培优课7 函数零点与方程解的应用

培优课7函数零点与方程解的应用

关键能力•素养培优

题型一根据零点情况求参数

[例1]函数加)=2'+咤2(尸1用的零点在区间(2,3)内,则实数a的取值范围为()

[A](49$[BK4J8)

[0(8,9)ID](8,18)

【答案】D

【解析】函数加)=2'+log2(x-1)4在定义域(1,+00)上连续且单调递增,已知的数零点在区间

(2,3)内,

则人2)43)<0,所以(4-±)(9-9)<0,解得。£(8,18).故选D.

22

f^x2,0<x<2,

[典例迁移1]已知函数凡0是定义在R上的偶函数，当.仑o时次入)q，、x若函数

IG)+i…

y=fix)-m有且仅有4个零点，则实数m的取值范围是()

网(嗫网(岭

[C][0,；)[D](-oo,^)

【答案】A

【解析】令府)-〃『0,得机=/&)，当0N烂2时<x)二/在。2]上单调递增,值域为[0,乱当入,2

时府)=(丁+1在(2,+o。)上单调递减,值域为(1令,又函数4)是定义在R上的偶函数，其图象关

于)，轴对称，作出函数产/(.x)的图象，如图.因为函数y=fix)-m有且仅有4个零点，所以函数产”)

的图象与直线y=m有4个交点，当1<〃2<：时，函数月㈤的图象与直线y=ni有4个交点，所以实

[典例迁移2]若方程d)lg(x+l)=l的实根在区间(S+，4£Z)上，则2=()

[A]-l[B]2

[C]T或2[D]l

【答案】C

【解析】由题意得原1,方程化为lg(x+l)=」-,分别作出方程左右两边函数的图象如图,

x~~1

由图象可知，方程(.L1)lg(x+1)=1应有两个根，

设於)=(x-l)lg(x+l)T,根据函数性质得以)在区间(2,3)上单调递增,又12尸除3-l<0/3)=21g

4-1=lg16-1X).则次2v由函数零点存在定理知7U)=(x-l)lg(x+1)-1在区间(2.3)上有且仅

有一个零点,即方程(k1)lg(x+1)=I在区间(2,3)上有且仅有一个实根,同理可得方程

Cv-l)lg(x+l)=l在区间(-1,0)上有且仅有一个实根，结合题意可知，上-1或后2.故选C.

•解题策略，

已知函数有零点(方程有根)求参数值

(取值范围)的常用方法

(I)直接法:直接求解方程得到方程的根或直接使用函数零点存在定理列出不等式(组)确定参

数的取值范围.

(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题再加以解决.

(3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个

函数的图象，最后利用数形结合的方法求解.

题型二一元二次方程的根的分布问题

[例2]若函数以尸-33MLi在区间内恰有一个零点,则实数。的取值范围为()

⑻事5]4

[C]@]U中

24

【答案】C

【解析】若eO,则4x~l=0,即户;，满足题意;若存0,

4

①当/=16-12〃=0,即时/A)=-4x2+4.r-1=~(2x-1产=0,得产;£(T,1),满足题意；

②当川加-1)=(-3。+3)(-3。-5)<0时,且存0,此时满足题意；

③当火-1)=-3，-5=0时M=T，此时凡0=5/+4*-1=(5k1)(.>1)=0,方程在上只有一根.v=1,

满足题意；

④当川)=-3。+3=0时M=1.此叶於)=-3/+4尸1=-(3尸1)(尸1)=0,方程在(-1,1)上只有一根尸;,

满足题意.

综上,-白联1或4二*故选C.

・解题集略，

⑴一元二次方程加+/M+C=0(〃>0)的根的分布问题.(只考虑方程有两个不相等的实数根)

根的分布

图象满足条件

(m,〃,p为常数)

心》0,

y!

x\<X2<rn^2/\

的、、^/mx

l/(m)>0

M>0,

y)

\

m<x\<X21中/

m

盯与if(m)>0

\

x\<m<X20呼/加〃)<0

X

Q>0,

y

in<x\<b

\,<zn<-<n,

।s2a

xi<nmdnxf(m)>0,

f(n)>0

y

in<x\<"(m)>0,

\

f(n)<0,

n<X2<pmQJpX/(P)>o

y

X1K2有

且只有一个

在(m,〃)之

间且对心

危)和

(2)一元二次方程aF+加+c=0(g0)有以下特殊根的条件.

%+X2>0,仔1+%2V0，

①两个正根：%r%2>o,②两个负根：%rx2>o,③一个正根，一个负根：xi・x2〈o.

zJ>o；U>o；

・轻松记忆，

两个根位于同一个区间必须有三看:一看判别式，二看对•称轴，三看区间端点函数值.两个根位

于不同区间只有一看，即看区间端点函数值.

【变式训练]如果函数/)=声〃优+1的两零点分别落在区间(0.1)和(L2)上，则实数〃7的取值范

围是()

[A](l,3)[B](2,3)

【答案】C

【解析】J(x)=x2-mj：+1的图象开口向上的抛物线，

(7U)<o,

由题意可得“(0)>0,

1/(2)>0,

l-m+1<0,

即1>0,解得2<加专故选C.

4-2m+1>0,

题型三形如。伏x)F+a/2+c=0(a¥0)的根的个数问题

[例引已知函数以尸隹3选工,3若方程g)]2-q")+2=0有6个不同的实数根，则实

数。的取值范围为()

[A](-^,-2V2)

|B](-6,-2V2)

[C](-^,+oo)

J

LD](-p-2V2)U(-2V2,+oo)

【答案】A

【解析】作出危)的图象如图，令危)j则方程L/U)六崂*2=0有6个不同的实数根等价于

。2-8>0,

产-。任2=0有2个不同的实数解力次,且％/2£(-3,0),则19+3Q+2>0,

卜34<0,

解得-*。<-2返.故选A.

・解题策略•

形如〃应0]2+"幻+片()(分°)的根的个数问题，可以设人工内,若是容易解出n和匕则问题转化为

fix)=h或J(x)=f2；若是不容易解出h和9则问题转化为一元二次方程根的分布问题.

【变式训练]已知函数4%)=｛孩W若方程伏刈2-2标)-加+1=0有3个不同的实根，则实数

m的取值范围是()

[A](-co-l]U[l,+x)

fB](-2,2)

[C](-2,-l]U[L2)

[D][-U]

【答案】C

[解析]由l/(x)]2-2J[x)-m2+1=0得伏工)-(，〃+1)]伏幻-(l-m)]=0,解得J(x)=ni+1或fix)=1-m,画出

函数火外的图象如图，

y=/W

由图可知，要使方程及切2-4幻-〃a+1=0有3个不同的实根，则必有函数)『/㈤的图象与直线

y=m+1有两个交点或与直线产I有两个交点，当-1<1-/胫0,即I<ni<2时,2</n+1<3,符合题意;

当-1〈1+〃区0,即-2v〃士1时,2W1-加<3,符合题意.综上可得实数机的取值范围是(-2,-1]“1.2).

故选C.

课时作业

(满分:1()0分)

单选每小题5分.多选每小题6分.

回A级一基础巩固练

1.已知当生1时，函数/U)="+2a+l的值有正也有负,则实数。的取值范围是()

闻[$+8)[BK-00-1J

【答案】C

【解析】此区1=-1/1.当eO时，公尸1,函数值恒为正，不符合题意;当在0时，要想函数

尸a计2a+1的值有正也有负，只需川求-1)<0,即(a+2a+1)(-〃+为+l)=(3a+1)(。+1)<0,解得

Tvavf.综上所述,T<avf.故选C.

2.已知府尸e'+4厂3的零点在区间岑-后+》上代Z,则k等于()

[A]-l[B]O[C]l[D]2

【答案】C

【解析】由题意可知府尸e'+4x-3在R上单调递增，因为用尸£+4X；-3<0层尸£+4xg-3>0,

则人工)的零点在区间(工二)上,可得"1.故选C.

42

3.已知函数、/UA/Mx+ati(-1,1)内有零点，则a的取值范围是()

[A](-5,5)

lB](-oo,-5)U(5,+a))

[C]r-5,51

[D](-oo-51U[5,+oo)

【答案】A

[解析】尸x5是增函数,3=4%+a也是增函数，所以人工)是R上的增函数.因为\/(X)在(T』)内有

零点，所以保;)=；；：；：；0°'解得-535.故选A.

4.已知关于x的方程炉-h+-3=0的两个不相等的实数根都大于2,则实数k的取值范围是

()

[A](6,+a))

[B](4,7)

[C](6,7)

[D](—8,—2)U(6,+8)

【答案】C

[解析】关于X的方程f-履+女+3:0的两个不相等的实数根都大于2,则二次方程的判别式

大于0,

令人工)=/-履+A+3,则函数图象对称轴在直线x=2的右侧，且{2)>0,

k2-4(k+3)>0,

-y>2,解得6VM7.故选C.

{2?-2k+k+3>0,

5.已知函数yU)=/+ai+2有两个零点,在区间(-1,2)上是单调的，且在该区间中有且只有一个零

点,则实数〃的取值范围是()

[A](-oo-2V2)U(2V2,+oo)

lB](-a)-3)U(3,+oo)

[C]("oo-4JU(3,+oo)

|D](-oo-4]U[2,+o>)

【答案】C

【解析】函数人用=炉+仪+2在(-8,-§上单调递减，在卜a+8)上单调递增,由函数在区间

(7,2)上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，得(-1,2闫-8,勺且玄:匕"或

(T,2)*,-)且南)><0°，

卜牌2,「国-1,,“

则‘3-。>0,或>3-aV0,解得处-4或〃>3,所以头数4的取值范围是(-8,-4]U(3,y故

<6+2a<0U+2a>0,

选C.

6.(多选)已知二次函数/力=1+灰+。在(0,2)上有两个零点.下列说法正确的有()

[AlA0)>0且寅2)>0

[BlAD<0

[C1AO)./(2)>1

。1/(0)和人2)中至少有一个小于1

【答案】AD

【解析】不妨设二次函敷兀在(0,2)上的两个零点为加42,且汨<X2,

f/(0)>0,

/(2)>0,

所以J』=b2-4c>0,故A正确；

I"*,

当即42£(0」)时川)>。,故B错误；

若X|=1,X2=^,则J(x)=(x-1)(尸扣f3吗此时的尸，(2)=；,则加hA2)W<1,故C错误;

对于D选项，

法一当川)=l+5+c(0时,4+24•ZcvZ,即40)42)<2,所以<0)和42)中至少有一个小于I,由

/="2-4。>0,得c<—.

4

当|1)=1+HcX)时£(0,1)或(1,2),若T£(0.1),则胆尸©=(-1)2<1;

若-1仁(1,2),则<2尸4+2。+14+24=(2+§2=[2-(-9]2<1,故D正确

法二^/0)>l/2)>l,Pp21,4+W企1,由/”一4<>0,得护>4企4,则打一2或人>2,结合0<^<2,

得-4<8〈-2,则/(2)=4+2>”4+2/升9=(2+今2<[,这与人2巨1矛盾，故人0)和42)至少有一个小

于1,故D正确.故选AD.

7.(5分)若函数危尸优21(其中00,且的)存在零点,则实数a的取值范围

是.

【答案】(2,3)

【解析】由函数的解析式可知心2,因为指数函数产炉及调递增,在区间(2同上无零点，所以

函数.y=log〃(x~2)在区间(。,+8)上存在零点，由于产log“(x-2)单调递增，故当产。时，有

log“(a-2)v0=logj,从而。-2<1,即a<3,

所以实数a的取值范围是⑵3).

8.(5分)已知函数段)=or2-2x-2a+l(a和)的两个零点分别在区间(-3,-1)和(0,2)内，则。的取值范

围为.

【答案】(-8,7)U(3,+8)

【解析】由题意可得儒矍”;。・

((9a+6-2a+l)(cz+2-2a+1)<0,

P((-2a+l)(4a-4-2a+1)<0,

[(Q+l)(a-3)>0,

1((2a-l)(2a-3)>0,

a<-1或a>3,

解得1*3即。W(-8,7)U(3,+8).

a<5或a>-,

9.(13分)已知函数是定义域为R的奇函数,'3.¥>0时次x)=『-2A•.

⑴求出函数段)在R上的解析式；

(2)画出函数/U)的图象，并写出单调区间；

⑶若产/⑴与.产加有3个交点，求实数m的取值范围.

【解】(1)由于函数/U)是定义域为R的奇函数，则40)=0;当欢0时[第乂),因为_/U)是奇函数,

所以五一力二二/U).

所以fix)=-J(-x)=-[(-x)2-2[-x)]=-x1-2x.

X2-2X,X>0,

0,x=0,

(-x2-2x,x<0.

(2)函数儿r)的图象如困所示次x)的单调递增区间为(-8.-1]41.+8)：单调递减区间为(-1.1).

(3)由题意得，方程J(x)=m有三个不同的解，等价于函数y=J(x)的图象与直线y=m有三个不同的

交点，由困象可知,-1〈/«刊1,即m的取值范围是(T,l).

10.(15分)已知函数/5)=/+0¥+。满足下列两个条件：

条件①次0)=4;条件②,VxW氏川+©=/(l-x).

⑴求a,b的值.

(2)已知函数g(x)=/")+(2〃?+3)x+/〃2-6有两个不同的正数零点xi42.

(i)求m的取值范围;

(ii)若田-42|=1,求m的值.

【解】(I)由条件①可得J(0)4=4；由条件②可得«幻的图象关于直线对称，则-畀1,解得

。=-2.所以a=-2,Z?=4.

(2)(i)由(1)可知扉幻=.「-21+4,则g(x)=J(x)+(2m+3)x+m2-6=x2+(2m+1)X+AH2-2,

若函数g(x)有两个不同的正数零点孙X2,即/+(2〃?+1)A+zn2-2=0有两个不相等的正实数根

X1K2,

p=(2m+l)2-4(m2-2)>0,

则1%]+%2=-(2m4-1)>0,

2

(x1x2=rn-2>0,

解得-V5,所以实数m的取值范围为(3,-&).

(ii)因为用一“2|二J(M4-%2产一4%逐2,所以1=J(2m+1)2-4(TH2-2),解得m=~2.

回B级一综合应用练

11.已知函数外)=13厂1)卜2有两个零点a,b(a<b)M2(aT)+b的取值范围是()

[A](3,+oo)[B][2V2+l,+a>)

[0(0,3)[D](0,2A/2+1|

【答案】B

【解析】如图，作出函数产|ln(.r~l)|的图象，则函数7U)=|ln(尸1)卜4有两个零点a、b(a<b),

即为y=|ln(尸1)|的图象与直线y=k有2个交点，横坐标为”,仇则1<a<2,b>2,

则|ln(〃T)|=|lnS-1)|=Q0,所以」-二〃-1,所以(。-1)(〃-1)=1,

a-1

所以2(々-1)+〃=2(々-1)+(〃-1)+1底2J2(a-l)(b—l)+1=2岳1,当且仅当2(51尸〃一1时,夕古合

(«-1)(/?-1)=1,^e1垮力=1+加时等号成立，所以2(«-1)+/?的取值范围是[2鱼+1,+8).故选B.

12.已知函数凡I)为R上的奇函数，当后0时於)ff若函数双幻满足四)={%：送且

g(/U))-4=0有8个不同的解,则实数a的取值范围为()

网(-8,-1)[BJ(-LO)

[C](0,l)[D](l,+oo)

【答案】B

[解析】因为函数,")为R上的奇函数，当.仑0时风v)=f-2x,令A<0,则-x>0,则y(-x)=f+2x,

又4工)=7/1一人)二一/一21,

所以加)信线1。0

则g(M：蓝。,

设—心),作出函数g⑺的图象,如图.

对于A,当a<~\时，方程g(/)=a没有实数根,不满足题意；

对于B,当-\<a<0时,方程g⑺二。有四个根h其中he(-2,-1)/2*(TO),4*(0J),/4e(1,2),

作出於)与y=t}^t2,y=t3与y=u的图象，如图，

显然恰有8个交点，则g(/U))-〃=0有8个不同的解，故B正确；

对于CD,当a>Q时，方程g(f)=a有两个根”2,其中h2)/石(2,+8),与选项B同理可知

”)与尸人,尸/2各有一个交点，则g(/(x))-e0只有2个不同的解，不满足题意，故C,D错误.

故选B.

13.(15分)对于函数段)，若存在沏£R,使凡ro)=xo成立，则称xo为贝x)的“不动点

⑴求函数yr2-x-3的“不动点”；

⑵若函数产产3+2).计1有两个不相等的“不动点右心，求的取值范围；

x2xl

(3)若函数g(x)=nix2-(m+\1在区间(0,2)上有唯一的“不动点,,，求实数6的取值范围.

【解】⑴由题意知/-尸3=.%即/-2x-3=0,则(x-3)(x+1)=0,解得xi=-l9=3,

所以“不动点”为-1和3.

12

(2)依题意rx~(a+2)x+1=x有两个不相等的实数根xiJC2,即方程％-3+3)X+1=0有两个不相等的

实数根孙也,所以/=(。+3)二4=。2+6。+5>0,解得a<-5或a>T，且X\+X2=a+3^C\X2=\,

所以3心=业1=(%+孙户2口及=3+3)2-2,因为函数尸("3)2-2的图象的对称轴为直线

x2X1xlx2

x=-3.

当x<~3时,y随x的增大而减小，若工<-5,则y>2;

当Q-3时,)，随x的增大而增大，若x>~\，则y>2.

故(〃+3)2-2e(2,4o),所以3+上的取值范围为(2,+8).

x2xl

(3)由,g(x)=w,x-2-(/n+1)x+/〃+1=x,得加+2“-+/〃+1=o,由于函数g(x)在(0,2)上有且只有一个

“不动点”，即〃请-(m+2)x+"?+l=0在(0,2)上有且只有一个解，令/心•尸帆x2-(〃?+2)x+〃?+l.

®//(0)/2(2)<0时,则(阳+1)(3〃厂3)<0,解得-1<m<1;

②〃(0)=0,即m=~\时，方程可化为-尸o,另一个根为-1不符合题意,舍去；

③〃(2)=0,即〃?=1时,方程可化为声3x+2=0,另一个根为1.符合题意；

④4-0,即(〃?+2)2-4〃?(〃?+1)-0时，解得〃?一±*^,

3

(i)当"厂亭时，方程的根为尸-手卫=詈二安，符合题意；

32m2m2

(ii)当加=当时，方程的根为二等二Y，不符合题意，舍去.

32m2m2

练上盟的取值范围是(T[]U｛苧｝.

回C级一创新拓展练

(|x-2|-l,x>0,

14.(多选)已知函数4l