数学第20章勾股定理重难点检测卷-2025-2026学年数学八年级下册（人教版2024）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第20章勾股定理重难点检测卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）一、单选题1．下列三组数中，是勾股数的是（）A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，62．若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（

）A．5 B．5或 C． D．23．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（

）A． B． C． D．4．一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（

）．A．13 B．15 C． D．185．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（

）A． B． C． D．6．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（

）A． B． C． D．7．已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（

）A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形8．如图，在中，，直线为的垂直平分线，交于点D，连接，已知，，则的值为（

）A．3 B．4 C． D．9．小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面米．推动后踏板水平移动了4米，此时踏板离地面米．若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米二、填空题10．小杨将一根长为的铅笔放到棱长为的正方体笔盒内，他____________（填“能”或“不能”）完全放进去．11．在中，，则的度数为____．12．中，是两内角平分线的交点，；到的距离是_____．13．如图，在中，，，垂直平分交于点D，连接．若，则的长度是______．14．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m．15．如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A对应的数为1，以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为_____．16．如图，在中，已知，，的垂直平分线分别交、于点D、E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为________．三、解答题17．在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)画出关于y轴对称的并写出的坐标；(2)在x轴上找一点P，使得的周长最短，在图中标记出点P的位置，并求出这个最短周长．18．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请你利用“弦图”证明勾股定理．19．如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知．(1)求证：．(2)若，，求的长．20．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点A到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角O重合，另一端靠在点A处．(1)求小凳子顶点A与墙面的距离；(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处，若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．21．如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E．(1)判断直线与直线的位置关系，说明理由；(2)若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标；(3)点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《第20章勾股定理重难点检测卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案题号123456789答案CBCABBACC1．C【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，只需逐一验证各选项即可．【详解】解：对选项A，∵，，，∴A不是勾股数；对选项B，∵，，，∴B不是勾股数；对选项C，∵，，∴，且三个数均为正整数，∴C是勾股数；对选项D，∵，，，∴D不是勾股数．2．B【分析】由于未明确x是直角边还是斜边，需分其为直角边和斜边两种情况，分别按照勾股定理求解即可．【详解】解：∵题目未说明x是直角边还是斜边，∴分两种情况讨论：①当x为斜边长，根据勾股定理得∵三角形边长为正数，∴；②当长为4的边为斜边，x为直角边长，根据勾股定理得∵三角形边长为正数，∴．综上，x的值为5或．【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键．3．C【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，，∵，，∴，∴，∴，故选：．4．A【分析】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径．而长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果．【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短．由题意，得，，在中，由勾股定理，得，即小虫爬的最短路径长为．5．B【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理推出，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论．【详解】解：由勾股定理得：，，，，且，是等腰直角三角形，且，故选：B．6．B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键．先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解．【详解】解：，，是直角三角形，，由折叠可知，，．故选：B．7．A【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，∴，A、∵∴长为的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形；B、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为，∵，，，∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形；C、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为，∵，，，∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形．D、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为，∵，，，∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形．故选：A．8．C【分析】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，正确利用勾股定理是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，令，则，在中，利用勾股定理求出即可．【详解】解：直线为的垂直平分线，，令，则，在中，，，解得，，．故选：C．9．C【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键．设秋千的绳子的长度为米，则米，进而得到米，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：根据题意得：米、米，设秋千的绳子的长度为米，则米，四边形是矩形，米、米，米，米，在中，由勾股定理得：，即，解得，故选：C．10．能【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确理解题意是解题的关键．通过计算正方体的空间对角线长度，与铅笔长度比较，判断是否能放入即可．【详解】解：如图，连接，，由题意得：，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，，且，∴能完全放进去，故答案为：能．11．/90度【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，算术平方根，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴；故答案为．12．【分析】本题考查角平分线的性质及勾股定理的逆定理，正确得出，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据勾股定理的逆定理得出，利用等积法求出的值即可得答案．【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接，∵是两内角平分线的交点，∴平分，∴，∵，，∴是直角三角形，且，∵，∴，∴，解得：，∴到的距离是．故答案为：13．【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．利用线段的垂直平分线的性质求出，，再求得为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质求出，由解答即可．【详解】解：垂直平分交于点D，，，，，，,为等腰直角三角形，，，，，故答案为：．14．【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案．【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，，，由勾股定理得：，则，整理得：，解得：，∴旗杆的高度为，故答案为：．15．【分析】本题主要考查数轴上的数字表示，勾股定理，根据作图得到相等的线段是解题的关键．首先根据题意结合勾股定理求出的长，进而得到的长即可求解点M表示的数．【详解】解：由题意得：，∵以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点，∴，∴点M表示的数为，故答案为：．16．8【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键，由垂直平分，得，则，当点三点共线，且时，有最小值，最后由勾股定理即可求解．【详解】解：∵垂直平分，∴，∴，∴当点三点共线，且时，有最小值，如图，∵，，∴，，由勾股定理得：，∴有最小值，故答案为：8．17．(1)图见解析；的坐标为(2)图见解析；的最短周长为【分析】（1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出的坐标；（2）要使得的周长最短，即要最小，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，由，可得点P即为所求，再求出的周长即可．【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为．（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接，根据轴对称得，此时的周长最小，则点P即为所求，由图可得，，，∴的周长，∴的最短周长为．18．见解析【分析】利用两种方法表示出大正方形的面积，再由面积相等即可求解．【详解】证明：根据题意可知：边长为c的大正方形的面积4个全等的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积，即：，整理得，．所以直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和．19．(1)见解析(2)【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，一元一次方程的应用知识点，掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理的应用是解题的关键．（1）先利用垂直平分线性质得到，再将已知等式变形，用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而得到，（2）设，用表示，再由得到，在中用勾股定理列方程求解．【详解】（1）证明：如图，连接，∵是的垂直平分线，∴∵∴∴∴是直角三角形∴，．（2）解：设∵∴∵∴在中，∵∴∴∴。∴∴∴的长为．20．(1)顶点与墙面的距离为；(2)凳子宽的长度为，木杆的长度为．【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理并结合题意构造直角三角形是解题的关键．（1）通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算小凳子顶点与墙面的距离；（2）延长线段构造直角三角形，设未知数表示各边长度，再通过勾股定理列方程求解小凳子宽和木杆长．【详解】（1）解：过作垂直于墙面，垂足，根据题意可得，，在中，，即顶点与墙面的距离为；（2）解：延长交墙面于点，可得，设，则，，，在中，，即，解得，∴，，∴凳子宽的长度为，木杆的长度为．21．(1)垂直，理由见解析；(2)点P的坐标为或；(3)点的坐标或或．【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．（1）由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明；（2）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，可得点D的坐标，设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标，求出的面积，根据“的面积是的面积的”得到，设点的坐标为，进而根据三角形面积公式计算即可；（3）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可．【详解】（1）解：垂直，理由如下：由折叠的性质得到，，，，，故直线与直线的位置关系是垂直；（2）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，，，在中，由勾股定理得：，由折叠的性质可知，，，点的坐标是，设，则，由折叠的