高考数学二轮复习：双曲线（原卷版）

第十六讲双曲线

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对双曲线的考查，重点是

（1）双曲线的定义、几何图形和标准

方程。2023•新高考I卷，16

（2）双曲线的几何性质（范围、对称双曲线的离心率2024.新高考I卷,12

性.、顶点、离心率、渐近线）。

（3）直线和双曲线的位置关系及综合

应用。

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查应用定义求解双曲线的离心率，难度较易。II卷是双曲线与数列的综合问

题，后续专题会解读。双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要匕椭圆和抛物

线低，在双曲线的试题中，最为重要的是三点是：方程、渐近线、离心率。预计2025年高考还是主要考查

双曲线的定义和离心率、渐近线。

三：试题精讲

一、填空题

1.（2024新高考I卷42）设双曲线c£-『l（a＞（U＞0）的左右焦点分别为"、F”过了?作平行于），轴的

直线交C于A,B两点，若|青川=13,|A3|=10,则C的离心率为.

高考真题练

一、填空题

1.（2023新高考【卷・16）已知双曲线4-£=1（。＞0.〃＞0）的左、右焦点分别为6,用.点A在。上，点8

在）'轴上，b\ALb\li^2A=--b2lit则C的离心率为.

知识点总结

一、双曲线的定义

平面内与两个定点”为的距离的拳叫绝芍值等于常数（大于零且小于恒周）的点的轨迹叫做双曲线（这两

个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为｛M|RM用-|加司=2a（0v2a＜忻段）｝

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2〃=花周时，点的轨迹是以K和尸2为端点的两条射线；当2a=0时，点的轨迹是线段"人的垂直

平分线.

（3）2〃>怩用时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

①条件“忻名|〉是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定从的值），注意

的应用.

二、双曲线的方程、图形及性质

22

；-£,=](〃>o力>0)yX

标准方程2T---=1(«>0,/?>0)

crb-a~lr

/干

八产1r

图形

J1

/

KA0

焦点坐标K(-C,O),F2(C,0)£(0,-c),6(0©

对称性关于X,y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标A（一。,0）,A2（«,O）A（0M）,4（0,-。）

范围\y\^a

实轴、虚轴实轴长为2〃，虚轴长为2〃

cL_...

离心率e=_=Jl+r(e>l)

a\a-

令=-5=0=y=±3,

令

渐近线方程a~b-a

焦点到渐近线的距离为力焦点到渐近线的距离为。

>1,点（为,为）在双曲线内>1,点（，%，稣）在双曲线内

点和双曲线（含焦点部分）厂X2（含焦点部分）

----------•

的位置关系/b2=1,点（%,%）在双曲线上a2b2=1,点*0,北）在双曲线上

<1,点（%,%）在双曲线外<1点（.%,%）在双曲线外

共焦点的双

曲线方程

共渐近线的y2x2

1一％=00)与-》=*60)

双曲线方程crlra一b~

切线方程誓-萼■=1,(.%,%)为切点一罟=L（M，）b）为切点

a'aab〜

切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中V换为1/•,./换成为），便得.

誓-矍=1,（如%）为双曲线外一

绊-华=1,（刈），0）为双曲线外一点

切点弦所在a!r

a~b~

直线方程点

点（%,%）为双曲线与两渐近线之间的点

设直线与双曲线两交点为A（x，y）,B（J），2），g=£•

则弦长［48|=Jl+_切=J1+.-\y\-y2\（k00）,

弦长公式

=内+0）2-4."2=音，其中是消“y”后关于“x”的一兀二次万程的

“丁，，系数.

通径（过焦点且垂直于1居的弦）是同支中的最短弦，其长为尘

通径

a

双曲线上一点「（・%，%）与两焦点构成的苗眼成为焦点三角形，

2b1

设N耳尸4=8,归耳卜刀|尸闾=弓,WJcos<9=l-—,

r\r2

Fi）oi

焦点三角形

2

c1.csin。,2b（c%,焦点於轴上

5广邛而〃-\/一'3，焦点在例上‘

uin一

2

j考点三角形中一般要用到的关系是

||P用-归矶=2。（2"2c）

S/5=g|P曰周sin4”

M&2二四|2+|*2_21Mlp周cos"”

等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等釉双曲线oa=0o离心率。=应=两渐

等轴双曲线

近线互相垂直o渐近线方程为），=±xo方程可设为x2-/=2（2工0）.

【双曲线常用结论】

I、双曲线的通径

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂宜的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径.通径长为空■.

a

2、点与双曲线的位置关系

2222

对于双曲线二-与=1（〃＞方＞0）,点P（x0,兄）在双曲线内部，等价于工-淳＞1.

a~b~a~b-

点P*o，兄）在双曲线外部，等价于马-耳＜1结合线性规划的知识点来分析•.

ab“

3、双曲线常考性质

性质I：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数〃；顶点到两条渐近线的距离为常数效；

c

性质2：双曲线上的任意点P到双曲线。的两条渐近线的距离的乘积是一个常数小；

c-

4、双曲线焦点三角形面积为与（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）

tang

5、双曲线的切线

22

点例（为,兄）在双曲线a-方=1（。＞0，。＞。）上，过点”作双曲线的切线方程为学-等=1.若点

22

M（%,九）在双曲线;■-二=1（a＞0/＞0）外，则点M对应切点弦方程为学-岑=1

a~bab“

名校模拟练

一、单选题

I.（2024目•肃兰州.三模）已知双曲线C:」--£=1（〃00）的实轴长等于虚轴长的2倍，则。的渐近线

3m+2tn

方程为（）

A.y=±^xB.y=土弓xC.y=±2xD.y=±y/2x

2.（2024・浙江绍兴•三模）已知3K为曲线C：]+[=1（加工4）的焦点，则下列说法错误的是（）

A.若加=1,则曲线C的离心率6=立

2

B.若m=-1,则曲线。的离心率6=更

2

C.若曲线C上恰有两个不同的点以使得N£PE=90。，则,〃=2

D.若，〃<0,则曲线C上存在四个不同的点P,使得/耳尸鸟=90。

3.（2。24.安徽.三模）过双曲线幡-小皿小。）的下顶点尸作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐

近线相交于两点，若N/=2W,则C的离心率为（）

A-竽

B.73C.2y/3D.3

2

4.（2024・全国•三模）已知双曲线C：0-ry=1（«>0,/?>0）的左、右焦点分别为6,尸2,且离心率为e=V5,

a'b'

过点用的直线/与。的一条渐近线垂直相交于点。，则tanN。「乙=（）

A.B"C.2D.3

3

5.（2024.四川成都•三模）己知双曲线（a>0,/?>0）的左焦点为"，点O为坐标原点，点用

a'b-

为双曲线渐近线上一点且满足过耳作上轴的垂线交渐近线于点N,已知I"胃=苧加用，则

其离心率为（）

A.2B.6C.@D.75

2

22

6.（2024.山西阳泉•三模）已知双曲线C:*•-亲■=1（“>0,〃>0）的左、右焦点分别为£,工，双曲线的右支上

有一点与双曲线的左支交于点8,线段A"的中点为且满足8M_LA^,若/"4^二^,则双曲

线C的离心率为（）

A.2B.瓜C.V7D.VI3

7.（2024•宁夏银川•三模）已知双曲线耳£一1=1（。>°⑦>°）的左、右焦点分别为6，6，过点尸2的

crb~

直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若|A3|=|A娟，且双曲线七的离心率为&,则cos/BA£=（）

A3万R311

A.---B.Cr•-Dn・

8488

8.（2024.湖南永州•三模）己知F,6分别是双曲线，-£=1卜/>0,人>0）的左、右焦点，点。为坐标原

点，过£的直线分别交双曲线左、右两支于A,B两点，点。在/轴上，C3=3人A,8鸟平分其

中一条渐近线与线段A4交于点P,则sin/PO6=（）

A•呼B.年rV432幅

7~T~

9.（2024.天津河西.三模）已知R,八是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且/片尸6=方，

若椭圆的离心率为。，双曲线的离心率为&，则e；+4的最小值为（）

A.3+73B.C.D.4

22

22

10.（2024•浙江杭州•三模）已知双曲线二-二=1（〃）＞0）上存在关于原点中心对称的两点A,B,以及双

a~b-

曲线上的另一点C,使得二ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）

二、多选题

22

11.（2024.河北邯郸•三模）已知双曲线C—匚——匚=1,则（）

4+63-2

A.4的取值范围是（-6,3）B.C的焦点可在x轴上也可在V轴上

C.。的焦距为6D.C的离心率-的取值范围为（1,3）

22

12.（2024♦河北保定•三模）已知双曲线C：1—与=1（〃＞（）,力＞（））的左、右焦点分别为6，尸2,过点入的

b~

直线与C的左支相交于尸，Q两点,若〃。，。尸2,且4|PQ|=3|P周，则（）

A.闸=2aB.PF；=-2QF1

C.C的离心率为姮D.直线PQ的斜率为M

3

13.（2024.贸州贵阳•三模）双曲线°：鸟-[=1（40力＞0）的左、右焦点分别为点耳,工，斜率为正的渐近线

Zr

为4,过点尸2作直线乙的垂线，垂足为点A,交双曲线于点尸，设点M是双曲线C上任意一点，若

24

|尸周=天|4周,山科=十则（）

JJ

A.双曲线C的离心率为不

B.双曲线C的共机双曲线方程为V-三二1

4

C.当点“位于双曲线C右支时，Hi£卜,3

周（2J

4

D.点M到两渐近线的距离之积为不

r2v2r22

14.（2024.山西吕梁•三模）已知椭圆二十与=1（4＞乙＞0）的离心率为“，双曲线下一v方=1（%＞。也＞0）

%b、a?b?

的离心率为0，两曲线有公共焦点£，K，P是椭圆与双曲线的i个公共点，/£尸乃=60,以下结论正确的

是（）

A.q2_嫉=々2一42

13,

B-竭+福=1

C.b：=3b；

D.若々"退目，贝吗

」」133

15.（2024.重庆•三模）已知双曲线C:£-f=1（〃>0）的左，右焦点分别为耳入〃为双曲线C上点，且

a~16

△P£6的内切圆圆心为"3』），则下列说法正确的是（）

A.a=3B.直线PF/的斜率为!

4

C.丹"）的周长为?D.的外接圆半径为等

J14

三、填空题

2

16.（2024・湖北荆州•三模）已知双曲线C:二—丁=］（4>0）经过点（2.］）,则。的渐近线方程为.

a

17.（2024.宁夏石嘴山.三模）已知双曲线C:1-与=l（a>0,〃〉Q）的左右焦点分别为6、人,曲线。上的点

ero

M满足，不W•与3-0,/MFF：=则双曲线的离