函数性质及其应用大题（6大题型36题）原卷版-2025-2026学年高一数学（人教A版必修第一册）

函数性质及其应用大题(6大题型36题)

题型一利用函数的性质求解析式

1.(24-25高一上・吉林•阶段练习)已知定义在R上的偶函数/Q),当％40时，/(X)=x2+2x.

(1)求/(%)的解析式;

(2)写出/(%)的单调区间；

(3)求出f(%)的值域.

2.(25-26高一上•全国•期末)已知函数/(%)=茎是定义在［-1以+句上的奇函数.

(1)求/(%)的表达式;

(2)判断f(x)在区间［-1,Q+句上的单调性，并证明你的结论.

3.(24・25高一上•四川泸州•期末)已知定义在(-2,3—Q)上的函数/(%)=篙图象关于原点对称.

()求人盼的解析式;

(2)判断并用定义证明/(x)的单调性；

(3)解不等式/(2£+1)4-/(£-2)>0.

4.(24-25高二下・江西•期末)已知定义域都为R的函数八乃与&%)满足：/(%)是奇函数，g(%)是偶函数,

f(x)—g(x)=x2+2x+9.

(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;

(2)若。(幻+m[/-(x)+4]<0在(一2,+8)上恒成立，求实数m的取值范围.

5.(24-25高二下•上海•期末)已知函数/'(%)二容是定义在R上的偶函数.其中Q、匕6R且/⑴=3.

(1)求y=/(%)的表达式；

(2)若g(x)=㈤一/⑺,实数t满足g(3£-2)<g(t-l),求t的取值范围.

6.(24-25高一上•云南昭通期末)已知函数f(x)=^经过(1,2),(—1,一2)两点.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数/(%)在(1,+8)上的单调性并用定义进行证明；

(3)当入£口,^时，m>/(x),求实数m的最小值.

利用函数的性质求最值

题型二4

7.(25-26高一上•全国•单元测试)已知函数/(乃一1)=且f(-l)=-2.

(1)求函数的解析式：

⑵求函数/(x)在2,2]上的最值.

8.(24-25高一上•河南驻马店•期末)已知函数/(x)=/+ax+b(a力WR),且/(%)V0的解集为(1,3).

(1)求/Xx)的解析式；

(2)若/(%)在区间(机一l,m+1)上单调，求实数m的取值范围；

(3)求f(x)在区间+2](teR)上的最小值g(t).

9.(24-25高一上•湖南•期末)已知函数/(%)=%+£

(I)若/(不)=V19,求%o—g的值；

(2)判断/(%)在(0,+8)上的单调性并利用定义法证明：

⑶求/(刈在［1用上的最大值.

10.(24-25高一上•广东汕头・期中)已知函数/(%)=(%—2)|%+a|(aWR),

(1)当a=1时，

①求函数/•(%)单调递增区间；

②求函数fO)在区间［一4,1］的最大值：

(2)当x£3,3］时，记函数fa)的最大值为g(a),求g(a)的表达式.

11.(24-25高一上•宁夏吴忠,期中)已知/(%)=然

(1)根据单调性的定义证明函数/■«在区间(2,+8)上是减函数

(2)若函数9(%)=含“£［3网(a>3)的最大值与最小值之差为1,求实数Q的值

12.(24-25高一上•河北保定期末)已知函数/㈤对于任意实数孙GR恒有/(%+y)=/(x)+f(y),且当％<0

时,/(x)<0,又=

(I)判断/'(%)的奇偶性并证明；

(2)求f(*)在区间［一2,2］的最大值:

(3)解关于x的不等式：/(x2)-2/(x)</(ax)-/(2a).

题型三利用函数的单调性、奇偶性解不笔式

13.(25-26高一上•全国•课前预习)已知函数/(%)二也乎(。：>0力<0).

⑴判断/(外的奇偶性与单调性；

(2)若/(2)=0,求x/Q-2)>0的解集.

14.(24-25高一下•陕西安康•期末)已知函数/(%)=品满足f(0)=l,/(I)=

(I)求a,b的值；

(2)判断/(%)的奇偶性；

(3)求不等式f(m-1)>/(3-2m)的解集.

15.(23-24高一上•辽宁朝阳期中)函数/•(幻=覆是定义在(一1,1)上的奇函数，且府)=也

(1)确定函数/(%)的解析式：

(2)用定义证明/(乃在(一1,1)上是增函数；

⑶解不等式/«—1)+/(t)<0­

16.(24-25高一下•贵州•阶段练习)已知函数/(%)二岛■是定义在区间上的函数.

(1)判断f3)的奇偶性:

(2)证明/'(%)在区间上是增函数，并求不等式/(%+；)+/(%一1)<0的解集.

17.(24-25高一上•湖南长沙•期末)已知函数/(乃二%—：.

(1)判断函数/(乃在(0,+8)上的单调性，并用定义证明：

(2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式/(步+3)+/(一2户+t-l)>0.

18.(24-25高一上•云南西双版纳•期末)已知函数/'(%)==下是定义在(一1,1)上的函数，/(-X)=-/(x)

恒成立，且

(1)确定函数/■(©的解析式；

(2)用定义证明/(%)在(一1,1)上是增函数;

(3)解不等式f(x-1)+/(x)<0.

题型四\利用函数性质解决恒成立、有解问题

19.(25-26高一上•全国・单元测试)已知函数/(%)=£+ax为偶函数.

(1)求Q的值：

(2)若函数g(x)=/(x)+2%—3,且VxW[2,+8),g(%)工2m+5恒成立，求7九的取值范围.

20.(24-25高一上•安徽阜阳•阶段练习)已知函数f(x)+力WR).

(1)若关于％的不等式/"(%)>()的解集是(一8,一2)11(—1+8),求*b的值；

(2)若。=-2,b=0,g(x)=kxtf(x)与g(x)的定义域都是[0,2],使得V1恒成立,求实数k

的取值范围.

21.(24-25高一上•重庆•期中)已知函数/(%)是定义在[-3,3]上的奇函数，满足/(I)=/,当一3W%W0

时，有/(%)=穹

(1)求函数/(%)的解析式;

(2)判断/(%)的单调性，并利用定义证明;

(3)若对Vxe[-3,3],都有<7712—2。m+筋寸^1£[-2,2]恒成立，求实数m的取值范围.

22.(24-25高一上•云南昆明•期中)若函数/■(%)=/—(a+i)x+a.

(1)当a=2时，求关于x的不等式/(、)>0的解集；

(2)求关于x的不等式f(x)V0的解集；

⑶若/㈤+2%Z0在区啡,3)上有解，求实数a的取值范围.

23.(24・25高一上・江苏南京•期中)已知函数/(曾=适.

⑴求〃3)；

(2)当Q>0时，试运用函数单调性的定义判定/(为的单调性；

(3)设。(乃=/。-2),若g(x)N2在一24工45时有解，求Q的取值范围.

24.(24-25高一上•上海松江・期末)已知函数y=/(%)=忌是定义域为R的奇函数，且/(I)=1.

(1)求函数y=/(X)的表达式；

(2)判断函数y=/(x)在[-2,2]上的单调性，并用定义证明；

(3)设函数y=g(x)=kx+1-4鼠若对任意的xxG[—2,2卜存在x2£[—2,2卜使得fi*i)Wg(%2)

成立，求实数k的取值范围.

题型五函数性质的综合应用

25.(25-26高一上•河南驻马店•开学考试)已知定义在R上的函数/'(%)满足对任意的x,ye/?,/(x+y)=/

(%)+f(y)，当％>0时,/(x)<0,/(2)=-4.

(1)证明:/■(©为奇函数.

(2)证明:/(盼在R上是减函数.

(3)求不等式/(/-2x)一/(2-x)>4的解集.

26.(24-25高一上•湖北•阶段练习)定义在(一1,1)上的函数/'0)满足：①对任意x,y£(—1,1)都有

/。)+f(y)=f(六)②当％<0,fW>0.

(1)判断函数/。)的奇偶性，并说明理由；

(2)判断函数/(乃在(0,1)上的单调性，并说明理由；

⑶若於)=提试求熊)一/(；)的值.

27.(24-25高一上•北京•阶段练习)已知函数/(%)=捺箝是定义在［一获］上的奇函数，且用)=一提

(1)求a力的值：

(2)判断/(%)的单调性，并用单调性定义给出证明：

(3)设。(%)=依+5-2A,若对任意的一■］，总存在为2£0,1］，使得〃石)Wg(M)成立,求实数〃的

取值范围.

28.(24-25高一上•安徽亳州•期末)已知函数y=f(x)的定义域为(一8,0)U(0,+8),且满足f(xy)=f(x)

+/(y)-L

⑴判断函数f(x)的奇偶性并证明：

(2)若〃2)=今求f(1024)的值:

(3)若x>1时，f(x)<1,解不等式f(2x+1)>1.

29.(24-25高一上•上海•期末)已知函数y=/•(%)的表达式为/'[x)=需,且/•(%)+/Q)=-1

0).

(1)求实数Q的值，并判断函数y=f(x)的奇偶性;

(2)判断函数y=/(x)的单调性，弃证明；

(3)解关于X的不等式/'(x)+/(£)+1<0.

30.(25-26高一上•全国•单元测试)已知函数y=@(%)的图象关于点P(a力)成中心对称图形的充要条件是

y=>(a+¥)-b是奇函数，给定函数/(x)=%-亮.

(1)求函数f(x)图象的对称中心：

(2)判断/(%)在区间(0,+8)上的单调性(只写出结论即可)：

(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当工€[0,1]时,g(x)=x2—mx+m,若对任意%i€[0,2],总存

在使得gQD=/(%2)，求实数m的取值范围.

题型六函数中的新定义

31.(24-25高一上•上海•期中)设y=/Xx)是定义在|m,n|On＜九)上的函数，若存在Koe(皿")，使得y=/(x)

在区间［成均］上是严格增函数，且在区间口o网上是严格减函数,则称y=/(x)为“含峰函数”，无。称为峰点,

［m用称为含峰区间.

⑴试判断y=—X2+4%是否为［0,4］上的,、含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；

(2)若y=+c(QHO,a、b、ceR)是定义在［m,3］上峰点为2的“含峰函数”，且值域为［0,4］,求a

的取值范围；

(3)若y=-x3+tx(teR)是［1,2］上的“含峰函数”,求£的取值范围.

32.(24-25高一上•上海杨浦•期末)已知函数y=f(x)的定义域为。，对于任意刈/2€。(孙<冷)，均有

号2c攀，则称y=/(x)为定义在。上“P阶增函数”

(1)若/a)=2x+S,函数y=/(x)为定义在区间(0,+8)上的“1阶增函数”，求：实数6的取值范围

(2)若y=/(无)为定义在区间(0,+8)上的“1阶增函数”，且/(m)=p,f(n)=q/(s)=r,f(m+几+s)=383,

其中0VmV九Vs,求证：p+q+r<383

(3)如果存在常数3对于任意％WD,都有/(%)VS,则称y=f(x)在。上有上界，问：是否存在常数使

得对于所有定义在区间(0,+8)上且有上界的“2阶增函数>=/(%),都有/若存在，求：必的最

小值；若不存在，请说明理由.

33.(24-25高一上•河北邯郸•期末)若函数/(%)在定义域内存在区间阿力满足以下条件：①函数在区间口句

上是单调函数；②函数f(x)在区间心力］上的值域为(£为常数且C>0),则称函数/(x)在定义域内为

“闭函数”.

(1)当£=1时，证明：fa)=/—2%+2QNl)为“闭函数”，并求出区间口用；

(2)当t=2时，若函数/(均=机一怎不1是“闭函数”，求m的取值范围：

(3)若定义在(0,2遍)上的函数/(%)=%+又一81是“闭函数”，求实数t的取值范围.

34.(24-25高一上•广东惠州期中)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足fg)=—/(乃，则称/(%)

为“局部反比例对称函数”.

⑴己知函数/'(X)=工+提试判断f(x)是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由；

(2)用定义证明函数/lx)=:+x在(1,+8)为单调递增函数：

(3)若f(x)=x2-2mx+m2-7是定义在区间(0,+8)上的“局部反比例对称函数”，求实数7几的取值范围.

35.(24-25高一上•上海•期末)对于定义在区间D上的函数y