一元函数的导数及其应用（期末复习）解析版-高二数学期末复习专项训练

一无占世的导裁4“成用

目录

题型一导致中极限的计算...........................................................2

题型二平均变化率与瞬时变化率....................................................3

题型三西数在（过）一点的切战......................................................4

题型四导数的运算.................................................................6

题型五利用导数比枝大小...........................................................7

题型六判新巳如函数的单调性......................................................9

题型七巳如函数的单调性求"....................................................11

题型八求已知函数的极值..........................................................13

题型九巳如函数的极值求参数.....................................................15

题型十求巳如函数的最值..........................................................17

题型十一巳如函数的最值求参数....................................................19

题型十二函数的零点.............................................................22

题型十三巳如函数的零点求分数...................................................25

题型十四恒成立问题.............................................................28

题型十五有解问题...............................................................30

题型十六函数寺例性对称性的应用.................................................33

题型十七利用西敷解不♦式.......................................................36

题型十八函数与不等式懂成立问题（解答题支点）.....................................38

题型十九不等式的证明（解答题重点）...............................................43

题至二十极值点偈移问题（解答题难点）.............................................47

题型二十一函数的零点（解答题宣点）...............................................52

题型二十二导致新定义（解答题难点）...............................................56

题型二十三导致与数列骷合（解答题难点）...........................................64

题型二十四导致与三角函数结合（解答题难点）.......................................70

•M

题型通关

・at-导数中极限的计埠

/(的+2Az)-/(x)

1.(24—25高二上•陕西西安新城区•期末)若函数/⑺在i=而，处可导，则lim0

△a

()

A.7'(4)B.2/'⑶)C.3/'(勾)D.»(%)

【答案】6

【分析】利用导数的定义求解.

【详解】因为函数〃])在出=的处可导,

/(g+2A/)-/(斯)

所以lim但第匕“绚=21im=2/'(Co).

A+T)2Az

故选：B.

2.(24-25高二下.贵州安顺普通高中.期末)已知函数/①)的导函数为/此)，若lim"2)一｛(2+△”)

--»oZAX

一3,则广(2)=()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】。

【分析】利用导数的定义计算进行求解.

r送i1•/(2)-/(2+ATI_/(2+Ax)-/(2)_

［讦解］由lim--------------=-lim------；--------=-3,

AXZ\XAx-»0ISX

则/〈2)M(2+A”⑵=3.

Xx

故选：D.

3.(24-25高二下•四川南充普通高中•期末)若=d,则lim/(2+A；r)~/(2)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】根据导数的定义求解即可.

【详解】根据题意，/(/)=〃，

...../(2+Ax)―/(2)(24-Ax)2—224Arc+Ax2........

则hm------；-------=lim------------=lim----；-----=hm(4+△A切=4.

AT-0Z\XAX-*Ol\XAx-0/\XAx-0

故选：。

4.已知/(乃=邛•，则lim/(2+^~/(2)=

x~hih

【答案】一^-/―0.5

【分析】由解析式求出/(2+/i)-/(2),代入lim/』+’?一'⑵即可求解.

•M

【详解】因为/(c)=目■,

X-

3-3K2-8h

所以/(2+九)一/(2)=3+A

(2+回244分+16/1+16

所以1(2+无)—〃2)=—31

h4〃+16八+16

所以】im整牛螫

=limJI=_1

DhD4加+16八+162

故答案为：一

・at二平均变化率与瞬时变化率

5.(24-25高二下•河北石家庄•期末)下列函数中,在区间［0,1］上的平均变化率最大的是()

A.y=x2B.g=e%e为自然数的底数)

C.T/=ln(x+l)D.y=x3

【答案】3

【分析】根据平均变化率的定义进行运算判断即可.

【详解】4函数9=d在区间［0,1］上的平均变化率为=1；

B:函数y=e，在区间［0,1］上的平均变化率为与4=e—l;

C:函数y=ln(x+l)在区间［0,1］上的平均变化率为吗-刎=ln2;

D:函数y=炉在区间［0,1］上的平均变化率为占二芈=1：

1—0

因为ln2<Ine=l,e—1>1,

所以选项B的函数在区间［0,1］上的平均变化率最大，

故选：3

6.124-25高二下•河南焦作普通高中•期末)某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度”单位：m)与时

间£(单位：s)的函数关系式是似。=100+1.5尸+4£,设其在£=0s时的瞬时速度为“，则当其瞬时

速度为45时，£=()

A.3sB.4sC.6sD.8s

【答案】3

【分析】根据导数的意义求解.

【详解】由八⑴=100+1.5乃+4t,得“⑴=3£+4,

则。0=九'(0)=4,

令3±+4=4研)=16,

得£=4.

故选：B.

7.(24-25高二下•河南新未来•)已知函数/(x)=-2i—3,贝lj/(x)从1至U1+△%的平均变化率为

()•M

A.A%+3B.2Acr—1C.AzD.(AT)2—Aa;

【答案】。

【分析】根据平均变化率的定义计算可得.

【详解】//Ac)-/⑴=(l+A/)2—2(1+^)—3—(1—2—3)=_(M=

AxAxAi

放选：C.

8.124-25高二上•江苏连云港•期末）（多选）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T⑴=察+15,其

t-T0

中T。）为蜥蜴的体温（单位：°C）”为太阳落山后的时间（单位:min）.则（）

A.从£=0到£=5,蜥蜴体温下降了12℃

B.从£=0至此=5,蜥蜴体温的平均变化率为-2.4°C7min

C.当t=5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是-1.2℃/min

D.蜥蜴体温的瞬时变化率为-3℃/niin时的时刻t=（2V15—5）min

【答案】ABC

【分析】对于分别求出1=（J和£=5时的蜥蜴体温，印吁得■到从£=U到£=5的娴蜴体温F降量：对

于根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C,求出「⑴，令t=5,即可求出蜥蜴体温的瞬时

变化率；对于。，令7«）=—3,求出1的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为-3℃/min时的时刻.

【详解】对于4,当£=0时，7（0）=毕+15=39,当£=5时，7（5）=嘿+15=27,所以从£=0到

£=5,蜥蜴的体温下降了39-27=12,故4正确；

对于8,从力=0到。=5,蜥蜴体温的平均变化率为一⑸二7（°）=27:39=_24，故卫正确；

对于。，T«）=T20当力=5时，「⑸二一12°,=—1.2,所以当£=5时，蜥蜴体温的瞬时变化

”5）2（5十5）2

率为-1.2，故。正确；

对于。，令7⑴=T2°,=-3,解得1=2/而一5,故0错误.

（£+5）2

故选：ABC.

・超三通数在（过）一点的切纹

9.（24-25高二"广东华附、实、「雅、深中•期末）若曲线夕=2lmr+a（aER）与圆^十⑨一）=?有

公共点P（狐我），且在点P处的切线相同，则Q=（）

A.1B.yc.YD.y

【答案】8

【分析】分别对曲线和圆求导，根据斜率相等求出参数的值即可.

【详解】对曲线求导得，d=2,所以切点PQo，go）所在的切线的斜率为2,

Xc（）

因为圆的方程为22+（g-1）2=_1_,所以g=1土-J；?,

•M

求导得式=—擎==一^『，因为为>0,所以2>0,

所以有一,,°=2,化简得冰+4就-5=0,解得铀=1.

序^］。

所以点尸（1,Q）,所以切线方程为2①一y+a-2=0.

因为该切线与圆相切，所以圆心到该直线的距离等于半径,

即"=舄/，解得a=看.

2乙

故选：B.

10.（24—25高二下•河北秦皇岛河北昌黎第一中学•期末）已知m>0,n>0,直线0=*■+m+l与曲线g

=ln①一九+2相切，则△+工的最小值是（）

mn

A.16B.12C.10D.9

【答案】。

［分析］由y=Inx—n+2得y'=工，由切线方程p=二+n+1可得切点横坐标为c=e,进而可得

xe

m+o=l,根据基本不等式可得且+工的最小值为9.

mn

【详解】由g=Inc—ri+2得g'=!，

x

由直线2/=至+m+l与曲线g=\nx—九+2相切可得工=工，得c=e,

exe

故£■+771+1=Ine—71+2,得771+九=1,又771>0,71>（）,

e

故卫+▲=（—+工）（1+九）=5+也+”>5+2、/也x%=9,

mnvmn7mnvmn

当且仅当迫=m，即M=时等号成立，

mn33

故选：。

11.（24-25高二下•广东揭阳•期末）已知曲线y=c+\nx在点（1,1）处的切线与曲线g=e^—1相切，则a

的值为.

【答案】2

e

【分析】由题意先求出切线方程g=2c-l,然后设曲线g=e"-l上的切点为（而,2而一1）,再由斜率

及切线方程得出相应的方程组，从而可求解.

【详解】由题可得2/=1+工，所以在（1,1）处的切线斜率k=l+}=2,

X1

所以切线方程为y—Y=2Q-1）,即y=2x—l,

设曲线g=e"—1上的切点为（如2四）一1）,

则式=ae"，在出=g处的切线斜率为加。=2,且e*—1=2g—1,

解得a=工，所以e”“一1=2须）-1,则的=《■，所以a=-!-=2.

XQ2XQe•M

故答案为q.

12.(24-25高二下•广东深圳深圳外国语学校•期末)直线v=L+b与函数v=e-2和沙=^-1的图象都

相切，则k+b=.

【答案】萼

【分析】设直线y=k*+b与函数g=图象的切点为(/1，。町一?)，设直线敖^+。与函数夕=e“一1

图象的切点为(g,e叫一1),利用导数的几何意义可得出关于直线?/=/^+6的两种形式，求出电、g的

值，可得出k、b的值，即可得出结果.

【详解】设直线y=hr+b与函数g=e--2图象的切点为(伤代工力，

x2I,-2X12

又—=e~，所以，直线y=M+b的方程可表示为g—e=e~(x—x1),

k=「勺-2

即y=e-2・z+(1f)e-，;攵.(]5)…，

Xi

设直线g=kr+b与函数y=一1图象的切点为(x2,e—1),

l2X2

又式=e=所以，直线g=kr+b的方程可表示为y—(e-1)=e(x—x2),

即片…+—，故｛建;f)ef

所以｛:二；＞T=(一均铲一]，由铲T=铲可得为一2f

l2l2l2

所以(—x2—l)e=(l—x2)e—1,解得e=-y,故x2=—ln2,

则b=(H-ln2)e-,n2-l=1+^n2-1=吗-1，故k+b=等.

故答案为：萼.

・at四导数的运算

13.(24-25高二上.河南许昌.期末)已知函数/(c)满足/(①)=/瞪卜051-$111①，则/管)=.

【答案】

【分析】根据导数的运算法则，求得((乃=一/博卜山2-32,令0：=看，得到关于广信)的方程,即

可求解.

【详解】由函数/(⑼=r(()8sa—sin①，可得ff(x)=—/信,ini—cos①，

令.音，可得r信)=-r(f卜咔-。崎，即打信)一空，解得r信)=一当,

故答案为：一乎.

14.(24-25高二下•甘肃酒泉普通高中•期末)若函数f(c)=Q—1)(。-2)3—3)(忆一4),则尸(4)=

【答案】6

【分析】求得导函数/'(乃，可求广(4).

【详解】由f(x)=(x—1)(x—2)(x—3)(x—4),

得/，(£)=[Q—l)(c—2)Q—3)[(c—4)+(x-1)(x—2)(x—3)(x—4)x

『3)=[(x-l)(x-2)(x-3)]'(x-4)+(x-1)(x-2)(x-3),

/⑷=[(x-l)(x-2)(x-3)Y(4-4)+(4-l)(4-2)(4-3)=6.

故答案为：6.

15.当cWO时，设函数/⑸存在导数尸(①)，且满足/(0+0«)=以若/⑴=0,则/(—1)=()

A.--eB.一~-C.0D.e--

eee

【答案】。

【分析】根据/(c)4-xf/(x)=er^xf(x)=e:r+c,c是常数，再由/(l)=0得。=一€,即可得函数解析

式，进而求函数值.

xxrx

【详解】由/(c)+xf(x)=e]，即+f\)=巴即[xf(x)]=et

所以xf(x)=ex4-c,c是常数，

当c=1时，/(l)=e+c,即0+。=0所以。=一©,

当x=-1时，一/(—1)=-1一€,得/(—1)=e--i-.

故选：D.

16.已知函数f3)=Q—2023)(x-2024)(x-2025)(x-2026)，则f(x)的图象在x=2025处的切线方

程为()

A.2%+g—4050=0B.。+夕一2025=0C.2c一V—4050=0D.1一V一2025=0

【答案】4

[分析】对/(c)求导,得/'(c)=3—2023)(x-2024)(①-2026)+

(x-2025)[Q-2023)(x-2024)(x-2026),利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式，即

可求解.

【详解】因为f(x)=Q-2023)(x-2024)(x-2025)(x-2026)=(c-2025)(x-2023)(x-2024)(x

-2026),

则f(x)=(x-2023)(x-2024)(x-2026)+(x-2025)[(x-2023)(x-2024)(x-2026)],,

所以/'(2025)=2x1x(-1)=-2,

又/(2025)=0,所以/(x)的匡象在①=2025处的切线方程为g=-2(①一2025)，即27+g—4050=0,

故选：4

・顺利用导敷比较大小

17.设。=写，6=单，c=工则Q",C的大小关系为()

22V3c

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【详解】根据已知条件构造函数f(x)=皿，利用导数判断函数于⑺在区间(0,e)单调递增，根据函

X

数的单调性得不等式以V萼V工，可得bVaVc.

2V32e•M

【解答过程】设/(X)=上空，(2>0),则r⑸=1产.

cX2

令f(±)>0得OViVe,所以函数/(0在区间(0,e)单调递增.

因为J9v2Ve,所以/(V3)</(2)</(e),

即旦@<野'V!，即上以<野<工，所以bVaVc.

瓜2e2V32e

故选：A

18.(24—25高二下•江苏南京中华中学•期末)已知定义在R上的函数/(⑼的导函数为r(M，且满足〃2—

f'®)

x)=f(x)>-----<0，若电+勖>2,⑻V①》,则()

X—1

A./(叫)<f(x2)B./(处)=/(g)C./(叫)>/(g)D./(2025)>/(2024)

【答案】C

【分析】根据对称性可得函数1=/3)的图像关于直线4=1成轴对称，结合已知可确定函数的单调

性，从而可判断/(2025),/(2024)和/Q3/(g)的大小，从而得结论.

【详解】由题设可知函数的图像关于直线c=l成轴对称，

且当力二1时，函数/(0是增函数，当力>1时，函数了(工)是成函数，

则/(2025)</(2024),故D不正确；

因为61Vl2,且①]+g>2,所以g—1>1—为，

该不等式说明X-2到对称轴1=1的距离比41到对称轴1=1的距离远，即|x2-l|>ki-l|,

又函数/(%)的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小，

所以f(g)>f(g),故。正确.

故选：C.

19.(24-25高二下•湖南永州第四中学•期末)已知Q+2。=b+3』2，则下列不等关系正确的是()

A.bVaVOB.()<a<6<lC.b+2">a+3"D.61n2a>aln26

【答案】。

【分析】由题意可证明OVaVI且OVbVI,可判定力错误:将a,b看作^=2。9=3工的图象与直线

y=2—出交点的横坐标，数形结合可判断6;由题意可知2"<3\又()<》<0<1,所以》+2“<(1+

3°,即可判断C;构造函数/(c)=上曲(c>0),利用其单调性即可判断O.

X

【详解】若bVaVO,则2。VI,3。VI,则a+2。=》+3b=2不成立，4错误；

若a=b=l,则2。=2,3b=3,0+2。=匕+3"=2不成立，

若。>1,匕>1,贝"。+2°>3,6+38>4,

所以。+2。=6+2b=2不成立，所以OVaVl且OVbVl,

又2a=2—Q,3b=2—b,则a,b可以分别看作y=2/，y=3,的图象与直线g=2—,交点的横坐标，

作出^=21，^=3*与^=2—»的图象如图所示，

•M

结合图象可知bVQ,

综上所述OVbVQVl,故6缙误;

由（）<6<。<1,。+2“=6+3〃=2,可得2。<3、

所以《+2。<。+3*。错误;

1-lri2a

令/（x>0）,则/'（工）=

Xx2

当ovcv£时J'3)>o,所以/Q)在(o,导)上单调递增,

当c>今时，r®vo,所以f(①)在4,+oo)上单调递减，

因为OVbVaVlV《■，所以/(b)</(a),即毕•<里空,

2ba

所以bln2a>aln26,。正确.

故选：。.

20.(23-24高二下•江苏镇江丹阳•期末)设3=15,5』24,c=1.02叫则a,b,c的大小关系为()

A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b

【答案】。

【分析】根据指数与对数的转化得a=log：J5,进一步得2VaV2.5,同理得b=log524V2,即可比较

大小，，令/(0)=0—1一1】】应利用导数研究/(切的单调性得/(0>/(1)=0,进而得/(工))0,

即Inc》1一工得lnl.0251>1,即1.0251>e>2.5,即可求解.

x

25

【详解】由3a=15有a=log315>lo&J9=2,因为225V243n4*V/承n15<3^=3-,

25

所以log：J5<log33=2.5,即2VaV2.5,由5'=24有b=1。的24<log525=2,

所以1VbV2VaV2.5,令/(z)=x—1—Inc,所以((%)=1——=—―-,

xx

由/'(%)>0=>4>1/(%)<0=0<⑦<1,所以/Q)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，

所以/(1)>/(1)=0=>x—1>Ini,所以/([•)X)-1In.=—Inx=>lnx>1-,

所以hil.02>l—焉•=3=1111.0251>1=>1.0251>€>2.5,所以。>。>》，

1•UZJI

故选：C.

■型六判新已知函数的单调性

21.(24-25高二下•江西新余•期末)(多选)下列函数在(-00,+8)上是单调函数的是()

A.$=炉+出一1B.y=s\nx-xC.y=xe3+lD.y=ex-x•M

【答案】？16

【分析】根据导函数确定函数单调性即可.

【详解】对于A,y'=3x2+1>0,^=炉+2—1在(―co,+oc)上单调递增，故力正确：

对于B,y'=cosx—KO,y=sinx—£在(-8,4-co)上单调递减，故B正确；

对于C,y'=(%+1)€工,令式=1,令式<0=>%<-1,

故g=ce"+1在(-00,-1)上单调递减，在(-1,+00)上单调递增，故C错误；

对于。，式=©工-1,令d>0nc>0,令g'VOncVO,

"="一。在(一on,。)J单调递减，存(0,+m)上单调递增，故。错误：

故选：AB.

22/24—25高二下•浙江宁波・期末)(多选)已知函数/(/)=瞪％,则下列结论正确的是()

2+smx

A.f(x)是偶函数B./卜+^)是奇函数

C./⑸是周期函数D./(%)在(0,专)上是减函数

【答案】BCD

【分析】利用函数的奇偶性和周期性的定义计算可判断4BC,利用导函数判断函数的单调性可判断D

【详解】函数/(c)=8sz的定义域为几，

对于4,因为/(—c)=8M一为=JOS"工,切，所以以吟不是偶函数，故力错误；

2+sini-x)2-sinx

对于氏/6+弓)=8s(;!■三)近，设函数⑺=/卜+同丁mr，其定义域为

'272+sin(3：+f)2+cos。、2，2+cosc

R,

则g(—①)=-sin(♦)_^nx_=-。(2),所以/缶+等)是奇函数，故3正确；

2+cos(-x)2+cosx'2)

对于。，因为/(c+2兀)=。。乂0+2兀)=cosx=/Q),所以/Q)是周期为2冗的周期函数，故。

2+sinQ+2兀)24-sinx

正确；

对于。，求导可得r⑺=€(0,知时,sine6(0,1),则f'Q)<0,

(2-sinx)2

所以/⑺在(0母)上是减函数，故。正确.

故选：BCD.

23.(24-25高二下•江苏南京中华中学•期末)己知函数/(/)(/GR)图像上任一点(四),加)处的切线方程为

"一%=(3—4)(或一那么函数/Q)的单调递增区间是()

A.(—00,—1)U(1,3)13.(-1,1)»(3,4-00)C.(-1,1)U(3,+oo)D.(―8,—1),(1,3)

【答案】。

【分析】由切线方程0一为=(3—&)(就一1)(%—的)，可知任一点的导数为f'(x)=(3一①)(比2—1),然

后由/'(⑼>0,可求单调递增区间.•M

【详解】因为函数/(X)的图像上任一点(的,珈)的切线方程为y—物=(3—x0)(Xo—1)(x—Co),

即函数图像在点(如涣)的切线斜率k=(3—g)(硫一1),所以f(x)=(3—x)(x2-1),

由/'(①)=(3—x)(X2—1)>0,解得x<—1或1V。V3,

即函数/3)的单调递增区间是(一8,—1),(1,3).

故选：。.

24.I：24—25高二下•海南临高县新盈中学•期末)已知函数/(%)=/―2c+ln①.

⑴求/(⑼的导数；

：2)求/(2)的单调区间.

【答案】⑴f3)=2x—2+—;

x

；2)单调递增区间为(0,+8),无递减区间

【分析】(1)利用求导法则计算即可；

；2)先求定义域，利用根的判别式得到导函数大于0恒成立，故得到函数单调区间.

【详解】⑴/'3)=24一2+工；

X

(2)定义域(0,+8)，令r3)>0,即2%-2+1■>0,即2,2-2c+1>。，

XX

2〃-2］+1>0,其中判别式白=4-8<0,故/'3)>0恒成立，

f(x)单调递增区间为(0,+8),无递减区间.

题型七已知西敷的单调性求•数

25.已知函数/Q)=Q—a)lni在区间［1,2］上存在单调递减区间，则a的取值范围为.

【答案】0>1

【分析】问题等价于/'(乃V0在［1,2］有解，再应用参变分离法解之，构造函数g(a;)=cln0+c,。

W［1,2］,只需a>gQ)1nbi即可.

【详解】由函数/(］)=(i—a)ln①，可得f'(c)=Inx4-1——,

x

因为函数/(c)在区间［1,2］上存在单调递减区间，

即/3)=ln；r+l一0V0在cC［1,2］有解，即a>21n：r+c在/E［1,2］有解，

x

设g(①)=alni+x>xG［1,2］,可得g\x)=Inx4-2>0,

所以函数g(c)在［1,2］单调递增，所以g(c)min=g(l)=1,所以。>L

故答案为：a>l.

26.(24-25高二卜••新疆喀什疏附县•期末)若函数=《炉-a/+4c在区间［1,3］上单调递增，则实数

。的取值范围是()

A.1B.a42C.3D.a<\/6

【答案】。

【分析】根据函数的单调性与导函数的关系得到含参不等式,通过参变分离转化成不等式恒成立，求解

函数的最值即得参数范围.

【详解】因为/3)=<〃一。/+41在区间［1,3］上单调递增，

所以=■"一2QN+4>0在［1,3］上恒成立，

+2在［1,3］上恒成立，

4x

令g(z)=§c+2,x6［1,3］.

4x

g(x)=^-x+-^-22d.x2=4(当且仅当z=2一时等号成立).

所以a&V6.

故选：D

27/24-25高二下♦吉林吉林普通高中友好学校联合体•期末)已知函数g(0=4炉一与d+2工+5,若函数

向在(-2,-1)上单调递减,则实数a的取值范围为

【答案】(-8,-3]

【分析】求出函数的导函数，由已知可得，g'3)="-QC+240在(-2,-1)上恒成立，方法一：只需

心七一252,计算即可求实数。的范围；方法二：分离变量后利用函数的单调性求实数。的范围・

【详解】解法一，因为0般)在(一2,—1)上单调递减，

所以g'Q)=/一0①+2&o在(-2,-1)上恒成立.

田(一2)404+2a+2W0

所以,，即,解得aV―3,

lg'(T)<0l+a+2C0

即实数a的取值范围为(一8,—3].

解法二，由题意知以力=〃一如+2<0在(一2,—1)上恒成立,

所以a&i+2在(-2,—1)上恒成立.

X

记h(x)=①+2,当ce(—2,—1)时，

X

—3Vh(x)&-2，^(由对勾函数的单调性可得)，所以QW—3,

即实数。的取值范围为(一8,—3].

28.(24-25高二下.湖北武汉新洲区第一中学邦城校区•期末)(多选)已知/⑺=

6a矶Q>()且an)在区间(2,3)上单调递减,则实数a的取值可以是()

A.1B.fC.1D.2

【答案】ABO

【分析】由题意结合对数函数的性质和复合函数的单调性求解实数。的取值范围即可.

2

【详解】令g(c)=谈—6QC,则火出)=3x-6a=3(x+V2a)(x-V2a)f

令ff'(x)=0得，c=-V2a或£=V2a.

当OVcVN时，"(c)V0;当及时，43)>0;

所以g(c)=〃-6ai在(0,V2a)上单调递减，在(J而,+8)上单调递增.

33

<7(x)min=(V2a)—6a(V2a)=­4aV2a<0,g(V6a)=(V6a)—6aV6a=0

hQ)=|g(力|的图像如图

•M

由题意得，/3)=1。&八3)在区间(2,3)上单调递减，且九3)=13)1>0,xG(2,3)恒成立.

若a>1,则h(x)在区间(2,3)上单调递减，

(V2a^2,

则:，而》3,解得

U>1

若0VaV1,则h(x)在区间(0,，5^)和(V6a,4-oo)上单调递减，

则(之；3或1自得0<°<弓

故选：ABD.

■超八求已知诵数的领值

29.函数/(为=3；3—12x4-1的极小值为()

A.-17B.-15C.15D.17

【答案】B

【分析】求得/'3)=3/2—12,得出函数/(力)的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解.

【详解】由函数/(c)=x3-12a:+1,可得f[x)=3x2—12=3(tc-2)3+2),

当x<-2时，f(x)>0,函数f(c)单调递增；

当-2V8V2时，03)V0,函数fQ)单调递减；

当/>2时，/(⑼>0,函数/(⑼单调递增，

所以c=2是极小值点，则函教的极小值为/(2)=-15.

故选：B.

30/24-25高二卜，贵州黔西南布依族苗族兴义第一中学•期末)(多选)已知函数/(c)=处二二)，其中

x

。>0,则下列正确的是()

A.若a=l,则/(⑼的单调减区间为(一8,1)B./(乃的极小值为a(e~—l),无极大值

C.当aE(0,1)时，函数/(c)无零点D.若方程旷-。=£有两个实数解，则

【答案】BCD

【分析】利用导数的正负来分析函数的单调性，从而可以确定是否有极值，然后利用最小值大于0来确

定函数没有零点，对于选项。，则利用分离参变量，构造函数求导，研究单调性及取值规律，从而可确

定参数范围.

【详解】当。=i时，/(切=—-则r®)=上匚"

XXX2

(J*—]%一]

由f(x)=------——V()n①VI,因为定义域{c|rrWO},

x2

所以〃⑼的单调减区间为(一8,0)和(0,1),故人错误；•M

由/⑸==亭可得:⑵=,

由于。>0,则广(乃=汽：一1)>o可解得上>1,

x-

所以/(c)在(1,+8)上单调递增，同上可得：/(①)在(-8,0)和(0,1)上单调递减，

则/(切的极小值为/(l)=Q(e"a-l),无极大值，故B正确：

当cV0时，/(⑼=""i)V0,此时函数无零点，

X

当力>0时，由上可得/(Mmin=f(l)=a(e，-n-l),

1-a

因为Q€(0,1),所以人-“>1,即/(61皿=八1)=a(e-1)>0,

则此时函数也无零点，故C正确；

由方程ex-a=1可得：4—a=Ina:a=x—\nx,

令g(x)=x—Inx,则g'(x)=1—十="」,

由g'(①)=2二L>o,可得％>1,由g'3)=攵二Lvo,可得ovivi,

X,X

则g(c)=x—Inx在0VcV1时单调递减，在c>1时单调递增，

又因为</(1)=1—Ini=1,当£-0时，9(1)=①一h】N-*十8,当x-*+co时,y(①)=x—In无->+8,

所以要使得方程寸一。=/有两个实数解，则只需要a>1,故。正确；

故选：BCD.

31.(24-25高二下•甘肃兰州西北师范大学附属中学•期末)(多选)已知函数/(c)=/+3-则()

A.f(x)是奇函数B./Q)是增函数

C.f(x)有且仅有1个零点D./(x-)既有极大值又有极小值

【答案】48。

［分析］利用奇偶性的定义可判断4求导可判断B；由/(0)=0,结合B可判断C；由/'Q)=0无解可

判断D

【详解】函数/(⑦)=炉+3c的定义域为R,又/(一⑼=(一/)'+3(—人)=—(炉+3/)=-f(x),

所以f(x)是奇函数，故A正确：

由/'(%)=3〃+3>3,所以/⑸在R上单调递增，故Z?正确；

又/(0)=。3+3