2026年高考数学一轮复习：圆锥曲线的定值问题

第7讲定值问题

【母题】(2018•北京)已知抛物线。:/=2"(夕＞0)经过点P(l,2)，过点0(0,1)的直线/与抛

物线。有两个不同的交点A,且直线PA交y轴于直线即交，轴于A：

⑴求直线/的斜率的取值范围；

⑵设。为原点，为二人前,正三u说,求证：：为定值.

思路分析

❶联立/,。的方程，由判别式及用，阳与J，轴有交点求斜率的取值范围

I

❷用力，〃坐标表示必，力坐标

I

❸用V,A.坐标表示A,u

\

❹利用根与系数的关系计算;+

I

❺求出;+；为定值

⑴解将点尸代入。的方程得4二20，即片2,

所以抛物线。的方程为"=4%

显然,斜率存在且不为0,设为左，则/：片船+1,

y-卜X+|

消去y得—+(2〃・4)X+1=0,(*)

{7=4%,

由已知,方程(*)有两个不同的根，且1不是方程的根(因为PA,外都与y轴有交点),

所以4=-164+16>0且后+(24-4)+1H0,

即K0或00<1,且・3,且左灯,

所以女<0或0<Kl,且上-3,

即直线1斜率的取值范围是(・8,-3)U(-3,0)U(0,l).

(2)证明设力(汨，/1),Bl改，匕)，

M-2

直线分方程为=—5-1),

X\-1

%-2

令刀=0得y=-------+2,

X\-1

(y.-2)

即点必为0,--7+2,

I-1)

,>(y.-2)

所以QV=0,--------+1,

I"1J

又而二(0,-1),讪=入丽,

(7.-2)

所以0,—--+1二-1),

汨T

71-2y\-X\-\1X)-1

所以<=-----1=------------，~T=-----------；

X\-1X1-1八7!-X1-1

又点A[x\,切)在直线/:.r=kx+1上,

1X\-1X\-11]

所以了二==下77二口k-1x\

同理卜士

由⑴中方程(*)及根与系数的关系得，

2A-41

汨+用=-一1一,X\X2=X

1_J_2.，仕+口-工

所以十二+=

+9k-1k-1x\k-1k-1/2k-1A-1V«xjAT

]X1+X22]-2A-+42A--22,即：+!为定值2.

k-1*MM~k-\'k-\1-k-1

［子题1］设直线r.y=kx+£（邙0）与椭圆c：T+V=1相交于A•8两点，若以刃，0B

为邻边的平行四边形如心的顶点P在椭圆c±_,求证：平行四边形物用的面积为定值.

y-kx+t,

证明由1y2联立，消去九

一十-=1

42，

得(2如+l)/+4to+2(tz-2)=0,

2222

所以=(4^t)-8(2A+l)(?-2)=8(4A-t+2)>0.

设力(汨，Ji),B(X2,%),

c“Akt2t~-2

贝U汨+小二--；,xix=----；-----,

2^+122八1

2t

所以y+次二A(小+照)+2，=----

2k"+1;

4kt2t>

因为四边形物外为平行四边形

所以8=OA+Oli-(M+M,，+㈤二22+1'2八1,

\kt2t\

所以〃点坐标为（.宏才茅7）

又因为点〃在椭圆上，

,2^+1

所以•，即

乙

因为IAB\=小+必]汨・对

:+k\jX}+X22-4MM

2事5+八)222+1・e

2尤+1

2小小十立

业炉+1，

又点。到直线/的距离d=,

___2\/3|t\乖、2炉+1厂

所以平行四边形勿阳的面积5MPa-IAB\•d-i-.....=I------=*\J6,

<2尸+1yj2k:+1

即平行四边形。伊〃的面积为定值.

22

［子题2］（2020•福州质检）直线1与椭圆。：J+《=1有且只有一个公共点匕/与圆f

T乙

+6交于力，8两点，直线如，神的斜率分别记为k-k-求证：太­上为定值.

证明①当直线1的斜率不存在时，直线的方程为*二±2；

当x=2时，月（2,也），伙2,一班），

则…2邛X］书=［，

当x=-2时，/!（-2,加），以-2,-加），

则小k2=-坐义当=弓

②当直线1的斜率存在时，设其方程为y=kx+m,

A{x\,力），Bkxz,㈤，

y-kx+m,

联立、22得(1+2『)x+\kmx+2/»-4=0,

「5二1，

由题意d=(44加'-4(1+2k')(2m-4)=0,

得nf=4〃+2,

y-kx+m,

联立彳彳导(1+片)x+2k/nx+/z/2-6=0,

x"=6,

依题意，力>0,

2kmz;/-6

则M+照二X\X2------；

7771+六

y,iz,kx\+mkx2+m

所以小心盆二--------蒜一

佞X\Xz+kmX\+Xz+iri

X\X2

。苏-6(2km、

k----;+kn\-,.2+z»

1+〃\1+k)

777-6

777

m-6芯442+2-6〃i

ZP-641+2-62

所以k、-k为定值.

规律方法求解定值问题的两大途径

（1）由特例得出一个值（此值一般就是定值）一证明定值：将问题转化为证明待证式与参数（某

些变量）无关.

⑵先将式子用动点坐标或动线中的参数表示再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正

负项抵消或分子、分母约分得定值.

住艮踪演练】

1.在平面直角坐标系M，中，过点必（4,0）且斜率为〃的直线交椭圆3+/=1于A,8两点.

⑴求〃的取值范围；

⑵当丘。时，若点A关于x轴为对称点为P,直线BP交x轴于点N,求证：|为定值.

⑴解过点M4,0）且斜率为k的直线的方程为

y-k{x-4）,

y-kx-4

得(好+，彳2_8**+[6“'-1=0,

由3

了+「=1,

因为直线与椭圆有两个交点,

所以4=（-8如）2・4（发+；）（16尤・1）＞0z

解得・£＜屋,所以k的取值范围是（-噜书.

⑵证明设A{x\,yi）,B[X2,72）,则P（xi,-y1）,

由题意知,力工预，

8优16A2-1

由（1）得M+拓二-----，汨•至二-------

44

x-X\K+y,

直线防的方程为——=—

Xi-x\yz+y\

y\x-i-X\

令y=o,得A'点的横坐标为-----------+小，

y>+y\

又y二k{x\-4),y2=k(x2-4),

y\X2-x\

故ON二----------+Ai

yz+y\

y\Xz+X1J22kx\Xz-\kxi+X2

yz+y\kx\+X2-8k

二1.即1〃¥为定值1.

22后

2.（2。2°・新高考全国1）已知椭圆+乂＞。）的离心率为彳，且过点力⑵D.

⑴求。的方程；

⑵点机A在。上,且力心4V,/他L.MV,〃为垂足.证明：存在定点Q,使得I%为定值.

_41才■人1

（1）解由题设得了=1,•二5，

3ua乙

解得a=6,b'=3.

Y2iZ2

所以。的方程为77+5=1.

vO

（2）证明设材（加，凶）,AG,72）.

若直线"V与x轴不垂直，

设直线郴的方程为y=*）+勿，代入*+TT=1,

o0

得(1+2k~)x+4kmx+2m-6=0.

丁=4km2m-6

于是X}+X=-------：,X\X2=-----：.①

21+2A-21+2k'

由/WJ_4V,得前八~AN=0,

故(刘-2)(12-2)+(y-1)(度-1)=0,

整理得("+1)X\X2+{km-4-2)(汨+而)+(///-1)'+4=0.

„2/w-64km”

将①代入上式,可得々+1)——；-{km-k-2)------;+(///-l)2+4=0,

1+2/1+2k

整理得(2〃+3勿+1)(2〃+〃-1)=0.

因为1(2,1)不在直线MV上,

所以2A+R-1W0,所以2A+3勿+1=0,kWL

所以直线环的方程为j，=(4)-.

所以直线叱V过点

若直线附与x轴垂直，可得MM,-y.).

由前八万V=O,

得(汨-2)(ATI-2)+(yi-1)(-yi-1)=0.

22

又/+17=1,所以3#-8X1+4=0.

0J

2

解得汨=2(舍去),xi=-

<5

此时直线MV过点/(I，-1)

令。为4尸的中点,即6

若〃与P不重合，则由题设知种是口必力加，的斜边，

.1..2\[2

故DQ--\AP\=-^-.

乙O

若〃与"重合,贝IJDQ\=7AP\.

综上，存在点G,使得1回为定值.

专题强化练

1.过点樗,o）的直线交椭圆。：呆/=1于小/两点，求证：十+尢为定值.

证明当直线即的斜率为零时，则点E,尸为椭圆长轴的端点，

当直线）与x轴不重合时，设直线）的方程为x=ty+哗,设点£（汨，㈤,FJ,为,

EJT乎,

联立，消去X得

5+"1,

.2加£4

(zf2+2)y2+-^—y--=0,

JJ

816,仆c232、八u-

4=Tt*2+—(r2+2)=8/+N>0恒成立,

JJJ

由根与系数的关系得

4

y\+y2------------,y\Yi------------

3八231+2

1111

囚此，

研十两二1+d1+/达

yi+j2'-2yly2

1+i2

816d+1

3#+223#+23#+22

216.216

1+r-----7------：1+t•----：—

9r+2-9r+2

169c

二下正二3,

综上所述，房p+-^，=3（定值）.

22

2.（2020•泰安模拟）