河北省保定市联考2025-2026学年高三年级上册9月月考数学试题

河北省保定市名校联考2025-2026学年高三上学期9月月考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.使1入区1成立的一个必要不充分条件是（)

A.-1<X<1B.0<x<lc.x<\D.-1<X<1

2.已知复数Z满足iz=^+,i,则z?=（

)

22

A1G.R1x/3.n1x/3.

c」_叵x

2222~2~~r22

3.圆。f+y2=］与圆0”q_3）2+（y-4）2=9的位置关系是（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

1,(3兀)

4.已知sin(7i+a)=

则COS<a-2--J-=()

B.B

A.；c..在D.--

2222

5.已知两条直线4：(〃?+3)x+4y+3〃?—5=O,/2:2x+(m+6)y-8=O,且则直线4的

一个方向向量是

A.(1,--)B.(-1,--)C.(1,-1)D.(-K-D

22

6.若/(x)是R上的可导函数，且1而〃与.""。一')=〃,则/'(%)=()

2。3Ax

A.—ciB.3aC.—ciD.—3ci

33

7.在AA3C中，A,B,。所对的边分别为a,'c,若A=60。，a=JLb+c=3,则A4BC

的面积为

A.且B.BC.6D.2

42

log1（A+l）,-l<A<0

8.已知函数〃K）=2,若关于x的方程"力=〃?（，〃£用恰有三个不同

-x24-2x,x>0

的实数根。，6C,则a+b+c的取值范围是（）

二、多选题

9.设S”是等差数列｛&｝的前〃项和，若儿>0,<T,则下列结论正确的是()

A.同<同B.〃=7时，S。最大

S.

C.使，>0的〃的最大值为13D.数列〈r中的最小项为第8项

10.下列说法正确的是()

A.)，=+J1-X与y=Jl-f表示同一个函数

B.命题p:XfxG>0,贝I」->〃:3x€R.」一<0

x-\x-\

-x2-ar-5（.v<1）

C.已知函数/")=•在R上是增函数，则实数。的取值范围是13,-1]

加>1）

D.函数y=l-x+Jl-2x的值域为+8

11.在极长为1的正方体A4CO-4蜴CQ中，M,N分别为棱GA，。。的中点，则()

A.直线MN与直线AC所成的角是5

B.直线MN与平面ACGA所成的角是!

0

C.二面角“一A3—C的平面角是三

9

D.平面MMN截正方体所得的截面面积为£

O

三、填空题

12.已知。=(x,2),B=(6,X+1),若a,6方向相反，则工=.

13.若关于x的一元二次不等式(1・。)/-4工+6>0的解集是｛乂-3<.1<1｝.那么若

试卷第2页，共4页

加+法+320的解集为R.则实数〃的取值范围是.

14.如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积(矩形ABC。)为P,两边都留有宽为

〃的空白，顶部和底部都留有宽为2a的空白.若a=2cm，P=800cm2,则当A8=时,

才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是.

U...1?-H

\DC\

'A

「------「

四、解答题

15.已知集合4=卜|-3立v4｝,B=｛x|2m-lWm+1｝.

⑴当〃?=1时，求Ac(Q8)；

(2)若=求实数小的取值范围.

16.已知函数/(1)=。「这一1.

⑴当。=1时,求f(x)的单调区间与极值;

(2)求f(x)在［1,例)上的最小值.

17.已知数列｛为｝为公差不为零的等差数列，其前〃项和为S“，S$=25,且％,4,九成

等比数列.

⑴求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)若数列｛〃"+，｝是公比为2的等比数列，且4=3,求数列也,｝的前〃项和了“.

18.已知函数/(力=岳。5(2.1-；)，xeR.

(1)求函数/("的最小正周期和单调递减区间；

⑵求函数/(“在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时》的值；

O幺一

⑶求不等式T工/。)工1的解集.

19.已知数列｛勺｝,其中G.eZ/eZ.

⑴若q=〃(女N)集合A=｛6,%…“｝，自表示集合A“的非空子集个数.集合4的第，个

非空子集中的所有元素之和记为4(i=L2,….纥)，设S〃=f＞,C.二看.

(i)直接写出G，C2，G;

(ii)计算C”的前〃项相和7；;

⑵取〃=5,在数列｛〃“｝中至少有一项为负值，且£《＞。，将数列｛《J各项依次放在正五

1=1

边形各顶点上，每个顶点一项.任意相邻三个顶点的三项为％为，4,若中间项勺＜0,则进

行如下交换，将4吗，4变换为《+即-%，4+。八直到正五边形各顶点上的数均为非负时

变换终止.求证：对任何符合条件的｛q,｝,上述变换终止只需进行有限多次.

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《河北省保定市名校联考2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CCADBBBDBDAD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】解绝对值不等式，找到需要研究的命题.用逻用的知识逐个选项分析求解即可.

【详解】

对于A选项，是充要条件，A错误

对于B选项，是充分不必要条件，B错误

对于C选项，是必要不充分条件，C正确

对于D选项，是充分不必要条件，D错误

故选:C

2.C

【分析】根据题意，由复数的运算即可得到z,从而得到结果.

【详解】因为iz=@+1i，则—z=^i—L即2=」—巫i,

222222

由【、1216I6.

所以Z=------I=-------1.

\22/22

故选:C

3.A

【分析】根据圆心距大于半径之和，得到位置关系.

【详解】圆Q：/+丁=1的圆心为（0,0）,半径为1,

圆。2：（X-3）2+（），-4）2=9的圆心为（3,4）,半径为3,

圆心距依勾=,3?+4?=5>1+3,故两圆外离.

故选：A

4.D

【分析】借助诱导公式计算即可得.

【详解】sin（7i+a）=-sina=--,故sina=5,

答案第1页，共12页

,,(I

故cosIa--\=-sina=--.

故选：D.

5.B

【分析】根据给定条件，利用两直线垂直的充要条件列式求出机，进而求出直线4的一个方

向向量.

【详解】由直线4：(〃?+3)x+4y+3〃?-5=0与4：2x+(m+6))，-8=0垂直，得

2(m+3)+4(/7?+6)=0,

解得〃=?—5,直线《：―2x+4y—20=0,即(：..2)，+10=0,直线《的斜率为

所以直线、的一个方向向量是(7,-g).

故选：B

6.B

【分析】利用导数的定义运算求解即可.

【详解】由导数的定义可得/(%)=也)"/)一,1一祠=3也/伉卜公一崎=3a.

故选:B.

7.B

【解析】根据余弦定理求得从•，再根据三角形面积公式即可求解.

【详解】在A/WC中,A=60o,〃=W,"c=3

由余弦定理a?=b2+c2-力ccosA

代入可得3=6+c?-灰•，艮J3=(。+c)2-3bc

所以A=2

则AABC的面积=—bcsinA=-x2x

2222

故选:B

【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用,属于基础题.

8.D

【分析】作出/(x)的图像，利用数形结合即可求解.

【详解】作图可得，(-5,。),b+c=2,所以a+〃+ce(1,2)

答案第2页，共12页

【点睛】本题考查了根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中

档题.

9.BD

【分析】对于AB,由题九>0可得%>°，由可得/<。，据此可判断选项正误；

“8

对于C,由题可得，4>。，几<0,据此可判断选项正误；对于D,由AB分析可知当

ss

或〃对5时，1>O,8K〃014时，=<0,据此可判断选项正误.

4%

【详解】对于AB,由题意兀="（:+""）=13%>。=%>0,又生<一1<0,所以&<0,

2。8

从而%+%>。，则同>|q|，故｛%｝为递减数列，从第8项开始，4<。，

则〃=7时，S“最大，所以A错误，B正确；

对于C,RL匕肉匈=7（%+%）>0,九=小岁口=154<0,所以使邑>0的〃的最

大值为14,C错误；

对于D,由ABC分析可知，当或〃215时，少。时，

SS

当84“414时，—<0,又纵>Sg>S”>0,…>阳，所以〃=8时，=最

anan

小，D正确.

故选：BD.

10.AD

【分析】由己知结合函数的基本概念及性质检验各选项即可判断.

【详解】对A,y=后LF7的定义域需满足《十”：；解得TKxKl,

1-x>0

），=Jif的定义域需满足1-/之0,解得-IWXWI，故两函数有相同的定义域及对应关系,

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故表示同一个函数，故A正确；

XX

对B,p：Vx€R,——>0,则「p:3x€R,——<0或者x=1.故B错误.

x-1x-\

-->1.

2a<-2?

对C,由题意可得r<0,解得,即〃的取值范围是［T-2］,故C错误；

-\-a-5<a［。之一3

对D,令=”20),则犬=上二，

2

所以函数丁=1+^^+/=_+/+：=

222"12),

函数在［0,+8)上单调递增，，=0时，>有最小值g,

所以函数y=lf+ViF的值域为g,y).故D正确.

故诜：AD.

II.ABD

【分析】利川MN//CR,可求直线与AC所成的角判断A；连接8a交4G于点打，连接

EC,可得直线C。与平面ACGA所成的角即为直线MN与直线ACGA所成的角，求解可

判断B；易求得二面角M-人B-C的大小判断C；接A仇AM,平面8MN截正方体所得的

截面为梯形ABMW,求解可判断D.

【详解】对于A,如图，连接CR,因为M,N分别为棱G。，CC的中点，所以MMg,

所以直线MN与AC所成的角即为直线C4与AC所成的角，

乂因为△AC。是等边三角形，所以直线C"与4C所成的角为?，

故直线MN与AC所成的角是故A正确；

对于B,因为M,N分别为棱G。，C。的中点，所以MM/C0,

答案第4页，共12页

所以直线CD.与平面ACC.A,所成的角即为直线MN与直线4CGA,所成的角,

连接4A交AG于点E,连接比,

由正方体片G。，可得CG，平面A4GR，

又8]£>]U平面ABICA，所以CCJBQ,

乂AG上BR,又AGDCG=C，4。I,。6<=平面人。。人，

所以4R_L平面ACCM，

所以ZECD,为直线CD,与平面ACCA所成的角，

又sin/ECR=M=1,所以NEC〃=m，故B正确;

9cz乙6

对于C,因为八43_平面4)。同，RAU平面4QAA，则ABJ.Q4,

又反_LAZ),所以NR4Q为二面角M-4K-C的平面角,

所以二面角M-A…的平面角是5故C错误,

对于D,如图，连接A8，AM,因为AB"CD\,CDJIMN,所以AB//MN,

所以平面8MN截止方体所得的截面为梯形A3NM,

nMN=1，AB=C,A\M=BN=*,

答案第5页，共12页

所以梯形的高为(岑)¥)=手,

39

所以截面面积为网争夜X-

7428-

故选：ABD.

12.-4

【分析】根据共线向量的坐标表示及题意即可求解.

【详解】依题意X(X+1)-2X6=0,解得X=T或X=3,

当工=~4时，«=(-4,2),£=(6,-3),此时/?二一§4,满是题意；

当x=3时，£=(3,2)上=(6,4),比时不满足题意，

故答案为：—4.

13.-6<b<6

【分析】由给定的解集求出“，再利用已知条件列式求出〃的范围.

【详解】由一元二次不等式(1-。)%2・41+6>0的解集是的-3<%vl},

-=-2

得1一々<0,年一3,1是方程(1-a)/-4彳+6=。的二根，即」广，因此。=3,

2=-3

1—«

不等式aP+加+320,即3f+"+3N0的解集为R,则A=Z/-36W0,解得-6K〃46,

所以实数〃的取值范围是-6WAK6.

故答案为：-6<Z^<6

14.20cm1152cm2

【分析】首先设A8=Acm,再根据条件，用x表示用纸的用量，列式后再用基本不等式,

即可求解.

QfV)

【详解】设43=xcm,纸的用量为S,则4。=第51,

所以5=(工+2〃)(¥+4'="+4)(?+8),

=832+8x+>832+2k••当=II52cm2,

xVx

当8x=:-----时，即x=28m,

X

答案第6页，共12页

所以当=20cm时.，最少的纸的用量为1152cm2.

故答案为：20cm；1152cm2

15.(l){x|-3<x<!U£2<A-<4}.

(2乂向加NT}

【分析】(1)先计算Q8,再计算Ac38)：

(2)由Afi8=8得BqA,再分类讨论.

【详解】(1)当〃7=1时，B={x|l<x<2),则48={1卜<1或x>2},

则AC(Q8)={R_3Kx<1或2Vx<4}.

(2)若则8G4,

当4=0时，2m-\>m+lf即〃?>2；

当时，-3<2W-1</H+1<4,得一14机工2,

则实数〃?的取值范围为{叩壮一}.

16.(1)减区间(--0),增区间(0,+8),函数f(x)有极小值0,无极大值

⑵答案见解析

【分析】(I)利用导数研究函数的单调性，根据极值的定义求解即可；

(2)根据和。>0分类讨论，利用导数研究函数的单调性求解最值即可.

【详解】(1)当〃=1时，f(x)=ex-x-\,/.r(x)=ev-l,

当xvO时，r(x)<0,当x>0时，/(力>0,

・・・/(X)在(y,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以当x=0时，函数/(“有极小值/(0)=e°-0-1=0.无极大值.

综上：〃工)的减区间是(田,。)，增区间是(。,包)，极小值为0,无极大值.

x

(2)vf(x)=c-at

当心0时・，/(^)>0,所以/'(X)在［1,+。)上单调递增，所以/(回向=/(1)=。—。一1；

当〃>0时，令/'(工)=(),得x=lna,

答案第7页，共12页

(i)当0<〃4e时，则Ina"所以/(力在［1,+力)」二单调递增，所以

(ii)当〃>e时，则hw>1,所以在［l/na)上单调递减，在(hia,+8)上单调递增，

贝”/(“入血=/0na)=4-3na—l；

综上：当a«e时，/(%)在［1,+8)上的最小值为e—a—l；

当”e时，”力在［1,+3)上的最小值为a-ahia-l.

17.(1)4=2〃-

⑵4=2川-2-〃2

【分析】(1)设公差为d,根据等差数列的前〃项和公式与等比中项公式列出关于《和”的

方程，求解即可得｛4｝的通项公式：

(2)由(I)可得等比数列｛q+a｝的第三项4+&,法而得4+4,从而得到色｝的通项

公式，利用等差和等比数列前〃项和公式分组求和即可求出Tn.

【详解】(1)因为｛q｝为等差数列，设公差为d，

5x4

由S$=25,得5勾+寸d=25,①

由4，%，阳成等比数列得吊=%«4，

贝ij(4+4df=(4+")(q+13d),②

联立①②解得匕尸；或了八,又因为dwo,则丁：，

d=2［a=0［<7=2

所以a“=q+(〃-l)d=2〃-l(〃eN“).

综上，a”=2〃-l(〃eN)

(2)由〃“=2〃-1知q=l,%=5,

又也+〃｝为公比是2的等比数列，&=3,

所以4+4=(4+4)x4=5+3=8,即4+a=2,

答案第8页，共12页

所以/+d=2x2"T=2"，"=2"-（2〃-1）,

所以］=4+4+仇+…+。=21+22+23+―+2"—口+3+5+―+（2〃-1）］

『（「2”）一（1+2〃f”.2.R

1-22

综上，7；=21-2-/.

18.（1）兀：单调递减区间是kit+—.kit+,keZ

oo

⑵皿=血,X=S：/（X）min=T，X=5

oZ

兀，t7C.7T.—、

（3）—+ATC,kitVJ-+f+—,（zk€Z）

L4J142_

【分析】（1）由），=485（的+*）的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间;

（2）求出2x-1的范围，再结合余弦函数的性质得最值；

4

（3）由余弦函数的性质解不等式.

【详解】（I）/（X）的最小正周期「=温=3=兀，

当2k1«24一442面:+兀，&|JZJT+-<x<A：7t+—,kwZH、j,/（x）单调递减,

488

・•・/3）的单调递减区间是［阮+［^+等］,keZ.

oO

（2）VXGT

o

a，叫

故cos—x-ije

•••八幻2=血，此时2x-：=（）,即x、，

/Wmin=-1,此时2A：=1,即V.

442

（3）—1\/2cosflx——<1,Rp<cos（2x——）<»

I4；242

所以2E-把42%-巴42阮一色或2履+乌《2x--<2^71+--,keZ,

444444

即或E++2,keZ,

442

所以不等式的解集为|"-［+E，E］』［+E，E+』，（kwZ）.

442

答案第9页，共12页

19.(1)(i)C=2C《G=；(ii)4==

33〃+1

(2)证明见解析

【分析】(I)(i)根据定义写出G，C2，G；

(ii)由题意得集合4={1，2,…所以优=2"-1,法1：利用子集构成特点，由于集合人

的每个元素在其子集中出现的次数均为2〃T，得，=(1+2+…+〃)I”。求出

cn=-r-ei=4[-一一1]，用裂项相消法求其前〃项和4;法2：利用递推关系，得到

7/(/7+1)n+i)

S“=2s,T+〃2,构造数列铝9+借助累加法求出S.，再求出

C„=-7^-T=4|--一用裂项相消法求其前〃项和。；

〃(77+1)1〃n+ij

(2)由题意所述的变换不变，且始终为整数.所以£q21,构造一个函数

1=1r=lr=1

/(%,%，。3,，%)=(《一6)+(出一&7+(%一%)+(。4-4旷+(6一。2)，经过每一次变换，

函数“4,%,%4，%)的值至少减少2,且/(知外，%%%)恒非负，即可证结论.

叱=2.

【详解】(1)⑴由4={《}={1},则用=1,5,=1,因此可得G

S,

由&={阳生}={1,2},则々=3,$2=£>=6,因此可将G-5+12

/=1S?3，

由4={q,%%}={L23},则用=7,邑=玄2=24,因此可得。3=员+11

3'

1=1

2I

故G=2C=1G=5

(ii)由题意得集合所以B”=2"-l,

解法1：(利用子集构成特点)

由于集合A“的每个元素在其子集中出现的次数均为2”，

故S〃=(1+2+...+〃).2“T=〃(7).2“T/(,).2",

4.2”4

所以卢=4------

+〃(/7+1)、〃77+1>

所以4=4(；1III14〃

223nM+I〃+1