中考数学备考：二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题（原卷版）

二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题

一、面积定值与等值问题

1.定值问题

【问题描述】

如图，抛物线「=-x2+2x+3与4轴交于A、8两点（点A在点8左侧），与y轴交于点C,连接BC,

抛物线在线段BC'上方部分取一点P,连接P/人PC,若△P8C面枳为3,求点P坐标.

思路1：铅垂法列方程解.

根据以C两点坐标得直线4c解析式：尸-x+3,设点P坐标为（/〃，一〃「+2/〃+3）,

过点尸作PQJ_x轴交于点Q,则点Q坐标为（/%-/n+3）,

PQ=|（一〃「+2〃?+3）-（一〃2+3）|=\-m2+3，"，S/K=gx3x卜〃/+3对=3,分类讨论去绝对值解方

程即可得〃？的值.

思路2：构造等积变形

同底等高三角形面积相等.

取BC作水平宽可知水平宽为3,根据△PBC面积为3,可知铅垂高为2,

在），轴上取点。使得CQ=2,过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点.

当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：产j+5,联立方程：一/+2工+3=一工+5,解之即可.

2

当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：产-x+l,联立方程：-X+2X+3=-X+\,解之即可.

2.等值问题

【问题描述】

如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、8两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,连接BC,

抛物线上存在一点。使得△尸8C的面积等于aBOC的面积，求点夕坐标.

思路1:铅垂法

计算出△AOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解.

思路2：构造等积变形

过点。作8C的平行线，与抛物线交点即为所求P点，

另外作点O关于点C的对称点M,过点M作8c平行线与抛物线的交点亦为所求P点.

先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标.

二、面积比例问题

I、方法突破

除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析,

往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类.

大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化.

策略一：运用比例计算类

策略二：转化面积比

如图，8、。、。三点共线，考虑和△ACO面积之比.

转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则

更一般地，对于共边的西三角形”8。和连接BC,与A。交于点则

SJBD：S“ACD=BM:CN=BE:CE.

策略三：进阶版转化

在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常

见有：字型线段比、“8”字型线段比.

字型线段比：L小=.

“8”字型线段比：SSBD：S,\CD=BD:CD=AB:CM.

转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：S.ABD£ACD=BD:CD=BM:CN.

总结：面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行.

三、米勒角问题（最大张角）

【问题描述】

1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：

如图，点A、8直线/的同一侧，在直线/上取一点P,使得NAP8最大，求P点位置.

【问题铺垫】

圆外角：如图，像N4P8这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角.

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半.

如图./P=4ACB-NPBC=AB-8

2

换句话说，对同一个圆而言，圆周角＞圆外角.

【问题解决】

结论：当点尸不与A、3共线时，作△办8的外接圆，当圆与直线/相切时，NAP8最大.

证明：在直线/上任取一点M（不与点尸重合），连接AM、BM,

NAMB即为圆O的圆外角，

AZAPB>ZAMBfNAPB最大.

・•・当圆与直线/相切时，NAP8最大.

特别地，若点4、8与尸分别在一个前的两边，如下图，则有O尸=。4.08.（切割线定理）

证明：VZPOA=ZBOP,N0%=N08P（弦切角定理）

r）AQp

:.△AOPSRPOB,••・一=—:・O产=OAOB.

OP0B

即可通过CM、OB线段长确定OP长，便知P点位置.

核心•题型

核心•题型/

【题型1］作铅垂高解决面积定值问题

例1一1湖北武汉市•中考真题

1.抛物线L：丁=-/+Zu+c经过点4（0,1）,与它的对称轴直线工=1交于点B.

（1）直接写出抛物线L的解析式；

（2）如图I,过定点的直线）；=辰-女+4（4<0）与抛物线七交于点M、M若△8MN的面积等于1,

求女的值.

2023•齐齐哈尔•中考真题（删减）

7

2.如图，抛物线），=-丁+（1+2上的点4,。坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与x轴负半轴交于

点从点M为y轴负半轴上一点，且。用=2,连接AC,CM,点P是抛物线位于第一象限图

象上的动点，连接AP,CP,当SMAC=S&ICM时，求点尸的坐标

【答案】尸（2,5）

【分析】过点。作轴于点F,交线段AC于点E,用待定系数法求得直线AC的解析式为

y=-1X+2,设点P的横坐标为〃（Ov〃v4）,则P（p,-//+gp+2）,《〃,一；〃+2）,故

PE=-p2+4p（0<〃<4）,先求得以皿f=8,从而得到Sg“=：PEOC=-2〃2+8〃=8,解出〃的

值，从而得出点尸的坐标；

【详解】解：过点P作轴于点F,交线段4c于点瓦

设直线4C的解析式为丁=64■加(女工())，

将4(0,2),。(4,0)代入尸4+『，得

"=4,,・.直线AC的解析式为)，一呆+2

m=2

4k+…'解得

m=2

设点P的横坐标为p(0</?<4)

则P（P，_//+g7〃+2）,E（p,_g〃+2,

2

...PE——p2十g〃十2一卜/十2)-

p~十4〃（0<p<4）

：S△人CM=8,・・・54比=32石℃=-2〃2+8〃=8,解得〃产/马=2,,P（2,5）

南通•中考真题

3.定义：若•个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如，

点(1」)是函数，，-gx+g的图象的“等值点”.

(1)分别判断函数y=x+2,y=Y-x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐

标；如果不存在，说明理由；

3

(2)设函数y=—(x>0),)=r+人的图象的“等值点''分别为点A,B,过点8作8clx轴，垂

x

足为C.当A4BC的面积为3时，求b的值；

2023•山东泰安•中考真题

4.如图1,二次函数)，=ad+区+4的图象经过点4-4,0)，伏-1,0).

图1图2

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点P在二次函数对称轴上，当△8C?面积为5时，求尸坐标；

(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点。，使NDW+/AC8=90。；请判断小明的说法是否正确,

如果正确，请求出。的坐标；如果不正确，请说明理由.

【题型2】作平行线解决面积问题

例2—1山东省临沂市•中考真题

5.在平面直角坐标系中，直线y=x+2与X轴交于点A,与)，轴交于点8,抛物线

)，=0^+/沈+以。＜0)经过点4、B

(1)求”、〃满足的关系式及c的值.

(2)如图，当〃=-1时，在抛物线上是否存在点P,使凶48的面积为1?若存在，请求出符合条

件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2023•四川甘孜・中考真•题

6.已知抛物线)，=/+法+《与x轴相交于1Q),B两点，与)，轴相交于点。(0，-3).

四川凉山州•中考真题

7.如图，抛物线y=ad+W+c的图象过点4—1,0)、以3,0)、C(0,3).

(1)求抛物线的解析式：

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点?，使得MAC的周长最小，若存在，请求出点尸的坐标及

APAC的周长；若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得S的“=SA“？

若存在，请求出点A/的坐标：若不存在，请说明理由.

连云港•中考真题

8.如图，抛物线产如2+(>+3)x-(6〃z+9)与x轴交于点A、3,与冬轴交于点C,已知8(3,0).

(1)求"1的值和直线AC对应的函数表达式:

(2)P为抛物线上一点，若S旷BC=S“BC，请直接写出点尸的坐标;

2023•黑龙江•中考真题

9.如图，抛物线尸加+板+3与x轴交于4-3,0),/3(1,0)两点，交》轴于点C.

(1)求抛物线的解析式.

⑵抛物线上是否存在一点P,使得%皿=35/改.，若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请

说明理由.

江苏徐州•中考真题

10.如图，点A、8在了=,/的图象上.已知A、8的横坐标分别为-2、4,直线与y轴交于

4

点C,连接04、OB.

（1）求直线的函数表达式；

（2）求AAQ8的面积；

（3）若函数），=/2的图象上存在点使的面积等于24。8的面积的一半，则这样的点。共

4

【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式

例3-1内蒙古通辽市•中考真题

11.已知，如图，抛物线尸加+加+€（。工0）的顶点为攸1,9）,经过抛物线上的两点4-3,-7）和

仇3,刈的直线交抛物线的对称轴于点C.

（1）求抛物线的解析式和直线/记的解析式.

（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点。，使得S^c=25Aoe川？

若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

2023•辽宁盘锦•中考真题

12.如图，抛物线)，=浸+以+3与”轴交于点A(-1,0),8(3,0),与丁轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图，点E是第一象限内一点，连接4E交了轴于点。，AE的延长线交抛物线于点。，点尸在线

段C。上，且B=O力，连接E4,FE,BE,BP,若，求△RS面积.

13.在平面直角坐标系xQv中，已知抛物线,，=奴2+法经过4(4,0),B(1,4)两点.。是抛物

线上一点，且在直线A8的上方.

(1)求抛物线的解析式;

⑵若△OAB面积是△FB面积的2倍，求点P的坐标

2022•福建•统考模拟预测

14.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=aP+法经过4(4,0),B(1,4)两点.P是抛物

线上一点，且在直线A8的上方.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若△OA8面积是△以B面积的2倍，求点尸的坐标;

【题型4】面积比例问题的转化为线段比

15.如图，抛物线y=ax2+2x+c(av0)与x轴交于点A和点4(点A在原点的左侧，点4在原点的

右侧)，与)，轴交于点C,OB=OC=3.

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)如图，连接8C,点。是直线8c上方抛物线上的点，连接OD,CD.OD交BC于煎F,当

S&COF;S&CDF=3：2时，求点D的坐标.

y

c

AO

深圳市中考真题

16.如图抛物线经y=加+"+c・过点4-1,0),点CQ3),且O8=OC.

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点尸为抛物线.上一点，连接b,直线C尸把四边形C3PA的面积分为3:5两部分，求点尸的坐

标.

牡丹江中考真题

17.抛物线y=—X2+以+c经过点4(-3,0)和点C(0,3).

(1)求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点。的坐标；

(2)若过顶点D的直线将A4CO的面积分为1:2两部分，并与x轴交于点Q,则点Q的坐标为

注：抛物线y=ax2+bx+以”0)的顶点坐标(一々,处士)

2a4a

2022•四川内江中考真题

18.如图，抛物线y=a/+以+°与x轴交于4(-4,0),B(2,0),与)，轴交于点C(0,2).

(I)求这条抛物线所对应的函数的表达式;

(2)点夕为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形C/6%的面积分为I：5两部分，求点。的坐

标.

2023•四川泸州中考真题

19.如图，在平面直角坐标系入Qy中，已知抛物线y=a?+2x+c与坐标轴分别相交于点人以

C(0,6)三点,其对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点〃是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线8C交于点。，E.

①当C3=C£时，求CO的长；

②若△CAO,KDE,AC"的面积分别为名，S,,且满足5+&=2§2,求点尸的坐标.

2022•四川内江中考真题

20.如图，抛物线y=/+^+c与x轴交于4(-4,0),B(2,0),与＞轴交于点C(0,2).

(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；

(2)点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形C8外的面积分为1：5两部分，求点P的坐

标.

【题型5】米勒角(最大张角问题)

例题5・1

21.如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)、B(5,0)直线/经过点C(・l,2),点。是直线/上

的动点，若NAP3的最大值为45°,求直线/的解析式.

【分析】

考虑到直线/未知但NAPB的最大值已知为45°,故构造圆.

记△ABP外接圆圆心为M点，则N4M8=2NAP8=90°,

故可确定M点位置.

根据4(1,0)、B(5,0),不难求得M点坐标为(3,2),

连接MC、MP,考虑到圆M与直线CP相切，故MP_LCP,ZkCPM是直角三角形.

V/WC=4,MP=MA=z旧

:，CP=2W即△CPM是等腰直角三角形，

易求P点坐标为(I,4),

又C点坐标为(-1,2),

可求直线/的解析式为y=x+3.

山东烟台中考真题

22.如图，抛物线广加+七+3与x轴交于4(-1,0)、8两点，与y轴交于点C,过点C作C。

轴交抛物线于另一点Q,作。七_Lx轴，垂足为点E,双曲线y=g(x>0)经过点0,BD.

X

(1)求抛物线的表达式；

(2)动点尸从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为/秒，当，为何

值时，N8尸。的度数最大？(请直接写出结果)

【分析】

(I)考虑到点D纵坐标与点C相同，为3,代入反比例解析式，可得D点坐标为(2,3),

根据A、D坐标可得抛物线解析式：y=-x2+2x+3.

(2)求t即求P点位置.

思路2：切割线定理

延长BD交y轴于M点，则当加=M/>幅时，NBPD最大.

考虑到B(3,0)、D(2,3),可得直线BD解析式：)，=—3x+9,

故直线BD与y轴交点M点坐标为(0,9),

MO=2而，MB=3斤,

，MP2=MDMB=60,

,MP=2屈,

・・・P点坐标为(0,9-2/),

故t的值为9一2，声.

2023•四川宜宾中考真题

23.如图，抛物线)，=a^+bx+c与x轴交于点A(-4,0)、4(2,0),且经过点C(—2,6).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N,射线AN、EV分别与抛物线的对称轴交于点户、。点。关

于x轴的对称点为。'，求△人尸。的面积；

(3)点M是,，轴上一动点，当最大时，求M的坐标.

33

[^5^](1)>=--A2--A+6

小。81

⑵山结=了

(3)A/(0,12-45/5)

【分析】(1)设抛物线的解析式为)，="x+4)(x-2),代入点C的坐标，确定a值即可.

(33]

(2)设Nm,--nr--m+6\直线AN的解析式为y=依+匕，直线8N的解析式为)，=〃工+夕，表

I42Jf

示出匕Q,Q'的坐标，进而计算即可.

(3)当M是)，轴与经过A,C,M三点的圆的切点是最大计算即可.

【详解】(1)•・,抛物线y=a?+历:+c与x轴交于点A(T,O)、B(2,0),

••・设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-2),

•・•经过点。(一2,6),

.\6=«(-2+4)(-2-2),

解得a=-3,

4

3,

，)，=-舌+4)(1-2),

.33,

..y=一一x2——x+6.

42

(2)如图,当点N在对称轴的右侧时,

设N（〃?,一!〃?'一■|〃?+6）,直线AN的解析式为y=H+b,直线6N的解析式为）'=/从十，/,

[-4k+b=02p+q=0

333

mk+b=--m2——ZZ/4-6mp+q=——m2——〃?+6

4242

33n

3，3(—in2'—〃？+6

——in~——m+642

k=^P=

m-2

解得〃?+4

3

,-3/7/2-6m+24-in2+3m-12

b=----------------------2

m+4q

m-2

_3,_3

・•・直线AN的解析式为--m--m+b3〃—6〃?+24,直线8V的解析式为

y=

m+4〃i+4

323jic

——tn——in+6—tn+3加一12

492

y=-2-------=---------x+-------------------

m-2m-2

33(..-工工.g

,,——m-2——m+62+94

各z户一1时，上—2—,—3m—6m+24_429,

x(1)+_为?-2]

m+4、7m+4〃？+4

99

32332o.n-

——m~—m+o—tn~+3/n-12—m~+-///-18n

y=^Zx(-l)+2------------------=42——=2(〃?+4)，

-m-2'7m-2m-24V7

•・・~(-1，-汨-2)}Q(-l""+4)}Q(_i,_]/〃+4)}

9927

.・.P^=--(W-2)+-(/H+4)=y,