平面（教学设计）-人教A版高一数学必修第二册

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1平面

素养目标•定方向

素养目标学法指导

要充分利用长方体以及身边的生活中的物品

1.理解并掌握平面的基本事实及推论.（逻辑

认识空间点、直线、平面，要类比初中平面

推理）

几何中点、直线去认识空间中的点、直线、

2.会用基本事实及推论解决有关问题.（逻辑

平面，逐步过渡与抽象，并确定它们之诃的

推理）

关系.

必备知识•探新知

知识点1平面

1.平面的概念

儿何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象

出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周一无限延展.的.

2.平面的画法

我们常用矩形的直观图，即一平行四边形.表示平面,它的锐角通常画成45。，且

横边长等于其邻边长的2倍,如图①.

如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用—

虚线」画出来,如图②.

A

①

3.平面的表示法

图①的平面可表示为平•面学、平面ABCD._平面AC或平面BD.

知识点2点、线、面之间的位置关系

1.直线在平面内的概念

如果直线/上的一O点—都在平面。内，就说直线/在平面a内，或者说平面a经过

直线/.

2.一些文字语言与符号语言的对应关系：

符号语符号语

文字语言表达文字语言表达

言表示言表示

点人在直线/上点A在直线/外

点A在平面a内点A在平面a外

直线/在平面a内」Ua_直线;在平面a外及⑥

直线/,相交于点4平面。，/?相交于直线/aC\/J=l

知识点3平面的基本性质及应用

1.

基本事实内容图形符号作用

一是确定平面；

A：B,C三点不共

过不在一条直线上的三二是证明点.、线

线台存在唯一的平

基本事实1个点，.有且只有一—共面问题；三是

面a使A,B,CG

个平面判断两个平面重

a

合的依据

如果一条直线上的_ffi既可判定直线和

A^LB^l,且A

个点—在一个平面内,点是否在平面

3

基本事实2£Q,_/c

那么这条直线在这个内，又能说明平

a_

平面内_面是无限延展的

如果两个不重合的平面①判定两平面相

有一个公共点，那么它尸三a且尸£/=>交的依据

基本事实3

们有且只有一条过该点AWaCp=l,且②判定点在直线

的.公共直线.上

2.利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个

推论：

推论1.经过•条直线和这条直线外•点一，有且只有一个平面.

推论2.经过两条相交直线.，有且只有一个平面.

推论3—经过两条平行直线_,有且只有一个平面.

［知识解读］1.平面的几个特点

(1)平面是平的；

(2)平面是没有厚度的；

(3)平面是无限延展而没有边界的.

2.从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系

(I)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直发的关系是元素与集合的关系，用

W”或“住”表示.

(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用或“住”

表不.

(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“u”或

“Q”表示.

3.准确认识三个基本事实的意义和作用

(1)基本事实1

意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面

问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.

作用：①确定平面；②证明点、线共面.

(2)基本事实2

意义：说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直

线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”.

作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法.

利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”，可推出不共线的三点，

一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面.

(3)基本事实3

意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.

作用：①判断两个平面是否相交；

②确定两个平面的交线；

③证明若干点共线问题.

关键能力•攻重难

题型探究

题型一三种语言的相互转化

典例1根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.

(I)点P与直线A3;

(2)点C与直线48；

⑶点M与平面AC；

⑷点4与平面AC；

(5)直线AB与直线BC；

(6)直线4B与平面AC；

⑺平面4B与平面AC.

［解析］⑴点PU直线A"；

(2)点C在直线48；

(3)点ME平面AC；

(4)点4阵平面AC；

(5)直线A8G直线BC=点、B；

(6)直线A8U平面AC；

(7)平面48。平面AC=直线AB.

［归纳提升］三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线

且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“£”或“住”，直线与平面

的位置关系只能用“U”或“Q”.

提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

【对点练习】❶(1)若点M在直线。上，a在平面a内，则M、a、a间的关系可记为

aUa，:

(2)根据图，填入相应H勺符号：平面ABC,/41平面BCD,平面ABC,

平面ABCC\平面ACD=AC：

(3)用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个平面。、hy相交于一点P,且平面a

与平面A交于以，平面"与平面?交于。从平面外与平面)，交于PC

［解析］(3)符号语言表示：尸P,an夕=%,any=PB,6c尸PC.

图形表示：如图所示.

题型二点共线问题

典例2已知△ABC在平面a外，A8Aa=RACCa=R,BCOa=Q,如图.求证：P、

Q、R三点共线.

［分析I(1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上？

(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？

［解析］证法一：\'ABQa=P,：.P^AB,尸£平面a.

又A8U平面ABC,平面ABC

...由公理3可知：

点P在平面ABC与平面a的交线上，

同理可证Q、R也在平面A8C与平面a的交线上.

:.P、Q、R三点共线.

证法二：'：APOAR=A1

，直线AP与直线AR确定平面APR.

又•.♦A4Ca=P,ACC\a=R,

二.平面APRA平面a=PR.

•.•8£面人PR,面人尸R,二.BCU面人PR.

又•.•QW面APR,Q£a,

:・QWPR.：,P、。、R三点共线.

［归纳提升I点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交

线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在和交平面的支线上，也可选杼其中两

点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.

【对点练习】❷如图，正方体A8CO—A/CIDI中，对角线AC与平面8QG交于点

O,AC,BD交于点M,求证：G、0、M三点共线.

［解析］由A4〃CG,则A4与CG确定一个平面AC.

•.•ACU平面AC,而OWAC,平面4C

又ACn平面BGO=。，平面BGD

.•.O点在平面BC\D与平面AC的交线上.

又ACGBZ)=M,平面BGO且MW平面AC.

又Ci£平面8GD且GW平面AiC,

「・平面A〈n平面8c|O=GM,「.0WGM,即G、0、M三点共线.

题型三线共面问题

典例3已知直线直线/与小。都相交，求证：过a,b,/有且只有一个平面.

［证明］如图所示.由已知a//b,所以过a,〃有且只有一个平面a.设aC\l=AtbC\l=B,

BWa,且4£/,B£l,，/Ua.即过a,b,/有且只有一个平面.

［归纳提升］在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.

（2）同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然

后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.

【对点练习】❸已知：如图所示，/1G，2=4，/2C，3=8,/|PI/3=C.求证：直线，2,

/3在同一平面内.

［证明］法一（纳入法）,・，in/2=A,・"I和/2确定一个平面a.

•；/2C/3=B,.•.8£/2又;bUa,...BEa同理可证CWa.

又03,C03,：.hUa.

，直线/l,11,，3在同一平面内.

法二（同法一、重合法）•・［n/2=4

A/i,/2确定一个平面必

v/2n/3=B,:,i2,/3确定一个平面小

TAj,4「a,

VAG/2,hup,:.AWp.

同理可证C£a,C".

.•.不共线的三个点A,B,C既在平面。内，又在平面△内.

...平面a和/?重合，即直线/”，2,八在同一平面内.

题型四线共点问题

典例4已知：如图，空间四边形A8C。中，E、H分别为BC、的中点，F在CD

上，G在AD上，且有。5：R7=OG：G4=l：2.

求证：直线EF、BD、"G交于一点.

［分析］先证后尸、“G一定相交于一点，再证这一点在直线8。上.

I解析］连接E”、AC、FG.

*：E.〃分别为AC.A4的中点，：.EH-^AC.

,:DF：FC=\：2,DG：GA=\:2,

：.FG//ACfFG=171C,:.EH〃FG艮EHWFG,

：.E.F、G,”四点共面且£7%/6月.二・£：尸与6〃相交.

设£尸06”=0,则。£GH,OGEF.

・「G”U平面430,EFU平面BCD,七平面46。，OW平面BCD.

•.•平面43。n平面4c0=8。，：.ORBD,即直线EEBD、"G交于一点.

［归纳提升］三线共点的证明方法：

证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证

两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交

线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.

【对点练习】❹三个平面a、夕、》两两相交，交于三条直线，UPaOfi=c,4n)，=”,

yC\a=b,已知直线a和力不平行.

求证：a、b、。三条直线必过同一•点.

［解析］VaA?=Z?,pr\7=a,，。(=力buy,

,:a、b不平行，

・•.〃、〃必相交，设anb=p,

TPEa,aup,

:同理PWa,

而aCp=c,I.P£c.；.a、b、c相交于一点P,

即a、b、c三条直线过同一点.

易错警示

对于条件所给的点的位置关系考虑