期末复习压轴题（27个）原卷版-2025-2026学年八年级数学上册（人教版）

期末复习压轴题（27个考点）

【人教版2024]

■题型归纳

【选填压轴篇】..................................................................................2

【考点1由三角形的中线求面积1............................................................................................2

【考点2由三角形的内（外）角和求角度】..........................................................3

【考点3格点中的全等三角形】.................................................................4

【考点4利用全等三角形的判定与性质求值】.....................................................5

【考点5与全等三角形有关的动点问题】.........................................................5

【考点6几何图形最值问题】....................................................................7

【考点7使组成等腰三角形的点的个数】.........................................................8

【考点8与整式乘除有关的化简求值】...........................................................9

【考点9利用整式乘法解决图形面积问题】.......................................................9

【考点10因式分解的应用】....................................................................10

【考点11分式的化简求值】....................................................................11

【考点12由分式方程的解求字母的值】.........................................................11

【考点13规律探究】..........................................................................12

【考点14新定义问题】........................................................................12

【考点15多结论问题】........................................................................13

【解答压轴篇].................................................................................14

【考点16三角形的中线与三角形面积有关的计算】...............................................14

【考点17与双角平分线有关的计算】...........................................................16

【考点18动点运动成全等三角形】..............................................................18

【考点19一线三等角模型】....................................................................20

【考点20手拉手模型】........................................................................21

【考点21半角模型】..........................................................................23

【考点22证明线段之间的关系】...............................................................25

【考点23证明角度之间的关系】...............................................................26

【考点24乘法公式的几何背景】...............................................................28

【考点25因式分解的应用】....................................................................30

【考点26分式方程的实际应用】...............................................................31

【考点27分式中的材料题】....................................................................32

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举一反三

【选填压轴篇】

【考点1由三角形的中线求面积】

【例1】如图，在△4BC中，延长。4至点尸，使得力F=。4,延长48至点。，使得80=248,延长BC至点

E,使得CE=3CB,连接£/、FD、DE,若S4c=36,贝IJS"RC为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式1-1】如图，已知D,E分别为△ABC的边BC/C的中点,连接8瓦力尸为△48E的中线，连接FD.若

BC=8,四边形力FDC的面积为20,则△ABC的BC边上的高为.

【变式1-2］（25-26七年级下•重庆・期末）在中，点。是8c边上一点，且。:BD=1:2,连接力D,

点F为AD中点,连接8尸并延长，交AC于点E.若=2cm2,则S^BC=cm2.

【变式1-3］如图1,点。在△ABC边BC上,我们知道若黑=今则/=余反之亦然.如图2,BE是△ABC

的中线，点尸在边48上，BE、b相交于点O,若尊=m，则黑=.

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A

A

E

图1图2

【考点2由三角形的内（外）角和求角度】

【例2】（25-26八年级上•上海松江•月考）如图是一个不规则的“五角星”，已知乙4=54°,“=40°,乙。=

32°,乙B=乙E,则NB的度数为（）

A.27°B.30°C.34°D.40°

【变式2-1]（25-26八年级上•湖北荆州•期末）某平板电脑支架如图所示，EA=ED,Z.AEC=140°.为了

使用的舒适性，可调整乙AEC的大小.若N/EC增大16。，则480E的变化情况是（）

A.增大16。B.减小16。C.增大8。D.减小8。

【变式2-2]（25-26八年级上•安徽合肥・期末）如图，CE是△/8C的外角乙的平分线，月.CE交B力的延

长线于点E.

（1）若48=35。，Z-E=25°,则=°；

（2）直接写山NB/C、匕9和々E之间存在的等量关系；

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【变式2-3］（25-26八年级上•湖南长沙•月考）如图，点M,N分别是边040B上的定点，点P,。分别是边。8,04

上的动点，记乙MPQ=a,乙PQN=B，当MP+PQ+QN最小时，0—戊=50。，则乙4。8的度数为（）

A.15。B.20。C.25°D.30°

【考点3格点中的全等三角形】

【例3】（25-26八年级上•江苏宿迁•期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则

【变式3-1］（25-26八年级上•江苏连云港•期末）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射

【变式3-2］如图，在3x3的正方形网格中标出了41和42,则41+42=度.

【变式3-3］如图是5x5的正方形网格，△48C的顶点都在小正方形的顶点上，像△4BC这样的三角形叫

格点三角形.画与△4BC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画个.

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【考点4利用全等三角形的判定与性质求值】

【例4】我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形.已知△48。与aOEF是一对面积

都等于S的偏等积三角形，且4?=4。=。£=。凡BC=a,那么EF的长等于（结果用

含a和S的代数式表示）.

【变式4-1］（25-26八年级上•江苏镇江•期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图〃，得到

正方形A8CD与正方形EFGH,连接。F.若S正方形.“四=16,EF=则OF的长为（）

4

A.V2B.2C.3D.4

【变式4-2］（25-26八年级上•山西大同•期末）如图，在中，AC=60°f点。为△ABC内一点，B0

平分//EC,C。平分/4CR.连接力0.过点。作EF14。交于点E,交AC于点F,RC边上有两点G,H,且£?G=RE,

CH=CF.若AE=3,则△OGH的周长为.

【变式4-3］（25-26八年级上•江苏宿迁•期末）如图，/E是NC力M的角平分线，点B在射线AM上，CE是线

段BC的垂宜平分线交AE于£,EFLAM.若匕ACB=30。，LCBE=25°,贝.

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c

【考点5与全等三角形有关的动点问题】

【例5】（25-26八年级上•四川绵阳•期末）如图，等腰△4BC中，乙B=乙5AB=AC=20cm,BC=16

cm,点。为中点，如果点尸在线段8C上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时•，点。在线段。4上由

点C向点力运动.当ABPD与△CQP全等时，点0的运动速度为—cm/s.

【变式5-1]（25-26八年级上•内蒙古呼和浩特•期末）如图，CA1AB,垂足为点4力8=8厘米，AC=4

厘米，射线8MJLAB,垂足为点从一动点E从4点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点。为射线BM上

一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=C8,当点、E离开点A后,运动£秒时，△。/8与48&4全等,

C.6或8D.2或6或8

【变式5-2]（25-26七年级上•山东淄博•月考）如图,在△A8C中,1AC8=90°/C=7cm,BC=3cm,C。为

AB边上的高，点石从点8出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作8c的垂线交直线CD于点凡

若使CF=A8,点E运动秒数为（）

6/35

C.2或5D.2或4

【变式5-3】.（25-26八年级上•河北邯郸•期末）如图，在边长为5cm的正方形力8c。中，动点P以lcm/s的

速度从点8出发沿8c向点C运动，同时动点Q以5cm/s的速度从点A出发，沿折线一DC—CB向点8运动,

当点P，Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为ts.当以点Q及正方形48CD的某两个顶点为顶点的三角形

和△48P全等时，珀勺值可能是（）

A.gB.C.1D.

5534

【考点6几何图形最值问题】

【例6】（25-26八年级上•广西柳州•期末）如图，在等边三角形4BC中，B。是中线，点P,Q分别在48,AD

上，且BP=/Q=QD=2,动点E在8。上，贝IJPE+QE的最小值为（）

A.3.5B.6C.—D.9.5

【变式6-1］（25-26八年级上•黑龙江哈尔滨•月考）如图，的面积为10,BC=4,AB=AC,分别

以点4、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于E,F两点，作直线EF,M为£户上任意一点，点

。为8c的中点，连接8M,DM,则BM+DM长度的最小值为（）

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【变式6-2]（25-26八年级上•江苏泰州•月考）如图，在四边形4BCD中,BD平分上ABC,CD18。于点。,

4c=10,8C—A8=4,则△ADC面积的最大值为

【变式6・3】如图，△48C中，AC=DC=4t8。垂直NB4C的角平分线于0,E为力。的中点，则图中两个阴

影部分面积之差的最大值为（）

【考点7使组成等腰三角形的点的个数】

【例7】如图，在正方形ABC。所在平面内求一点P,使点P与正方形力BCD的任意两个顶点构成△PA8,

△PBC,△P4）,△PCD均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）.

A.8个B.9个C.10个D.11个

【变式7-1】如图，"，N是乙408的边。1上的两个点（OMVON）,乙404=30。，OM=a,MN=4.若边

08上有且只有1个点尸，满足△PA/N是等腰三角形，则。的取值范围是.

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N,

M

OB

【变式7-2](25-26八年级上•四川自贡•期末)如图，直线Q力相交形成的夹角中，锐角为52。，交点为0,

点4在直线。上，直线力上存在点从使以点。,力田为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点8有个.

【变式7-3](25-26八年级上•江苏无锡•月考)已知：如图，△48。中心8=70。，ZC=80°,在直线84上

找一点。，使或△8G9为等腰三角形，则符合条件的点。的个数有()

【考点8与整式乘除有关的化简求值】

【例8】(25-26八年级上•四川南充•期末)已知2m=20,5n=40,则(m-2)(n—1)=()

A.3B.5C.7D.9

【变式8・1](25-26八年级上•山东烟台•期末)当mx+〃=0或px+q=0时，多项式力=(mx+n)(px+q)

=mpx2+(mq+np)x+九q的值为0,则把此时”的值称为多项式力的零点.若多项式P=ax2-(a-4)

x+a—5=(x—2)(mx+n),则多项式P的零点是.

【变式8-2]将多项式[(17/—3x+4)-(ax2+bx+c)]除以5x+6后得商式2%+1,余式为0,则a-b-c

的值为()

A.3B.23C.25D.29

【变式8-3】己知。2+匕2=4,c2+(/2=10,ac+bd=2.求ad—be的值为.

【考点9利用整式乘法解决图形面积问题】

【例9】(25-26八年级上•福建厦门・期末)如图，将两张长为小宽为b的长方形纸片按图1,图2两种方

式放置在正方形力BCD内部，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形48co中未被

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这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示,图6和图7中阴影部分的面积分别记为Si和S2.若知道下列条件,

仍不能求S1一S2的值的是（）

A.①和②的面积差B.长方形纸片长和宽的差

C.长方形纸片的周长和面积D.长方形纸片和②的面积差

【变式9-1]（25-26八年级上•山东威海•期末）如图，A,4分别是边长为m〃的正方形地砖，。是边长为

a,h的长方形地砖.现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块。型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1

块.型地砖.

【变式9-2]（25-26八年级上•北京•期末）如图:

（1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为〃?的大正方形，两块是边长都为〃

的小正方形，五块是长为“，宽为〃的全等小长方形，旦上观察图形，用不同的方法表示这块长方形

纸板的面积，可得等式为.

（2）若图中每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积之和为80,则图中所有裁剪线（虚线部分）的

长度之和为.

【变式9-3]（24-25八年级下•浙江•期末）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通

过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形力（边长为2和X）和长

方形B,并拼成图2.由面积相等得：X（4-X）=22-（2-X）2,所以，当x=2时，长方形面积取得最大值

为4.据此方法，可得代数式（10-%）（3+3）的最大值为

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【考点10因式分解的应用】

【例10］已知a,b,。为整数，满足Q+/?+C=1U,S=（10a+bc）（10b+ac）（lUc+ab）>2019,贝1JS的

最小值是.

【变式10-1］（25-26八年级上•福建泉州•期末）已知。力均为正整数，且满足M+4Q—3b—25=0,则时

的值是（）

A.12B.13C.25D.36

【变式10-2］（25-26八年级上•山西朔州•月考）设九为正整数，下面是老师在投影上展示的四位同学选择一

【变式10-3］（25-26八年级上•福建泉州•期末）已知264一1可以被10至20之间的两个整数整除，这两个

整数是（）

A.13,14B.15,16C.16,17D.15,17

【考点11分式的化简求值】

【例11】（25-26七年级上•上海宝山•期末）设益=2,六=6,念=12,则益黑出值为（）

4、8〃3卜3

AA-iB-3C-8D-4

【变式11-1］（25-26七年级上•上海•月考）已知x为整数且满足代数式鬻一?的值为整数，则x的

所有取值为

【变式11-2］（25-26八年级上•浙江宁波・月考）已知，""=3/**"**则岳;=一.

【变式11-3］若abc=l,a+b+c=2,。2+炉+。2=3,则昌1+菰%+昌工=-----•

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【考点12由分式方程的解求字母的值】

【例12］关于工分式方程嗤^-3=义无解，则m的值为______

X-1X-1----------------

【变式12-1］(25-26九年级上•黑龙江佳木斯•期末)关于x的方程答一9=1的解为非负数.则小的取

值范围为()

A.TH<10B.m7C.m<10且7九工7D.m。3

【变式12-2］若Q=3b且。、〃为正整数，当分式方程福一芸二1的解为整数时，所有符合条件的b的值

和为()

A.277B.240C.272D.256

【变式12-3】已知关于Hl勺分式方程翳一与二1的解不超过6,且关于y的不等式组卜？7：4；：4有且

仅有四个整数解，则符合条件的整数m的和

【考点13规律探究】

【例13］如图1,已知48=4。，。为48力。的角平分线上一点，连接3D、CD；如图2,已知48=4C,0、

£为乙8AC的角平分线上两点，连接B。、CD、BE、CE；如图3,已知148=NC,D、E、F为乙朋4c的角平分

线.匕三点，连接8。、CD、BE、CE、BF、CF；...»依次规律，第〃个图形中全等三角形的对数是()

图1图2

A.2n-lB.3(n+l)C.中D.噌

【变式13-1】观察下列算式：@ia-l)(a+l)=a2-l；(2)(a-l)(a2+a4-1)=a3-1；③(a-l)

2

(Q3+小+a+D=Q4-1；…结合你观察到的规律判断22023+92022+...+2+2+1的计算结果的末位数

字为()

A.1B.3C.5D.7

【变式13-2］按一定规律排列的一列分式依次为：一右捺，T磊，……(QH0),按此规律排列下去,

第〃个分式是.(〃为正整数)

【变式13-3］(24-25八年级上舸南安阳•期末)观察规律：(l-^)=(l-1)(l+l)=1x|=1,

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（」9（1一3=（1一3（1+3（一4】+3）="""六江1一9（1一乡（1一3）日爆片叫

XM=I…若（1一9（1一9（1一»《—3=嘿（〃为正整数），则〃的值为（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

【考点14新定义问题】

【例14】新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条

平行线上的三角形称为“格线三角形如图，a\\b\\c,相邻两条平行线间的距离为〃?，等腰RtZkABC为“格线

三角形”，且乙871c=90。，则△/8C的面积为（）

【变式14-1］定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形〃,

这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”.下列四个三角形中，BD平分乙ABC,其中8。是“优美线〃的是

（）

【变式14-2］（25-26八年级上•陕西商洛•月考）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰

三角形的“优美比〃.若等腰三角形的周长为18cm,一边长为4cm,则它的“优美比％的值为.

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【变式14-3]（25-26八年级上•上海徐汇•期末）定义：若三角形的两个内角a和6满足a+20=90。,则称

这样的三角形为“奇异互余三角形在△ABC中，ZC=90°,乙4BC=58。，P是射线C8上一点，若△APB

是"奇异互余三角形〃，则N4PC=

【考点15多结论问题】

【例15】（25-26八年级上•湖北黄石•期末）如图，和△/1（；£"都是等边三角形，下列结论：

①82=CO；②FA平分匕2MC：③/臼七=12阴④/1产+8"=〃"，具中正确序号的是.

【变式15-1]（24-25八年级上•重庆・期末）关于x的三次三项式A=5X3-6X2+10=a（x-l]3+/）（x-l）2

+c（x-l）+d（其中a,b,c,d均为常数），关于x的二次三项式8=/+〃+/（e,/均为非零常数），

下列说法有几个正确（）

①当4+8的结果为关于x的三次三项式时，贝”=一10；

②若二次三项式8=%2+ex+/■能分解成Q-3）（%+5）,则e/=-30；

③当多项式力与夕的乘积中不含—项时，则e=6；

@a—b+c=-2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式15-2】已知实数a,氏c满足a+b=ab=c,有下列结论：①若c#=0,则箭溪=一蹴②若

a=3,则b+c=6；③若CHO,则（1—a）（l—b）=：+"；④若c=4,则a?+〃=8.其中正确个数有

（）个.

A.1B.2C.3D.4

【变式15-3]（25-26八年级上•安徽芜湖•月考）如图，已知△A8C和△?1/）£1都是等腰三角形，

Z.BAC=Z.DAE=90°,BD,CE交于点F,连接4尸，下列三个结论：®BD=CE：②，8FE=90。；③

^AFE=LAED.其中正确结论的个数有（）

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B

C.2个D.3个

【解答压轴篇】

【考点16三角形的中线与三角形面积有关的计算】

【例16】（25-26八年级上•河北石家庄•期末）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心

是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.如图

①，如果取-一块均匀的二角形纸板，用一根细线绳从重心。处将二角形提起来，纸板就会处于水平状态.关

于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.

图①图②图③

⑴如图②，小组成员在三角形薄板力BC上画出中线4D,可以得到S△m）_____S"（填"或

"V”）:

（2）如图③，三角形薄板力BC的三条中线/D,CE,相交于点O,试判断三角形薄板ABC被三条中线所分成

的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由：

⑶结合（2）中的结论，试猜想40:00,BO-OF,CO:OE的值，并说明理由.

【变式16-1］（25-2b八年级上•安徽阜阳•期末）如图，在△力8c中，。是4C上一点，连接8。，后是6。的中

点，8尸1AC于点F.

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(1)若BD平分乙48C,zC=80°,/.BAC=60°,求4D8尸的度数.

⑵若AC=CD=2CF=2DF,且△4BE的面积S&4BE=m，求5.BF的值.(用含m的式子表示)

【变式16・2】(25-26八年级上•广东广州•期末)如图，在RC6C中,4c=90。，点。在以的延长线上,

BEJ.DF于点E,AB=DF,8C平分

(1)求证：AC=CF：

(2)若点/是。。的中点，。4=0〃.△AZ7C的面积是15,求△4。。的面枳.

【变式16-3](25-26八年级上•黑龙江哈尔滨•月考)如图，AB=AC,AD=AEt^BAC=Z.DAE=a

(0°<a<90。)，延长8。交直线CE于F.

⑴如图1,求48FC的度数(用含a的代数式表示)；

⑵如图2,连接力凡若a=90。，求乙4F。的度数：

⑶如图3,在(2)的条件下，连6、BE,取CO中点G,连AG交BE于点H,若S9QG=63,BE=28,求AH

的长.

【考点17与双角平分线有关的计算】

【例17](25-26八年级上•安徽合肥•月考)如图1,在△4BC中，△4BC的两条角平分线/W,8E相交于

点P,过点P作PF14D交BC的延长线于点凡

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⑴探究乙4PB与N/CB的数量关系.

(2)如图2,若4AC8=90。.

(i)求证：△ABPW4FBP.

(ii)连接DE，求证：S四边形MDE=2S^BP(提示：夹在两条平行线之间的垂直线段相等)

【变式17-1](25-26八年级上•安徽滁州•期末)如图，在AABC中，Z-BAC=a,点。在边AC上，DE1BC

⑴如图1,延长A8,交。G于点凡若BMIIDG,ZF=30°,求a的度数.

⑵如图2,当0。＜。＜90。，DG与M8的延长线交于点H,用含a的代数式表示4BHD,并说明理由.

⑶如图3,若90。＜。＜180。，DG与线段BM交于点N,用含a的代数式表示zBND,并说明理由.

图①图②图③

(1)如果乙4=80°,求MPC的度数;

(2)如图②，作。外角NM8C4NC8的角平分线交于点Q,已知二a,求4Q(用a表示).

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⑶如图③，延长线段BP、QC交于点E,当4力=时，aBQE中存在一个内角等于另一个内角的

2倍（直接写出的度数）.

【变式17-3]（25-26八年级上•山东德州•期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为。，点4在射线0Q上

（1）如图1,9平分N84。，B/平分±4B0.

①若乙48/=20°.则//40=°,

②在点力、8的运动过程中，乙4出的大小是否会发生变化？若不变，求出41〃的度数；若变化，请说明理

由.

【拓展】

（2）如图2,4/平分NBAO交。8于点/,8C平分“8M,8C的反向延长线交川的延长线于点。.在点力、B

的运动过程中，NADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出44DB的度数：若变化，直接写出24DB的

度数的变化范围.

【考点18动点运动成全等三角形】

【例18】（25-26八年级上江苏扬州•期末）如图，在△4BC中,BC=5,高40、BE相交于点O,BD=2,

且HE=BE.

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⑵动点夕从点O出发，沿线段0Z以每秒1个单位长度的速度向终点力运动，动点。从点8出发沿射线BC

以每秒3个单位长度的速度运动，P、。两点同时出发，当点夕到达4点时，P、。两点同时停止运动.设

点P的运动时间为z秒，当△40Q的面积为2时，求/的值：

⑶在（2）的条件下，点尸是直线4c上的一点，且CF=B0.当以点8、0、尸为顶点的三角形与以点〃、

C、。为顶点的三角形全等时，求/的值.

【变式18-11（25-26八年级上•吉林松原•月考）如图，在△48。中乙4c8=90。，4c=8cm,BC=12

cm.直线/经过点C,点〃以每秒2cm的速度从8点出发，沿8—。一力路径向终点/运动，同时，点N以

每秒1cm的速度从4点出发，沿4一。一8路径向终点8运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过

历、N作于点Q,NE于点七，设点N运动时间为/秒.

⑴用含，的代数式表示CN的长；

（2）当M或N与三角形某个顶点所连直线平分△力8C面积时，求t的值；

⑶要使以点M、力、。为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值.

【变式18-2]（25-26八年级上•河北廊坊•期末）如图，在△48C中，乙B=〃：,AB=AC=24cm,

FC=16cm,。为48的中点.点P在线段BC上以4cm/s的速度由点8向点C运动，同时点。在线段。4上

以〃cm/s的速度由点C向点A运动.设运动的时间为/s.

备用图

⑴填空：CP=cm,CQ=cm（用含3。的代数式表示）；

（2）当。=4时，若APBD三AQCP,求此时/的值；

（3）当。工4时，以。，B,Q为顶点的三角形和以P,C,。为顶点的三角形仍全等，求对应的；，。的值.

【变式18-3]（25-26八年级上•江苏南通•月考）在边长为9cm的等边三角形4BC中，点Q是8。上一点，点P

是上一动点，以每秒1cm的速度从点力向点8移动，设运动时间为t秒.

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A

AA

BQCBQCBMC

图1图2图3

⑴如图1,若BQ=6cm,PQII",则t的值为

⑵如图2,若点P从点4向点8运动，同时点Q以每秒2cm的速度从点B经点C向点4运动，当£为何值时，XAPQ

为等边三角形.

⑶如图3,将“边长为9cm的等边三角形ABC"变换为"4B,力C为腰，8c为底的等腰三角形，且

AB=AC=Wcm,=8cm〃，点P在从力向8运动过程中，点M,N同时分别在8C,4C上运动，点M以每

秒0.5cm的速度从点B向C运动，同时点N以每秒acm的速度从点C向4运动（各点均不再返回），当以8、P、

M三点构成的三角形与△CNM全等时，求a的值.

【考点19一线三等角模型】

[ft19]（25-26八年级上♦河北邯郸・期末）（1）如图1,在aACB中，Z-ACB=90°,AC=BCt直线经过

点C,且4D1MN于D,8EJ.MN于石.请直接写出DE、AD.BE之间的数量关系.

图1

（2）问题解决：在（1）的条件下，当直线MN绕点。旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE.

（3）变式探究：如图3,^BCA=60°,CA=CB,CD是经过zBCA顶点C的一条直线，并且经过48C4的内

部，点£、/在射线CD上，且NBEC=ZCR4=120。.请猜想EF、BE、力广之间的数量关系，并说明理由.

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A

A

图3

【变式19-1]（25-26八年级上•天津•期末）如图，在△4BC中,^ACB=90°,AC=BCtADICE,

BEICE,垂足分别为O、E.

⑵如果A。=2.5cm,DE=1.7cm,求的K.

【变式19-2】在综合实践课上，李老师以“含30。的三角板和等腰三角形纸片〃为模具与同学们开展数学活

动.已知，在等腰△4BC纸片中，。4=C8=5,乙ACB=120°,将一块含30。角的足够大的直角三角尺PMN

（乙M=90。，乙MPN=30。）按如图所示放置，顶点P在线段8A上滑动（点「不与48重合），三角尺的直

角边PM始终经过点C,并与CB的夹角2PC8=a,斜边PN交AC于点D.

（2）当力P等于何值时，AAPD三4BCP?请说明理由；

⑶在点户的滑动过程中，存在△是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角a的大小；若不存在，请说明

理由.

【变式19-3]如图，在△4BC中，Z-ACB=90°,AC=BC,。为射线8c上一点（不与点8,C重合），连接

力。并延长到点E,使得=连接8E,过点B作BE的垂线交直线4c于点F.

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AA

(1)如图1,点〃白线段CA上，RDB<CD.

①请补全图形；

②判断CD,DB,CF之间的数量关系，并证明.

(2)如图2,若点、。在线段8c的延长线上，请画出图形，直接写出CO,DB,CF之间的数量关系.

【考点20手拉手模型】

【例20](25-26八年级上•河南新乡•期末)(1)如图1,△/BC和△CDE都是等边三角形，连接力。,

BE,若8臼|CD,则匕8EC的度数是

(2)如图2,△力BC和△CDE都是等边三角形，点4D,E在司一条直线上，连接BE.求证:

AE=BE+CE.

(3)如图3,和△OCE均为等腰直角三角形，4/lCB=4OCE=90°,点4,D,E在同一条直线上,

CM_LHE于点M,连接8E,求乙4EB的度数以及线段CM,AE,BE之间的数量关系.

【变式20-1]如图，在等边△力8c中，线段AM为边BC上的中线,动点。在直线AM上时，以CD为一边在

的下方作等边△CDE,连结BE.

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⑴求乙。4M的度数；

⑵若点。在线段4M上时，求证：乙CAM=MBE.；

⑶当动点。在直线4M上时，设直线BE与直线4M的交点O,试判断Z40B是否为定值？并说明理由.

【变式20-2](25-26七年级上•山东淄博•月考)如图，在△4BC与△4DE中，AB=AC,AD=AE,

△B4C=404E,点。在BC上，连接CE.

(1)△480三△4CE吗？请说明理由；

(2)若。F1/1C,点b在线段CE匕且C尸=2,FE=3,求BC的长.

【变式20-3】在△48C中,48=4C,点。是直线BC上一点，连接力D,以4D为边向右作△4DE,使得4。=4E,

LDAE=^BAC,连接CE.

⑴①如图1,求证：三

②当点。在BC边上时，请直接写出△4BC,△4CD,△4CE的面积(S^BC，S^ACD，5^CF)所满足的

关系；

⑵当点。在BC的延长线上时，试探究△ABC,△4CD,△4C£的面积(SA4fiC,S&ACD，S»CE)所满足

的关系，并说明理由.

【考点21半角模型】

【例21】问题情境：已知，在等边△44C中，4A4C与乙1C8的角平分线交于点O,点M、N分别在直线

AC.AB上,且乙WON=60。，猜想CW、MN、力N三者之间的数量关系.

方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

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小丽的思考过程是在月8取一点，构造全等三角形，从而解决问题;

问题解决：（1）如图1，M、N分别在边4C,月8上时，探索C"、MN、4M三者之间的数量关系，并证明:

（2）如图2,M在边/C上，点N在8%的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索

CM、MN、4M三者之间的数量关系，并证明.

【变式21-1]（25-26八年级上•山东济宁•月考）如图，正方形48CD中，M,N分别在CD、8c上，连接

AM、AN、MN,/.MAN=45°.

⑴若将绕点4顺时针旋转90。，点。与点8重合，得到△A8/请你补全图形.

（2）直接写出线段OM、BN、MN之间的数量关系；

⑶根据（2）的结论，写出证明过程：

⑷如果正方形的边长是5,求ACMN的周长.

【变式21-2]（25-26八年级上•江苏泰州・月考）问题背景如图1,在四边形中.AB=AD,

Z.BAD=120°,=/.ADC=90°,E、F分别在BC、CDE,且乙E4F=60。，试探究图中线段BE、EF.FD

之间的数量关系，并说明理由.

由2£4F=60。，4840=120。〃的数据信息，解决问题的方法是：延长F。到G,使得DG=BE,连接4G,

则可以先证aABE三△AOG,再证=,从而得到BE,EF,尸。之间的数量关系是：

验证猜想写出上述推理的详细过程；

探索延伸如图2,在四边形/BCD中，AB=AD,+匕0=180。，E、F分别在BC、CO上，且NE4F=J

iBAD,上述结论是否成立，并说明理由.

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DD

图1图2

【变式21・3】(1)如图1,在四边形48。。中，AB=AD,=NO=90。，E、尸分别是边BC、CD上的点，

若，E4