2026年九年级中考数学专项复习：二次函数动点问题

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练

一、单选题

1.（25-26九年级上•天津•月考）四边形4BCD中，ADWBC,Z-B=90°,/IF=8cm,AD=

10cm,FC=16cm.动点”从点B出发，以2cm/s的速度沿边84、边力。向终点。运动；4点N

从点C同时出发，以lcm/s的速度沿边CB向终点8运动.规定其中一个动点到达终点时，另

--个动点也随之停止运动,设运动的时间为ts.当t=2s时，点M,N的位置如图所示.有

下列结论：①当t=6s时，CN=DM；②当1<t<2时，△BMN的最大面积为28cm2：③t有

两个不同的值满足ABM/V的面积为39cm2.其中，正确结论的个数是（）

2.（24-25九年级下•江苏南京・开学考试）如图，正方形力BCD的边长为6,动点、E从点、A向点B

运动，到点B时停止运动：同时，动点F从点C出发，沿C-。tA运动，到点4时停止运动.点

厂的运动速度是点E的运动速度的2倍，设点上的运动路程为4,的面积为y,能大致刻

画y与3的函数关系的图象是（）

3.（25-26九年级上•天津•期末）如图，△48C中，48=90。，AB=6cm,BC=8cm,动点

M从点A出发，以lcm/s的速度沿边匀速运动；同时动点N从点8出发，以2cm/s的速

度沿边8c匀速运动.当其中•个动点到达终点时，另••个动点也随之停止运动.设运动的

时间为ts.有下列结论：

①当t=2时,BM=BN；

②当04£44时，△8MN的最大面积为12cm2；

③/有两个不同的值满足aBMN的面积为8cm2.

其中，正确结论的个数是（）

4.（24-25九年级下•山东荷泽・期中）如图是边长为4的正方形力8CZ）,动点P以每秒1个单

位的速度从点4出发沿力。方向运动，动点Q同时以每秒3个单位的速度从B点出发沿正方形

的边凤;-CD-04方向逆时针运动，当点尸与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t秒,

以点Q,P,8为顶点的三角形的面积为S,则能够反映S与t之间函数关系的图象大致是（）

试卷第2页，共8页

5.（天津市南开区2025-2026学年上学期九年级数学期末试题）如图，△48C中，△8=90°,

AB=12mm,BC=24mm.动点P从点A出发，以2mm/s的速度沿边48向终点8运动；

动点。从点B同时出发，以4mm/s的速度沿边8c向终点。运动.设出发时间为ts.有下列

结论：

①当t=2s时，AP=CQ；②当145时，△8PQ的最大面枳为36mm2：③/有两个不同

的值满足△BPQ的面积为四边形4PQC面积的（其中，正确结论的个数是（）

6.（2024•安徽•模拟预测）如图，在RtA/lBC中，Z-ACB=90°,Z.A=30°,AB=3cm.动

点P从点力出发，以lcm/s的速度沿射线匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出

发，以旧cm/s的速度沿射线4c匀速运动.当点P停止运动时，点Q也随之停止运动.在PQ

的右侧以PQ为边作菱形PQMN,点N在射线48上.设点P的运动时间为x（s）,菱形PQA1N与

△48。的重叠部分的面枳为y（cm2）,则能大致反映y与％之间函数关系的图象是（）

二、填空题

7.（19-20九年级上.内蒙古通辽.期中）如图,在△ABC中,ZB=90°,AB=\2mmtBC=24mm,

动点、P从点A开始沿边AB向8以2mmis的速度移动（不与点4重合），动点Q从点8开始

沿边向。以4小〃曲的速度移动（不与点。重合）.如果尸、Q分别从4、B同时出发，那

么^PBQ的面积S随出发时间，变化而变化，写出S关于，的函数解析式及，的取值范

围

8.（21-22九年级上•贵州遵义•月考）如图1,正方形ABCD中，点E为AB的中点,连接CE,

动点P从4点出发，沿力—运动，同时，动点Q从A点出发，沿40向点0运动，P,

Q两点同时到伙点0,设点P的运动时间为x（s）,△4PQ的面积为y（cn[2）,则y关干x的函数图

象如图2,当△/1PQ与ACBE全等时，0P的长为cm.

9.（25-26九年级上•天津滨海新•月考）如图，在△ABC中,28=90。,AB=6cm,8c=12cm,

动点P从点4开始沿边43向B以lcm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点8开始沿边BC

向C以2cm/s的速度移动（不与点。重合）.如果P,Q分别从48同时出发，那么经过秒，

四边形APQC的面积最小.

10.（20-21九年级•湖南株洲咱主招生）在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图

形叫做满足该条件的点的轨迹.例如：动点P的坐标满足所有符合该条件的点

组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=工-1的图象.即动点P的轨迹就是直

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线y=x-1.

(1)若ri满足等式根九一m=6,则(m,n—1)在平面直角坐标系％0y中的轨迹是；

(2)已知点Q(l,4),若点P(%,y)在到点力(0,1)的距离与到直线y=-l的距离相等的点的轨

迹上，则△APQ周长的最小值为.

11.(24-25九年级下•山东济宁・月考)如图I,△48c是等边三角形，点。在边48上,BD=2,

动点尸以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线5C-&4匀速运动，到达点力后停止，

连接。尸.设点P的运动时间为£(s),DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数

图象如图2所示.有以下四个结论：①48=3；②当£=5时，y=l；③动点P沿BC—CA匀

速运动时，两个时刻0,t2(ti<£2)分别对应力和%，若h+t2=6,则>y2；④当4<t<6

时，lWyW3.其中正确结论的序号是.

12.(25-26九年级上•四川绵阳・月考)如图，已知抛物线y=1x2+x-4的图象与％轴交于4,8

两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,在y轴正半轴有•点E满足。C=2OE,点P为直线北

下方抛物线上的一个动点，连接P4/E,过点E作EFII/P交工轴于点『,“为、轴上一个动点，

N为x轴上一个动点，平面内有一点6(-］一§,连接PM,MN,NG,PF,当最大时，

则PM+MN+NG的最小值.

三、解答题

13.(25-26九年级上•湖北武汉・月考)如图，抛物线y=Q/+蔡x+c与x轴交于点A,B

两点，直线y=gx+5与抛物线交于点A及点C(3,n),点P为抛物线上一动点，其横坐标为

，小顶点为凡

(1)求抛物线解析式及顶点坐标F；

(2)如图1,若点P为抛物线对称轴右侧x轴下方的一动点，连接A尸、BF、PF,PF交线段A8

于点M,N是AF上一动点(均含端点)，连接MN,若=并且FM=MN时，求

点。的坐标.

⑶如图2,若点夕为x轴一方的抛物线卜的一动点，点N是点P关干对称轴的对称点，连接

PN与直线4c交于点M,过点M作ME1》轴于点E,过点N作ND1x轴于点D,设矩形MNDE

的周长为C.

①求。与机的函数关系式；

②结合函数图像探究说明，当C随阳的增大而增大时机的范围.

)4.(25-26九年级上•天津・月考)如图，在四边形力8C。中,乙B=90°,匕BAD=120°,AB=

5cm,AD=9cm,DC=12cm,BC=16cm.动点A7从点B出发，以2cm/s的速度沿边9/、

边40、边0c向终点C运动；动点N从点。同时出发，以lcm/s的速度沿边C8向终点B运

动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为£5.

(1)当亡=?$时，判断线段CN与。M的长度是否相等，并说明理由；

(2)当点M在边A8上运动时，求48MN面积的最大值；

(3)是否存在t的值，使得ABMN的面积为38cm2?若存在，直接写出符合条件的t值；若不存

在，请说明理由.

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15.(2025・重庆•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+1％+4(。40)交

x轴于A、8(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,若taM&40=2.

(2)P是直线8C上方抛物线上的•动点，过点户作PM||T轴交直线BC于点M,过点P作PN1

BC于点M”为直线BC上的一动点.当［PM+4PN取得最大值时，求14H-P”的最大值：

(3)将该抛物线沿C力方向平移隔个单位长度得到得新抛物线y',Q为新抛物线y'上的一个动

点.当=时，请求出所有符合条件点。的坐标.

16.(25-26九年级上.重庆・月考)如图，抛物线y=+以+3(Q。0)和％轴相交于点

力(一3,0)、8(1,0)两点，交y轴于点。，顶点为点。，点C'是点C关于抛物线对称轴的对称点,

过点。作OG_Lx轴于点G.

O4加

图1备用图

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是线段相上方抛物线上一点，过点P作PH1%轴交工轴于点H,交线段”•与

点Q,当四边形PCQU的面积最大时，在线段P4上有一动点M,在线段OG上有一动点N,在

y轴上有一动点E,且满足MN1PH,连接HM、MN、NE、DE,求AM+MN+NE+ED的

最小值；

(3)将抛物线沿射线&4方向平移或个单位得到新抛物线.点尸为新抛物线对称轴上一动点，

连接”.、OF,当上时，请直接写出所有符合条件的点/,•的坐标.

17.(25-26九年级上•重庆铜梁•期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Q/+bx+

4(。HO)交x轴于A、B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接力C,若。。=2。4

一用一

⑴求抛物线的解析式；

(2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PN1BC于点N,若E为)，轴上的一动点，

产为该抛物线对称轴上的一动点.当PN取得最大值时，求AF+EF+EP的最小值；

(3)将该抛物线沿AC方向平移y个单位长度得到新抛物线y',Q为新抛物线y'上的一个动点,

当乙Q8C-4AC。=45。时，请求出所有符合条件点。的坐标，并写出其中-种情况的解答

过程.

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参考答案

I.D

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用.当t=6s时，点M在AD上，

求出DM,CN,可判断①；当1W£W2时，点M在48上，利用三角形面积公式求出△BMN的

面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在AB上时，点M在力。上，

结合ABM/V的面枳为39cm2,歹U出方程，可判断③.

【详解】解：根据题意得：点M在48上的运动时间为［=4s,点M在AD上的运动时间为弓=

5s,点N在C8上的运动时间为16s,

①当t=6s时，点M在力。上，

此时力M=2x6-8=4cm,CN=6cm,

:.DM=AD-AM=6cm,

：.CN=DM,故①正确；

②当lWtW2时，点M在48上，

此时8M=2tcm,CN=tcm,

:,BN=(16—t)cm,

2

:EBMN=2XBN=-2x2t(16-t)=一d+16t=-(t-8)+64,

V-l<0,

・•・当tv8时，S.8MN随，的增大而增大，

・•・当”2时，SABMN取得最大值，最大值为-(2-8)2+64=28,

即当1<t<2时，△8MN的最大面积为28cm2,故②正确；

③当点M在力8上时，0工£工4,此时BM=2tcmBN=(16-t)cm,

,•,△8MN的面积为39cm2,

•••SABMN=xBN=£义2t(16-t)=-y+16t=39,

解得：S=3,t2=13(舍去),

，当t=3时，ABMN的面积为39cm2；

当点M在力。上时，4<t<8,

VADWBC,ZF=90°,

=180°-ZF=90°.即力BJ.7W,

答案第1页，共32页

止匕时S.8MN=XBN=^X8(16-t)=64-4t=39,

解得：t=F，

4

.•.当t=至时，△BMN的面积为39cm2；

4

，£有两个不同的值满足△8MN的面积为39cm2,故③正确.

故选：D.

2.B

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意可将当OWXW3时，AE=x,求得

SAAEF=x6x=3x,是一个一次函数，当3<x<6时,AE=x,S&AEF=：xAE•AF,是

一个二次函数，根据图形结合求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：当OWxW3时，AE=x,

:.S^AEF=?x6%=3%,

当3cxM6时，AE=x,

AF=6-2(x—3)=12-2x,

2

**»ShAEF=IxAE-AF=x(12—2x)=-x+6x,

即对称轴为x=3,开口向下，如选项B所示，

故选：B.

3.C

【分析】①当t=2时，根据题意求出=2cm,BN=2x2=4cm,然后求出8M=AB-

/IM=6-2=4cm,即可判断①正确；

②首先表示出4M=£cm,BN=2tcm,然后得到BM=-AM=6—£(cm),然后表示出

△8MN的面积，利用二次函数的性质即可判断②错误；

③根据题意得到-2+6£=8,解得q=2,七=4,即可判断⑤正确.

【详解】解：①当t=2时，AM=2cm,BN=2x2=4cm

AB=6cm,BC=8cm,

：.BM=AB-AM=6-2=4cm,

；・BM=BN,故①正确；

②根据题意得，AM=tcm,BN=2tcm,

•"•BM=AB—AM=6—

答案第2页，共32页

■:乙B=90°,

・•・△8MN的面积=-BN=1(6-t)•2t=-t2+6t=-(t-3)2+9

V-l<0

工抛物线开口向下，

・•・当£=3时，△8MN面积的最大值为9cm2,故②错误；

③:△3MN的面枳=一产十6t

工当的面积为8cm2时，一户+6亡=8

解得Q=2,J=4

・1有两个不同的值满足ABM/V的面积为8cm2,故③正确.

综上所述，正确结论的个数是2.

故选：C.

【点睛】此题考查了二次函数的应用，三角形面枳，动点问题，解题的关键是止确表不出三

角形面积.

4.D

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，

求出分段函数解析式是本题的关键.

分三种情况当OWtWg时，当时，当?<£工3时，分别求出面积S解析式，即可求

解.

【详解】解：设点P的运动时间为£秒，

•・•正方形力BCD的边长为4,点P以每秒1个单位的速度从点4出发沿40方向运动，动点Q同

时以每秒3个单位的速度从8点出发沿正方形的边8c-CD-ZM方向逆时针运动，

••・当点P与点Q相遇时，t+3t=12,

解得t=3,即3秒后点P与点Q相遇，

当OWtW：时，点Q在"上运动，如图，

答案第3页，共32页

此时△QPB的面积为S=：x3tx4=63

・•・当0<t时，△QP8的面积随时间的增大而直线增大;

当轲，点Q在CD上运动,如图，

此时△QPB的面积为S=4x4-1x4t-ix4x(3t-4)-|x(4-t)(8-3t)=-\t24-

2t+8,

•・•此二次函数开口朝下，对称轴为"全

・•・当孑<t<，时，△QPB的面积随时间的增大而抛物线减小;

当时，点Q在4D上运动，如图，

此时△QP8的面积为S=x(12-t-3t)x4=24-8t,

・••当g<t<3时，△QP8的面积随时间的增大而直线减小；

综上所述，能够反映S与t之间函数关系的图象大致是D选项的图象，

故选：D.

5.B

【分析】先用代数式表示出力P，CQ,再求出当t=2s时，HP与CQ的长，由此可判断①；

根据题意，用t表示出ABPQ的面积，配方后求出最大面积，由此可判断②；

先求出当aBPQ的面积为四边形力PQC面积的3时，△BPQ的面积，再转化为关于£的一元二

次方程求解，由此可判断③.

【详解】解：•・•点P从A出发，速度2mm/s,沿AB向B运动，

答案第4页,共32页

：.AP=23

•・•点。从B出发，速度4mm/s,沿BC向C运动，

:,BQ=43

：,CQ=BC-BQ=24-43

当t=2时,

AP=2x2=4(mm)

CQ=24-4x2=24-8=16(mm)

：.AP工CQ

结论①错误；

△8PQ是直角三角形，直角在点8处，底BP,高BQ,

BP=AB-AP=12-2t.

BQ=43

：,S&BPQ=2'BP,BQ

=1-(12-2t)-4t

=-4t2+24t

=一4("3尸+36,

,・"=3在1范围内，

...最大值在t=3处,此时S&8PQ=36(mm2)

结论②正确；

•••△A8C是直角三角形，AB=12mm,BC=24mm,

・•・面积底48c=，•BC=3x12x24=144(mm2),

••・四边形APQC的面积=S3ABC-S^BPQ,

设S=S^PQ,则S=：(144-S),

AS=48,

A24t-4t2=48,

/.t2-6t+12=0,

A=(-6)2-4x1x12=36-48=-12<0,

‘」2一6£+12=0无实数解,

答案第5页，共32页

・•・不存在任何［使得△8PQ的面积为四边形4PQC面积的一半，

结论③错误，

综上所述，正确的结论个数为1个，

故选:B.

【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，动态儿何问题（一元二次方程

的应用），y=Q%2+b%+c的最值，面积问题（二次函数综合）等知识点，解题关键是掌握上

述知识点并能熟练运用求解.

6.A

【分析】作PD14c于点D，作QEJLAB于点E,由题意得?IP=x,AQ=Wx,则AD=AP•

cos30°=苧％，则AD=DQ=从而得到PD是线段4Q的垂直平分线，所以NPQA=LA=

30°,/-QPE=60°,PQ=AP=x,可得QE=14Q=^x,PQ=PN=MN=QM=x,然

后找到临界点，分情况讨论即可求解.

【详解】解：作PD14C于点D,作QE1AB于点E,

.\AD=AP♦cos30°=—:c,

2

：,AD=DQ=\AQ,

•••PO是线段4Q的垂直平分线，

：.Z-PQA=乙4=30°,

：,Z.QPE=60°,PQ=AP=x,

:・QE=^AQ=yx,PQ=PN=MN=QM=x,

当点M运动到直线BC上时，

答案第6页，共32页

c

\M

APENB

此时，△BMN是等边三角形，

：：

.AP=PN=BN=-3AB=1,x=1

当点Q、N运动到与点C、B重合时，

APEB(N)

・MP=P-x=|；

当点P运动到与点8重合时，

：.AP=AB=3,x=3；

・••当OvxWl时，y=X=yX2,

则8N=FN=FB=3-2x,FM=MS=FS=3x-3,FR=y(3x-3),

・・.y=%24(3—3)q(3”3)-T

则8P=P〃==3—X,///=y(3-x),

答案第7页，共32页

.・.,=》(3*当(31)="一生+竽,

综上，y与x之间函数关系的图象分为三段，当0<%工1时，是开口向上的一段抛物线，当

1V%W|时，是开口向下的一段抛物线，当日VXW3时，是开口向上的一段抛物线，

只有选项A符合题意，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，解直角三角形的应用，二次函数的图形的

性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面枳公式，利用分类讨论的思想方法解答

和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

7.S=-4t2+24t(0</<6)

【分析】根据题意可以分别得到8P和8Q的长，从而可表示出的面积，从而可以表

明^P8Q的面积S随出发时间，如何变化以及S以f的函数关系式及，的取值范围；

【详解】由题意可得：BP=AB-AP=12-2t,BQ=43

・・・S”败二—=32T=-4t2+24t=-4(t-3/+36,

当0VtV3时，△尸8Q的面积S随出发时间，的增大而增大，

当3V£V6时，△PBQ的面积S随出发时间，的增大而减小，

即S=-4t2+24t=-4(t-3尸+36,t的取值范围是0VtV6.

故答案是：S=4t2।2430<t<6.

【点睛】本题主要考查了动点函数的图象问题，准确分析计算是解题的关键.

375

8-V

【分析】根据题意得出点P的速度是点Q的三倍，设出点Q的速度，根据图2得出正方形的边

长，再根据相似三角形的性质得出△力PQ与△CBE全等时点P的位置，即可求出PD的长度.

【详解】解：由图2可知点P的速度是点Q的三倍，

当点P到C点时，SAAPQ=^AQ-CD,

由已知得点P的速度是点Q的三倍，

=^AD=^CD,

•"SAAPQ=-x-,CD2=3,

解得CD=3(一3舍去),

答案第8页,共32页

，正方形的边长为3cm,BE=1.5cm,

：.CE=y/BC2+BE2=J32+(|)2=^cm,

，点P的速度是3cm/s,点Q的速度是lcm/s,

设£秒时4APQ^j^CBE全等,

若点P在力8上，则AP=3AQ,但8c=28E,不满足题意，

若点P在BC上，贝ij乙AQP=90。，

：.BC=QP,AQ=BE,

At=-2,

此时点P为BC的中点，

:.PD=y/QP2+AQ2=J32+©)2=手cm,

当P在CD卜.时，/4PQ不可能是真.角三角形，不满足题竟，

故答案为停.

【点睛】本题主要考杳动点问题的函数图象，关键是要能根据图象求出正方形的边长，然后

分P在不同的边上的情况讨论，读懂图象信息是解题关键.

9.3

【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键.

设移动时间为％秒，四边形APQC的面积为ycm?,先分另U求出8P,8Q的长，再利用Rt△力BC面

积减去Rt△8PQ面积求出四边形力PQC的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得.

【详解】解：设移动时间为“(%46)秒，四边形力PQC的面积为ycm2,

由题意得：BP=AB-AP=(6-x)cm,BQ=2xcm,

vZ-B=90°,AB=6cm,BC=12cm,

y=SRSABC-SRSBPQ»

=^ABBC-\BPBQ,

=x6x12—(6—x),2x,

整理得：y=x2-6x+36=(x-3)2+27,

由二次函数的性质可知，当％=3时，y取得最小值27,

即经过3秒，四边形APQC的面积最小，

故答案为：3.

答案第9页，共32页

10.y=-5+CU

【分析】(1)设m=x,n-1=y,由nm-m=6可得xy=6,即可求解；

(2)由题意可得J(x—0产+(y-1)2=仅一(一1)|,即得y=；%2,画出函数图象，可知当

QB1，时，4P+PQ=8P+PQ=BQ取最小值，此时，A4PQ周长的最小，求出BQ、4Q进

而即可求解；

本题考查了求反比例函数解析式，二次函数的几何应用，垂线段最短，理解题意是解题的关

键.

【详解】解：(1)设m=x,n-1=y,

mn—m=6,

.*.m(n—1)=6,

即xy=6,

.6

・・y=7

/.(m,n-1)在平面直角坐标系xOy中的考L迹是y=三,

故答案为：Jy=-X；

(2)•・•点P(x,y)到点4(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等，

.*.V(x-0)2+(y-l)2=|y-(-l)|»

整理得，y=^x2,

如图，当Q8_L!时，AP-^-PQ=BP+PQ=BQ,根据垂线段最短，可知4P+PQ取最小值

，：BQ=4-(-1)=5,AQ=V(l-0)2+(4-l)2=V10,

••・△APQ周长的最小值为5+V10,

答案第10页，共32页

故答案为：54-A/TO.

11.①②③

【分析】由图知当动点P沿8c匀速运动到点C时，DP2=7,作CE18C于点£利用解直角

三角形和勾股定理，即可得到8C,即可判断①，当t=5时，证明△4DP是等边三角形，即

可判断②,当4型46时，且DPI4C时,OP?最小，求出最小值即可判断④,利用勾股定

理分别表示出力和进行比较，即可判断③.

【详解】解：由图知当动点P沿BC匀速运动到点。时，DP2=7,

作DE1BC于点、E,

二Z,B=60°,AB=BC=AC,

:.DE=BD-sin60°=V3,BE=BD-cos600=1,

:.EP=yjDP2-DE2=2,

AB=BC=BE+EP=3,

故①正确；

当t=5时，PC=5-3=2,AP=1=AD,

DP=AP=AD=1,

:.y=DP2=1,

故②正确；

当时，且4P14C时,DP?最小,

答案第II页，共32页

A

DP=AD-sin60°=—,AP=-AD=

222

•••0p2最小为京即y能取到支

故④错误；

动点P沿BC-CA匀速运动时，

■:£]+t?=6,V，

・••0<3,亡2>3,亡2=6—0,

由①知：刈=DE2+PE2=(I1-I)24-(百)=tj-2tl+4：

当£=匕时，过。作1AC,由④可知：DE=—,AE=则PE=BC+AC-AP-t=--

2222

f2»

•••y2=(ti-7)+*G-i)+3

2

-力=t/-2匕+4-Q-h)-：=3-0>0,

••yi>为；

故③正确；

综上所述，正确的有①©③，

故答案为：①②③.

【点睛】本题考杳了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动

点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键.

12.V41

答案第12页，共32页

【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理.

先求出A、8、C、E的坐标，然后求出AE的解析式为y=1+2,连接PE,作PQIIy轴交4E于

Q，根据EFIIAP,可得Su"=SAAPE=：PQ•设m-4),则

2

Q(771^771+2),S^APF=S^Apf；=PQ-\xE-xA\=-(in+1)+故当m=_］时，

S-PFmax=M此时尸的坐标为(一段一胡・将2点关于了轴对称得到P'坐标为&一引，将

G点关于x轴对称得到G'坐标为(一U,连接PG交于)，轴于点M,交于X轴于点N,则PM+

MN+NG=P'M+MN+NGf>PC,然后利用两点间距离公式求解即可.

【详解】解：当％=0时，y=-4,故C(0,-4),

ACO=4,

当y=0时，X=-4或%=2,故4(一4,0),8(2,0),

:.AO=4,BO=2,

vOC=20E,CO=4,

0E=2,则E(0,2),

设力E解析式为y=kx+m,

代入E(0,2),71(-4,0),得『'Tk+m,

iZ=m

解得卜=3,

.m=2

的解析式为y=gx+2,

连接PE,作PQIIy轴交AE于。

设P(m,如2+m—4),则Q(m[m+2),

•••PQ=--m2—1m46,

'22

答案第13页，共32页

2

•••SMPF=S—pE=lpQ.\xE-xA\=-m-机+12=-+J+彳，

当m=_］时，ShAPFmax=此时〃的坐标为（一

将尸点关于)，轴对称得到P'坐标为衰，将G点关于x轴对称得到O坐标为(-3J

连接P'。交于)，轴于点M.交于工轴于点N,

则PM+MN+NG=P，M+MN+NGf>PG=+/+（一甘一=V41.

故答案为：V41.

13.(1)抛物线解析式y=—：/+£%+个，产坐标为(2,4).

⑵得「5)

-m2——m+—,(―1<Tn<1)

⑶①八I2h95——；②不存在.

--,(3<77?<5)

-----9-■!----------9--m9、,

【分析】(1)根据题意分别求出点A、C坐标，再代入解析式求出未知系数，得到函数关系

式，再配方求顶点户坐标即可；

(2)由抛物线轴对称性得到点B坐标为(5,0),且凡4=FB,再由NFMN=4F8A和外角性

质证明NBFM=NAMN,进而证明△4MN三△BFM,求出点M坐标为(4,0),再求出直线FM

解析式，联立方程求其与他物线交点坐标即可；

(3)①根据题意，得到当PN与直线AC有交点时，加的范围，分别求出对应的MN,ME,再

表示周长即可：

②由①的函数关系式和对应取值范围，分别求出对称轴，确定C随〃?的增大而增大时机的

范围即可.

【详解】(1)解：由直线y=[x+g与抛物线交于点4及点C(3,n),

.•.当y=0时，0=枭+也解得，x=—1,

答案第14页，共32页

当x=3时，y="3+；学

则力(TO),C(3,高，

把力(一1,0),C(3,5)代入到丫=ax2+孩x+c,

(0…募+c

[y=9a+?+J

解得，

(4

a=-9

,20

c=——

9

・•・抛物线解析式y=-^2+VX+T

配方得，y=—2)2+4,

则点尸坐标为(2,4).

(2)由抛物线对称性可知，点8坐标为(5,0),且凡4=F8,

则4F7IB=4FBA,

•:乙FMN=Z.FBA,

4FMA="BA+乙BFM=乙FMN+乙AMN,

工乙BFM=Z.AMN,

'：FM=MN

••・△AMN三ZkBFM,

・MM=FB=V(5-2)24-(4-0)2=5,

故点M坐标为(4,0),

设直线MF解析式为y=kx+m(kH0),

把点F坐标为(2,4),M坐标为(4,0)代入得，

(Q=4k+m

(4=2k+m'

解得｛*==蓝,

・•・直线FM解析式为y=-2x+8,

当一2%+8=-#+/+争寸，解得

答案第15页，共32页

Xi=y,%2=2(舍去)

/.，V=—2X—24-8=—5

••・点P的坐标为(当,一5)

(3)①由题意，C(3,关于对称轴对称点横坐标为1,点N的横坐标为4—m,

由连接PN与直线AC交于，盛M,设点P的纵坐标为外>

故6的范围为一1<m<1或3<m<5,

当一IVmV1时，

ND=ME=y=~~m2-I-—m+—,

“P999

此时求M点的横坐标为

8,89T

gX^-=yP,x=-yP-l

则MN=4—m—(,p-1)=5—m—^yP

AC=2MN+2y=-m2——m+—

“P999

同理，当3Wm<5时，

则MN=QyP-1)-(4-m)=3yp+m-5,

：,C=2MN+2yP=-^^^m-l

2

^m--m--f(-1<m<1)

综上，C=91798695

、一丁/+不加一丁(3<m<5)

②当一lvznvl时，C=纲2一m加+费对称轴为直线巾=I，在对称轴左侧，C随〃?增

大而减小，故此情况不存在符合要求答案，

当34mvS时，立=一芳秋2+等血一3的对称轴为直线相二^|《2.629,在对称轴右侧，C

随〃?的增大而减小，故此情况不存在符合要求答案，

故不存在〃?，使得C随机的增大而增大.

【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法、图象和性质、二次函数与一次函数的综合问题，

以及全等三角形的性质和判定，运用了分类讨论和数形结合的数学，熟练掌握二次函数图象

的性质是解题关键.

答案第16页，共32页

14.(1)当£=^$时，线段CN与DM的长度相等，理由见解析

陪

(3)存在£的值为生粤或丑等，使得ABMN的面积为38cm2

42

【分析】(1)分别求出当t=?s时，CN和DM的长度，比较即可得出结果；

«5

(2)由题意可得0Vt4三=2tcm,CN=tern,求出BN=(16-t)cm,表示出△BMN

2

的面积=\BM•BN=一Q-8)2+64,再由二次函数的喋质即可■得解：

⑶分三种情况：当OWt4时；当2.5VM7时；当7VY13时；结合题意列出一元

二次方程，解方程即可得出结果.

【详解】⑴解：当"日s时，线段CN与DM的长度相等，理由如下：

•••动点M从点8出发，以2cm/s的速度沿边B4、边AD、边DC向终点C运动；动点N从点

。同时出发，以lcm/s的速度沿边CB向终点8运动，

.•.当t=?s时，点M运动的距离为号x2=Vcm,点N运动的距离为?xl=9m,

由题意可得，AB+AM=ycm,CN=ycm,

..AM=—3cm,

：

.DM=AD-AM=—3cm,

•••当£=^$时，线段CN与OM的长度相等；

(2)解：.・•点”在边48上运动，AB=5cm,

AO<t<1,

由题意可得：BM=2tcm,CN=tem,

:,BN=BC-CN=(16-£)cm,

••・△BMN的面积=：BM.BN=gx2tx(16-t)=-t2+16t=-(t-8)2+64,

V-l<0,对称轴为直线t=8,

，当0W"|时，△BMN的面积随着£的增大而增大，

，当时，△BMN的面积最大，为手；

z4

答案第17页，共32页

（3）解：当0"北时，点M在边AB上，ABMN的面积最大值为修，故此时不存在t的值，

24

使得△8MN的面积为38cm2；

当2.5VCW7时，点M在边AD上，过点A作4EIIBC,过点M作MG1BC于G,交力E于点F,

*：/.ABC=90°,AE||BC.

：.^FAB=4ABC=90°,

•；MG1BC,

:•乙FGB=Z-FAB=/-ABC=90°,

・••四边形力8GF为矩形，

/.FG=AB=5cm,乙BAP=90°,

由题意可得:AB+AM=2tcm,CN=tcm,

.\AM=(2t—5)cm,BN=(16—t)cm,

*：LBAD=120°,

：.z.MAF=Z.BAD-4BAF=30°,

：,MF=^AM=(等)cm,

JMG=MF+FG=(3)cm,

•••△8MN的面积=^BN.MG=[x(16-t)x(等)

令-等)=38.

整理可得:2tz-27t+72=0,

解得：t=0匣或£=2咨(不符合题意，舍去)

44

当7<tW13时，点M在达CO上，过点A作4K||BC,过点M作M/1BC于J,过点。作川1BC

于/,交/K于点H,

答案第18页，共32页

D

9：Z-ABC=90°,AK||BC,

=/-ABC=90°,

■:DI1BC,

:•乙HLB=乙HAB=/.ABC=90°,

・•・四边形力8/H为矩形，

：.HL=AB=5cm,乙BAH=90°,

*：^BAD=120°,

"DAH=乙BAD-乙BAH=30°,

.\DH=-AD=-cm,

22

：,Dl=DH+IH=-cm,

2

由题意可得：48+4O+DM=2tcm,CN=tcm,

：.DM=(2t-14)cm,BN=(16-t)cm,

：.CM=CD-DM=(26-2t)cm,

，：MJIBC,DIIBC,

：.M]IIDI,

A△CMJCD/,

.・.也=生，即萼==，

D/CD—12

....19(13-t)

・・MJ=-----cm,

J12

/.△BMN的面积=1BN•M/=：x(16-t)x19(^~f),

x(16-t)x-^|^=38,

整理可得：t2-29t+160=0,

答案第19页，共32页

解得：£=生粤或亡二注匹(不符合题意，舍去)；

综上所述，存在t的值为注亘或生萼，使得△8MN的面积为38cm2.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，直

角三角形的性质，矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类

讨论的思想是解此题的关键.

15.(l)y=-*+X+4

(2)272

(3必(匕笠,安空)"3(1_m，履_3)

【分析】(1)首先求出C(0,4),然后结合tanzCAO=2求出力(-2,0),然后利用待定系数法

求解即可：

(2)首先求出直线8C表达式为y=-工+4,设MGm2一抽,一+血+4),表示出PM,

由^PMN是等腰直角三角形表示出PN=[PM,然后代入；PM+”PN利用二次函数的性

242

质求出当％=2时，取得最大值最得到此时P(2,4),M(0,4),此时点M和点C重合，如图所

示，延长PN交)，轴于点。，连接4%PH,OH"D,然后得到=\AH-DH\<AD,

利用勾股定理求解即可；

⑶首先求出siMC40=衅，COSN&4O=鼻然后得出平移方式，进而得到平移后的表

达式，然后根据题意分两种情况讨论：当点。在)，轴右力时和当点。在)，轴左边时，分别

求出AQ所占表达式，然后和抛物线联立求解即可.

【详解】(1)•・•抛物线y=ax2+bx+4(aH0)

:.当％=0时，y=4

AC(0,4),即。。=4

nr4

VtanzC/10=—OA=—OA=2

：,OA=2

，力(-2,0)

・二将4(一2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4(Q00)得

4a-2b+4=0

16a+4b+4=0

答案第20页，共32页

解得《一-3

Ib=1

・，・y=-1x2+x+4；

(2)是宜线8C上方抛物线上的一动点，

/.设P(m,一如2+瓶+4)

•••8(4,0),C(0,4)

，可得直线BC表达式为y=-x+4

:过点P作PMII%轴交直线BC于点M,

:.设MG7九之—+7九+4)

.•.PM=m—(^m2-mj=-^m2+2m

'：OC=OB=4

•••△OBC是等腰直角三角形

:•乙OBC=Z-OCB=45°

VPM||x

・"OCN=Z.OBC=45°

*：PN1BC

•••△PMN是等腰直角三角形

：.PN=—PM

2

：.-PM+—PN=-PM+--—PM=-PM

424224

3/1\333、，3

=7(-o7n7+27n)==m9+5m=Z

T4\Z/OZOL

•Tvo

8

・••当x=2时，取得最大值日

・・・止匕时P(2,4),M(0,4)

，此时点M和点C重合，如图所示，延长PN交)，轴于点。，连接AH,PH,DH,AD

答案第21页，共32页

：.CD=CP=2

，点D和点P关于直线BC对称

AD(0,2),即。。二2

:・DH=PH

/.\AH-PH\=\AH-DH\<AD

工当点A,