期末复习易错题（55个考点）原卷版-2025-2026学年九年级数学上册（沪教版）

期末复习易错题(55个考点)

【沪教版】

题型归纳

【考点1比例的性质】.........................................................................2

【考点2比例线段】...........................................................................2

【考点3黄金分割】...........................................................................3

【考点4相似图形】...........................................................................3

【考点5平行线分线段成比例】................................................................4

【考点6相似三角形的判定】..................................................................5

【考点7相似三角形的性质】..................................................................6

【考点8相似三角形的判定与性质】............................................................7

【考点9相似三角形的应用】..................................................................8

【考点10平面向量的线性运算】................................................................10

【考点11锐角的三角比的定义】................................................................11

【考点12特殊角的三角比值】.................................................................12

【考点13解直角三角形】......................................................................12

【考点14解直角三角形的应用】................................................................13

【考点15二次函数的定义】....................................................................14

【考点16二次函数丫=ax?的图象与性质】.......................................................15

【考点17二次函数丫=ax2+k的图象与性质】....................................................16

【考点18二次函数y=a(x-h)2的图象与性质】.................................................16

【考点19二次函数y=a(x-hp+k的图象与性质】..............................................17

【考点2()二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质】...............................................18

【考点21二次函数丫=ax2+bx+c图象与系数的关系】...........................................19

【考点22二次函数的平移】....................................................................20

【考点23用“一般式”求二次函数解析式】.......................................................20

【考点24用“顶点式”求二次函数解析式】.......................................................21

【考点25用“交点式”求二次函数解析式】.......................................................22

【考点26二次函数与一元二次方程】...........................................................23

【考点27根据实际问题列二次函数关系式】.....................................................23

【考点28二次函数的应用】....................................................................24

【考点29垂径定理】..........................................................................26

【考点30圆心角、弧、弦的关系】.............................................................27

【考点31圆周角定理】........................................................................28

【考点32圆内接四边形的性质】...............................................................29

【考点33点和圆的位置关系】.................................................................3()

【考点34直线和圆的位置关系】...............................................................31

【考点35三角形的外接圆】...................................................................32

【考点36确定圆的条件】.....................................................................33

1/51

【考点37切线的性质与判定】.................................................................34

【考点38切线长定理】........................................................................35

【考点39三角形的内切圆】....................................................................36

【考点40正多边形和圆】......................................................................37

【考点41弧长的计算】........................................................................39

【考点42扇形面积的计算】....................................................................40

【考点43全面调查与抽样调查】...............................................................41

【考点44总体、个体、样本、样本容量】.......................................................41

【考点45统计表】............................................................................42

【考点46条形统计图】........................................................................43

【考点47扇形统计图】........................................................................44

【考点48折线统计图】........................................................................45

【考点49频数分布直方图】...................................................................47

【考点50算术平均数1.............................................................................................48

【考点51加权平均数】........................................................................48

【考点52众数】..............................................................................49

【考点53中位数】............................................................................50

【考点54方差】..............................................................................50

【考点55标准差】............................................................................51

举一反三

【考点1比例的性质】

1.（25-26九年级上•陕西榆林•期中）已知””翁+d=0）,则鬻的值为（）

44C.D.\

A・-iB-H

2.（25-26九年级上•湖南怀化•期中）若"2=；,且Q+b+C=18,则Q=()

A.4B.6C.8D.10

C-Q.

3.（25-26八年级上•山东潍坊•期中）已知a:b:c-1:2:3,则b—______.

4.（2526九年级上安徽阜阳期中）已大叼一d一/一明且万一乙4+3f/0,贝L-2d+3f--------•

【考点2比例线段】

1.（25・26九年级上•上海•月考）已知线段分是线段〃、c•的比例中项，且。=2,匕=3,那么c=

2.（25-26九年级上•福建泉州•期中）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.1,2,3,4B.2,3,4,5C.1,2,3,5D.2,3,4,6

2/51

3.（24-25九年级上•安徽淮北•期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米.比例尺是1:10000000,那么淮

北到合肥的实际距离是（）

A.2400米B.24000米C.240000米D.2400000米

4.直线，上顺次有四个点小B、C、且蔡=等=3,则称=.

【考点3黄金分割】

1.（25-26九年级上•陕西渭南•期中）已知点户是线段MN的黄金分割点，且MP=2而一2（MP>PN）,则

线段MN的长为.

2.（25-26九年级上•贵州铜仁・期中）已知点P是线段的黄金分割点（AP>PB）,48=2,那么力P的

长是（）

A.V5-1B.3-V5C.V5+1D.V5-3

3.（25-26九年级」二•陕西西安・期中）如图，乐器上的一根弦=40cm,两个端点48固定在板面上，支

撑点C是靠近点8的黄金分割点，则C8之间的距离为（）cm

CU6A

A.20V5-20B.40V5-40C.60-20>/5D.40V5-80

4.（25-26九年级上•江西九江,期中）如图，借助正方形习字格书写汉字“数〃，将正方形按照黄金分割的比

例来分割（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）.若正方形习字格的边长为1cm,则四个黄金

分割点组成的小正方形的面积为—cm2.（结果保留根号）

【考点4相似图形】

1.（25-26九年级上♦广东茂名•期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两

个正方形：④两个菱形：⑤两个正六边形，一定相似的有（）

A.4组B.3组C.2组D.5组

3/51

2.（25-26九年级上•山西晋中•期中）下列图形中，相似多边形是（）

A.甲与乙B.乙与丙C.丙与丁D.乙与丁

3.现有大小相同的正方形纸片若干张，小明想用其中的3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个

与它形状相同但比它大的长方形，则她最少要用一张正方形纸片（每个正方形纸片不得剪开）.

4.如图，已知矩形彳8CQ中，AB=2,在4c上取一点E,沿将向上折叠，使4点落在力。上的

F点,若四边形E/WC与矩形*38相似，则.

【考点5平行线分线段成比例】

1.（24-25七年级上•河南三门峡期末）如图，在△4BC中，D、E、尸分别是边48、AC.BC上的点，0E||

BC,EF\\AB,且4D:D8=2:3,那么CAB/的值为.

2.（25-26九年级上•浙江温州•期中）如图，ABWCDWEF,若呼二,，DF=8,则80的长为（）

CD，

4/51

3.如图，在梯形/1BC0中，ADWBC,对角线AC、80相较于点O,已知△力。。的面积为2,△。。。的面积

为4,那么力。:庆？=.

4.如图，等腰三角形48c中，AB=AC,P点在3c边上的高40上，且募=提8P的延长线交AC于E,若S△人8c

=10，^iS^ABE=.

【考点6相似三角形的判定】

1.如图，不等长的两条对角线AC、8D相交于点O,若若=第=；,则甲、乙、丙、丁这4个三角形中,

2.（25-26九年级上•山西晋中•期中）如图，在△ABC和△DEC中,21=22,再添加条件可以使

4ABCFDEC.

5/51

A

D

4.（25-26九年级上•陕西咸阳•期中）如图，在中，。在AZ7边上，连接CO,AC=4,AD=2,

BD=6,求证：△力CO〜△ABC.

【考点7相似三角形的性质】

1.（25-26九年级上•上海•期中）己知△力BC与ADE尸相似，且N力=乙£,如果力8=16,AC=12,

OF=6,EF=4,那么BC=.

2.（25-26九年级上•陕西西安・期中）如图，△ABC和△ABC是以点。为位似中心的位似图形，若。4。4

=2:3,则△ABC与△ABC的面积比为（）

3.如图，AADE〜AABC，且AD.DB=2:1,贝ljAADE与AABC的相似比为（）

6/51

A

3:2C.2:1D.1:2

4.（25-26九年级上•辽宁阜新•期中）如图，在中，点P是△48。的边力8上的一点.

①若44cp=48,则可证：^ACP-^ABC

②若第=如则可证:△ACPFABC

③若夕=能则可证：AACPFABC

⑴请判断三个说法中正确的是：（填序号）

（2）选择一种正确的方法，求证：△4?P~\A8C；

⑶在（2）的条件下，4ACPFABC,若BP=1/C=后，求AP的长

【考点8相似三角形的判定与性质】

1.（25-26九年级上•广东揭阳•期中）如图，在△ABC中,点D在边上，点。不与点B重合，点E在边BC

上，且EC=28E,连接。E并延长至点F,使“=2。£连接CF,求证：AB||CF.

A

2.（25-26九年级上•山东荷泽•期中）如图，ABWCD,乙A=iCBD,BC=3,CD=2,则力B的长为（）

AB

7/51

99

A.3B.4C.-D.-

42

3.（25-26九年级上•河南郑州•期中）如图，在。4BCD中，尸是4）上一点，且AF=3DF,BF与C。的延长

线交点£若△OEF的面积为1,则UM8C0的面积是.

4.（25-26九年级上♦陕西渭南•期中）如图，在△A8C中，^ACB=90°,点。在BC边上，且=CD,

连接力。，点E在线段力。上，连接BE,乙EBD=cBAD.

（2）若DE=2,AE=4,求AC的长.

【考点9相似三角形的应用】

1.（24-25九年级上•安徽合肥・期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，CD与地面平行，已

知0"=30cm,GF=50cm,若AB=40cm,贝ijCD的长是（）

25

C.20cmD.Tcm

2.（25-26九年级上•湖南郴州•期中）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口8处

立一根垂直于井口的木杆8,从木杆的顶端。观察井水水面。，视线。。与井口的直径48交于点£如果测得

8/51

力8=2.4米，BZ）=1.5米，8E=0.6米，那么AC为米.

3.（25-26九年级上•山西晋中•期中）介休公路校园草坪中央据立着一尊“介子推”雕像.当学习完三角形的

相似知识后，老师让同学们借助太阳光线，测量“介子推”雕像48高度，并给出测量设计方案.测量工具有:

一根1米长的直木棍和20米长量尺.请根据以下信息解决问题：求出“介子推〃雕像的高度力以采用在同一

时刻棍影和哪像影一端在同一点重合的分次测量方式.如图1,第一次测量某一时刻棍影CM与雕像影BM一

端重合在点M,测得棍影CM=1米：第二次测量另一时刻棍影EM与雕像影8N一端重合在点N,测得棍影

EN=1.5米，木棍移动距离CE=3米.

图2

4.（24-25九年级上•山西运城・期中）研学实践：如图是红军长征起点纪念碑.学校组织同学们到此进行研

学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案.

测量方案：如下图，线段AB表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆.此时，地面上

的点七、标杆CD的端点。与点力恰好在同一直线上，测得CE=1米：将标杆平移到点G处，此时地面上的

点八标杆HG的端点〃与点力恰好在同一直线上，测得FG=1,5米，CG=4.5米.

数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点RG,E,C,8在同一直线上，请根据上述数据，求纪

9/51

念碑的高力8的长.

【考点10平面向量的线性运算】

1.关于向量，下列表述正确的是（）

A.如果@=|族那么Q=±%B.如果a与加方向相反，则己二一3

C.a-a=0D.如果五=—石,M|a|=\b\

2.已知工为非零向量，a==-3c,那么下列结论中，不正确的是（）

2a=—1b

A.⑷=3^1B.C.3a+2b=0D.a\\b

3.如图，在梯形49co中，AD||BC,BC=2AD,E是8C的中点,，联结"、DE交于点F,如果而二五,

DF=b,那么用向量五、B表示向量£B为

4.如图，已知梯形4BC。中，4B||C。，AB=2CD,AC.BD交于点O.设方=区而=那么向量方可

用乙石表示为—.

5.已知向量而=反，那么四边形力BCD的形状一定是.

6.如图，平行四边形4BCD中，点石为CD中点，设而=G,BC=b.

10/51

AD

（1）用6,石表示下列向量：AE=，BE=

（2）求作：AE-AB+BC.（画图并写出结论，不必写作法）

7.如图，在△4BC中，点。在边上，DEIIBC,DFIIAC,DE、D尸分别交边力C、BC于点E、F,且々=

3

2.

⑴求日的值;

⑵连接EG设n=认BC=a,用含G石的式子表示方.

【考点11锐角的三角比的定义】

1.（25-26九年级上•陕西西安・期中）如图，将△48C放在边长均为1的正方形网格中，点4B,C均在格

点上，贝UsinC的值是（）

A5B-5JC-4D-3

2.（25-26九年级上•山东淄博・期中）如图，在RtZkABC中，LACB=90°,过点C作COJ.4?于点力，则下

列结论不正确的是（）

11/51

0.ABD

A.tanA=7-B.sinA=—C.cosB=—D.sinA=cosF

3.（24-25九年级上•上海•期中）如图，在菱形/BCD中，对角线4C、80交于点。，点E是4。的中点，联结

0E.如果48=3,AC=4,那么COS4/1OE=.

4.（24・25九年级上•江苏泰州•期末）如图，在△48C中，4c=90。,AC=BC,G是重心,连接AG,则血G

的正切值为.

【考点12特殊角的三角比值】

1.在△48C中，若卜in4—,+（专一cosB）=0,则z_C=.

2.（24-25九年级上•广西北海•期末）V3-tan600=.

3.（25-26九年级上•山东烟台•期中）计算8560。+$皿245。一3二an3（T+|l-tan60O|=

4.在△ABC中，若|&sin4一1|+|?-COSB|=0,则△48C是.

【考点13解直角三角形】

2

1.如图，在△ABC中，AB=3,sinB=-,Z.C=45°,则4c的长为

2.如图.在中.LA=30%AC=2V3,tanB=字则48的长为（）

12/51

B

A.2+25/3B.3+V3C.4D.5

3.（24-25九年级上•陕西咸阳・期末）如图，在Rt△48c中，^ACB=90°,。是力8的中点，过点。作48的

垂线交力。的延长线于点E，AC=12,cosA=l则AE的长为.

4.（2025•浙江杭州•一模）如图，在RtaABC中，24cB=90。，若sinB=挛，BC=灰.

（1）求48的长.

（2）若CD是斜边4B上的中线,求taMCDB的值.

【考点14解直角三角形的应用】

1.（25-26九年级上•陕西西安・期中）在学习完利用三角比测高这一课的内容后，曲老师带领同学们到学校

操场进行实践操作，测量国旗旗杆的高度、如图，在力处利用测倾器测得旗杆顶部。的仰角为30。，向前行

10米，在8处利用测倾器测得旗行顶部。的仰角为42。.月、8与旗杆底部C在同一直线上，侧倾器高度为1.3

米,求旗杆高度CD.（结果精确到0.1m.参考数据:sin42°»0.67,cos42°«0.74,tan42°«0.90）

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2.（2024・湖北•一模）学生甲在凉亭4处测得湖心岛。在其南偏西15。的方向上，又从力处向正东方向行驶

30C米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60。的方向上，则凉亭B与湖心岛。之间的距离为.

3.（24-25九年级下•广西南宁•阶段练习）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示怠图，已知扶梯的长度A4

为13米，坡度i=l:2.4,则大厅两层之间的距离8。为（）

A.12B.10C.7D.5

4.（24-25九年级上•湖南永州•期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千

时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线48上，荡秋千的起始位置为C,最高点为。，点。距离地面为1m,

秋千位于C时，安全链47与铅垂线4B夹角为37。，安全链AC=3m.

（1）求点A到地面的距离；

⑵当.王明用力将李克从。处推出后到最高点。处，此时乙乙4。二90。，求点。到地面的距离.（参考数据:

sin37°«0.6,cos37°«0.8）

【考点15二次函数的定义】

1.（25-26九年级上•江苏苏州•阶段练习）二次函数y=5x2-4x+2的一次项系数是（）

A.-4B.4C.-1D.1

2.（25-26九年级上•安徽安庆•阶段练习）把二次函数y=—（%+3）（%+4）+11变成一般形式后，其二次项

系数和一次项系数分别为（）

A.-1»—1B.-1,1C.—1»7D.-1,—7

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3.（25-26九年级上•安徽安庆•阶段练习）若丁=（。+3）%同一1一%+1是关于%的二次函数，则a的值是

（）

A.-3B.2C.3D.-3或3

4.如果函数y=（771-3）*m2-3m+2是二次函数，那么的值一定是（）

A.0B.3C.0或3D.1或2

【考点16二次函数y=a、2的图象与性质】

1.（25-26九年级上•青海西宇•期中）已知四个二次函数的图像如图所示，那么见,。2,。3,G4的大小关系

是.（请用",”连接排序）

2.（25-26九年级上•新疆•期中）若原点是抛物线丫=。/+（。-2）%的顶点，则抛物线的开口向.

3.（25-26九年级上•陕西榆林♦月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2分别交抛物线7二炉色工。）,

y=Q%2（X20）于点力,8,且4B=1,则Q的值为（）

A.0.5B.1.5C.6-4V2D.6+4V2

4.（25-26九年级上•吉林四平•月考）已知二次函数y=/的图象与直线y=Q%+2（Q为常数）的图象如图

所示.

15/51

⑵设直线丫="+2与抛物线y=/的交点分别为力（2,m）、8（41）,试确定4、B两点的坐标及Q的值;

（3）连接。4、。从求△/OB的面积.

【考点17二次函^=ax2+k的图象与性质】

1.（25-26九年级上•江西南昌•月考）若抛物线L:y=/+b经过点p（-i,4）,则下列各点，必在抛物线L上

的是（）

A.（-1,-4）B.（2,3）C.（1,-4）D.（1,4）

2.（25-26九年级上•广西防城港・期中）二次函数y=2/-3的图象经过4（一2,为）、3（_19）两点，则力，

及的大小关系是（）

A.yi=y2B.yi>y2C.yi<y2D.无法判定

3.（25-26九年级上•天津•月考）对于二次函数y=-2好+%当一2VxM1时，y的取值范围是

4.（24-25九年级上•北京通州•阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y=mx2+3（m工0）.

⑴求该抛物线的顶点坐标；

⑵若该抛物线经过点力（一2,6），求此抛物线的表达式；

⑶存在两点做一1,一1）和8（—1,4）,若抛物线y=mx2+3（m*。）与线段48只有一个公共点，结合图象，

求用的取值范围.

【考点18二次函数y=a（x—h）2的图象与性质】

1.（25-26九年级上•河南信阳•阶段练习）对于二次函数y=—3（%—1尸，下列说法正确的是（）

A.开口向上B.对称轴是直线式=-1

C.顶点是（1,0）D.函数有最小值D

2.（24-25八年级下北京•期中）对于二次函数yi=a（x+2）2和九=。0—2）2（。>0）,其自变量和函数值

16/51

的两组对应值如下表所示:

X-4m

yi=Q（x+2）2bb+5

72=Q（x-2）2db

根据二次函数图象的相关性质可知：m=,d-b=.

3.(24-25九年级上•浙江台州•期末)如图，平行于x轴的直线与两条抛物线yi=a(x—h)2和y2=b(x-

(a<b)相交于点A,B,C,D.若46=8,BC=3,CD=6,则h的值为.

4.如图，在平面直角坐标系中，过点力(0,4)、8(5,9)两点的抛物线的顶点。在x轴正半轴上.

⑴求抛物线的解析式；

(2)求点。的坐标；

⑶P(x,y)为线段48上一点，14工工4,作PMIIy轴交抛物线于点M,求的最大值与最小值.

【考点19二次函数丫=疑、一1])2+1<的图象与性质】

1.(25-26九年级上•安徽阜阳•期中)若二次函数y=ni)2—3,当xv4时，y随力的增大而减小,则m

的取值范围为()

A.m<—4B.m>—4C.m>4D.m<—4

2.(25-26九年级上•北京•期中)当一34%W2时，二次函数？=Q(x—2尸+1-4Q(Q00)的最大值为8,

则a=.

17/51

3.(25・26九年级上•江苏南京•期中)已知二次函数的图象过点4(0,8),它的顶点坐标为(1,等

⑴求该二次函数的表达式.

⑵设该二次函数的图象与x轴交于点B,。(8在C的左侧)，则△48。是什么特殊的三角形？说明理由.

4.(25-26九年级上•浙江杭州•阶段练习)在平面直角坐标系％Oy中，已知二次函数y=a(%—l)2

-4(aH0).

(1)求二次函数与y轴的交点坐标(用含有。的代数式表示)；

(2)当0<%<1.5时，y的最大值为-3,请求出a的值；

(3)在(2)的条件下，若点PQi,%),Q(Q,y2)是二次函数图像上的两点，当~打工£+1，制23时,均满

足力工及，请结合函数图像，直接写出/的取值范围.

【考点20二次函数丫=2、2+人+(：的图象与性质】

1.(25-26九年级上•重庆渝南•月考)关于二次函数y=-3%2+12%—3,下列命题错误的是()

A.开口向下

B.对称轴为3=2

C.与y轴交点坐标为(0,—3)

D.用配方法得到的解析式为:y=-3(%+2尸+15

2.(25-26九年级上•福建福州•期中)已知点力(m,yD，C(2,c)在抛物线、=a/+bx+C(Q>0)

上，若会<m<l,则下列判断正珈的是()

A.c<yr<y2B.yi<c<y2C.yi<y2<cD.y2<yi<c

3.(25-26九年级上•浙江金华•月考)已知二次函数'二-2"-£)(%+£—3)+7"为常数)，点2(不)1),

Q(&,y2)(%l〈必)是其图象上两点，若丫1>)2,则不+无2的取值范围为.

4.(25-26九年级上•河北沧州•期中)已知二次函数y="2—mx—3血3"为常数).

(1)当?71=6时，

①若2<X<5,二次函数y=x2-mx-37n的最大值记作ymax，最小值记作'min，求ymax—ymin的值；

②若抛物线y=炉—mx—3m经过点(t—l,p),(t+l,q),求证：2p-3q<51：

⑵某同学在尝试代入不同的加值后，提出了一个观点：“不论〃，取何值，抛物线、=炉一根不一3瓶必过一个

定点请你判断这个观点是否正确，并说明理由.

【考点21二次函数丫=ax?+bx+c图象与系数的关系】

1.(25-26九年级上•湖北襄阳•期中)二次函数丫=以2十":十。的图象如图所示，有如下结论；®ahc<0；

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②2a+b=0；（3）3a+c<0；④am?+bmNQ+b（?n为任意实数）；⑤方程a/+匕》+c=1的两根之

和为L其中正确结论的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（25・26九年级上•山东临沂•期中）已知二次函数y=a%2+必+c的图象如图所示，其对称轴为直线

x=l,有以下结论：®abc<0；②/>4ac；③（a+c）2>b2；④a<4,其中正确的结论的序号是

3.（25-26九年级上•湖北武汉•期中）二次函数y=ax2+bx+3（a丰0）,其图象经过点（4,3）,则下列说法:

①该函数图象过点（0,3）；

②ab>0：

③若点（1+科n）在该函数图象上，则（3-m,n）也在该函数图象上；

④当3&%&40寸，了只有3个整数值，贝哈WaV1或一1VaW—3

JO

其中正确的是—（填序号）.

4.（25-26九年级上・湖北武汉・期中）抛物线丫=X2+以+（：经过4（犯1）,B（几1）两点，其中下

列五个结论：

①1；

②6<0：

③若zn-n=4,则抛物线的最低点的纵坐标为一3；

④若〃?，〃是关于x的方程以2+次-1=0的两个实数根，则加=6+1：

⑤若点（1,月），（3,外）在抛物线上，且以？力，则0cm+nW4.

其中正确的是（填写序号）.

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【考点22二次函数的平移】

1.（25・26九年级上•四川泸州•期中）把抛物线y=（%+2产向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位

长度，所得抛物线是（）

A.y=(x4-2)2+2B.y=(%+I)2—2

C.y=x2+2D.y=x2—2

2.（25-26九年级上•安徽芜湖•月考）已知二次函数的表达式为y=%2+2%—3,将二次函数的图象沿着x

轴平移使其经过坐标原点.0（0,0），则二次函数图象向右平移的长度为.

3.（25-26九年级上•河北邯郸•期中）如图，一段抛物线：y=-x（x-4）（0<x<4）,记为C»它与x轴交

于点。,乙;将Ci绕点4旋转180。得到。2,交x轴于点％2；将绕点力2旋转180。得到C3,交x轴于点力3……

如此进行下去，直至得到。22,若P（n,-3）在第22段抛物线C22上，则n=.

A243%

4.（25-26九年级上•山东泰安・期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线'=32-3•+2（。工0）.

（1）当a=2时，求抛物线顶点坐标；

⑵在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当1WXW3时，求新

的二次函数的最大值与最小值；

⑶抛物线若经过点4（一1,一2）,已知P（不g）和Q（%2，m）是抛物线上不同的两点，求证：耳平=泞・

【考点23用“一般式”求二次函数解析式】

1.（25-26九年级上•安徽六安,期中）根据条件求二次函数的解析式

⑴抛物线过（一1,一1）,（1,3）,（0.2）三点；

（2）抛物线的顶点坐标为（-1,-1）,且与y轴交点的纵坐标为一3.

2.（25・26九年级上•山东烟台•期中）（1）已知一个二次函数的图象经过（一1,21）,（1,7）,（0,12）三点,求

这个二次函数的表达式；

（2）已知抛物线丫=一'2+族+”仇c是常数）经过点4（—1,1）,且对称轴为直线％=—段，求b,C的值.

3.（25-26九年级上•浙江杭州•期中）已知二次函数y=-x2+bx+c经过点4（3,0）与8（-1,6）.

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（1）求dc的值.

（2）求该二次函数图象的顶点坐标.

⑶芳0<x<3,求函数值y的取值范围.

4.（25-26九年级上•浙江杭州•期中）如图，已知一次函数月=一%—1与二次函数及=。无2+取-3的图象

相交于点做一1,租）、8（几一3）,且二次函数与y轴相交于点C.

⑵根据图象，当月之力时，请直接写出自变量x的取值范围.

（3）当0<%<3时,求及的取值范围.

【考点24用“顶点式”求二次函数解析式】

1.（25-26九年级上•浙江绍兴•期中）经过点（3,—8）的抛物线的对称轴是直线％=2,其顶点在直线y=x-l

上.当0WxW1时，此时抛物线的最大值为.

2.（25-26九年级上•陕西安康•阶段练习）二次函数、=ax2+"+c（0b,c为常数，且QVO）与x轴的

一个交点的横坐标是一2,顶点坐标为（1,9）,则下列关于二次函数y=奴？+"+c的说法中正确的是（）

A.二次函数图象的对称轴是直线无=一1

B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3

C.当“V1时，y随x的增大而减小

D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8

3.（25-26九年级上•江苏苏州•期中）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为火3,—4）,且过点8（0,5）.

⑴求该二次函数的解析式；

⑵当1cx<4时，求y的取值范圉；

⑶将二次函数的图象向左平移>0）个单位后恰好经过坐标原点，求m的值.

4.（25-26九年级匕广东江门•期中）已知抛物线经过顶点（4,一8）及点（6,0）

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⑴求该抛物线的解析式;

⑵当X时，y随》的增大而增大；当yvo时，》的取值范围是

【考点25用“交点式”求二次函数解析式】

1.(25-26九年级上•云南玉溪•期中)小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过

(1,0),(3,0),(0,3)三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是()

A.y=(x+2)2-1B.y=(%+2)2+1

C.y=(x-2)2-lD.y=(x-2)2+1

2.(24-25九年级上•江苏苏州•月考)如图，已知抛物线y二炉+以+c经过力(一1,0),8(3,0)两点.

⑴求抛物线的解析式和顶点坐标；

⑵当0vxv3时，直接写出y的取值范围：

⑶点P为抛物线上一点，若SgA8=l。，求出此时点P的坐标.

3.抛物线经过点4(2,0),B(-1,0),且与y轴交于点C.若OC=2,则该抛物线解析式为.

4.(24-25九年级下•湖南•期末)己知抛物线与x轴交于4(2,0),8(—3,0)两点，与y轴交于点C(0,—6).

⑴求抛物线的表达式及顶点的坐标.

⑵如图1,若。是x轴下方抛物线上的一个动点(不与点力，C.4重合)，过点。作。Fix轴于点R交

直线8C于点£设点。的横坐标为机，试用含〃?的代数式表示DE的长.

⑶如图2,若点时(一1求),/7(—2内)在抛物线上，则在)，轴上是否存在点0,使NMQN=45。？若存在，请直

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接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.