2025-2026学年LEMON教学设计

上课时间上课时间2025-2026学年LEMON教学设计2025年12月任课老师任课老师魏老师设计意图设计意图一、设计意图：本节课以课本“一元二次方程的应用”为核心，结合初二学生从具体到抽象的认知过渡，通过生活实例（如面积计算、利润问题）创设情境，引导学生将方程知识与实际问题关联。采用“问题引导—自主探究—合作展示”模式，强化“设未知数—列方程—解方程—检验”的思维训练，注重基础解题步骤的规范与实际应用能力的培养，符合课标对“数学建模”素养的要求，兼顾知识落实与思维发展。核心素养目标核心素养目标二、核心素养目标：通过一元二次方程的实际应用，培养数学建模素养，能将生活问题转化为方程模型；发展逻辑推理能力，掌握解方程的步骤与依据；强化数学运算技能，准确求解并检验结果；体会数学与生活的联系，提升应用意识与严谨性。教学难点与重点教学难点与重点1.教学重点，①掌握一元二次方程解决实际问题的基本步骤（设未知数、列方程、解方程、检验）；②能准确分析实际问题中的等量关系，建立方程模型。

2.教学难点，①根据实际情境合理设未知数，避免设错导致方程难以建立或解答；②处理方程解的实际意义，如根据问题背景检验并舍去不符合题意的解（如长度、时间不能为负数）。教学资源教学资源1.软硬件资源：多媒体设备（投影仪、交互式白板）、实物教具（几何图形模型、天平）、学生练习册与课本配套习题。

2.课程平台：学校智慧课堂平台、班级学习管理群。

3.信息化资源：一元二次方程应用互动课件、解题步骤微课、在线题库系统。

4.教学手段：情境创设案例、小组合作探究任务、讲练结合练习卡。教学过程教学过程**环节1：情境导入，激发兴趣（5分钟）**

同学们，今天我们解决一个生活中的问题：学校要在一块长10米、宽8米的长方形空地上修建一个面积为24平方米的长方形花坛，要求花坛的一边靠墙，另外三边用栅栏围起来，你能算出花坛的长和宽吗？（停顿，让学生思考）这个问题看起来有点复杂，但用我们刚学的一元二次方程就能解决。今天我们就来学习“一元二次方程的应用”，看看数学怎么帮我们解决实际问题。

**环节2：新知探究，建模突破（20分钟）**

（1）审题找等量关系

请大家先读题，找出题目中的关键信息：空地长10米、宽8米，花坛面积24平方米，一边靠墙，三边围栅栏。哪位同学能说说，花坛的三边和栅栏有什么关系？（引导学生回答：设花坛垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为24/x米，栅栏总长为x+x+24/x=2x+24/x）

（2）设未知数，列方程

现在我们设花坛垂直于墙的一边为x米，那么平行于墙的一边就是面积除以x，即24/x米。栅栏总长等于两倍垂直边加上平行边，也就是2x+24/x。但题目中没给栅栏总长，这个条件好像不够？等等，我刚才是不是漏了什么？（引导学生发现：花坛在空地内，所以x必须小于空地的宽8米，24/x必须小于空地的长10米）对，这就是隐含条件！不过列方程还需要一个等量关系，题目里没给栅栏长度，那是不是应该用空地的限制来列不等式？不对，再想想——其实题目可能隐含“花坛尽可能大”或者“栅栏最短”？不，课本例题通常是直接利用面积和边长关系，可能我刚才理解错了。重新审题：题目说“修建一个面积为24平方米的长方形花坛”，只要满足面积和位置关系即可，所以其实不需要栅栏长度，而是花坛的边长要满足在空地内。那我们是不是应该用花坛的长和宽都不超过空地的长和宽来列不等式？不，列方程的话，可能题目还有条件没给？哦，对不起，我改编题目时漏掉了条件，原课本例题应该是“栅栏总长为20米”，这样才有等量关系。那我们重新设定：栅栏总长20米，那么方程就是2x+24/x=20，这样对吗？（学生回答：对）

（3）解方程

现在方程是2x+24/x=20，怎么解呢？先两边同乘x，得到2x²+24=20x，整理成标准形式：2x²-20x+24=0，两边除以2，得x²-10x+12=0。用求根公式解：x=[10±√(100-48)]/2=[10±√52]/2=[10±2√13]/2=5±√13。√13约等于3.606，所以x1≈5+3.606=8.606，x2≈5-3.606=1.394。

（4）检验解的实际意义

现在有两个解，x1≈8.606米，x2≈1.394米。我们回到实际问题，花坛垂直于墙的一边x必须小于空地的宽8米，所以x1≈8.606米超过了8米，不符合题意，舍去；x2≈1.394米，小于8米，合理。那么平行于墙的一边就是24/x≈24/1.394≈17.22米，但空地的长只有10米，17.22米超过了10米，这也不对啊！哪里出错了？（引导学生发现：设未知数时，如果垂直于墙的边为x，那么平行于墙的边应该是24/x，但栅栏总长应该是x+x+24/x=2x+24/x，而空地的宽是8米，所以x≤8，空地的长是10米，所以24/x≤10，即x≥2.4。所以x的取值范围是2.4≤x≤8。刚才x2≈1.394<2.4，不符合，所以两个解都不对？这说明我的方程列错了！

（重新引导）其实，花坛一边靠墙，三边围栅栏，栅栏总长应该是两倍的短边加长边，还是两倍的长边加短边？取决于哪边靠墙。如果长边靠墙，那么栅栏是两短边加一长边；如果短边靠墙，栅栏是两长边加一短边。题目没说哪边靠墙，所以需要讨论。假设短边靠墙，设短边为x，则长边为24/x，栅栏总长为2*(24/x)+x=48/x+x=20，方程是x+48/x=20，乘以x得x²+48=20x，x²-20x+48=0，解这个方程：x=[20±√(400-192)]/2=[20±√208]/2=[20±4√13]/2=10±2√13。√13≈3.606，所以x1≈10+7.212=17.212（超过空地宽8，舍去），x2≈10-7.212=2.788，在2.4到8之间，合理。长边=24/x≈24/2.788≈8.61米，小于空地长10米，符合。所以花坛短边约2.79米，长边约8.61米，靠墙的是长边。这样才对！刚才设未知数时没考虑哪边靠墙，导致错误，看来实际问题中，设未知数一定要明确变量代表什么，还要考虑实际情况的限制！

**环节3：分层练习，巩固提升（15分钟）**

（1）基础题：课本P45例1，某商场销售一种服装，每件成本60元，经市场调查，每件售价为80元时，每天可售出20件，售价每上涨1元，销量就减少1件。若商场想每天获利1200元，每件服装应定价多少元？（让学生独立完成，然后展示）

学生1：设售价上涨x元，则售价为(80+x)元，销量为(20-x)件，利润为(售价-成本)*销量=(80+x-60)(20-x)=(20+x)(20-x)=400-x²。根据题意，400-x²=1200，解得x²=-800，无解？不对啊，应该是利润=（售价-成本）*销量，所以(80+x-60)(20-x)=1200，即(20+x)(20-x)=1200，400-x²=1200，x²=-800，确实无解。那是不是题目错了？还是我哪里错了？

老师：大家仔细看，题目说“售价每上涨1元，销量就减少1件”，那售价上涨x元，销量是20-x，但销量不能为负，所以x≤20。利润=(80+x-60)(20-x)=(20+x)(20-x)=400-x²，要等于1200，即400-x²=1200，x²=-800，无解。这说明什么？说明按照这个定价方式，每天利润不可能达到1200元？那是不是题目中的利润数据错了？或者我理解错了“售价每上涨1元，销量就减少1件”？其实应该是“售价每上涨1元，销量就减少1件”，但利润最大值是多少呢？利润=400-x²，这是一个开口向下的抛物线，最大值是x=0时，利润=400元，所以确实不可能达到1200元。看来课本例题可能有误，或者我们改编一下，把利润改为300元，方程就是400-x²=300，x²=100，x=±10，x=10（舍去负数），所以售价=80+10=90元，销量=20-10=10件，利润=(90-60)*10=300元，这样就对了。看来解决实际问题时，不仅要列方程，还要判断方程是否有符合实际的解！

（2）提升题：课本P46练习第3题，一个直角三角形的两条直角差3，斜边长13，求两条直角边的长。（学生分组讨论，展示）

组1：设短直角边为x，则长直角边为x+3，根据勾股定理，x²+(x+3)²=13²，展开得x²+x²+6x+9=169，整理为2x²+6x-160=0，除以2得x²+3x-80=0，解这个方程：x=[-3±√(9+320)]/2=[-3±√329]/2，√329≈18.138，所以x1≈(-3+18.138)/2≈7.569，x2≈(-3-18.138)/2≈-10.569（舍去），所以短直角边≈7.57米，长直角边≈10.57米。

组2：我们设长直角边为x，短直角边为x-3，方程是x²+(x-3)²=169，展开得x²+x²-6x+9=169，2x²-6x-160=0，x²-3x-80=0，解为x=[3±√(9+320)]/2=[3±√329]/2，x1≈(3+18.138)/2≈10.569，x2≈(3-18.138)/2≈-7.569（舍去），结果一样。老师，这里要注意x-3必须大于0，所以x>3，我们的解符合。

老师：很好，大家不仅正确列出了方程，还注意了变量的取值范围。实际问题中，直角边长度必须为正数，所以舍去负数解，还要检查x-3是否为正。

**环节4：总结梳理，提炼方法（5分钟）**

同学们，今天我们学习了一元二次方程的应用，谁能总结一下解决实际问题的步骤？（学生回答：审题、设未知数、列方程、解方程、检验）对，就是“审、设、列、解、验”五步。其中，审题要找出等量关系和隐含条件；设未知数要明确变量代表什么，还要考虑实际情况；列方程要根据等量关系准确列出；解方程要选择合适的方法（因式分解、公式法）；检验是最重要的，不仅要检查解是否满足方程，还要检查是否符合实际意义（比如长度、时间不能为负数，数量不能超过限制）。

**环节5：作业布置，拓展延伸（5分钟）**

1.基础题：课本P47习题21.3第1、2题（巩固列方程解决实际问题的基本步骤）；

2.提升题：某工厂生产一种零件，成本价为50元/件，出厂价定为60元/件时，每天可卖出100件。若出厂价每提高1元，每天销量就减少2件。若工厂想每天获利950元，每件零件应定价多少元？（注意：利润=（出厂价-成本价）*销量，且销量不能为负）；

3.拓展题：设计一个能用一元二次方程解决的生活问题（比如购物、行程、几何等），并列出方程求解（下节课分享）。

今天的作业要注重联系生活，用数学解决实际问题，下节课我们一起来分享大家的作品！知识点梳理知识点梳理一、实际问题类型

1.面积问题：涉及长方形、三角形、梯形等图形的面积计算，需结合图形性质（如长方形面积=长×宽，三角形面积=×底×高）找等量关系。例：长方形花坛一边靠墙，其余三边围栅栏，利用面积和栅栏总长列方程。

2.利润问题：核心关系式“利润=（售价-成本）×销量”，销量常与售价呈线性变化（如售价每涨1元，销量减a件）。例：商场服装定价问题，需设涨价x元，表达售价、销量、利润的关系。

3.行程问题：涉及路程、速度、时间，常用“相遇=路程和”“追及=路程差”模型，注意单位统一。例：甲乙两人相向而行，利用时间相同列方程。

4.几何问题：结合勾股定理（直角三角形）、相似三角形性质、圆的面积公式等，需挖掘图形中的等量关系。例：直角三角形两边差求第三边，利用勾股定理列方程。

5.增长率问题：公式“现量=原量×（1±增长率）^n”，区分“连续增长”与“平均增长率”。例：产值连续两年增长，设平均增长率为x，列方程（1+x）²=现量/原量。

二、解题步骤与方法

1.审题：提取关键信息（已知量、未知量、等量关系），挖掘隐含条件（如边长>0、销量≥0、时间≥0）。

2.设未知数：明确变量含义（直接设或间接设），优先设所求量为x，避免复杂表达式。

3.列方程：将等量关系转化为含x的方程，注意单位统一，避免重复或遗漏条件。

4.解方程：选择合适方法（因式分解法、公式法、配方法），确保计算准确。

5.检验：先验数学解（是否使方程成立），再验实际意义（是否符合题意，舍去不合理解）。

三、常见数学模型

1.面积模型：长方形花坛一边靠墙，设垂直于墙的边为x，则平行边为S/x，栅栏长为2x+S/x（短边靠墙）或x+2S/x（长边靠墙），结合总长列方程。

2.利润模型：设售价上涨x元，售价为“基础价+x”，销量为“基础销量-ax”，利润为（售价-成本）×销量，列方程求解x。

3.行程模型：相遇问题，速度和×相遇时间=路程和；追及问题，速度差×追及时间=路程差，注意时间相等。

4.几何模型：直角三角形两边为x、x+a，斜边为b，列方程x²+(x+a)²=b²；相似三角形，利用对应边成比例列方程。

5.增长率模型：平均增长率x，连续n年后现量=原量（1+x）ⁿ；平均减少率x，连续n年后现量=原量（1-x）ⁿ。

四、易错点与注意事项

1.设未知数不明确：如“花坛一边靠墙”未明确哪边靠墙，导致方程列错，需讨论不同情况。

2.忽略隐含条件：如解为负数、边长超过实际范围、销量为负数，必须舍去。

3.方程类型混淆：实际问题可能转化为分式方程（如1/x），但本题限于一元二次方程，需确保最终方程为二次。

4.单位不统一：如长度用“米”与“厘米”混用，时间用“小时”与“分钟”混用，导致列方程错误。

5.检验不彻底：仅验证解是否满足方程，未验证是否符合实际意义（如人数不能为分数）。

五、综合应用技巧

1.多题归一：不同类型问题可共用同一模型（如利润与增长率均涉及“量与率的关系”），需总结共性。

2.逆向思维：从问题出发，倒推所需条件（如求定价，需先表达利润与售价的关系）。

3.分类讨论：当未知数有多种取值可能时（如靠墙情况、增长/减少），需分情况列方程求解。

4.数形结合：用图形辅助理解等量关系（如画长方形示意图标注边长，画行程路线图标注路程）。

5.验证反思：解出答案后，代入原问题验证合理性（如利润问题，计算定价对应销量是否为正）。重点题型整理重点题型整理1.**面积问题**：长方形花坛一边靠墙，其余三边用栅栏围成，面积30平方米，栅栏总长20米，求花坛长宽。

解：设垂直于墙的边为x米，则平行边为30/x米，栅栏长2x+30/x=20，整理得2x²-20x+30=0，解得x=5±√10，舍去x>8（空地限制），得x≈1.84米，宽≈16.30米。

2.**利润问题**：商品进价50元，售价80元时日销20件，售价每涨1元销量减1件，若日利润600元，求定价。

解：设涨价x元，利润=(80+x-50)(20-x)=600，整理得x²-50x+200=0，解得x=25±5√5，x≈33.18（舍去），x≈16.82，定价96.82元。

3.**几何问题**：直角三角形两边差5，斜边13，求两边长。

解：设短边x，则长边x+5，x²+(x+5)²=169，解得x=4，长边9。

4.**增长率问题**：产值两年后翻倍，求平均增长率。

解：设增长率x，(1+x)²=2，x=√2-1≈41.4%。

5.**行程问题**：甲乙相距100km，甲速20km/h，乙速15km/h，几小时后相距25km？

解：设t小时后，|20t-15t|=75，解得t=25小时。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.生活化情境贯穿始终，用校园花坛设计、商场定价等真实问题激发兴趣，让数学学习“接地气”。

2.分层任务设计，基础题巩固步骤，拓展题培养思维，兼顾不同学生需求。

（二）存在主要问题

1.学生列方程时易忽略隐含条件（如边长范围、非负性），导致解不符合实际意义。

2.计算环节错误率较高，特别是分式方程化简和求根公式应用。

（三）改进措施

1.增加“条件陷阱”专项训练，设计含隐含条件的题目，引导学生主动挖掘限制条件。

2.强化计算步骤拆解，要求学生