数列-2025年高考数学二模试题分类汇编（新高考）原卷版

专题06数列

白题型概览

题型（）1数列的递推公式

题型02等差数列及其性质的应用

题型03等比数列及其性质的应用

题型04等差数列与等比数列交汇问题

题型（）5数列求和问题

题型06数列中的新定义问题

题型07数列与三角、解析几何等知识交汇

题型01数列的递推公式

1.（2025•山东潍坊•二模）已知数列｛4｝满足『=＜十'""为偶数，若6=1,则%=（）

3%+1以为奇数

A.1B.2C.3D.4

2.（多选）（2025•江苏南京•二模）已知数列｛q｝中，4=：，4“=-3q山巴，〃eN'，其前〃项

O

和为S”，则（）

3.（多选）（2025•内蒙古呼和浩特•二模）已知数列｛q｝满足％=1,生=10,且4+2="用乜；，若记

数列｛%｝的前〃项的积为小〃=lg（%qj，｛〃｝的前〃项和为工，则下列结论正确的是（）

A.数列出｝是等比数列B.S“=2”-1

7n-1_|2*-1

C.当〃为奇数时，（=10丁D.当〃为偶数时，（=10亍

4.（多选）（2025•山西临汾•二模）已知数列｛4｝满足：4=33%=（〃+1）«山，则下列说法正确的

是（）

A.4=9

B.｛《,｝是单调递增数列

C.若，为数列/的前〃项和,则。<1

[(“+1)3J

D.若对任意〃wN"都有（一1）"244勺.1,则—3K2KI

5.（2025•重庆•二模）设等差数列应｝的前〃项和为S.,且为＞04邑=〃3-2%+1,将数列｛q｝与

202

数列｛〃2-1｝的公共项从小到大排列得到新数列｛%｝,则2—=（）

；=iG

A,竺B.色D,竺

414121

i

6.（2025•江西上饶•二模）已知数列忖）满足4=2,4“—4=2〃+2（〃eNj,则数列<——「的前4项

的和为.

3,7?=1

7.（2025・河北张家口•二模）已知数列｛4｝不是递增数列，且可=2〃i+g2,则人的取值范

围为.

8.（2025・广东清远•二模）已知数列血｝的首项为4=4,且满足am+a〃=6x5”ReN）.

⑴求证：何「5”｝是等比数列;

⑵求数列｛q｝的前〃项和S”.

9.（2025•黑龙江哈尔滨•二模）已知正项数列｛〃”｝的前〃项和为S。，2S.=a：+a”（〃eN）

⑴求数列｛4,｝的通项公式；

⑵设数列｛2｝满足勿=&户一急p求数列色｝的前〃项和为J

⑶设数列｛6｝的前〃项和为4,+(-1)c=2a+1,且d”=A2“，若〃eN时,d”+i>d”，求数

力+1nn♦

列匕｝首项c,的取值范围.

«02等差数列及其性质的应用

1.（2025•江西上饶•二模）已知｛In%｝&＞0）为等差数列，q=3,4=96,则为=)

20199

D.12上

A.12.~2

2.（2025•山西临汾•二模）记S“为等差数列｛勺｝的前“项和，公差d＞。,且则S“取

得最小值时〃为（）

A.2021B.4039C.2020D.4040

3.（2025•云南昆明•二模）已知等差数列｛q｝,公差为d,。产0,前〃项和为工，记集合

M=｛k\ak=Sk｝f若M中有2个元素•，则％,d的关系可以为（）

A.2«1+3d=0B.2q—3d=0

C.3a[+2d=0D.34-2d=0

c

4.（2025・四川雅安•二模）记S”为等差数列｛〃“｝的前〃项和，若4+%=10,66=65,则:•=（）

A・14—〃B・〃-2C・12—〃D.〃—4

5.（2025•江西萍乡•二模）已知等差数列｛〃“｝满足：%+综+/+L+%”=（〃（〃+l）（〃£N_）,贝！｛q｝

的公差为（）

A.1B.2C.1D.；

6.（2025•山东临沂•二模）已知｛《｝为正项等差数列，若4%-%=8,则的最大值为（）

A.4B.6C.8D.10

7.（2025•河北邯郸•二模）已知等差数列血｝的前〃项和为S.，且*=〃/+〃（〃-1）,则公差

d=.

8.（2025•安徽池州•二模）在等差数列｛《,｝中，若4=2必=6,则生+&=.

9.（2025•河南新乡•二模）已知S”是等差数列｛4｝的前〃项和，数列｛%｝的公差为d（dwO）,且

｛67Z｝是等差数列，则:.

10.（2025•浙江金华•二模）已知数列｛q｝为等差数列，S,为其前〃项和，满足§3=5,兀=32,则

“8的值为.

11.（2025•山东青岛•二模）记等差数列｛6｝的前〃项和为S。，且4+2SQi=0（〃N2）,q=g,则

S“=.

12.（2025•陕西渭南•二模）已知等差数列｛〃“｝满足4，勺+1是关于上的方程/-4依+2=0的两个根.

⑴求q.

⑵求数列也｝的通项公式.

4〃

（3）设%=（-ir—,求数列k”｝的前2〃项和s?”.

殿型03

1.（2025•山东聊城•二模）各项均为正数的等比数列｛%｝的前5项和为日，且3%+44=&,见%=

（）

A.2B.4C.8D.16

2.（2025・云南昆明•二模）已知正项等比数列｛4｝,满足生=1,%=4,则4=（）

A.7B.gC.1D.2

42

3.（2019・广东茂名•一模）己知数列｛〃”｝为正数项的等比数列，力是它的前〃项和，若4%=4,且

牝+2%="I,则S$=（）

A.34B.32C.30D.28

4.（2025・安徽滁州•二模）已知首项为负数的等比数列｛%｝的前口项和为S”，若邑=3,56=63,则

4=（）

A.8B.16C.24D.48

5.（2025•山东滨州•二模）设色｝为等比数列，且％+/=3，4+4=6,则/+4=（）

A.12B.24C.48D.96

6.（2025•山东荷泽•二模）已知S”为等比数列｛凡｝前〃项和，若%=4%-4%,则—^二（）

a\+a2

A.5B.3C.-3D.-5

7.（2025•江苏•二模）已知等比数列｛叫的公比"T,前〃项和为S”，则对于VvwN♦，下列结论

一定正确的是（）

A.S.+S*=2S*B.3s“+邑”=2s2〃

）（）

C-S"S£“D.S2M⑸”-S,r=S〃S,„f

8.（2025・辽宁,二模）记S.为正项数列｛q｝的前〃项和，4=2S2,为等比数列，则&=.

9.（2025・四川雅安•二模）在公比不为1的等比数列｛勺｝中，若见皿=1，且有

a{a2--a5=a{a2…《心(〃?wN',/〃>5)成立，则机=.

等差数列与等比数列交汇问题

1.（2025・安徽黄山•二模）已知各项均为整数的数列｛q｝中，4=-2,%=1,前10项依次成等差

数列，从第9项起依次成等比数列，则。2023=（）

A.2刈3B.2刈4C.2刈$D.2刘6

2.（2025・广东清远•二模）已知等差数列也｝的前〃项和为5“，公差d/0,若§5=35,且〃2，4,期

成等比数列，则%的值为（）

A.11B.13C.19D.17

3.（多选）（2025・辽宁沈阳•二模）已知数列｛4｝满足%+%=/（〃），则下列说法中正确的是（）

A.若q=2,f5）=2%则｛叫是等差数列

B.若《=1,/（〃）=2〃+1,则｛q｝是等差数列

C.若6=2,"〃）=4,则㈤｝是等比数列

D.若4=1,/（〃）=3x2，i,则｛q｝是等比数列

4.（多选）（2025•安徽淮北•二模）设数列也｝的前〃项和为5.，对任意正整数〃有5办2=45.+3,

下列命题正确的有（）

A.若4=1,则§3=7

B.｛q｝一定不是等差数列

C.若乩｝为等比数列，则公比为2

D.若4=1,%=2,则依｝为等比数列

5J多选）（2025•江西新余•二模）已知递增数列｛为｝的各项均为正整数，且其前〃项和为S”，则（）

A.存在公差为1的等差数列｛q｝,使得儿=2025

B.存在公比为2的等比数列｛〃“｝,使得邑=2025

C.若，=2025,则4W285

D.若兀=2025,则％。之207

6.（多选）（2025•辽宁锦州•二模）已知数列｛〃“｝,其前〃项和为S.，数列也｝,其前〃项和为7；,

则下列说法正确的是（）

A.若｛。“｝为等差数列,则数列点｝也是等差数列

B.若%=2",则数列出｝为等比数列

C.若勺=3〃-16,则〃=5时S”取到最小值

D.若也｝为等比数列，且7>2-3”+机，则〃?=-；

7.（2025・云南曲靖•二模）己知“伉。是公比不为1的等比数列，将。力"调整顺序后可构成一个等

差数列，则满足条件的一组〃，"c的值依次为（用数字作答）.

8.（2025•辽宁沈阳•二模）已知公差不为。的等差数列｛《｝的首项为1,且生，%,6成等比数列,

则％=.

9.（2025•天津河西•二模）已知数列｛〃“｝为等差数列或等比数列，前〃项和为S”，且满足a=8,

4=32.

⑴当数列｛《,｝为等差数列时，求｛4｝的通项公式及3；

(/-1)^-1

（2）当S"在％eN*单调递增时,设“〃=4，2色+1)(%+1)的值;

⑶当数列｛4｝为等比数列且为摆动数列时，设如=&,求%的最大值和最小值.

题州05数列求和

（2。25・陕西咸阳•二模）已知数列⑷满足五』（-D,则什…+，5=

()

m，八…加+2U23一.八…

A.—1-1013B.-------------C."?+1013D.2;ZZ+2026

24

2.（2025・天津南开•二模）若数列｛/｝满足4=2,%=1，且

I：：-；!：：：：<：：?则｛叫的前

2025项的和为（）.

A.1350B.1352C.2025D.2026

3.（2025•河南•二模）已知数列｛4｝满足％=1,.

⑴求｛为｝的通项公式；

⑵记｛%｝的前〃项和为S.,求证：S“<2.

4.（2025•山东聊城•二模）数列｛〃”｝是递增数列，其前〃项和为S“，旦S”=9；+〃,

⑴求明S.；

⑵记，=/（〃），数列也｝满足：a—3”）,数列Jj］的前〃项积与前〃项和分别记为

、n,

4,纥.证明：

①4=4

②4+纥=1•

5.（2025•广东广州•二模）设S”为数列｛q｝的前〃项和，且凡是S“和8的等差中项.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

⑵令2=log2〃"，数列•匕的前〃项和为证明：工工

123

6.（2025•辽宁•二模）已知数列｛《｝的前〃项和S.满足反=病+2,（〃£1<）,且4=4.

⑴求数列｛〃”｝的通项公式。”；

⑵记"二」一，求数列｛4｝的前二项和外

anan+\

7.（2025•安徽滁州•二模）在数列上｝中，q=l,4=6,其前〃项和为S”.数列，｝是公差为"

的等差数列.

⑴求〃；

⑵若〃>0,

（i）求数列｛4｝的通项公式仆及前〃项和S“；

I3b-4n

（讣）若2=。向-4，数列｛%｝满足。=：,J向=谒一•J,求证：对任意正整数〃，都有ZG<I.

3吗hi

题型06

1.（2025•内蒙古呼和浩特•二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高

阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3,6,10,15,...的逐项差，

%-%=2,%-%=3,4-%=4,%-%=5,...构成一个等差数列，则数列1,3,6,10,15,...

是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2,3,6,11,18,则

其第8项是（）

A.38B.51C.66D.83

2.（多选）（2025•江西萍乡•二模）若数列｛q｝的前〃项中，最大项为A“，最小项为凡，则称数列

｛4-4｝为的"极差数列"•下列关于极差数列的说法正确的为（）

A.若数列｛%｝是等差数列，则它的极差数列｛4-优卜也是等差数列

B.若数列｛4,｝的极差数列｛4-耳｝是等差数列，则｛《｝也是等差数列

C.数列｛4｝的极差数列｛4-凡｝可能为等比数列

D.数列｛q｝的极差数列｛4-纥｝的极差数列仍是｛4-纥｝

3.（2025•山东青岛•二模）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,，在数学上,斐波那契数列以如下递推的方式定%=1吗=1必+。…（〃之2,”£N）

已知A=｛a，%，，%1然｝，8=4且B/0,则B中所有元素之和为奇数的概率为.

4.（2025・安徽黄山•二模）若数列｛玉｝,｛"｝,其中JMZ,对任意正整数〃都有氏则称

数列｛”｝为数列｛■的“接近数列已知也｝为数列｛4｝的“接近数列%且数列｛%｝,也｝的前〃项

和分别为S.，Tn.

⑴若，“=〃+：2（”是正整数），求…一4的值；

⑵若数列｛q｝是公差为，/的等差数列，且dwZ,求证：数列｛"｝是等差数列：

2〈、〃川

⑶若q4+-1（〃是正整数），判断是否存在正整数使得&<1?如果存在，请求出k的

2k6；

8

最小值，如果不存在，请说明理由.（参考数据：log—6.25,log-4.65）

6525五176ft

5.（2025•山西晋城•二模）设｛〃,,｝是项数为m（〃亚3,〃?wN）且各项均不相等的正项数列，满足下列

条件的数列他｝称为何｝的“〃等比关联数列〃：①数列也｝的项数为矶丁）（〃?N3,〃?eN［；

②｛&｝中任意两项乘积都是｛"｝中的项；③｛"｝是公比大于1%等比数列.

⑴已知数列色｝是风｝的“3-等比关联数列"，且4=1,%=2,1=4,求数列低｝的通项公式;

⑵已知数列出｝是｛4｝的“4-等比关联数列〃，且｛《,｝的前3项成等比数列的概率为P,求尸的值；

⑶证明：｛4｝不存在"5-等比关联数列"他,｝.

6.（2025•江西鹰潭•二模）对于数列也｝（〃eN'），记△4=4讨-称数列｛4内为数列｛为｝的一

阶差分数列.记称数列｛Nq｝为数列｛q｝的二阶差分数列，……,一般

地，对于kwN,记规定：△%,=%,△&=△%,称｛△4｝为数

列｛q｝的左阶差分数列.

⑴已知A%“=3〃+1,4=1,求/，%，△&，△&；

⑵已知Aa=3”-2,若q=l,且q2%对〃wN*恒成立，求生的取值范围;

⑶已知数列｛为｝满足N%=2,且q=l,数列•丝经，，工《0、九）的前〃项和为，，证明：7；>0,

7.（2025•河北张家口•二模）现定义：对于实数。也c,若从之改，则称b是。和c的加比中项;若

2

h<acf则称〃是a和c的减比中项.已知数列｛“”｝满足4=1,%=1,且存在正数〃?，使而是

4+2和巴的加比中项与减比中项.

⑴若的是4与%的等比中项，求源；

⑵数列也｝满足々=2,4=2,且血储是2+2和a的减比中项.记数列［上上「的前〃项和为5”.

（i）证明：M.也是%和J+i的减比中项;

（ii）当〃?>1时，证明：Sn<-^~.

，〃-1

8.（2025•天津•二模）从数列｛凡｝中选取第/项,第攵+1项，…，第左+〃1项（&WN1〃N2）,并按

原顺序构成的新数列称为数列｛4｝的连续子列''.已知数列及“｝中，4=0,%=1，对T&wN,

k

数列｛q｝的"(2A,3)连续子列〃是公比为三4—.1的等比数列.

K

⑴求处,%的值；

(2)求生向("eN')；

⑶证明：£浸黑声是行N)

9.(2025•山东滨州•二模)在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数歹U，

我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”.如：数列2,3经过第一次“积扩充〃后得到数列2,6,

3；第二次"积扩充'’后得到数列2,12,6,18,3：....设数列1,2,4经过第〃次“积扩充〃后所得

数列的项数记为4,所有项的积记为匕.

⑴求&和鸟；

(2)求4和匕.

(3)求数列｛2｝的前〃项积7.

10.(2025・河北・二模)已知｛4｝是公差不为0的无穷等差数歹1」.若对于｛q｝中任意两项％,。“，在｛%｝

中都存在一项%,使得叫一a,”a“,则称数列｛%｝具有性质".

⑴已知4=2〃，包=4〃+3(〃=12),判断数列血｝,｛2｝是否具有性质P;

⑵若数列｛《,｝具有性质产，证明：｛q｝的各项均为整数；

⑶若4=18,求具有性质。的数列｛q｝的个数.

11.(2025・江苏•二模)若无穷数列｛q｝满足：，V//GN\4〉七—…>«+生；…则

称也｝为“均值递减数列”.

⑴已知无穷数列血｝的前〃项和为S“，若｛4｝为“均值递减数列",求证:S”>%：

⑵若数列出｝的通项公式”=-6(〃-4)3+〃2,判断他｝是否为“均值递减数列〃，并说明理由：

⑶若两个正项数列｛。“｝和｛4｝均为“均值递减数列〃，证明：数列｛c〃4r也为“均值递减数列".

鼠型07数列与三角、解析几何等知识交汇

1.（2018•山东聊城•一模）设等比数列｛q｝的各项均为正数，其〃前项和为贝广九十为>252。〃

是“数列｛《,｝是递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

2.（2025・天津•二模）已知｛%｝是一个无穷数列，是“｛q｝为递增数列〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2025•广东深圳•二模）已知等差数列｛q｝的公差为,，集合S=｛cos%|〃£N"｝,若S=｛〃,。,。｝,

贝1J4+力+c=（）

A.-1B.0C.1D.

4.（多选）（2025•云南曲靖•二模）已知数列｛4｝是等比数列，巨％=3,《=81,数列也｝满足

4=1%外,不等式24x44的整数解个数记为c”，数列｛qj的前〃项和为S”，则下列结论正确的

是（）

A.4=3"B.bn-n

n2

C.cn=3-n-\D.Sn=-x3^--n+-n--

nn2222

5.（2025•山东•二模）已知项数为川的数列｛4｝满足4e｛0,l,2｝（i=l,2,…,⑼，若数列｛4｝中存在连

续三项（r=2,3,-1）,使得%+q=，成立，则称数列｛&｝为“友好数列".当”=3时，

"友好数列''的个数为；当〃?=4时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为

6.（2025・云南昆明•二模）已知4U=12LJZ）随机取一1或1,构成数列｛%｝为初始数列，当｛〃“｝不

为常数列它上时，对数列｛〃“｝进行如下操作：①统计乩｝中-1的个数，记为攵；②把4改为一，

〃个1

其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列1>U，停止操作，记录操作次数X，否则将｛为｝

替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列｛4｝,必在有限次操作后停止.如：〃=2,对

初始数列1，-1,操作过程为1,1；x=3.当〃=3时，

对所有可能的初始数列｛%｝,对应操作次数的和为.

7.（2025・天津南开•二模）已知等差数列｛〃.｝的前〃项和为S.吗=2,S?=28.

⑴求｛为｝的通项公式；

（2）记我=其中C（A=0，l，2,•