.1

C.3D.-1或3

C[因为/i:一+3卜+。2—5=0,/2：x+(a-2)y+4=0,

由/1〃/2可得〃(。-2)-3X1=0且4a—(°2—5)#0,解得。=3.]

2.若直线4工+3y-12=0与两坐标轴的交点为A,8,则以为直径的圆

的方程为()

A.x2+y2-3x—4y=0

B.记++2-41一3)，=0

C.F+y2+3x+4y=0

D.『+)2+4x+3y=0

A[直线4x+3y-12=0与两坐标轴的交点分别为A(3,0),B(0,4),则以

AB为直径的圆的圆心坐标为(I，2),半径为+牛=|,故圆的标准方程为

(x-|)+(y—2)2=g,化为一般式为炉+)，2—3X一4)，=0.]

3.已知A,B,C三点不共线，。是平面4BC外一点，下列条件中能确定

点M与点A,B,。一定共面的是()

A.OM=OA+OB+OC

B.~OM=OA+2OB+3OC

1.....)1.....•1一31

C.OM=-2OA-}-2-OB+-2OC

D.OM=-OA-\--OB-\--OC

333

D[由丽=三西+工丽+工小，得丽-OA=-(OB-OA)-\--(OC-OA)f

33333

^AM=-AB+-AC所以A,B,C,M四点共面.]

33f

2y,2

4.已知双曲线C：弓Y一卷=1（。＞0，疣＞0）的右焦点到它的一条渐近线的距离

a，b'

为4,且焦距为1（）,则。的离心率为（）

A.-B.-

35

C.-D.-

34

C［因为焦距为2c=10,所以c=5,右焦点（5,0）,。2+序=25.

双曲线C:盘一沪1的渐近线方程为bx±ay=0r

所以右焦点到它的一条渐近线的距离为d=y===—=b

y/a2+b25y

所以8=4,a=Vc2-b2=yjs2-42=3,

所以离心率e=£=Z.

a3

故选C.］

5.在三棱柱A8C-4%C'i中，底面边长和侧棱长都相等，ZCAAi=ZBAA\

=60°,则异面直线BG与ABi所成角的余弦值为（）

A心B.更

63

C.—D.-

35

A［在三棱柱ABC-AHCi中，底面边长和伊，棱长都相等，ZCAA\=ZBAA\

设棱长为1,^C^B=AB-AC1=AB-AC-AAif砧=超+丽\

所以布・AB^=(AB-AC-AA^)•(AB-]-AA^)=AB•四十四・标-

AC•AB-AC•丽一丽•前一国•A4^=l24-lXlXcos60°-lXlXcos60°

-IXlXcos600-IXlXcos60。-12=-1.

而|c/|=(AB-AC-AA^2=\AB\+\AC\+M4|~2AB•AC+lAC

-2AB瓯=1+1+I-2X1X1Xcos60o+2X1XIXcos600-2X1X1Xcos60°

=2,|福|2=(通+砧)2=|而F+|前F+2通・何=1+1+]=3,

所以cos〈印,函〉=普普一画，所以异面直线8G与A8

|CjIv2X\»36

所成角的余弦值为渔.故选A.]

6

6.已知向量。=(—1,1,0),b=(l,0,2),且kz+力与Q—2方互相平行,

则k=()

D伙。+方=(一攵+1,k,2),2b=(—3,1,-4),则*=与=3■，解得

—31—4

—£

故选D.]

7.设A是抛物线C：)2=-4x上的动点，8是圆M：(x+8)2+)2=l上的动

点，则|48|的最小值为])

A.V30-1B.4V2-1

C.2V7-1D.27

C[由圆M:。+8)2+,2=1,

可知圆心M(-8,0),半径为1,

如图，设A(-?,m),

则|AMF=(一叱+8)+m2=-m4-3,n2+64=—(/n2-24)2+28,

\4/1616

当n?2=24,即相=—2%时，

HMz取得最小值28,

所以|AM|min=2夕，所以|AB|min=2被-1.]

8.己知过点P(l,3)的直线/被圆(X—2>+)2=4截得的弦长为2H，则直

线I的方程是()

A.4x+3y—13=0

B.3人+”15=0

C.3x+4y—15=o或x=l

D.4x+3），-13=0或x=l

D［圆。-2）2+）2=4的圆心为（2,0）,半径为尸=2,圆心到直线/的距离

为d=,22_（遮）2=1.

①若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为X=l,此时圆心到直线/的距

南为1,符合题意；

②若直线I的斜率存在，可设直线/的方程为y-3=«x-l）,即日一），+3

—k=0,

圆心到直线/的距离为d=耳拿幺=粤工=1,解得出=—±.此时直线/的

Vk2+1Vk2+13

方程为4x+3y-13=0.

综上所述，直线/的方程为4x+3y—13=0或x=l.故选D.］

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得（）分.

9.已知圆C：f+）2=9,圆Q：（工一3）2+0+4产=9,且Ci与C2交于P,

Q两点，则下列结论正确的是（）

A.圆Ci与圆C2关于直线PQ对称

B.线段PQ所在直线的方程为放一8），-7=0

C.圆G与圆C2的公切线方程为4戈+3yT2=0或4x+3），+12=0

D.若A,B分别是G与C2上的动点，则|AB|的最大值为11

AD［如图所示，对于A,两圆的半径均为3,则PQ为线段CC2的垂直平

分线，故圆G与圆C2关于直线PQ对称，A正确；

对于B,因为圆G与圆C2相交，所以两个方程相减可得直线PQ的方程为

6A-8y-25=0,B错误;

对于C,因为圆G与圆C2相交，所以两圆有两条公切线，

又两圆的半径相等，所以公切线与GC2平行，即公切线的斜率攵=匕CiQ一

_4

设公切线方程为），=一千+〃，即4叶3厂3b=0,所以3=溪匕，解得

±5,所以。与C2的公切线方程为4+3），-15=0或4x+3y+15=0,C错误；

对于D,|A5|的最大值为|。。2|十内+9=次率年+3+3=11,D正确.]

10.如图所示，长方体45co-AIBCIDI的底面A3CQ是边长为1的正方形，

长方体的高为2,E,F分别在4Q,AC上，且AiE=（4D,AF=^AC,则下列

结论正确的是（）

A.EF±A]D

B.EF//BD]

C.异面直线石厂与C。所成角的余弦值为萼

6

D.平面EAC与平面ACQ的夹角的正切值为鱼

BCD[以。为原点，DAfDC,西的方向分别为占y,z轴正方向，建立

如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0),4(1,0,0),B(l,1,0),C(0,1,0),Di(0,0,2),EQ,0,

I),F(|,A,0),4(1,0,2),

所以西=(一1,-1,2),FF=(-1,I),币=(-1,0,-2),AC

=(-1,1,0),

丽=(-1,-1,0),CD=(0,-1,0).

因为质・Z^=1+o--=-i^o,

所以E/LL4。不正确，故A不正确；

因为西=3朋，且与尸£不在同一条直线上，所以EF〃BDi,故B正

确；

因为cos<FE,而〉=罕吧=些，故C正确；

JI-6

前=%b4)，元=(T，1，。)，

设平面EAC的法向量为机=(x,yfz),

(m-~EF=-%4--y--z=0,

则__333不妨取x=l,

{m*AC=—x■]-y=0,

则〃i=(l,1,1)是平面E4C的一个法向量，

又平面AC。的一个法向量为〃=(0,(),1),

设平面E4C与平面AC。的夹角为仇

所以cos9=|cos(m,n)|=|ot°+1|=±

VJX，V3y

所以sin-J」图2d

tan<9=V2,故D正确.

故选BCD.]

Y2”2

ii.已知四，乃分别是椭圆E：3+2=im>z»o)的左、右焦点，。是椭圆

E上一点，且|PFi|=[|尸色cos/尸入凡=£则下列结论正确的是()

A.椭圆E的离心率为,

B.椭圆E的离心率为g

C.PF\LPF2

D.若△/"产尸2内切圆的半径为2,则椭圆E的焦距为10

ACD[由|PFi|+|P@|=2%伊川=之巴也

3

解得|PFi|=),I尸网=",则

\PF\2^\FF\2-\PF\2

cosZ.PFiF\=2121

2|PF2||F1F2|

4c2_±Q2

=0=-,整理得5次+1835c2=0,

—ac5

即(a+5c•)(5a-7c)=0,则〃=-5c(舍去)或〃=%,故椭圆E的离心率为与

57

A正确，B不正确;

由a=-c,得IFiBluZcuUq,

57

则|尸产1|2+甲尸2『=回产2|2,

故PFl上PF2,C正确;

由PF|_LPP2,△PFIB内切圆的半径为2,

得：X(|PFi|+1PB|+1产E|)X2

=i|PFi|X|PF2|,

即9(衣+自+/。)义2=/沁)，

==

解得。=7,又c-(if故c5,

即椭圆£的焦距为1(),D正确.]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知。=(1,—1,3),力=(—1,4,—2),c=(l,5,幻，若a,b,c

三向量共面，则实数入=

5[«=(1,—1,3),0=(—1,4,—2),

c=(l,5,x),若a,b,c三向量共面，

设c=〃m+〃〃，即(1,5,x)=(/n,-/n,3"。+(一〃，4〃，一2")=(7"一〃，4〃

一〃2,3m—2〃)，

1=m—n,fm=3,

所以5二4n—771,解得卜1=2,所以K=5.]

/=3m-2n,(x=5,

13.已知椭圆石：马+旨=1(。＞比＞0)的右焦点为/(4,0),过点尸的直线交椭

圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为M(l,—1),则与=

7[设A(xi,)，i),8(X2,刈，

信+[=+

则””

+油=1，

作差得(必+人2)(八一七)|(%+乃乂九一%)—Q

所以旅=皿=一与乂山.

2

xi-x2ayi+y2

因为A3的中点坐标为M(l,-1),

所以XI+X2=2,y+)，2=—2,

h2i

所以kAB=F=kMF=；.]

a23J

14.已知直线/过抛物线C)2=2px(/»0)的焦点，与C相交于A,B两点,

且|A8|=10.若线段A8的中点的横坐标为3,则〃=；直线/的斜率为

*

412[抛肪线C:产=2/»(/>0)的焦点0),

设A(xi,)“)，伙北，户)，由一阴=10,

可得|AB|=|AQ+尸8|=(%i+：)+(x2+)=xi+x2+p=10.

又打+”2=3,则月+加=6,故〃=4,

此时抛物线C:/=8x,其焦点F(2,0).

由题意可得直线/的斜率存在，

则其方程可设为)，=奴工-2),

由，/="(%—2),整理得^r2一%3+2求+43=0,

ly2=8x,

_4(H+2)

%1

/=64(M+1)>0,则g一k2‘

=4,

所以J(1+H)[G1+%z)2-4/超]=1°，

即J(1+/C2)[^^-4X4]=10,

即J(l+C2)x64(；i)=](),解得％=±2.]

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

15.(13分)己知空间中三点A(加，-1,2),B(3,1,-4),C(l,/?,一1).

(1)若A,B,。三点共线,求〃?+〃的值；

(2)若〃=(),且而，前的夹角是钝角，求实数〃?的取值范围.

解：(1)由题意可得而=(3—〃7,2,-6),

BC=(—2,n—1,3).

因为A,B,C三点共线，

3—m=-2k,

2=/c(n-l),

{—6=3k,

m=-1,

n=0,因此/〃+〃=—1.

{k=-2,

(2)若〃=0,则玩=(一2,-1,3).

因为而，玩的夹角是钝角，

则(而・~BC=-2(3-m)-2-18<0,

(m-1,

解得m<13且mW-l.

因此实数"?的取值范围是(一8,—1)U(—1,13).

16.(15分)已知圆。经过点A(0,2)和点8(1,3),且圆心C在直线x-y-l

=0上.

(1)求圆C的方程；

(2)若线段OE的端点。的坐标是(4,3),端点E在圆。上运动，求线段OE

的中点M的轨迹方程.

解：⑴设圆。的方程为f+)2+以+£)，+尸=0(3+/一478))，

故圆心为(一日，-0.

(4+2E+F=0,(。=一4,

由题意得|l+9+O+3E+F=0,解得|E=-2,

居-6)…。，"

所以圆。的方程为f+y?—4x-2y=0.

(2)设点M的坐标是(x,y),

点七的坐标是(炖，yo).

因为点。的坐标是(4,3),

且M是线段。上的中点，

所以x=竽，),=等.

故xo=2x—4,yo=2y—3.①

因为点石在圆。上运动，所以点E•的坐标满足圆C的方程，

即诏+据——4xo—2州=().②

把①代入②，得(2工-4)2+(2)，-3)2—4(2丫-4)一2(2)，-3)=(),

整理，得。一3)2+6，-2)2=*

所以线段DE的中点M的轨迹方程为。-3)2+0-2)2=：.

17.(15分)已知抛物线C：)，2=2〃x(()<p<10),尸为抛物线的焦点，0(8,yo)

为抛物线上一点，点E为点。在x轴上的射影，且

(1)求抛物线。的方程；

(2)若直线/与抛物线C交于A,B两点,。为坐标原点，0A_L08,求证：

46过定点.

(1)解：由题可知伙)|=4四，

则|£)£|=47?,|QQ=8+2

因为|。£|=三。尸所以4]=48+察

平方后化简得p2—68p+256=0,

解得p=4或p=64.

因为OvpvlO,所以〃=4,

所以抛物线C的方程为)，2=8x.

(2)证明：当直线/的斜率为。时，直线/与抛物线交于一点，不符合题意，

所以直线/的斜率不为0,

可设直线/的方程为x=/町，+〃(〃W0).

设A(XI,V),B(X2,⑼，

联立俨一my+''消去X并整理得y2—8四，-8〃=0,

Ly2=8x,

4=64瓶2+32鹿.

当/>0时，由一元二次方程根与系数的关系可得

yi+)'2=8/72,yiy2=-8〃，

所以XI•X2=£,y=n2.

又OA_LO5所鼠函・砺=xiX2+yi)，2=〃2—8〃=0,

解得〃=8,此时满足/、0,

所以A3过定点(8,0).

18.(17分)如图，点E在△ABC内部，OE是三棱锥。-ABC的高，且OE=

2./XABC是边长为6的正三角形，DB=DC=5,/为BC的中点.

(1)求证：点E在A厂上；

(2)点G是棱AC上的一点(不含端点)，求平面DEG与平面BCD的夹角的余

弦值的最大值.

⑴证明：连接EADF.

因为。£1是三棱锥Q-A8C的高，即OE_L平面A8c.

因为8Cu平面ABC,

所以DELBC.

因为DB=DC=5,F为BC的中点、,

所以DF工BC.

因为DECDF=D,DE,DFu平面DEF,

所以3CJ_平面DEF.

因为£7七平面DEF,

所以BC.LEF.

又因为△ABC是边长为6的正三角形，BC的中点为凡

所以8。J_A/，即点后在A尸上.

(2)解：结合(1)得，AF=3®DF=7BD2—BF?=4,EF=\/DF2-DE2=

2V3,AE=AF-EF=\f3.

过点、E作EH〃BC,交AC于点H,

结合(1)可知EH,E。两两垂直，

所以以E为原点，EF,而,前的方向分别为x,)，，z轴的正方向，建立如

图所示的空间直角坐标系，

则4(一遍，0,0),8(2百，-3,0),C(2V3,3,0),。(0,0,2),

所以前=(一2遥,3,2),前=(0.6,0).

设平面BC。的法向量为次=3,yi,zi),

则[丽・m=0,即(一2d+3yl+2z1=0,

18c•m=0,16yl=0.

取xi=1,则zi=V5,yi=0f所以〃z=(l,0,遮)是平面BCD的一个法向

量.

因为衣=(3j5,3,0),E4=(-V3,0,0),

FD=（0,0,2）,设刀=2而，2e（0,1）.

所以前=源+2前=（一百，0,0）+A